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陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·金台期中）下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于，因为，则，则成立，A正确，不符合题意；
对于，因为，所以，则，B正确，不符合题意；
对于，因为，但不成立，C错误，符合题意；
对于，因为，所以，则，也即，D正确，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，进而找出假命题的选项。
2．（2022高二上·金台期中）设，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．与的取值有关
【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合平方数的性质，进而比较出m，n的大小。
3．（2022高二上·金台期中）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为（ ）
A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定
【答案】B
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为，如图所示：
所以，即，所以三角形解的情况为二个解.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合正弦定理，进而得出三角形的解的情况。
4．（2022高二上·金台期中）不等式解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
【答案】D
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】根据高次不等式的解法，使用穿根法如图得不等式的解集为或或
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合高次不等式的穿针引线法，进而得出不等式的解集。
5．（2022高二上·金台期中）已知等比数列的前3项和为，则（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列的公比为，
，，
解得，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而得出等比数列的首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而得出等比数列第四项的值。
6．（2020高一下·南昌期中）等比数列 中，首项为 ，公比为q，则下列条件中，是 一定为递减数列的条件是（ ）
A．
B． ，
C． ， 或 ，
D．
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】 等比数列 是递减数列， ，
即 ,
或 .
故答案为：C.
【分析】由数列 是递减数列，可得 ；再根据等比数列的通项公式，可得答案.
7．（2022高二上·金台期中）若数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】由题意， ，
在数列中，，
∴。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合累乘法，进而得出数列的通项公式，再结合代入法得出数列第十项的值。
8．（2022高二上·金台期中）下列函数中，最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A，函数的定义域为R，当时，，A不正确；
对于B，，，则，当且仅当，即时取“=”，B符合题意；
对于C，因当时，，有，C不正确；
对于D，因当时，，令，而函数在上单调递减，因此，D不正确.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而找出最小值是4的函数。
9．（2022高二上·金台期中）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．83 B．108 C．75 D．63
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】由题知，等比数列的前项和为，
所以也是等比数列，即也是等比数列，
根据等比中项性质解得。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合等比数列的前n项和公式和等比数列的性质，进而得出等比数列前12项的和。
10．（2022高二上·金台期中）在中，角对应的边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数量积的坐标表达式；余弦定理
【解析】【解答】依题意，，
即，
，
所以，则为锐角，所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示和余弦定理，进而结合角A为锐角，进而得出角A的值。
11．（2022高二上·金台期中）计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】进位制
【解析】【解答】。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合二进制与十进制的转化方法，进而得出二进制数转换成十进制的数。
12．（2022高二上·金台期中）已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】，，即，
解得：；
对于A，，又，，A错误，符合题意；
对于B，，B正确，不符合题意；
对于C，，又，，，C正确，不符合题意；
对于D，，，又，
，，，D正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式和等差数列的通项公式，再结合绝对值的定义，从而找出说法正确的选项。
二、填空题
13．（2022高二上·金台期中）若函数定义域为，函数定义域为，则 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题知，
因为，
所以，解得或，即，
因为，
所以，等价于，解得，即，
所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法，进而得出集合A，再利用对数型函数的定义域求解方法，进而得出集合B，再结合交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
14．（2022高二上·金台期中）设，满足约束条件，则目标函数的最大值为 .
