山东省济宁市兖州区2022-2023学年高二上学期数学期中试卷

山东省济宁市兖州区2022-2023学年高二上学期数学期中试卷
1．（2022高二上·兖州期中）直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·兖州期中）已知，，则（　　）
A． B． C．0 D．1
3．（2022高二上·兖州期中）“”是“直线与直线平行”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要
4．（2022高二上·兖州期中）甲 乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲 乙解出的概率都是 ，则这道数学题被解出的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022高二上·兖州期中）直线被圆所截得的最短弦长等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2022高二上·兖州期中）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022高二上·兖州期中）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·兖州期中）若直线：与曲线：有两个交点，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2022高二上·兖州期中）从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（　　）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
10．（2022高二上·兖州期中）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（　　）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D．小明 小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
11．（2022高二上·兖州期中）已知圆C：，直线l：.下列说法正确的是（　　）
A．直线l恒过定点
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．直线l被圆C截得弦长存在最大值，此时直线l的方程为
D．直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为
12．（2022高二上·兖州期中）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（　　）
A．几何体的外接球半径
B．平面
C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为
D．面与底面所成角正弦值的取值范围为
13．（2022高二上·兖州期中）经过两直线2x+y-1=0与x-y-2=0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是　 　．
14．（2022高二上·兖州期中）已知空间中有三点，，，则到直线的距离为　 　.
15．（2022高二上·兖州期中）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程　 　．
16．（2022高二上·兖州期中）若圆上到直线的距离等于的点恰有3个，则实数a的值为　 　.
17．（2022高二上·兖州期中）已知的三个顶点分别为，，，
（1）BC边上中线所在直线的方程（D为BC中点）；
（2）BC边的垂直平分线的方程；
18．（2022高二上·兖州期中）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球 黄球 绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率是 ，试求：
（1）从中任取一球，得到黑球 黄球 绿球的概率各是多少？
（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
19．（2022高二上·兖州期中）已知直线方程为．
（1）若直线的倾斜角为，求的值；
（2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
20．（2022高二上·兖州期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别为棱，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2022高二上·兖州期中）已知圆．
（1）直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；
（2）设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．
22．（2022高二上·兖州期中）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．
（1）求二面角的大小；
（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】直线的斜率，则倾斜角为.
故答案为：C.
【分析】求出直线斜率，可得倾斜角.
2．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：，，
.
故答案为：B.
【分析】利用空间向量的夹角余弦公式即可求得答案.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】因为，所以直线，直线，则与平行，故充分条件成立；
当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故必要条件成立.
综上知，“”是“直线与直线平行”的充要条件.
故答案为：A.
【分析】 先由直线平行求出相应的m的值，然后根据充分条件、必要条件的定义即可判断出答案.
4．【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意知，这道数学题解不出的概率为 ，
∴这道数学题被解出的概率 .
故答案为：C
【分析】 先求出这道数学题不被解出的概率，再利用对立事件的概率公式求解.
5．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆的圆心为，半径，
又直线，直线恒过定点，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，
此时弦心距为．
所截得的最短弦长：．
故答案为：C．
【分析】首先求出直线所过的定点，由圆的几何性质可知当圆心到直线的距离最大时，直线截圆所得的弦长最短，利用勾股定理计算即可.
6．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为 .
故选：D
【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.
7．【答案】A
【知识点】基本不等式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆的圆心为，由题意可知，直线过圆心，则，
因为，则且，
因此，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：A.
【分析】分析可知直线过圆心，则，有且，，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
8．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵直线l： 恒过定点
曲线C： 即：
∴曲线C表示：以（1，1）为圆心，1为半径的的那部分圆.
∵直线l与曲线C有两个交点，
∴如图所示，
当过点M的直线与图中这部分圆相切时有1个交点，
此时 解得：
当过点M的直线也过点 时有2个交点，
此时
∴
故答案为：B.
【分析】直线恒过定点，曲线表示右半圆，画出草图可得有两个交点，需求临界相切时的斜率（1个交点）与临界过点A的直线的斜率（2个交点）.
9．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；概率的应用
【解析】【解答】解：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件 ，“从乙袋中模出一个红球”为事件 ，
则 ， ，且 ， 独立；
在A中，2个球都是红球为 ，其概率为 ，A符合题意；
在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为 ，B不符合题意；
在C中，2个球中至少有1个红球的概率为 ，C符合题意；
2个球中恰有1个红球的概率为 ，D符合题意.
