河南省部分学校2022-2023学年高二上学期数学期中考试（A卷）试卷
一、单选题
1．（2022高二上·河南期中）椭圆的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆方程可知，，，所以，且焦点在轴，
所以椭圆的焦点坐标是。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合椭圆的标准方程，进而得出a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出c的值，从而结合椭圆的焦点的位置，进而得出椭圆的焦点坐标。
2．（2022高二上·安阳期中）已知向量，，且，则向量与夹角的余弦值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由空间向量数量积的坐标运算可得 ，解得 ，所以， ，
所以， 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示得出x的值，进而得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出向量与夹角的余弦值。
3．（2022高二上·河南期中）已知直线，当实数变化时，恒过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】直线的方程可化为，由，解得，
因此，直线恒过定点。
故答案为：B.
【分析】将直线的方程可化为，由，得出直线恒过的定点坐标。
4．（2022高二上·河南期中）已知向量，．若与向量平行，则实数（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为向量，
所以
又与向量平行
所以
所以 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出实数m的值。
5．（2022高二上·河南期中）直线被椭圆截得的线段长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】联立，解得或，
所以，直线交椭圆于点、，
所以，。
故答案为：B.
【分析】 利用已知条件结合直线与椭圆相交，联立二者方程求出交点坐标，再结合两点距离公式得出直线被椭圆截得的线段长 。
6．（2022高二上·河南期中）已知直线与互相垂直，且交点为，则（ ）
A．24 B．20 C．18 D．10
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】因为两直线互相垂直，所以，得，直线为，代入交点，得，，再将交点代入直线，即，得，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，再结合两直线相交，联立二者方程求出交点坐标，进而得出m，n，p的值，从而得出m+n+p的值。
7．（2022高二上·安阳期中）如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】在直三棱柱 中， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
， ，则 ，
因此，异面直线 与 所成角的余弦值为 。
故答案为：B.
【分析】在直三棱柱 中， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出异面直线 与 所成角的余弦值。
8．（2022高二上·安阳期中）若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由 可得 ，且 ，故曲线 为圆 的右半圆，
作出直线 与曲线 的图象如下图所示：
当直线 即 与曲线 相切且切点在第四象限时， ，且有 ，解得 ，
当直线 过点 时，直线 与曲线 有两个公共点，此时 ；
当直线 过点 时，直线 与曲线 只有一个公共点，此时 ，
结合图形可知，若 时，直线 与曲线 只有一个公共点。
故答案为：A.
【分析】由 可得 ，且 ，故曲线 为圆 的右半圆，
作出直线 与曲线 的图象，再利用分类讨论的方法结合直线与曲线C相交得出交点个数的判断方法，再结合点到直线的距离公式得出实数b的取值范围。
9．（2022高二上·河南期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这样得到的圆称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点P满足，则动点P形成的阿波罗尼斯圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】设，依题意，则，，
所以，
，。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合阿波罗尼斯圆，再结合两点距离公式得出动点P形成的阿波罗尼斯圆的方程。
10．（2022高二上·河南期中）已知正四棱柱的底面边长为2，且该四棱柱的外接球表面积为，M为BC的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设正四棱柱的高为h，由其外接球的表面积为，可知，外接球半径为，所以，得．
以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，所以．
设平面的法向量为，则，可取，
则点到平面的距离为。
故答案为：D
【分析】设正四棱柱的高为h，由其外接球的表面积为，再利用球的表面积公式得出外接球半径，再利用勾股定理得出h的值，以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的法向量，再结合数量积求出点到平面的距离。
11．（2022高二上·安阳期中）已知圆与圆交于、两点，且四边形的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】如下图所示：
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
由题意可知， ， ， ， ，
所以， ，所以， ，
设 ，则 为 的中点，
故四边形 的面积为 ，则 ，
故 ，所以， ，
，又因为 ，
所以， ，解得 ，因此， 。
故答案为：C.
