27.1图形的相似
一、单选题
1.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为_______米. ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据，求出，可得结论.
【详解】解：为边的黄金分割点，即
米
米
故选B.
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是记住黄金分割的定义.
2.如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据矩形的面积是矩形面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值.
【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍，
∵各种开本的矩形都相似，
∴，
∴.
故选：A.
【点睛】此题主要考查了多边形的相似的性质，得出相似图形面积比是相似比的平方是解决问题的关键.
3.如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上.若线段，则线段的长是 ( )
A.3.2 B.4.8 C.0.8 D.2.4
【答案】A
【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.
【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
则，即，
解得：，
故选：A.
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.
4.若，则的值是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据，可得，，再代入约分即可求解.
【详解】解：，
，，
.
故选：A.
【点睛】本题考查了比例线段，关键是得到，.
5.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是，(，称为黄金分割比).著名的“断臂维纳斯”便是如此.若某人的身体满足上述黄金分割比，且身高为，则此人的肚脐到足底的长度可能是_______(精确到) ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】设此人的肚脐到足底的长度为，根据某人身体大致满足黄金分割比，且身高为，列方程，即可求得.
【详解】解：设此人的肚脐到足底的长度为，
∵某人身体大致满足黄金分割比，且身高为，
，
解得：，
即此人的肚脐到足底的长度约为，
故选：B.
【点睛】本题考查了黄金分割的应用，熟练掌握和运用黄金分割的应用是解决本题的关键.
6.如图，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点.若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系是 ( )
A. B. C. D.不能确定
【答案】C
【分析】根据H是的黄金分割点求出，求出，最后对比即可解答.
【详解】解：∵点H即是线段的黄金分割点，
∴，
∵，
∴.
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、黄金分割点等知识点，利用黄金分割点的定义得到是解答本题的关键.
7.如图， 中，，，点 ， 在双曲线 的图象上，轴， 交 轴于点 ，满足 ，， 交双曲线于点 ，连接 ，则 的面积为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】过C作轴，过A作轴，交x轴于N，先确定点A、B、C三点的坐标，求直线的解析式，列方程组求E的坐标，最后利用面积差可得结论.
【详解】解：过C作轴，过A作轴，交x轴于N，
中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴中，，，，
∵，
∴ ，
∴，，
∴设，则，
∵点A、C在双曲线的图象上，
∴， 解得：，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为：，
则 ， 解得：，
∴直线的解析式为：，
当 时， 解得或，
∴，
∴；
故选：B.
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及交点坐标、平行线分线段成比例定理、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识，对运算能力要求较高.
8.已知代数式，，，下列结论：
①若，则；
②若，且z为方程的一个实根，则；
③若x，y，z为正整数，且，则；
④若，则；
其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【分析】根据比例的性质及求代数式的值的方法，依次化简计算即可得出结果.
【详解】解：①若x:y:z=1:2:3，
设x=a；y=2a；z=3a；
∴A=；B=；C=；
∴，故①正确；
②若x=y=1，
则A=，B=，C=，
∴，
∵z为方程的一个实数根，
∴z≠0，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
若xyz为正整数，则
，
，
，
∵x>y>z，
∴，
∴，
即，
∴A>B>C，故③正确；
若A=B=C，即，
当x+y+z≠0时，
；
当x+y+z=0时，
,
综上A=或－1，故④错误；
∴正确的有3个，
故选：C.
【点睛】题目主要考查利用比例进行计算，化简求代数式的值，一元二次方程的根等，理解题意，数量掌握各个运算法则是解题关键.
9.如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线BD的异侧，连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知，则只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积 ( )
A.矩形的面积 B.的度数
C.四边形的周长 D.的长度
【答案】A
【分析】连接BC1，DA1，过点B1作B1E⊥AB于点E，过点C1作C1F⊥AB于点F，过点B1作B1G⊥AD于点G，过点D1作D1H⊥BC于点H，设小矩形的长和宽分别为a和b，大矩形的长和宽分别为ak和bk，BF=m，AG=n，然后用分割法求得四边形BB1DD1的面积，进而可以根据条件得到结果.