故答案为：ACD．
【分析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件 ，“从乙袋中模出一个红球”为事件 ，则 ， ，且 ， 独立；再根据相互独立事件的概率乘法公式一一判断即可．
10．【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平
对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，
所以游戏不公平
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平
对于D，小明 小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6，6），（6，8），（8，6），（8，8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．
故答案为：ACD．
【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况，由此判断两人获胜是否为等可能事件．
11．【答案】B,D
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】将直线l的方程整理为，由，解得.则无论m为何值，直线l恒过定点，A不正确；
令，则，解得，故圆C被y轴截得的弦长为，B符合题意；
无论m为何值，直线l不过圆心，即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，C不符合题意；
当截得的弦长最短时，此时直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为，即，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】对A，将直线整理为，联立方程即可求出定点；对B，令即可求出；对C，根据直线不过圆心可判断；对D，根据直线垂直于圆心到定点连线可求.
12．【答案】B,C,D
【知识点】异面直线及其所成的角；球内接多面体；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】对于A，因为几何体关于正方体的中心对称，其外接球与正方体的外接球相同，半径为，A不符合题意；
对于B，在正方体中，且，故为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面，
同理可证平面，又因为，平面，
所以平面平面，因为平面，
所以平面，B符合题意；
对于C，由平面，平面，可得，即，
由于，则异面直线与所成的角为，其正弦值为，
在中，易得，所以，
所以异面直线与所成角的正弦值的取值范围为，C符合题意；
对于D，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则有，，设，
则，所以，
设平面的法向量，则，即，
令，则，故，
由题意知，取平面的一个法向量，
则，
则面与底面所成角正弦值为，
由于，故当时取最小值，
则取到最小值，
当或时取最大值12，则取到最大值，
所以面与底面所成角正弦值的取值范围为，D符合题意，
故答案为：BCD.
【分析】对于A，几何体的外接球与正方体的外接球相同，可求得半径；对于B，利用面面平行的性质定理即可判断；对于C，异面直线与所成的角为，结合线面垂直的性质，列出正弦值的等式，再结合，即可求解；对于D，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，结合三角函数的知识可进行求解.
13．【答案】x+y=0
【知识点】直线的截距式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：联立两直线方程可得：，解得，可得两条直线交点P（1，-1）．
直线经过原点时，可得直线方程为y=-x；
直线不经过原点时，设直线方程为，
把交点P（1，-1）代入可得，解得a=2．
所以直线的方程为x-y-2=0．
综上直线方程为：x+y=0或x-y-2=0．
故答案为：x+y=0或x-y-2=0．
【分析】先求解两直线的交点坐标，再运用截距式求解直线的方程可得出结果.
14．【答案】2
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题知，，
所以
所以，
所以到直线的距离为，
故答案为：2
【分析】根据空间中点到直线距离的求法计算即可.
15．【答案】x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解： 记圆 的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，
圆 的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，
则|OA|=5=r1+r2，
则两圆外切，作出图象，如图所示，
易得直线l1：x=-1为两圆的切线，
易得直线OA为：，
可得直线l1与直线OA为，
易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，
则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，
另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：3x+4y-5=0.
故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.
16．【答案】或
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】圆，即，
所以圆C的圆心坐标为，半径，
因为圆上到直线距离等于的点恰有3个，
设圆心到直线的距离为，则，
即，解得或，
故答案为：或.
【分析】设圆心到直线的距离为，则，利用点到直线距离公式列出等式即可求解.
17．【答案】（1）解：线段BC的中点，所以直线AD的斜率为，
所以中线的方程为：，即
（2）解：直线BC的斜率，所以BC中垂线的斜率为，又因为BC的中点，
所以中垂线的方程为：，即
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】（1）求解中点，计算直线AD的斜率，从而得 BC 中线的方程；
（2）计算直线BC的斜率，从而可得中垂线的斜率，写出中垂线方程.
18．【答案】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球 黄球 绿球为事件 ， ， ，
由于 ， ， 为互斥事件，
根据已知，得 ，
解得 ，
所以，任取一球，得到黑球 黄球 绿球的概率分别是 ， ， .