【分析】利用圆 的标准方程得出圆心坐标和半径的长，由题意可知， ， ， ，再利用两三角形相似的判断方法得出 ，再利用两三角形相似的性质得出 ，所以， ，设 ，则 为 的中点，再利用四边形的面积公式和三角形的面积公式，再结合三角形的面积与平行四边形的面积的关系式，进而得出四边形 的面积为 ，从而得出 ，再利用中点的性质得出 ，再结合勾股定理得出 ，再利用勾股定理得出 ，再利用作差法得出 ，所以， ，进而得出r的值，从而结合中点的性质得出 的值 。
12．（2022高二上·河南期中）已知点为椭圆的左焦点，过原点的直线交椭圆于、两点，若，，则的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的右焦点为，连接、，如下图所示：
因为过原点的直线交椭圆于、两点，则、关于原点对称，即为的中点，
又因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，则，
所以，，
因为，且，所以，，，
由余弦定理可得，则，
因此，椭圆的离心率为。
故答案为：A.
【分析】设椭圆的右焦点为，连接、，利用过原点的直线交椭圆于、两点，则、关于原点对称，即为的中点，再利用为的中点，所以，四边形为平行四边形，则，进而得出的值，再利用和椭圆的定义得出，，由余弦定理可得a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率。
二、填空题
13．（2022高二上·安阳期中）若直线与平行，则直线与之间的距离为 ．
【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】因为 ，则 ，解得 ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，
直线 的方程为 ，即 ，
所以，直线 与 之间的距离为 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等，进而得出a的值，从而得出直线 的方程，再利用两平行直线求距离公式得出直线与之间的距离。
14．（2022高二上·河南期中）如图，圆与圆内切于点，与轴、轴分别相切于点、，则圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】连接、、，则点在线段上，，，设圆的半径为，
由切线长定理可得，因为，，，
所以，四边形为正方形，则其边长为，所以，，
故，解得。
故答案为：。
【分析】连接、、，则点在线段上，，，设圆的半径为，由切线长定理可得，再利用，，，所以，四边形为正方形，则其边长为，所以，，再利用几何法得出，进而得出圆C的半径长。
15．（2022高二上·河南期中）已知点在动直线上的射影为点M，若点，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】设动直线为，
动直线过点，
点在动直线上的射影为点M，
所以，所以点的轨迹是以为直径的圆，
圆心为，半径为，
，
所以的最大值为。
故答案为：。
【分析】设动直线为，动直线过点，点在动直线上的射影为点M，所以，进而得出点的轨迹是以为直径的圆，进而得出圆心坐标，再结合直径与半径的关系式得出原点半径长，再利用勾股定理得出CN的长，再结合几何法得出的最大值。
16．（2022高二上·安阳期中）已知椭圆的两个焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，若，且的面积为，则的方程为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设 ， ，由椭圆的定义可得 ，
由余弦定理可得
，
所以， ，则 ，
所以， ，又因为 ，可得 .
因此，椭圆 的方程为 。
故答案为： 。
【分析】设 ， ，由椭圆的定义可得 ，由余弦定理可得 ，进而结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出 ，再利用三角形的面积公式和已知条件得出的值 ，再利用椭圆的离心率公式变形得出 的值，从而得出椭圆 的标准方程 。
三、解答题
17．（2022高二上·安阳期中）已知点，直线，直线过点且与平行，直线交圆于两点、．
（1）求直线的方程；
（2）求线段的长．
【答案】（1）解：设直线 的方程为 ，
将点 的坐标代入直线 的方程可得 ，解得 ，
所以，直线 的方程为 .
（2）解：圆 的圆心为 ，半径长为 ，圆心 到直线 的距离为 ，
因此， .
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合两直线平行斜率相等，设直线 的方程为 ，将点 的坐标代入直线 的方程可得c的值，进而得出直线 的方程。
（2） 利用圆 的标准方程得出圆心坐标和半径的长，再利用点到直线的距离公式得出圆心 到直线 的距离 ，再结合弦长公式得出AB的长。
18．（2022高二上·河南期中）如图所示，平行六面体的底面是菱形，，，，，，设，，．
（1）试用，，表示，；
（2）求MN的长度．
【答案】（1）证明：
如图，连接AM，AN， ，
，
， ， ；
（2）解：由条件得： ，
，
，
；
综上，，， .