【详解】解：如图，连接BC1，DA1，过点B1作B1E⊥AB于点E，过点C1作C1F⊥AB于点F，过点B1作B1G⊥AD于点G，过点D1作D1H⊥BC于点H，
∵B1C1⊥BC，
∴四边形AEB1G、四边形EFC1B1是矩形，
设小矩形的长和宽分别为a和b，大矩形的长和宽分别为ak和bk，BF=m，AG=n，则S矩形A1B1C1D1＝ab，S矩形ABCD=abk2，AE=bk－m－a，CH=ak－n－b，
∴S△BC1B1＝B1C1 AG＝an，S△BC1D1＝C1D1 BF＝bm，S△DA1B1＝A1B1 AE=b(bk－m－a)，S△DA1D1＝A1D1 CH=a(ak－n－b)，
∴S四边形BB1DD1＝S△BC1B1+S△BC1D1+S△DA1B1+S△DA1D1+S矩形A1B1C1D1
=an+bm+b(bk m a)+ a(ak n b)+ab
=k(a2+b2)=k[(a+b)2－2ab]
=k(a+b)2－kab，
∵矩形ABCD和矩形A1B1C1D1的周长已知，
∴2(a+b)和2(ak+bk)为定值，
∴k为定值，
∴k(a+b)2为定值，
∵kab=，
∴当S矩形ABCD已知时，四边形B1BD1D的面积即为定值，
故选：A.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质和相似多边形的性质，解题的关键是学会设矩形的长和宽并用含有未知数的式子表示矩形ABCD、矩形A1B1C1D1和四边形B1BD1D的面积.
10.如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答.
【详解】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1且相似比为2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面积为1，
∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，
同理可得，第二个六角形的面积为：，
第三个六角形的面积为：，
第四个六角形的面积为：，
故选D.
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方.
二、填空题
11.已知，且，则__________.
【答案】15
【分析】根据等比性质得到，，，即可得到答案.
【详解】解：，
，，，
，
，
，
故答案为：15.
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比的性质是解题关键.
12.如图，相似的正方形共有___________个，相似的三角形共有___________个.
【答案】 5 16
【分析】由正方形的四个角都是直角，各边相等，不难判断两个正方形的对应边是否成比例，对应角是否相等，从而确定相似正方形的个数，根据图形及正方形的性质易得所有三角形均为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质判断对应边是否成比例，对应角是否相等，问题便可解答.
【详解】解：图中共有5个正方形，它们都相似，图中的三角形都是等腰直角三角形，一共有16个，它们都相似，
故答案为：5，16.
【点睛】本题考查了相似图形的判断，掌握相似图形的定义是解题的关键.
13.如图，C、D是线段的两个黄金分割点，且，则线段的长为___________ .
【答案】
【分析】根据黄金分割点的定义，知较长的线段=总线段的，可得和的长，则即可求得.
【详解】设线段，
∵C、D是线段的两个黄金分割点，
∴较长线段，
∴，
∵，
∴，
解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较长的线段=总线段的倍.
14.“赤日满天地，火云成山岳，草木尽焦卷，川泽皆竭涸.”炎炎夏日，甲、乙两水果店老板决定一起去批发市场同一家店进购顾客夏季最喜欢的A、B、C三种品种的水果.两位老板一共购进A、B、C三种水果数量之比为，其中甲店老板购进A、B、C三种水果数量之比为，并且乙老板购进B、C两种水果数量之比为.他们决定A、B、C三种水果的每千克售价分别比其成本高，并且三种水果的总利润是总成本的 40%，则甲店老板销售完A和C两种水果的利润与乙店老板销售完A和C两种水果的利润之比为 _____.
【答案】
【分析】设甲店老板购进A、B、C三种水果的数量分别为，乙老板购进B、C两种水果的数量分别为，计算出两店的利润后求比值即可.
【详解】解：设甲店老板购进A、B、C三种水果的数量分别为，乙老板购进B、C两种水果的数量分别为，
∵两位老板一共购进A、B、C三种水果数量之比为，
∴，即，
∴乙老板购进A种水果的数量为，
∵A、B、C三种水果的每千克售价分别比其成本高，并且三种水果的总利润是总成本的，
∴甲店老板销售完A和C两种水果的利润为，
乙店老板销售完A和C两种水果的利润为，
∴甲店老板销售完A和C两种水果的利润与乙店老板销售完A和C两种水果的利润之比为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查比例的计算及设而不求思想的运用，能够熟练计算利润是解题关键.
15.如图，矩形中，点，在轴上，交轴于点，点在上，，连接交轴于点，过点作轴交于点，点在函数的图象上.若的面积为，则的值为 _____；的面积与的面积差为 _____.
【答案】
【分析】设，，则，根据的面积为，求得，再由，得，求得，进而得出，再用待定系数法求得；，求得，再求得的面积，进而求得结果.