（2）解：由（1）知黑球 黄球 绿球个数分别为3，2，4，
从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，
其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，
于是，两个球同色的概率为 ，
则两个球颜色不相同的概率是 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】 （1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率；
（2）黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况，而从9个球中取出2个球的情况共有36种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率。
19．【答案】（1）解：由题意可得.
（2）解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的斜率；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值；
（2）求出点、，根据已知条件求出，，利用基本不等式可求得面积的最小值， 当且仅当时，等号成立，即可得出直线的方程.
20．【答案】（1）证明：因为平面，，，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
则平面的一个法向量为，
所以，则，又平面
平面；
（2）解：由（1）得，所以，
设直线与平面所成角为．
．
直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用 平面，，，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出，从而证出直线平面。
（2） 由（1）得，再利用向量的坐标表示得出，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值。
21．【答案】（1）解：由题意得C（2，0），圆C的半径为3．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，
由直线与圆C相切，得，解得，所以直线的方程为4x－3y＋7＝0．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆C相切．
综上，直线的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．
（2）解：由题意得圆心C到直线的距离，
设圆C的半径为r，所以r＝3，所以，
点P到直线距离的最大值为，
则的面积的最大值．
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据直线的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出；
（2）根据弦长公式求出，再根据几何性质可知， 点P到直线距离的最大值为， 即可解出的面积的最大值 ．
22．【答案】（1）解：由题意得平面ABCD，且，
以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示
所以，
所以，
设平面PAB的法向量，
则，即，
令，可得，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又因为，，平面PAC，
所以平面，
所以即为平面的法向量，
所以，
又，由图象可得二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为
（2）解：假设线段AD上存在一点Q，满足题意，
设，因为，
所以，解得，
所以，则，
因为平面PAB的法向量，
设得PQ与平面APB所成角为
所以，
解得或（舍）
所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点，
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1） 由题意得平面ABCD，且，以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出二面角的大小。
（2）假设线段AD上存在一点Q，满足题意，设，利用结合向量共线的坐标表示得出与的关系式，进而得出点Q的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用平面PAB的法向量，设得PQ与平面APB所成角为，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式以及已知条件，进而得出满足要求的的值，所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点。
1 / 1山东省济宁市兖州区2022-2023学年高二上学期数学期中试卷
1．（2022高二上·兖州期中）直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】直线的斜率，则倾斜角为.
故答案为：C.
【分析】求出直线斜率，可得倾斜角.
2．（2022高二上·兖州期中）已知，，则（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：，，
.
故答案为：B.
【分析】利用空间向量的夹角余弦公式即可求得答案.
3．（2022高二上·兖州期中）“”是“直线与直线平行”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】因为，所以直线，直线，则与平行，故充分条件成立；
当直线与直线平行时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线，直线平行，故必要条件成立.
综上知，“”是“直线与直线平行”的充要条件.
故答案为：A.
【分析】 先由直线平行求出相应的m的值，然后根据充分条件、必要条件的定义即可判断出答案.
4．（2022高二上·兖州期中）甲 乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲 乙解出的概率都是 ，则这道数学题被解出的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意知，这道数学题解不出的概率为 ，
∴这道数学题被解出的概率 .
故答案为：C
【分析】 先求出这道数学题不被解出的概率，再利用对立事件的概率公式求解.
5．（2022高二上·兖州期中）直线被圆所截得的最短弦长等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆的圆心为，半径，
又直线，直线恒过定点，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，
此时弦心距为．
所截得的最短弦长：．
故答案为：C．
【分析】首先求出直线所过的定点，由圆的几何性质可知当圆心到直线的距离最大时，直线截圆所得的弦长最短，利用勾股定理计算即可.
6．（2022高二上·兖州期中）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为 .
故选：D
【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.
7．（2022高二上·兖州期中）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆的圆心为，由题意可知，直线过圆心，则，
因为，则且，
因此，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：A.
【分析】分析可知直线过圆心，则，有且，，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
8．（2022高二上·兖州期中）若直线：与曲线：有两个交点，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵直线l： 恒过定点
曲线C： 即：
∴曲线C表示：以（1，1）为圆心，1为半径的的那部分圆.
∵直线l与曲线C有两个交点，
∴如图所示，
当过点M的直线与图中这部分圆相切时有1个交点，
此时 解得：
当过点M的直线也过点 时有2个交点，
此时
∴
故答案为：B.