【知识点】向量的模；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平行六面体的结构特征和菱形的结构特征，再结合三角形法则和向量共线定理，进而结合平面向量基本定理，进而用，，表示，。
（2）利用已知条件结合数量积的定义和三角形法则，再结合平面向量基本定理和向量求模公式，进而得出MN的长度。
19．（2022高二上·河南期中）已知椭圆的长轴长为10，焦距为6．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．
【答案】（1）解：设C的焦距为，长轴长为，
则，
所以，所以，
所以C的方程为．
（2）解：设，
代入椭圆方程得
两式相减可得，
即．
由点为线段的中点，
得，
则l的斜率，
所以l的方程为，
即．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合焦距的定义和长轴长的定义，进而得出a，c的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的值，进而得出椭圆的标准方程。
（2）利用已知条件结合直线与椭圆相交，联立二者方程结合作差法和中点坐标公式以及两点求斜率公式，进而得出直线l的斜率和线段AB的中点坐标，再利用点斜式求出直线l的方程，再转化为直线l的一般式方程。
20．（2022高二上·河南期中）已知圆过点、、．
（1）求圆的方程；
（2）过直线上一点可作圆的两条切线、，切点分别为、，且，求点的坐标．
【答案】（1）解：设圆的一般方程为，
由题意可得，解得，
因此，圆的方程为.
（2）解：连接、，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由切线长定理可得，又因为，，
，所以，，
因为，，
设点，则，解得或.
故点的坐标为或.
【知识点】圆的一般方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和解方程组的方法，进而得出圆的一般方程。
（2） 连接、，利用圆的标准方程为得出圆心坐标和半径长，由切线长定理可得，再利用，结合两三角形全等的判断方法，得出，再结合两三角形全等的性质和角平分线性质，进而得出的值，再利用结合中点的性质，进而得出AC的长，设点，再结合两点距离公式和已知条件得出t的值，从而得出点A的坐标。
21．（2022高二上·安阳期中）如图，四棱锥的底面是矩形，平面底面，平面底面，，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为四边形 为矩形，则 ，
因为平面 底面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，同理可证 ，
因为 ， 、 平面 ， 平面 ，
又因为 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
， ， ，故 .
（2）解：设平面 的法向量为 ， ，
则 ，取 ，可得 ，
由题意可知，平面 的一个法向量为 ，
所以， ，故 .
因此，平面 与平面 夹角的正弦值为 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 利用四边形 为矩形，则 ，再利用平面 底面 结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，同理可证 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以直线 平面 ，再利用 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示证出 成立。
（2） 利用已知条件结合平面的法向量的求解方法得出平面 的法向量和平面 的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式得出平面 与平面 夹角的正弦值。
22．（2022高二上·安阳期中）已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为．
（1）求的方程．
（2）若点为椭圆的上顶点，是否存在斜率为的直线，使与椭圆交于不同的两点、，且？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可知，点 到直线 的距离为 ，解得 ，
又因为 ，则 ，所以， ，
因此，椭圆 的方程为 .
