4．2 指数函数
知识点一 指数函数的定义
一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R.
知识点二 两类指数模型
1．y＝kax(k>0)，当 a>1 时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0)，当 0
知识点三 指数函数的图象和性质
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质如下表：
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过定点(0,1)，即 x＝0 时，y＝1
当 x>0 时，y>1； 当 x>0 时，0性质 函数值的变化
当 x<0 时，01
单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数
知识点四 比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
知识点五 解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如 af(x)>ag(x)的不等式，可借助 y＝ax的单调性求解；
(2)形如 af(x)>b 的不等式，可将 b 化为以 a 为底数的指数幂的形式，再借助 y＝ax的单调性求解；
(3)形如 ax>bx的不等式，可借助两函数 y＝ax，y＝bx的图象求解．
知识点六 指数型函数的单调性
一般地，有形如 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)函数的性质
(1)函数 y＝af(x)与函数 y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当 a>1 时，函数 y＝af(x)与 y＝f(x)具有相同的单调性；当 0【题型目录】
题型一、指数函数的概念
题型二、求指数函数的解析式、函数值
题型三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
题型四、指数函数的图象及应用
题型五、指数型函数的定义域和值域
题型六、比较大小
题型七、简单的指数不等式的解法
题型八、指数型函数的单调性
题型一、指数函数的概念
1．下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
x
x 1 1
① y 2 2 ；② y 2x 1 ③ y ； x 2 ；④ y x ；⑤ y 3 x ；⑥ y x3 ．
2．函数 y (a 2)2 a x 是指数函数，则（ ）
A． a 1或 a 3 B． a 1 C． a 3 D． a 0且a 1
题型二、求指数函数的解析式、函数值
1
3 ．已知指数函数 f x 的图象经过 2, ，试求 f 1 和 f 2 的值．
16
题型三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
4
．当生物体死亡后，它机体内原有的碳 14 含量每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生
物体内的碳 14 的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳 14 了.若用一般的放射性探测器
不能测到碳 14，那么死亡生物体内的碳 14 至少经过的“半衰期”个数是（参考数据： 213 8192）（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
5．随着我国经济的不断发展，2014 年年底某偏远地区农民人均年收入为 3 000 元，预计该地区今后农民的人均年
收入将以每年 6%的年平均增长率增长，那么 2021 年年底该地区的农民人均年收入为________元.(精确到个位)(附：
1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)
题型四、指数函数的图象及应用
5 1
6．函数① y a x ；② y bx ；③ y cx ；④ y d x 的图象如图所示，a，b，c，d 分别是下列四个数： ， 3， ，4 3
1
2 中的一个，则 a，b，c，d 的值分别是（ ）
5 1 5 1
A 1 1． ， 3， ， 2 B． 3， ， ，4 3 4 3 2
1 5 1 5
C 1 1． 2 ， ， 3， ， D． ， 2 ， ，3 4 3 4 3
，
7．函数 y e x ( e是自然底数)的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
8．若 a 0且a 1 x 4，则函数 f x a 3的图像恒过的定点的坐标为______．
9．（1）若曲线 y 2x 1 与直线 y a 有两个公共点，则实数 a的取值范围是______；
（2）若曲线 y 2x 1与直线 y b没有公共点，则实数b 的取值范围是______．
题型五、指数型函数的定义域和值域
10．y＝2x－1的定义域是（ ）
A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)
x 1
11．（1）函数 y 2 的定义域是____________，值域是____________．
3
x 1
（2）函数 y 2 x 1 的定义域是____________，值域是____________．
12．函数 y 4x 2x 1 3的值域为____.
题型六、比较大小
13．比较下列几组值的大小：
2 4
(1) ( 2.5)3 和 ( 2.5)5 ；
1
2 2 3(2) 和 (0.4) 2 ；
5
1 1
(3) 1
2 3 2
和 ；
3 2
(4) 0.4 2.5， 2 0.2 ， 2.51.6 ．
14．比较下列各题中的两个值的大小．
(1)0.8－0.1，1.250.2；
(2) (
1 ) ，1；
(3)0.2－3，（－3）0.2.