【分析】直线恒过定点，曲线表示右半圆，画出草图可得有两个交点，需求临界相切时的斜率（1个交点）与临界过点A的直线的斜率（2个交点）.
9．（2022高二上·兖州期中）从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（　　）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；概率的应用
【解析】【解答】解：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件 ，“从乙袋中模出一个红球”为事件 ，
则 ， ，且 ， 独立；
在A中，2个球都是红球为 ，其概率为 ，A符合题意；
在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为 ，B不符合题意；
在C中，2个球中至少有1个红球的概率为 ，C符合题意；
2个球中恰有1个红球的概率为 ，D符合题意.
故答案为：ACD．
【分析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件 ，“从乙袋中模出一个红球”为事件 ，则 ， ，且 ， 独立；再根据相互独立事件的概率乘法公式一一判断即可．
10．（2022高二上·兖州期中）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（　　）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D．小明 小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平
对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，
所以游戏不公平
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平
对于D，小明 小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6，6），（6，8），（8，6），（8，8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．
故答案为：ACD．
【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况，由此判断两人获胜是否为等可能事件．
11．（2022高二上·兖州期中）已知圆C：，直线l：.下列说法正确的是（　　）
A．直线l恒过定点
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．直线l被圆C截得弦长存在最大值，此时直线l的方程为
D．直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为
【答案】B,D
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】将直线l的方程整理为，由，解得.则无论m为何值，直线l恒过定点，A不正确；
令，则，解得，故圆C被y轴截得的弦长为，B符合题意；
无论m为何值，直线l不过圆心，即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，C不符合题意；
当截得的弦长最短时，此时直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为，即，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】对A，将直线整理为，联立方程即可求出定点；对B，令即可求出；对C，根据直线不过圆心可判断；对D，根据直线垂直于圆心到定点连线可求.
12．（2022高二上·兖州期中）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（　　）
A．几何体的外接球半径
B．平面
C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为
D．面与底面所成角正弦值的取值范围为
【答案】B,C,D
【知识点】异面直线及其所成的角；球内接多面体；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】对于A，因为几何体关于正方体的中心对称，其外接球与正方体的外接球相同，半径为，A不符合题意；
对于B，在正方体中，且，故为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面，
同理可证平面，又因为，平面，
所以平面平面，因为平面，
所以平面，B符合题意；
对于C，由平面，平面，可得，即，
由于，则异面直线与所成的角为，其正弦值为，
在中，易得，所以，
所以异面直线与所成角的正弦值的取值范围为，C符合题意；
对于D，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则有，，设，
则，所以，
设平面的法向量，则，即，
令，则，故，
由题意知，取平面的一个法向量，
则，
则面与底面所成角正弦值为，
由于，故当时取最小值，
则取到最小值，
当或时取最大值12，则取到最大值，
所以面与底面所成角正弦值的取值范围为，D符合题意，
故答案为：BCD.
【分析】对于A，几何体的外接球与正方体的外接球相同，可求得半径；对于B，利用面面平行的性质定理即可判断；对于C，异面直线与所成的角为，结合线面垂直的性质，列出正弦值的等式，再结合，即可求解；对于D，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，结合三角函数的知识可进行求解.
13．（2022高二上·兖州期中）经过两直线2x+y-1=0与x-y-2=0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是　 　．
【答案】x+y=0
【知识点】直线的截距式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：联立两直线方程可得：，解得，可得两条直线交点P（1，-1）．
直线经过原点时，可得直线方程为y=-x；
直线不经过原点时，设直线方程为，
把交点P（1，-1）代入可得，解得a=2．
所以直线的方程为x-y-2=0．
综上直线方程为：x+y=0或x-y-2=0．
故答案为：x+y=0或x-y-2=0．
【分析】先求解两直线的交点坐标，再运用截距式求解直线的方程可得出结果.
14．（2022高二上·兖州期中）已知空间中有三点，，，则到直线的距离为　 　.
【答案】2
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由题知，，
所以
所以，
所以到直线的距离为，
故答案为：2
【分析】根据空间中点到直线距离的求法计算即可.