（2）解：易知点 ，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
若 ，则 轴，此时 、 关于 轴对称，则 ；
若 ，则 ， ，
所以，线段 的中点为 ，
则 ，所以， ，
所以， ，解得 且 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意可知结合点到直线的距离公式得出点 到直线 的距离为 ，进而得出c的值，再结合椭圆的离心率公式得出a的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出b的值，进而得出椭圆 的标准方程。
（2）利用已知条件， 易知点A的坐标，设直线 的方程为 ，设点 、 ，再联立直线与椭圆的方程结合判别式法和韦达定理得出 和 ， ，若 ，则 轴，此时 、 关于 轴对称，再利用点与点关于直线对称的判断方法得出 ；若 ，再利用中点坐标公式得出线段 的中点坐标，再结合两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出 ，所以， ，进而解不等式得出实数 的取值范围。
1 / 1河南省部分学校2022-2023学年高二上学期数学期中考试（A卷）试卷
一、单选题
1．（2022高二上·河南期中）椭圆的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·安阳期中）已知向量，，且，则向量与夹角的余弦值为（）
A． B． C． D．
3．（2022高二上·河南期中）已知直线，当实数变化时，恒过点（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·河南期中）已知向量，．若与向量平行，则实数（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2022高二上·河南期中）直线被椭圆截得的线段长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二上·河南期中）已知直线与互相垂直，且交点为，则（ ）
A．24 B．20 C．18 D．10
7．（2022高二上·安阳期中）如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·安阳期中）若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（）
A． B．
C． D．
9．（2022高二上·河南期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来人们将这样得到的圆称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点P满足，则动点P形成的阿波罗尼斯圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高二上·河南期中）已知正四棱柱的底面边长为2，且该四棱柱的外接球表面积为，M为BC的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高二上·安阳期中）已知圆与圆交于、两点，且四边形的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高二上·河南期中）已知点为椭圆的左焦点，过原点的直线交椭圆于、两点，若，，则的离心率（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高二上·安阳期中）若直线与平行，则直线与之间的距离为 ．
14．（2022高二上·河南期中）如图，圆与圆内切于点，与轴、轴分别相切于点、，则圆的半径为 ．
15．（2022高二上·河南期中）已知点在动直线上的射影为点M，若点，则的最大值为 ．
16．（2022高二上·安阳期中）已知椭圆的两个焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，若，且的面积为，则的方程为 ．
三、解答题
17．（2022高二上·安阳期中）已知点，直线，直线过点且与平行，直线交圆于两点、．
（1）求直线的方程；
（2）求线段的长．
18．（2022高二上·河南期中）如图所示，平行六面体的底面是菱形，，，，，，设，，．
（1）试用，，表示，；
（2）求MN的长度．
19．（2022高二上·河南期中）已知椭圆的长轴长为10，焦距为6．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．
20．（2022高二上·河南期中）已知圆过点、、．
（1）求圆的方程；
（2）过直线上一点可作圆的两条切线、，切点分别为、，且，求点的坐标．
21．（2022高二上·安阳期中）如图，四棱锥的底面是矩形，平面底面，平面底面，，，，为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
22．（2022高二上·安阳期中）已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为．
（1）求的方程．
（2）若点为椭圆的上顶点，是否存在斜率为的直线，使与椭圆交于不同的两点、，且？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆方程可知，，，所以，且焦点在轴，
所以椭圆的焦点坐标是。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合椭圆的标准方程，进而得出a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出c的值，从而结合椭圆的焦点的位置，进而得出椭圆的焦点坐标。
2．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由空间向量数量积的坐标运算可得 ，解得 ，所以， ，
所以， 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示得出x的值，进而得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出向量与夹角的余弦值。
3．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】直线的方程可化为，由，解得，
因此，直线恒过定点。
故答案为：B.
【分析】将直线的方程可化为，由，得出直线恒过的定点坐标。
4．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为向量，
所以
又与向量平行
所以
所以 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出实数m的值。
5．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】联立，解得或，
所以，直线交椭圆于点、，
所以，。
故答案为：B.
【分析】 利用已知条件结合直线与椭圆相交，联立二者方程求出交点坐标，再结合两点距离公式得出直线被椭圆截得的线段长 。
6．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】因为两直线互相垂直，所以，得，直线为，代入交点，得，，再将交点代入直线，即，得，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，再结合两直线相交，联立二者方程求出交点坐标，进而得出m，n，p的值，从而得出m+n+p的值。
7．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】在直三棱柱 中， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
， ，则 ，
因此，异面直线 与 所成角的余弦值为 。
故答案为：B.
【分析】在直三棱柱 中， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出异面直线 与 所成角的余弦值。
8．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由 可得 ，且 ，故曲线 为圆 的右半圆，
作出直线 与曲线 的图象如下图所示：
当直线 即 与曲线 相切且切点在第四象限时， ，且有 ，解得 ，
当直线 过点 时，直线 与曲线 有两个公共点，此时 ；
当直线 过点 时，直线 与曲线 只有一个公共点，此时 ，
结合图形可知，若 时，直线 与曲线 只有一个公共点。
故答案为：A.
