人教版物理选修二典型题：带电粒子在有界匀强磁场中的运动（特殊边界）

人教版物理选修二典型题：带电粒子在有界匀强磁场中的运动（特殊边界）
1．如图所示，第一象限范围内有垂直于xOy平面，磁感应强度为B的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带负电粒子（不计重力）在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度与x轴正方向的夹角，试分析计算：
（1）带电粒子在磁场中运动的轨道半径是多少？离开磁场时距离O点多远？
（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？
情景特点：第一象限范围内 匀强磁场 不计重力
问题特点：轨道半径 运动时间
【详解】（1）根据
粒子在磁场中运动的半径为
粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角
根据几何关系知，A点与O点相距为
（2）带电粒子沿半径为R的圆周运动一周所用的时间为
它从O到A所用的时间为
带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
1．由qvB＝m，可得r＝.
2．由r＝和T＝，可得T＝.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动速度无关．
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解．
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中的运动时间越长．
(3)当比荷相同，速率v变化时，圆心角越大的，运动时间越长．
变式一、象限边界
2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为、电量为的带电粒子。从静止开始经的电压加速后，从P 点沿图示方向进入磁场，已知OP＝15 cm，（粒子重力不计，sin 37°＝0. 6，cos 37°＝0. 8），求：
（1）带电粒子到达P 点时速度v 的大小；
（2）若磁感应强度B=2. 0 T，粒子从x 轴上的Q 点离开磁场，求OQ 的距离；
（3）若粒子不能进入x 轴上方，求磁感应强度B′满足的条件。
【详解】（1）根据动能定理可知
代入数据可得
（2）根据
可得粒子在磁场中的轨道半径
根据几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的圆心恰好在x轴上，因此
（3）若粒子不能进入x 轴上方，临界状态时，运动轨迹恰好与x轴相切，如图所示，
根据几何关系可知
由于
解得
因此若粒子不能进入x 轴上方，磁感应强度
变式二、三角形边界
3．如图所示，在纸面内两直角边长均为L的三角形MNP区域内（不含边界）。有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的带负电粒于从PM边的中点A平行PN边射入MNP区域，不计粒子受到的重力。求：
（1）在粒子从PN边射出磁场的情况下，粒子入射的最小速度；
（2）在粒子从MN边射出磁场的情况下，粒子在磁场中运动的最长时间。
【详解】（1）当粒子恰好从P点射出时，入射速度最小，此时半径
由于
可得最小速度
（2）当圆心角最大时，运动的时间最长，由几何关系可知，当运动轨迹与MN相切时，偏转的圆心角最大为45o，如图所示
因此运动的最长时间
变式三、矩形边界
4．如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，垂直于磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ＝30°、大小为v0的带正电粒子．已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：
（1）粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围；
（2）如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间．
【详解】（1）若粒子速度为v0，则qv0B=， 所以有R=，
设圆心在O1处对应圆弧与ab边相切，相应速度为v01，则R1＋R1sinθ=，
将R1=代入上式可得，v01=
类似地，设圆心在O2处对应圆弧与cd边相切，相应速度为v02，则R2－R2sinθ=，
将R2=代入上式可得，v02=
所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足＜v0≤
（2）由t=及T=可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越长，在磁场中运动的时间也越长．由图可知，在磁场中运动的半径r≤R1时，运动时间最长，弧所对圆心角为（2π－2θ），
所以最长时间为t=
5．如图所示，边长为的正方形内存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为、电荷量为的粒子从边的中点以初速度进入磁场，速度方向与边成角，最后粒子从边的中点射出磁场，速度方向与边成角。不计粒子重力，求：
（1）磁场的磁感应强度的大小；
（2）粒子在磁场中运动的时间。
6．如图所示，在边长为L的正方形的区域abcd内，存在着垂直纸面向里的匀强磁场。今有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以速度v从ad的中点e，垂直于磁场方向射入磁场，不计带电粒子的重力，要使该粒子恰从b点射出磁场。
（1）带电粒子在磁场中运动的半径；
（2）磁感应强度的大小。
7．如图所示，直角三角形abc区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，其中，一质量为m、带电荷量为q的正粒子（不计重力）以不同速度垂直射入ac边界匀强磁场区域内，入射点O到a点的距离为d，ab边长为2d。试求：
(1)要使粒子能从bc边射出磁场，求v的取值范围.