【答案】5
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】约束条件表示的平面区域为如图所示．
作直线，平移直线到过点B时，目标函数取最大值5。
故答案为：5。
【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域求出最优解，再结合最优解求出线性目标函数的最大值。
15．（2022高二上·金台期中）在中，角，，所对的边分别是，若，，则面积的最大值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为，
所以，，
由正弦定理可得，
因为，所以，
由余弦定理可得，即，
所以，所以
因为
所以
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以。
故答案为：。
【分析】利用结合二倍角的正弦公式和正弦定理，进而得出，再利用，从而解方程得出实数a的值，由余弦定理可得，再利用同角三角函数基本关系式得出，再结合三角形的面积公式得出，再利用均值不等式求最值的方法得出三角形 面积的最大值。
16．（2022高二上·金台期中）若都是正数，且，则的最小值为 ，的最小值为 ．
【答案】18；64
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
由，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：18；64。
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出a+b的最小值和ab的最小值。
三、解答题
17．（2022高三上·益阳月考）已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．
（1）求数列，的通项公式
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）解：因为数列满足，，，
所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，，
即数列的通项公式为，
设等差数列的公差为，由，，
得，解得，所以，，
即数列的通项公式为
（2）解：有（1）可知，
所以，数列的前项和
，即．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 数列满足，，，再利用等比数列的定义判断出数列是以为首项，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式，设等差数列的公差为，由，结合等差数列的通项公式，进而得出公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）利用（1）中数列，的通项公式结合 ，进而得出数列的通项公式，再利用分组求和的方法得出数列的前项和。
18．（2022高二上·金台期中）圆内接四边形的边长分别为．求四边形的面积及圆的半径．
【答案】解：
连接，在与中，由余弦定理得：
，
，
∴，
∵圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，由正弦定理得：，
，
所以圆的半径为.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】连接，在与中，由余弦定理得：，再利用四边形圆内接四边形，所以，所以，进而得出的值，从而得出的值，再利用三角形的面积公式结合四边形的面积与三角形面积的关系式，进而得出的值，所以是等边三角形，进而得出AC的长，在中，由正弦定理得出圆的半径。
19．（2022高二上·金台期中）解关于的不等式：．
【答案】解：当时，不等式为，解得：，则不等式解集为；
当时，；
①当时，且；
令，解得：，；
若，则，的解为，
即不等式的解集为；
若，则，的解为或，
即不等式的解集为；
②当，即时，不等式为，解得：，
即不等式的解集为；
③当，即时，恒成立，即不等式的解集为；
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合根与系数的关系和一元二次不等式求解方法，进而得出关于的不等式：的解集。
20．（2022高二上·金台期中）已知为数列的前项和，．
（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）解：，
，
当时，
，
，
，
所以数列为等差数列，通项公式.
（2）解：由（1）可知等差数列的前项和 ，
，
.
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合 的关系式和分类讨论的方法，再结合等差数列的定义，从而证出数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式 。
（2） 利用数列的通项公式和等差数列的前n项和公式结合，进而得出的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和。
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陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·金台期中）下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2022高二上·金台期中）设，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．与的取值有关
3．（2022高二上·金台期中）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为（ ）
A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定
4．（2022高二上·金台期中）不等式解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
5．（2022高二上·金台期中）已知等比数列的前3项和为，则（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
6．（2020高一下·南昌期中）等比数列 中，首项为 ，公比为q，则下列条件中，是 一定为递减数列的条件是（ ）
A．
B． ，
C． ， 或 ，
D．
7．（2022高二上·金台期中）若数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·金台期中）下列函数中，最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022高二上·金台期中）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．83 B．108 C．75 D．63
10．（2022高二上·金台期中）在中，角对应的边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高二上·金台期中）计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高二上·金台期中）已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
二、填空题
13．（2022高二上·金台期中）若函数定义域为，函数定义域为，则 ．
14．（2022高二上·金台期中）设，满足约束条件，则目标函数的最大值为 .
15．（2022高二上·金台期中）在中，角，，所对的边分别是，若，，则面积的最大值为 .
16．（2022高二上·金台期中）若都是正数，且，则的最小值为 ，的最小值为 ．
三、解答题
17．（2022高三上·益阳月考）已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．
（1）求数列，的通项公式
（2）设，求数列的前项和．
18．（2022高二上·金台期中）圆内接四边形的边长分别为．求四边形的面积及圆的半径．
19．（2022高二上·金台期中）解关于的不等式：．
20．（2022高二上·金台期中）已知为数列的前项和，．
（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】对于，因为，则，则成立，A正确，不符合题意；
对于，因为，所以，则，B正确，不符合题意；
对于，因为，但不成立，C错误，符合题意；
对于，因为，所以，则，也即，D正确，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质，进而找出假命题的选项。
2．【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合平方数的性质，进而比较出m，n的大小。
3．【答案】B
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】因为，如图所示：
所以，即，所以三角形解的情况为二个解.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合正弦定理，进而得出三角形的解的情况。
4．【答案】D
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】根据高次不等式的解法，使用穿根法如图得不等式的解集为或或
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合高次不等式的穿针引线法，进而得出不等式的解集。
5．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列的公比为，
，，
解得，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而得出等比数列的首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而得出等比数列第四项的值。
6．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】 等比数列 是递减数列， ，
即 ,
或 .