【分析】由 可得 ，且 ，故曲线 为圆 的右半圆，
作出直线 与曲线 的图象，再利用分类讨论的方法结合直线与曲线C相交得出交点个数的判断方法，再结合点到直线的距离公式得出实数b的取值范围。
9．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】设，依题意，则，，
所以，
，。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合阿波罗尼斯圆，再结合两点距离公式得出动点P形成的阿波罗尼斯圆的方程。
10．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】设正四棱柱的高为h，由其外接球的表面积为，可知，外接球半径为，所以，得．
以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，所以．
设平面的法向量为，则，可取，
则点到平面的距离为。
故答案为：D
【分析】设正四棱柱的高为h，由其外接球的表面积为，再利用球的表面积公式得出外接球半径，再利用勾股定理得出h的值，以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的法向量，再结合数量积求出点到平面的距离。
11．【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】如下图所示：
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
由题意可知， ， ， ， ，
所以， ，所以， ，
设 ，则 为 的中点，
故四边形 的面积为 ，则 ，
故 ，所以， ，
，又因为 ，
所以， ，解得 ，因此， 。
故答案为：C.
【分析】利用圆 的标准方程得出圆心坐标和半径的长，由题意可知， ， ， ，再利用两三角形相似的判断方法得出 ，再利用两三角形相似的性质得出 ，所以， ，设 ，则 为 的中点，再利用四边形的面积公式和三角形的面积公式，再结合三角形的面积与平行四边形的面积的关系式，进而得出四边形 的面积为 ，从而得出 ，再利用中点的性质得出 ，再结合勾股定理得出 ，再利用勾股定理得出 ，再利用作差法得出 ，所以， ，进而得出r的值，从而结合中点的性质得出 的值 。
12．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的右焦点为，连接、，如下图所示：
因为过原点的直线交椭圆于、两点，则、关于原点对称，即为的中点，
又因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，则，
所以，，
因为，且，所以，，，
由余弦定理可得，则，
因此，椭圆的离心率为。
故答案为：A.
【分析】设椭圆的右焦点为，连接、，利用过原点的直线交椭圆于、两点，则、关于原点对称，即为的中点，再利用为的中点，所以，四边形为平行四边形，则，进而得出的值，再利用和椭圆的定义得出，，由余弦定理可得a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率。
13．【答案】
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】因为 ，则 ，解得 ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，
直线 的方程为 ，即 ，
所以，直线 与 之间的距离为 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合两直线平行斜率相等，进而得出a的值，从而得出直线 的方程，再利用两平行直线求距离公式得出直线与之间的距离。
14．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】连接、、，则点在线段上，，，设圆的半径为，
由切线长定理可得，因为，，，
所以，四边形为正方形，则其边长为，所以，，
故，解得。
故答案为：。
【分析】连接、、，则点在线段上，，，设圆的半径为，由切线长定理可得，再利用，，，所以，四边形为正方形，则其边长为，所以，，再利用几何法得出，进而得出圆C的半径长。
15．【答案】
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】设动直线为，
动直线过点，
点在动直线上的射影为点M，
所以，所以点的轨迹是以为直径的圆，
圆心为，半径为，
，
所以的最大值为。
故答案为：。
【分析】设动直线为，动直线过点，点在动直线上的射影为点M，所以，进而得出点的轨迹是以为直径的圆，进而得出圆心坐标，再结合直径与半径的关系式得出原点半径长，再利用勾股定理得出CN的长，再结合几何法得出的最大值。
16．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设 ， ，由椭圆的定义可得 ，
由余弦定理可得
，
所以， ，则 ，
所以， ，又因为 ，可得 .
因此，椭圆 的方程为 。
故答案为： 。
【分析】设 ， ，由椭圆的定义可得 ，由余弦定理可得 ，进而结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出 ，再利用三角形的面积公式和已知条件得出的值 ，再利用椭圆的离心率公式变形得出 的值，从而得出椭圆 的标准方程 。
17．【答案】（1）解：设直线 的方程为 ，
将点 的坐标代入直线 的方程可得 ，解得 ，
所以，直线 的方程为 .