【详解】解：设，，则，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入，得；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、矩形的性质、平行线分线段成比例、三角形的面积公式，解本题的关键在充分利用数形结合思想解决问题.
三、解答题
16.请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割()是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值.
如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数.
为简单起见，设，则.
∵，∴……
任务：
(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数.
(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：
①设是已知线段，过点B作且使；
②连接，在上截取；
③在上截取；
则点C即为线段黄金分割点.你能说说其中的道理吗？
(3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 .
【答案】(1)黄金分割数为
(2)能，道理见解析
(3)
【分析】(1)设，则.根据黄金分割的定义，构建方程求出x即可.
(2)设，根据勾股定理求出，再证明即可.
(3)利用黄金分割的定义求出，再根据求解即可.
【详解】(1)设，则.
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即黄金分割数为.
(2)能，道理如下：
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C是线段的黄金分割点.
(3)如图，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.
17.综合与实践
课程学习：矩形折纸中的数学.
动手操作
如图，四边形是一张矩形纸片，先将矩形沿，边的点，对折，使得与重合，折痕为，把这个矩形展平.
(1)数学思考
求证：四边形是矩形：
(2)继续操作：
如图，陈老师在图的基础上，沿直线折叠，使点落在上，对应点为，再沿直线折叠，使点落在上，对应点为：
解决问题：
试判断线段与的位置关系并证明
(3)受到陈老师的启发，小卫和小韩在图的基础上分别提出了不同的问题，请你帮助她们解决提出的问题；
①小卫：若图中的点、恰好是线段的三等分点，延长线段，交于点，得到如图3所示的图形，试说明点是的中点；
②小韩：若图中矩形的边的长为，的长为，请直接写出线段的长度.
【答案】(1)见解析
(2)平行，证明见解析
(3)①见解析；②
【分析】(1)利用折叠证明，从而证明四边形是矩形；
(2)利用折叠形成的相等的边，角证明，从而证明；
(3)①利用平行线分线段成比例和矩形对边相等可得，从而证明点是的中点；
②利用折叠转化边的长度，利用勾股定理计算出的长度，设，在中利用勾股定理建立方程求出即可
【详解】(1)证明：∵折叠使得与重合，
∴，分别为，中点，即.
∵四边形是矩形
∴
∴
∴四边形是矩形
(2)与平行
证明：∵四边形是矩形
∴，
∵折叠使得与重合，
∴，
∵沿直线折叠，使点落在上，对应点为，再沿直线折叠，使点落在上，对应点为
∴
在和中，
∴
∴
∴
(3)①∵四边形是矩形
∴
∵点是线段的三等分点
∴
∵四边形是矩形
∴
∴
∴即
∵
∴即点是的中点
②设，
∵折叠
∴，
∴
在中，由勾股定理得
即解得
∴
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，综合运用这些知识解决问题是本题的关键.
18.利用网格图，仅用无刻度的直尺来完成几何作图.(注：以下点A、、、均在格点上.)
(1)下列图是由边长为1的小正方形构成的网格图.
①在图1中，，连结交于点，此时，请说明理由.
②在图2中的线段上，求作一点，使得.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)下列图是由边长为1的小正六边形构成的网格图.请在线段上求作点.
①在图3中，过格点作线段与交于点，使得.(作出图形)
②在图4中，求作点，使得(要求：方法与①有别，不写作法，但保留作图痕迹)
【答案】(1)①见详解②见详解
(2)①见详解②见详解
【分析】(1)①根据，得到 ，由图像可知，，即可得到答案；②由①规律找到对应比例平行线即可得到答案；
(2)①由(1)①规律找到对应比例平行线即可得到答案；②由(1)①规律找到对应比例平行线即可得到答案.
【详解】(1)解：①由题意可得，
，，
∵，
∴ ，
∴；
②由①可知平行线所截线段对应成比，如图找到，，连接交于一点即为所求点；
；
(2)解：由题意可得，如图所示，
正六边形中心将正六边形分成6个全等的等边三角形，
由(1)①可知平行线所截线段对应成比，如图找到，，连接交于一点即为所求点，如图3；
根据等腰三角形的性质可知，底边三线合一，如图所示
由(1)①可知平行线所截线段对应成比，如图找到，，连接交于一点即为所求点，如图4.