故答案为：C.
【分析】由数列 是递减数列，可得 ；再根据等比数列的通项公式，可得答案.
7．【答案】A
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】由题意， ，
在数列中，，
∴。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合累乘法，进而得出数列的通项公式，再结合代入法得出数列第十项的值。
8．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A，函数的定义域为R，当时，，A不正确；
对于B，，，则，当且仅当，即时取“=”，B符合题意；
对于C，因当时，，有，C不正确；
对于D，因当时，，令，而函数在上单调递减，因此，D不正确.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而找出最小值是4的函数。
9．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】由题知，等比数列的前项和为，
所以也是等比数列，即也是等比数列，
根据等比中项性质解得。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合等比数列的前n项和公式和等比数列的性质，进而得出等比数列前12项的和。
10．【答案】C
【知识点】数量积的坐标表达式；余弦定理
【解析】【解答】依题意，，
即，
，
所以，则为锐角，所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示和余弦定理，进而结合角A为锐角，进而得出角A的值。
11．【答案】B
【知识点】进位制
【解析】【解答】。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合二进制与十进制的转化方法，进而得出二进制数转换成十进制的数。
12．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】，，即，
解得：；
对于A，，又，，A错误，符合题意；
对于B，，B正确，不符合题意；
对于C，，又，，，C正确，不符合题意；
对于D，，，又，
，，，D正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式和等差数列的通项公式，再结合绝对值的定义，从而找出说法正确的选项。
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题知，
因为，
所以，解得或，即，
因为，
所以，等价于，解得，即，
所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法，进而得出集合A，再利用对数型函数的定义域求解方法，进而得出集合B，再结合交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
14．【答案】5
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】约束条件表示的平面区域为如图所示．
作直线，平移直线到过点B时，目标函数取最大值5。
故答案为：5。
【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域求出最优解，再结合最优解求出线性目标函数的最大值。
15．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为，
所以，，
由正弦定理可得，
因为，所以，
由余弦定理可得，即，
所以，所以
因为
所以
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以。
故答案为：。
【分析】利用结合二倍角的正弦公式和正弦定理，进而得出，再利用，从而解方程得出实数a的值，由余弦定理可得，再利用同角三角函数基本关系式得出，再结合三角形的面积公式得出，再利用均值不等式求最值的方法得出三角形 面积的最大值。
16．【答案】18；64
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
由，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：18；64。
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出a+b的最小值和ab的最小值。
17．【答案】（1）解：因为数列满足，，，
所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，，
即数列的通项公式为，
设等差数列的公差为，由，，
得，解得，所以，，
即数列的通项公式为
（2）解：有（1）可知，
所以，数列的前项和
，即．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 数列满足，，，再利用等比数列的定义判断出数列是以为首项，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式，设等差数列的公差为，由，结合等差数列的通项公式，进而得出公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）利用（1）中数列，的通项公式结合 ，进而得出数列的通项公式，再利用分组求和的方法得出数列的前项和。
18．【答案】解：
连接，在与中，由余弦定理得：
，
，
∴，
∵圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，由正弦定理得：，
，
所以圆的半径为.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】连接，在与中，由余弦定理得：，再利用四边形圆内接四边形，所以，所以，进而得出的值，从而得出的值，再利用三角形的面积公式结合四边形的面积与三角形面积的关系式，进而得出的值，所以是等边三角形，进而得出AC的长，在中，由正弦定理得出圆的半径。
19．【答案】解：当时，不等式为，解得：，则不等式解集为；
当时，；
①当时，且；
令，解得：，；
若，则，的解为，
即不等式的解集为；
若，则，的解为或，
即不等式的解集为；
②当，即时，不等式为，解得：，
即不等式的解集为；
③当，即时，恒成立，即不等式的解集为；
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合根与系数的关系和一元二次不等式求解方法，进而得出关于的不等式：的解集。
20．【答案】（1）解：，
，
当时，
，
，
，
所以数列为等差数列，通项公式.
（2）解：由（1）可知等差数列的前项和 ，
，
.
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合 的关系式和分类讨论的方法，再结合等差数列的定义，从而证出数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式 。
（2） 利用数列的通项公式和等差数列的前n项和公式结合，进而得出的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和。
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