题型七、简单的指数不等式的解法
15．关于 x 的不等式10 2 x 4 x 16的解集为______;
16．设 a>0 2，且 a≠1，解关于 x 的不等式 a2x 3x 1
2
a x 2x 5
题型八、指数型函数的单调性
17．已知指数函数 f（x）＝ax（a＞0 且 a≠1），过点（2，4）．
(1)求 f（x）的解析式；
(2)若 f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数 m 的取值范围．
18 x．已知函数 y f (x) 为 R 上的偶函数，当 x 0 时， f x e x．
(1)求 x 0 时， f x 的解析式；
(2)写出函数 y f (x) 的单调增区间；
(3)若 f x f 2x 1 ，求 x 的取值范围．
19．已知函数 f x a x 1 3 （ a 0且a 1）的图象经过点 , .
2 3
(1)求 a 的值；
(2)设F x f x f x ，
①求不等式F x 8 的解集；
3
F x k 2②若 x 恒成立，求实数 k 的取值范围.3
1．下列以 x 为自变量的函数中，是指数函数的是（ ）
A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1)
C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0 且 a≠1)
2 2．若函数 y m m 1 mx 是指数函数，则m 等于（ ）
A． 1或 2 B． 1 C． 2 D 1． 2
3
1
．已知函数 f x 是指数函数，且 f 2 9，则 f ______．
2
4．一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间
的严重浪费．这种病毒开机时占据内存 2KB，每 3 分钟后病毒所占内存是原来的 2 倍．记 x 分钟后的病毒所占内存
为 yKB．
（1）y 关于 x 的函数解析式为______；
（2）如果病毒占据内存不超过1GB(1GB 210 MB)，1MB 210 KB)时，计算机能够正常使用，则本次开机计算机能
正常使用_____分钟．
5．已知放射性元素氡的半衰期是 3.83 天，问：
(1)经过 7.66 天以后，氡元素会全部消失吗？
1
(2)要经过多少天，剩下的氡元素只有现在的 ？
8
(3) x质量为m 的氡经 x 天衰变后其质量为 f x m a ，试用计算器求 a的值.
6．函数 y a x 与 y xa的图象如图所示，则实数 a 的值可能是（ ）
A 2 B 3 C 1
1
． ． ． 2 D． 3
7 x．如图所示，函数 y 2 2 的图像是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数 y a x 1(a 0,a 1) 恒过定点___________．
9．已知函数 f x 2x a 的定义域为 2, ，则a _________．
x
10 1 ．函数 y ,( 3 x 1) 的值域是__________.
2
11 2．函数 f (x) 3 x 1(x R)的值域为_________．
12．求下列函数的定义域：
4
(1) y 2 x 4 ；
(2) y 2
x
.
3
x21 6x 1713 1 y ．（ ）已知函数 2
．
①求函数的定义域、值域；
②确定函数的单调区间．
（2）画出函数 y 2|x 1|的图象，并依据图象指出它的相关性质．
14．比较下列各组中两个数的大小：
(1) 0.20.3和0.20.2 ；
(2)1.20.3和1.20.2；
(3) 0.30.1和0.3 0.1 ；
(4)1.350.2和1.35 0.2 ．
15．下列各数中，哪些大于 1，哪些小于 1？
2 7 5
6 3 3 3 5 6， ， ， (0.16)0.2 .
5 4 3
x 2 1
16．已知集合M x 0 ， N x 2x 8 ，则（ ）
3 x 2
A．M N R B．M N x 2 x 3
C．M N x 2 x 3 D．M N x 1 x 3
17 2x x 1．（1）求 f x 2 2 3的值域；
（2 2）解不等式 a x a 3x 2 （ a 0且a 1）.
18．已知函数 f x k 3 a x 3 b ( a 0，且a 1)是指数函数.
(1)求 k，b 的值；
(2)求解不等式 f 2x 7 f 4x 3 .