【点睛】本题考查尺规作图，解题的关键是掌握平行线所截线段对应成比例.27.1图形的相似
一、单选题
1.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为_______米. ( )
A. B. C. D.
2.如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么等于 ( )
A. B. C. D.
3.如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上.若线段，则线段的长是 ( )
A.3.2 B.4.8 C.0.8 D.2.4
4.若，则的值是 ( )
A. B. C. D.
5.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是，(，称为黄金分割比).著名的“断臂维纳斯”便是如此.若某人的身体满足上述黄金分割比，且身高为，则此人的肚脐到足底的长度可能是_______(精确到) ( )
A. B. C. D.
6.如图，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点.若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系是 ( )
A. B. C. D.不能确定
7.如图， 中，，，点 ， 在双曲线 的图象上，轴， 交 轴于点 ，满足 ，， 交双曲线于点 ，连接 ，则 的面积为 ( )
A. B. C. D.
8.已知代数式，，，下列结论：
①若，则；
②若，且z为方程的一个实根，则；
③若x，y，z为正整数，且，则；
④若，则；
其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线BD的异侧，连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知，则只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积 ( )
A.矩形的面积 B.的度数
C.四边形的周长 D.的长度
10.如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.已知，且，则__________.
12.如图，相似的正方形共有___________个，相似的三角形共有___________个.
13.如图，C、D是线段的两个黄金分割点，且，则线段的长为___________ .
14.“赤日满天地，火云成山岳，草木尽焦卷，川泽皆竭涸.”炎炎夏日，甲、乙两水果店老板决定一起去批发市场同一家店进购顾客夏季最喜欢的A、B、C三种品种的水果.两位老板一共购进A、B、C三种水果数量之比为，其中甲店老板购进A、B、C三种水果数量之比为，并且乙老板购进B、C两种水果数量之比为.他们决定A、B、C三种水果的每千克售价分别比其成本高，并且三种水果的总利润是总成本的 40%，则甲店老板销售完A和C两种水果的利润与乙店老板销售完A和C两种水果的利润之比为 _____.
15.如图，矩形中，点，在轴上，交轴于点，点在上，，连接交轴于点，过点作轴交于点，点在函数的图象上.若的面积为，则的值为 _____；的面积与的面积差为 _____.
三、解答题
16.请阅读下列材料，并完成相应的任务：
公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割()是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值.
如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数.
为简单起见，设，则.
∵，∴……
任务：
(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数.
(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：
①设是已知线段，过点B作且使；
②连接，在上截取；
③在上截取；
则点C即为线段黄金分割点.你能说说其中的道理吗？
(3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 .
17.综合与实践
课程学习：矩形折纸中的数学.
动手操作
如图，四边形是一张矩形纸片，先将矩形沿，边的点，对折，使得与重合，折痕为，把这个矩形展平.
(1)数学思考
求证：四边形是矩形：
(2)继续操作：
如图，陈老师在图的基础上，沿直线折叠，使点落在上，对应点为，再沿直线折叠，使点落在上，对应点为：
解决问题：
试判断线段与的位置关系并证明
(3)受到陈老师的启发，小卫和小韩在图的基础上分别提出了不同的问题，请你帮助她们解决提出的问题；
①小卫：若图中的点、恰好是线段的三等分点，延长线段，交于点，得到如图3所示的图形，试说明点是的中点；
②小韩：若图中矩形的边的长为，的长为，请直接写出线段的长度.
18.利用网格图，仅用无刻度的直尺来完成几何作图.(注：以下点A、、、均在格点上.)
(1)下列图是由边长为1的小正方形构成的网格图.
①在图1中，，连结交于点，此时，请说明理由.
②在图2中的线段上，求作一点，使得.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)下列图是由边长为1的小正六边形构成的网格图.请在线段上求作点.
①在图3中，过格点作线段与交于点，使得.(作出图形)
②在图4中，求作点，使得(要求：方法与①有别，不写作法，但保留作图痕迹)
试卷第6页，共6页
试卷第5页，共6页
【参考答案及解析】
1.B
【分析】根据，求出，可得结论.
【详解】解：为边的黄金分割点，即
米
米
故选B.
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是记住黄金分割的定义.
2.A
【分析】根据矩形的面积是矩形面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值.
【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍，
∵各种开本的矩形都相似，
∴，
∴.
故选：A.
【点睛】此题主要考查了多边形的相似的性质，得出相似图形面积比是相似比的平方是解决问题的关键.
3.A
【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.
【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
则，即，
解得：，
故选：A.
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.
4.A
【分析】根据，可得，，再代入约分即可求解.
【详解】解：，
，，
.
故选：A.
【点睛】本题考查了比例线段，关键是得到，.