(2)从bc边射出的粒子在磁场中运动时间t的范围.
8．如图，边长为L的正三角形ABC区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，D为AB边的中点，一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子平行BC边射入磁场，粒子的速度大小为，结果刚好垂直BC边射出磁场，不计粒子的重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)若要使粒子在磁场中的运动轨迹刚好与BC相切，粒子的速度大小为多少粒子在磁场中运动的时间为多少
9．如图所示，在边长为L的正方形的区域abcd内，存在着垂直纸面向里的匀强磁场。今有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以速度v从ad的中点e，垂直于磁场方向射入磁场，不计带电粒子的重力，要使该粒子恰从b点射出磁场
（1）带电粒子在磁场中运动的半径；
（2）磁感应强度的大小；
（3）若该粒子在此匀强磁场中做匀速圆周运动的偏转角θ=，求粒子在磁场中运动的时间t。
10．如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一系列带正电的粒子以不同的速率从O点沿垂直于磁场方向且与ON成30°角方向射入磁场。已知带电粒子的电荷量为q，质量为m，重力不计，不考虑带电粒子间的相互作用力。
（1）求带电粒子能从半圆形磁场边界的圆弧部分射出，粒子速率应满足的条件；
（2）若带电粒子恰好从P点射出磁场，求带电粒子的速率及其在磁场中的运动时间；
（3）若带电粒子通过磁场区域后速度方向偏转了30°，求带电粒子在磁场中的运动时间。
11．如图所示，在xOy坐标平面的第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在y轴上OM区间有一个线状粒子收集器紧贴y轴放置，现有质量为、电荷量为q（q>0）的带电粒子从x轴上的P点沿轴正方向以不同速率射入磁场。已知OM=OP=2d，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。求：
（1）一粒子刚好打到O点，则该粒子的入射速度大小；
（2）粒子能打到收集器上的最大速率的大小及此时粒子在磁场运动的时间。
12．如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内，存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的P点，以相同的速率v在纸面内沿不同方向先后射入磁场，已知P点与O点的距离为L，设粒子的入射速度方向与y轴正方向的夹角为，其中，当时，粒子恰好垂直于x轴离开磁场，不计粒子重力。求：
（1）粒子的电性和粒子射入磁场的速率v；
（2）粒子离开磁场的位置到O点的最大距离x；
（3）粒子在磁场运动的最长时间t。
13．如图所示，第1象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m、带电荷量为q的粒子（不计重力）从x轴上的P点以速度v沿与x轴成30°的方向射入第一象限，并恰好垂直于y轴射出。已知OP=d。求：
（1）粒子所带的电性及磁感应强度B的大小；
（2）粒子穿过第一象限所用的时间。
14．如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。该匀强磁场的磁感应强度为B，一带电粒子在P点以与x轴正方向成60的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP=a。不计重力。求：
（1）带电粒子在磁场中运动的速率；
（2）带电粒子在磁场中运动的时间。
15．如图所示，以直角三角形AOC为边界的三角形区域内，有方向垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场（边界有磁场），，，在A点发射质量为m、电荷量为q某种带正电的粒子（不计重力作用），发射方向与AO边的夹角为，粒子从O点射出磁场。
（1）求粒子的发射速度大小及粒子在磁场中的运动时间；
（2）若入射粒子为负电荷（电量为，质量为m），从A点射入方向不变，若要使粒子能从AC边射出，求粒子入射速度最大值。
5．（1）；（2）
【详解】（1）分别过点作速度方向的垂线，相交于点，则是粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，设粒子运动的半径为。由几何关系可得