19 3．已知函数 f (x) a x x (a 0且 a 1)．
(1)解不等式 f (x) 1；
(2)当 0 a 1时，若 x (1,2)， m (1, 2) ， f (mx 2) f (x2 nx) x2 nx mx 2 0 ，求 n的取值范围．
1．下列是指数函数的是（ ）
A y 2． 4 x B． y 2x 1
C． y a x D． y x
4x
1
, x 1
f (x) 7 2．设函数 2 ，若 f f 8，则a （ ）
a
x , x 1 8
1 3A． 2 B． C．1 D．24
3．某灭活疫苗的有效保存时间 T（单位：小时 h ）与储藏的温度 t（单位：℃）满足的函数关系为T eht b （k，b
为常数，其中 e 2.71828 ，是一个和 类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使
用.若在 0℃时的有效保存时间是 1080 h ，在 10℃时的有效保存时间是 120 h ，则该疫苗在 15℃时的有效保存时间为
（ ）
A．15h B．30h C．40h D．60h
4．函数 y 21 x 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．在同一坐标系中，函数 y ax2 bx 与函数 y bx 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数 y 3 x 与函数 y 3x 的图象（ ）
A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 y x 对称
7．函数 y 3x 27 的定义域为（ ）
A． , 3 B． , 3 C． 3, D． 3,
8 2．已知集合 A x x 3x 0 ，B x | 3x 3 ，则 A B （ ）
0, 1 A B 1 ． ．2
,3 C． 0, 22 D． 1,3
9．(多选)设指数函数 f (x) a x (a>0，且 a≠1)，则下列等式中正确的是（ ）
A． f (x y) f (x) f (y)
B． f (x y)
f (x)
f (y)
C． f (
x ) f (x) f (y)
y
D． f (nx) [ f (x)]n (n Q)
10 x．（多选）已知函数 f x 2 1 ，实数 a，b 满足 f a f b a b ，则（ ）
A． 2a 2b 2 B． a，b R ，使得0 a b 1
C． 2a 2b 2 D． a b 0
1 x
2 4x 3
11．（多选）已知函数 f x ，则（ ）
2
A．函数 f x 的定义域为 R B．函数 f x 的值域为 0, 2
C．函数 f x 在 2, 上单调递增 D．函数 f x 在 2, 上单调递减
12．判断正误．
x
（1 1 ）函数 y 1的值域是 (0, )．( )
3
x
（2）已知函数 f (x) 5 ，若实数 m，n 满足 f (m) f (n)，则m n ．( )
2
（3）指数函数 f (x) 的图象过点( 0, 1)．( )
（4）函数 y 2 x 1 的定义域是 R．( )
13．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y g 与
时间 t h 之间近似满足如图所示的图象，则 y 关于 t 的函数解析式为______；据进一步测定，每毫升血液中含药量
不少于0.25 g 时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______h．
14．不论 a x 1为何值时，函数 f x a a(a 0且 a 1)恒过定点__________．
1
15．函数 y 0.5x 8 2 的定义域为______．
16 2．不等式3x ax 32x a 2 恒成立，则 a的取值范围是_________．
17．求下列函数的定义域、值域：
(1) y 3 5x 1;
1 x
2 2x 3
(2) y .
2
18．已知函数 f x a2x 2a x 1（ a 0，且a 1），求函数 f x 在 0, 上的值域．
1 ax
2 4x 3
19．已知函数 f (x) ，若 f (x) 的值域是 (0, )，求 a的值．
3
20．比较下列各组中两个数的大小：
(1)1.62.5，1.73 ；
(2) 0.6 0.1，0.6 0.5；
(3)1.70.3，0.93.1．
21．分别把下列各题中的 3 个数按从小到大的顺序用不等号连接起来：
（1） 22.1， 21.9 ，0.32.1；
2.5
（2） 22.5 2.50
1
， ， 2
；
（3）0.80.8 ，0.80.9 ，1.20.8；
1 2 2
2 5 4 3（ ） ， 3 3 3 3
， .
3 2
22．已知指数函数 f (x) a x （ a 0且a 1）经过点 (3, 27) .
(1)求 f (x) 的解析式及 f ( 1)的值；
(2)若 f (x 1) f ( x)，求 x 的取值范围.
23．已知 y f x x是定义在R 上的奇函数，当 x 0 时， f x 3 a a R ．
(1)求函数 f x 在R 上的解析式；
(2)若 x R ， f x2 x f 4 mx 0恒成立，求实数m 的取值范围．
24．已知函数 f x 2x m 4x .
(1)当m 0时，求关于 x 的不等式 f x 2 的解集；
(2)若对 x 0,1 ，不等式 f x 2 m 2x 恒成立，求实数m 的取值范围.4．2 指数函数
知识点一 指数函数的定义
一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R.