5.B
【分析】设此人的肚脐到足底的长度为，根据某人身体大致满足黄金分割比，且身高为，列方程，即可求得.
【详解】解：设此人的肚脐到足底的长度为，
∵某人身体大致满足黄金分割比，且身高为，
，
解得：，
即此人的肚脐到足底的长度约为，
故选：B.
【点睛】本题考查了黄金分割的应用，熟练掌握和运用黄金分割的应用是解决本题的关键.
6.C
【分析】根据H是的黄金分割点求出，求出，最后对比即可解答.
【详解】解：∵点H即是线段的黄金分割点，
∴，
∵，
∴.
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、黄金分割点等知识点，利用黄金分割点的定义得到是解答本题的关键.
7.B
【分析】过C作轴，过A作轴，交x轴于N，先确定点A、B、C三点的坐标，求直线的解析式，列方程组求E的坐标，最后利用面积差可得结论.
【详解】解：过C作轴，过A作轴，交x轴于N，
中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴中，，，，
∵，
∴ ，
∴，，
∴设，则，
∵点A、C在双曲线的图象上，
∴， 解得：，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为：，
则 ， 解得：，
∴直线的解析式为：，
当 时， 解得或，
∴，
∴；
故选：B.
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及交点坐标、平行线分线段成比例定理、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识，对运算能力要求较高.
8.C
【分析】根据比例的性质及求代数式的值的方法，依次化简计算即可得出结果.
【详解】解：①若x:y:z=1:2:3，
设x=a；y=2a；z=3a；
∴A=；B=；C=；
∴，故①正确；
②若x=y=1，
则A=，B=，C=，
∴，
∵z为方程的一个实数根，
∴z≠0，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
若xyz为正整数，则
，
，
，
∵x>y>z，
∴，
∴，
即，
∴A>B>C，故③正确；
若A=B=C，即，
当x+y+z≠0时，
；
当x+y+z=0时，
,
综上A=或－1，故④错误；
∴正确的有3个，
故选：C.
【点睛】题目主要考查利用比例进行计算，化简求代数式的值，一元二次方程的根等，理解题意，数量掌握各个运算法则是解题关键.
9.A
【分析】连接BC1，DA1，过点B1作B1E⊥AB于点E，过点C1作C1F⊥AB于点F，过点B1作B1G⊥AD于点G，过点D1作D1H⊥BC于点H，设小矩形的长和宽分别为a和b，大矩形的长和宽分别为ak和bk，BF=m，AG=n，然后用分割法求得四边形BB1DD1的面积，进而可以根据条件得到结果.
【详解】解：如图，连接BC1，DA1，过点B1作B1E⊥AB于点E，过点C1作C1F⊥AB于点F，过点B1作B1G⊥AD于点G，过点D1作D1H⊥BC于点H，
∵B1C1⊥BC，
∴四边形AEB1G、四边形EFC1B1是矩形，
设小矩形的长和宽分别为a和b，大矩形的长和宽分别为ak和bk，BF=m，AG=n，则S矩形A1B1C1D1＝ab，S矩形ABCD=abk2，AE=bk－m－a，CH=ak－n－b，
∴S△BC1B1＝B1C1 AG＝an，S△BC1D1＝C1D1 BF＝bm，S△DA1B1＝A1B1 AE=b(bk－m－a)，S△DA1D1＝A1D1 CH=a(ak－n－b)，
∴S四边形BB1DD1＝S△BC1B1+S△BC1D1+S△DA1B1+S△DA1D1+S矩形A1B1C1D1
=an+bm+b(bk m a)+ a(ak n b)+ab
=k(a2+b2)=k[(a+b)2－2ab]
=k(a+b)2－kab，
∵矩形ABCD和矩形A1B1C1D1的周长已知，
∴2(a+b)和2(ak+bk)为定值，
∴k为定值，
∴k(a+b)2为定值，
∵kab=，
∴当S矩形ABCD已知时，四边形B1BD1D的面积即为定值，
故选：A.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质和相似多边形的性质，解题的关键是学会设矩形的长和宽并用含有未知数的式子表示矩形ABCD、矩形A1B1C1D1和四边形B1BD1D的面积.
10.D
【分析】先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答.
【详解】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1且相似比为2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面积为1，
∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，
同理可得，第二个六角形的面积为：，
第三个六角形的面积为：，
第四个六角形的面积为：，
故选D.
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方.
11.15
【分析】根据等比性质得到，，，即可得到答案.
【详解】解：，
，，，
，
，
，
故答案为：15.
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比的性质是解题关键.