根据牛顿第二定律有
联立解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
由几何关系可知，粒子转过的圆心角
则粒子在磁场中运动的时间为
整理得
6．（1）；（2）
【详解】（1）粒子运动轨迹的圆心为O，如图所示
根据勾股定理有
解得
故带电粒子在磁场中运动的半径为。
（2）由洛伦兹力提供向心力，有
带入R，解得
故磁感应强度的大小为。
7．(1) (2)
【详解】由几何关系可知：
要使粒子从bc边射出磁场，其最小半径：
又：
得：
运动时间：
；
从bc边射出磁场，轨道半径最大时，其轨道与ab相切(如图)，从几何知识可得:粒子与ab相切的点应在b点，根据几何关系，其最大的半径R：
得：
又：
得：
对应的运动时间：
v的取值范围：
运动时间：
8．(1)；(2)
【详解】(1)根据题意，粒子在础场中的运动轨迹如图。
根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径
根据牛顿第二定律有
求得
(2)设粒子的速度v时，粒子的运动轨迹与BC相切由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径
由牛顿第二定律可知
求得
由几何关系可知，粒子在础场中的运动轨迹所对的圆心角为，此粒子在础场中运动的时间
9．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）如图所示，做出粒子运动轨迹的圆心O
由勾股定理得
解得
（2）由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
（3）根据以及，可得粒子在磁场中运动的周期
则粒子在磁场中运动时间
10．（1）；（2），；（3）
【详解】（1）如图所示，带电粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时恰不从磁场圆弧部分边界射出
设此时粒子速度大小为，轨道半径为，根据几何知识，有
根据洛伦兹力提供向心力，有
解得
所以带电粒子速率应满足的条件是
（2）如上图所示，带电粒子恰好从P点离开磁场时，设粒子速度大小为，轨道半径为，根据几何知识，有
根据洛伦兹力提供向心力，有
解得
带电粒子做圆周运动转过的圆心角为，带电粒子做圆周运动的周期
带电粒子在磁场中的运动时间
（3）带电粒子通过磁场区域后速度方向偏转了，则有
11．（1）；（2），
【详解】（1）由几何关系可知，此时粒子半径为
根据
解得
（2）由几何关系得恰好打到M点时粒子速度最大此时半径为
由
解得
在磁场中运动时间
而
可得
12．（1）正电，；（2）；（3）
【详解】（1）当时，粒子恰好垂直于x轴离开磁场，根据左手定则，粒子带正电。
运动轨迹如图所示
有几何关系
得
洛伦兹力充当向心力得
得
（2）经分析：当入射点P与出射点Q之间的连线，恰好为粒子圆周运动的直径时，粒子离开磁场的位置到O点的距离最大，运动轨迹如图所示
有几何关系
得
（3）分析知，粒子射入磁场的初速度方向沿y轴正方向时，运动时间最长，运动轨迹如图所示
设粒子出射点Q与圆周运动圆心的连线与竖直方向的夹角为，有几何关系
得
所以圆心角
粒子在磁场运动的最长时间为
13．（1）负电，；（2）
【详解】（1）粒子在磁场中的运动轨迹如图
利用左手定则可判断出粒子带负电
由几何关系得粒子在磁场中运动的轨道半径
洛伦兹力提供向心力
由此可解得
（2）轨迹所对圆心角
周期
从而可得粒子穿过第一象限所用的时间
14．（1）；（2）
【详解】（1）粒子恰好垂直于y轴射出磁场，其运动轨迹的圆心一定在y轴上，如图所示。
由几何关系知粒子运动的半径为
①
设带电粒子在磁场中运动的速率为v,根据牛顿第二定律有
②
联立①②解得
③
（2）粒子在磁场中运动的周期为
④
粒子在磁场中转过的圆心角为120°，则粒子在磁场中运动的时间为
⑤
15．（1），；（2）
【详解】（1）由题意，作出粒子的运动轨迹如图所示，
由几何知识可知粒子的运动半径为
根据牛顿第二定律有
联立解得
粒子的运动周期为
由几何知识可知粒子转过的圆心角为60°，所以粒子在磁场中的运动时间为
（2）如图所示，假设粒子以最大速度V从A点进入磁场，与OC相切于D点，最终从AC边射出，此时粒子的运动半径最大，设为R，在三角形中′中，有
解得
根据牛顿第二定律有
联立解得
一、题型特点分析
二、例题讲解
三、解题必备知识
四、方法总结
五、变式归纳
六、巩固练习
七、巩固练习参考答案
试卷第1页，共3页
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