知识点二 两类指数模型
1．y＝kax(k>0)，当 a>1 时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0)，当 0知识点三 指数函数的图象和性质
指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质如下表：
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过定点(0,1)，即 x＝0 时，y＝1
当 x>0 时，y>1； 当 x>0 时，0性质 函数值的变化
当 x<0 时，01
单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数
知识点四 比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
知识点五 解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如 af(x)>ag(x)的不等式，可借助 y＝ax的单调性求解；
(2)形如 af(x)>b 的不等式，可将 b 化为以 a 为底数的指数幂的形式，再借助 y＝ax的单调性求解；
(3)形如 ax>bx的不等式，可借助两函数 y＝ax，y＝bx的图象求解．
知识点六 指数型函数的单调性
一般地，有形如 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)函数的性质
(1)函数 y＝af(x)与函数 y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当 a>1 时，函数 y＝af(x)与 y＝f(x)具有相同的单调性；当 0【题型目录】
题型一、指数函数的概念
题型二、求指数函数的解析式、函数值
题型三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
题型四、指数函数的图象及应用
题型五、指数型函数的定义域和值域
题型六、比较大小
题型七、简单的指数不等式的解法
题型八、指数型函数的单调性
题型一、指数函数的概念
1．下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
x
x
① y 2 2 ；② y 2x 1 1 1；③ y ；④ y xx ；⑤ x ；⑥ 3 ．
2 y 3 y x
【答案】③
【分析】利用指数函数的定义逐个分析判断即可
x
【详解】① y 2 2 的系数不是1，不是指数函数；
② y 2x 1的指数不是自变量 x ，不是指数函数；
x
③ y 是指数函数；
2
④ y xx 的底数是 x 不是常数，不是指数函数；
1
⑤ y 3 x 的指数不是自变量 x ，不是指数函数；
1
⑥ y x3 是幂函数．
故答案为：③
2．函数 y (a 2)2 a x 是指数函数，则（ ）
A． a 1或 a 3 B． a 1 C． a 3 D． a 0且a 1
【答案】C
【分析】由指数函数的定义可得 (a 2)2 1，同时 a 0，且a 1，从而可求出 a的值
【详解】由指数函数定义知 (a 2)2 1，同时 a 0，且a 1，所以解得 a 3 .
故选：C
题型二、求指数函数的解析式、函数值
f x 2, 13 ．已知指数函数 的图象经过 ，试求 f 1 和 f 2 的值．
16
1
【答案】 f 1 ， f 2 16 ．4
x
【分析】设函数 f x a （ a 0且a 1），根据已知条件求出 a的值，确定函数 f x 的解析式，即可求得 f 1
和 f 2 的值.
x 2 1 2 x
【详解】设函数 f x a （ a 0且a 1），则 f 2 a 4 ，可得 a 4，故 f x 4 .
16
因此， f 1 1 ， f 2 16 ．4
题型三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
4．当生物体死亡后，它机体内原有的碳 14 含量每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡
生物体内的碳 14 的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳 14 了.若用一般的放射性探测
器不能测到碳 14，那么死亡生物体内的碳 14 至少经过的“半衰期”个数是（参考数据： 213 8192）（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
【答案】B
【分析】设死亡生物体内原有的碳 14 含量为 x ，由题意列得 n n N* 个半衰期后不能被测到碳 14 的不等关系式
x 1 1 n x ，求解即可得到答案.2 10000
*
【详解】设死亡生物体内原有的碳 14 含量为 x ，经过 n n N 个半衰期后不能被测到碳 14，
1 1 1 1
由题意得： x n x ，即 n2 10000 2n
，所以
10000 2 10000
，
又 213 8192 10000， 214 16384 10000，
所以 n 14，即至少经过的“半衰期”个数是 14.
故选：B
5．随着我国经济的不断发展，2014 年年底某偏远地区农民人均年收入为 3 000 元，预计该地区今后农民的人均年
收入将以每年 6%的年平均增长率增长，那么 2021 年年底该地区的农民人均年收入为________元.(精确到个位)(附：
1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)
【答案】4 500
【分析】根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，即可得到答案；
【详解】设经过 x 年，该地区的农民人均年收入为 y 元，
依题意有 y＝3 000×1.06x，
因为 2014 年年底到 2021 年年底经过了 7 年，
故把 x＝7 代入，即可求得 y＝3 000×1.067≈4 500.