12. 5 16
【分析】由正方形的四个角都是直角，各边相等，不难判断两个正方形的对应边是否成比例，对应角是否相等，从而确定相似正方形的个数，根据图形及正方形的性质易得所有三角形均为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质判断对应边是否成比例，对应角是否相等，问题便可解答.
【详解】解：图中共有5个正方形，它们都相似，图中的三角形都是等腰直角三角形，一共有16个，它们都相似，
故答案为：5，16.
【点睛】本题考查了相似图形的判断，掌握相似图形的定义是解题的关键.
13.##
【分析】根据黄金分割点的定义，知较长的线段=总线段的，可得和的长，则即可求得.
【详解】设线段，
∵C、D是线段的两个黄金分割点，
∴较长线段，
∴，
∵，
∴，
解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较长的线段=总线段的倍.
14.
【分析】设甲店老板购进A、B、C三种水果的数量分别为，乙老板购进B、C两种水果的数量分别为，计算出两店的利润后求比值即可.
【详解】解：设甲店老板购进A、B、C三种水果的数量分别为，乙老板购进B、C两种水果的数量分别为，
∵两位老板一共购进A、B、C三种水果数量之比为，
∴，即，
∴乙老板购进A种水果的数量为，
∵A、B、C三种水果的每千克售价分别比其成本高，并且三种水果的总利润是总成本的，
∴甲店老板销售完A和C两种水果的利润为，
乙店老板销售完A和C两种水果的利润为，
∴甲店老板销售完A和C两种水果的利润与乙店老板销售完A和C两种水果的利润之比为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查比例的计算及设而不求思想的运用，能够熟练计算利润是解题关键.
15.
【分析】设，，则，根据的面积为，求得，再由，得，求得，进而得出，再用待定系数法求得；，求得，再求得的面积，进而求得结果.
【详解】解：设，，则，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入，得；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、矩形的性质、平行线分线段成比例、三角形的面积公式，解本题的关键在充分利用数形结合思想解决问题.
16.(1)黄金分割数为
(2)能，道理见解析
(3)
【分析】(1)设，则.根据黄金分割的定义，构建方程求出x即可.
(2)设，根据勾股定理求出，再证明即可.
(3)利用黄金分割的定义求出，再根据求解即可.
【详解】(1)设，则.
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即黄金分割数为.
(2)能，道理如下：
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C是线段的黄金分割点.
(3)如图，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.
17.(1)见解析
(2)平行，证明见解析
(3)①见解析；②
【分析】(1)利用折叠证明，从而证明四边形是矩形；
(2)利用折叠形成的相等的边，角证明，从而证明；
(3)①利用平行线分线段成比例和矩形对边相等可得，从而证明点是的中点；
②利用折叠转化边的长度，利用勾股定理计算出的长度，设，在中利用勾股定理建立方程求出即可
【详解】(1)证明：∵折叠使得与重合，
∴，分别为，中点，即.
∵四边形是矩形
∴
∴
∴四边形是矩形
(2)与平行
证明：∵四边形是矩形
∴，
∵折叠使得与重合，
∴，
∵沿直线折叠，使点落在上，对应点为，再沿直线折叠，使点落在上，对应点为
∴
在和中，
∴
∴
∴
(3)①∵四边形是矩形
∴
∵点是线段的三等分点
∴
∵四边形是矩形
∴
∴
∴即
∵
∴即点是的中点
②设，
∵折叠
∴，
∴
在中，由勾股定理得
即解得
∴
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，综合运用这些知识解决问题是本题的关键.
18.(1)①见详解②见详解
(2)①见详解②见详解
【分析】(1)①根据，得到 ，由图像可知，，即可得到答案；②由①规律找到对应比例平行线即可得到答案；
(2)①由(1)①规律找到对应比例平行线即可得到答案；②由(1)①规律找到对应比例平行线即可得到答案.
【详解】(1)解：①由题意可得，
，，
∵，
∴ ，
∴；
②由①可知平行线所截线段对应成比，如图找到，，连接交于一点即为所求点；
；
(2)解：由题意可得，如图所示，
正六边形中心将正六边形分成6个全等的等边三角形，
由(1)①可知平行线所截线段对应成比，如图找到，，连接交于一点即为所求点，如图3；
根据等腰三角形的性质可知，底边三线合一，如图所示
由(1)①可知平行线所截线段对应成比，如图找到，，连接交于一点即为所求点，如图4.
【点睛】本题考查尺规作图，解题的关键是掌握平行线所截线段对应成比例.