（2）解：圆 的圆心为 ，半径长为 ，圆心 到直线 的距离为 ，
因此， .
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合两直线平行斜率相等，设直线 的方程为 ，将点 的坐标代入直线 的方程可得c的值，进而得出直线 的方程。
（2） 利用圆 的标准方程得出圆心坐标和半径的长，再利用点到直线的距离公式得出圆心 到直线 的距离 ，再结合弦长公式得出AB的长。
18．【答案】（1）证明：
如图，连接AM，AN， ，
，
， ， ；
（2）解：由条件得： ，
，
，
；
综上，，， .
【知识点】向量的模；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平行六面体的结构特征和菱形的结构特征，再结合三角形法则和向量共线定理，进而结合平面向量基本定理，进而用，，表示，。
（2）利用已知条件结合数量积的定义和三角形法则，再结合平面向量基本定理和向量求模公式，进而得出MN的长度。
19．【答案】（1）解：设C的焦距为，长轴长为，
则，
所以，所以，
所以C的方程为．
（2）解：设，
代入椭圆方程得
两式相减可得，
即．
由点为线段的中点，
得，
则l的斜率，
所以l的方程为，
即．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合焦距的定义和长轴长的定义，进而得出a，c的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的值，进而得出椭圆的标准方程。
（2）利用已知条件结合直线与椭圆相交，联立二者方程结合作差法和中点坐标公式以及两点求斜率公式，进而得出直线l的斜率和线段AB的中点坐标，再利用点斜式求出直线l的方程，再转化为直线l的一般式方程。
20．【答案】（1）解：设圆的一般方程为，
由题意可得，解得，
因此，圆的方程为.
（2）解：连接、，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由切线长定理可得，又因为，，
，所以，，
因为，，
设点，则，解得或.
故点的坐标为或.
【知识点】圆的一般方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合代入法和解方程组的方法，进而得出圆的一般方程。
（2） 连接、，利用圆的标准方程为得出圆心坐标和半径长，由切线长定理可得，再利用，结合两三角形全等的判断方法，得出，再结合两三角形全等的性质和角平分线性质，进而得出的值，再利用结合中点的性质，进而得出AC的长，设点，再结合两点距离公式和已知条件得出t的值，从而得出点A的坐标。
21．【答案】（1）证明：因为四边形 为矩形，则 ，
因为平面 底面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，同理可证 ，
因为 ， 、 平面 ， 平面 ，
又因为 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
， ， ，故 .
（2）解：设平面 的法向量为 ， ，
则 ，取 ，可得 ，
由题意可知，平面 的一个法向量为 ，
所以， ，故 .
因此，平面 与平面 夹角的正弦值为 .
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 利用四边形 为矩形，则 ，再利用平面 底面 结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，同理可证 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以直线 平面 ，再利用 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示证出 成立。
（2） 利用已知条件结合平面的法向量的求解方法得出平面 的法向量和平面 的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式得出平面 与平面 夹角的正弦值。
22．【答案】（1）解：由题意可知，点 到直线 的距离为 ，解得 ，
又因为 ，则 ，所以， ，
因此，椭圆 的方程为 .
（2）解：易知点 ，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
若 ，则 轴，此时 、 关于 轴对称，则 ；
若 ，则 ， ，
所以，线段 的中点为 ，
则 ，所以， ，
所以， ，解得 且 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意可知结合点到直线的距离公式得出点 到直线 的距离为 ，进而得出c的值，再结合椭圆的离心率公式得出a的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出b的值，进而得出椭圆 的标准方程。
（2）利用已知条件， 易知点A的坐标，设直线 的方程为 ，设点 、 ，再联立直线与椭圆的方程结合判别式法和韦达定理得出 和 ， ，若 ，则 轴，此时 、 关于 轴对称，再利用点与点关于直线对称的判断方法得出 ；若 ，再利用中点坐标公式得出线段 的中点坐标，再结合两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出 ，所以， ，进而解不等式得出实数 的取值范围。
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