15．（2022高二上·兖州期中）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程　 　．
【答案】x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解： 记圆 的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，
圆 的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，
则|OA|=5=r1+r2，
则两圆外切，作出图象，如图所示，
易得直线l1：x=-1为两圆的切线，
易得直线OA为：，
可得直线l1与直线OA为，
易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，
则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，
另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：3x+4y-5=0.
故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.
16．（2022高二上·兖州期中）若圆上到直线的距离等于的点恰有3个，则实数a的值为　 　.
【答案】或
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】圆，即，
所以圆C的圆心坐标为，半径，
因为圆上到直线距离等于的点恰有3个，
设圆心到直线的距离为，则，
即，解得或，
故答案为：或.
【分析】设圆心到直线的距离为，则，利用点到直线距离公式列出等式即可求解.
17．（2022高二上·兖州期中）已知的三个顶点分别为，，，
（1）BC边上中线所在直线的方程（D为BC中点）；
（2）BC边的垂直平分线的方程；
【答案】（1）解：线段BC的中点，所以直线AD的斜率为，
所以中线的方程为：，即
（2）解：直线BC的斜率，所以BC中垂线的斜率为，又因为BC的中点，
所以中垂线的方程为：，即
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】（1）求解中点，计算直线AD的斜率，从而得 BC 中线的方程；
（2）计算直线BC的斜率，从而可得中垂线的斜率，写出中垂线方程.
18．（2022高二上·兖州期中）袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球 黄球 绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率是 ，试求：
（1）从中任取一球，得到黑球 黄球 绿球的概率各是多少？
（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
【答案】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球 黄球 绿球为事件 ， ， ，
由于 ， ， 为互斥事件，
根据已知，得 ，
解得 ，
所以，任取一球，得到黑球 黄球 绿球的概率分别是 ， ， .
（2）解：由（1）知黑球 黄球 绿球个数分别为3，2，4，
从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，
其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，
于是，两个球同色的概率为 ，
则两个球颜色不相同的概率是 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】 （1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率；
（2）黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4，得到的两个球同色的可能有：两个黑球共3种情况，两个黄球只有1种情况，两个绿球共有6种情况，而从9个球中取出2个球的情况共有36种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率。
19．（2022高二上·兖州期中）已知直线方程为．
（1）若直线的倾斜角为，求的值；
（2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
【答案】（1）解：由题意可得.
（2）解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的斜率；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值；
（2）求出点、，根据已知条件求出，，利用基本不等式可求得面积的最小值， 当且仅当时，等号成立，即可得出直线的方程.
20．（2022高二上·兖州期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别为棱，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为平面，，，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
则平面的一个法向量为，
所以，则，又平面
平面；
（2）解：由（1）得，所以，
设直线与平面所成角为．
．
直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用 平面，，，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出，从而证出直线平面。
（2） 由（1）得，再利用向量的坐标表示得出，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值。
21．（2022高二上·兖州期中）已知圆．
（1）直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；
（2）设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．
【答案】（1）解：由题意得C（2，0），圆C的半径为3．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，
由直线与圆C相切，得，解得，所以直线的方程为4x－3y＋7＝0．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆C相切．
综上，直线的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．
（2）解：由题意得圆心C到直线的距离，
设圆C的半径为r，所以r＝3，所以，
点P到直线距离的最大值为，
则的面积的最大值．
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据直线的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出；
（2）根据弦长公式求出，再根据几何性质可知， 点P到直线距离的最大值为， 即可解出的面积的最大值 ．
22．（2022高二上·兖州期中）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O，，．
（1）求二面角的大小；
（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由题意得平面ABCD，且，
以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示
所以，
所以，
设平面PAB的法向量，
则，即，
令，可得，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又因为，，平面PAC，
所以平面，
所以即为平面的法向量，
所以，
又，由图象可得二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为
（2）解：假设线段AD上存在一点Q，满足题意，
设，因为，
所以，解得，
所以，则，
因为平面PAB的法向量，
设得PQ与平面APB所成角为
所以，
解得或（舍）
所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点，
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1） 由题意得平面ABCD，且，以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出二面角的大小。
（2）假设线段AD上存在一点Q，满足题意，设，利用结合向量共线的坐标表示得出与的关系式，进而得出点Q的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用平面PAB的法向量，设得PQ与平面APB所成角为，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式以及已知条件，进而得出满足要求的的值，所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为，此时，即Q为AD上靠近A的四等分点。
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