故答案为：4 500
题型四、指数函数的图象及应用
5 1
6．函数① y a x ；② y bx ；③ y cx ；④ y d x 的图象如图所示，a，b，c，d 分别是下列四个数： ， 3， ，4 3
1
2 中的一个，则 a，b，c，d 的值分别是（ ）
5 1 1 5 1A 1． ，
4 3
， ， B． ， ， ，
3 2 3 4 3 2
1 1 5 1 5C． 2 ， ， 3， ， D
1
． ，
3 4 3 2
， ， ，
4 3
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.
5 1 1
【详解】由题图，直线 x 1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为 c，d，a，b，而 3 .
4 2 3
故选：C．
7．函数 y e x ( e是自然底数)的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的图像与性质即可得出答案.
x 1
【详解】解析 y e x
e
，x 0
，
ex ，x 0
函数 y e x 为偶函数，且过 0,1 ， y e x 0，
函数在 ,0 上递增，在 0, 上递减，故 C 符合.
故选：C.
8．若 a 0且a 1，则函数 f x a x 4 3的图像恒过的定点的坐标为______．
【答案】 4,4
【分析】任意指数函数一定过定点( 0, 1)，根据该性质求解.
【详解】令 x 4 0，得 x 4，所以 f 4 a0 3 4 f x a x 4，所以函数 3的图像恒过定点 4,4 ．
故答案为： 4,4
9 x．（1）若曲线 y 2 1 与直线 y a 有两个公共点，则实数 a的取值范围是______；
（2 x）若曲线 y 2 1与直线 y b没有公共点，则实数b 的取值范围是______．
【答案】 0,1 1,1
1 y 2x【分析】（ ）作出函数 1 的图像，数形结合，可得答案；
（2 x）作出函数 y 2 1的图像，数形结合，可得答案；
2x 1, x 0
【详解】（1） y 2x 1 x ,其图像如图所示，
2 1, x 0
x
要使曲线 y 2 1 与直线 y a 有两个公共点，则实数 a的取值范围为 0,1 ；
（2）作出曲线 y 2x 1，如图所示，
要使曲线 y 2x 1与直线 y b没有公共点，则实数b 的取值范围是 1,1 ，
故答案为： 0,1 ； 1,1
题型五、指数型函数的定义域和值域
10．y＝2x－1的定义域是（ ）
A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)
【答案】A
【分析】根据实数指数幂的意义可得解.
【详解】因为 y 2x 1，所以 x R ，
故选：A
x 1
11．（1 2 ）函数 y 的定义域是____________，值域是____________．
3
x 1
（2）函数 y 2 x 1 的定义域是____________，值域是____________．
【答案】 R （0，1] ( , 1) ( 1, ) (0, 2) (2, )
【分析】（1）由指数函数的定义域以及单调性得出其定义域和值域；
（2）解不等式 x 1 0得出定义域，由指数函数的单调性得出值域.
2 x 1 2 |x 1| 0 2
【详解】（1）函数 y 的定义域为 R
，由 | x 1| 0，得出0 ，即0 y 1，故值域为 (0,1]
3 3 3
（2）要使得函数有意义，只需 x 1 0，即 x 1，故定义域为 ( , 1) ( 1, )
x 1 x 1 1 2 1, y 2，且
x 1 x 1 2 x 1 0
，即函数的值域为 (0, 2) (2, )
故答案为：（1） R ； (0,1]（2） ( , 1) ( 1, ) ； (0, 2) (2, )
12．函数 y 4x 2x 1 3的值域为____.
【答案】 3,
【分析】函数是复合二次函数，换元转化为二次函数值域问题.
【详解】解：令 t 2x (t 0) ，
y 4x 2x 1函数 3 x R 化为 f t t 2 2t 3 t 1 2 2(t 0)，
f t 3，即函数 y 4x 2x 1 3的值域为 3, ．
故答案为： 3,
题型六、比较大小
13．比较下列几组值的大小：
2 4
(1) ( 2.5)3 和 ( 2.5)5 ；
1
2 2 3(2) 和5 (0.4)
2 ；
1 1
1 (3) 2 和 3 2 ；
3 2
(4) 0.4 2.5， 2 0.2 ， 2.51.6 ．
1 1 1
4 2 3 2
【答案】(1) 2 ( 2.5)5 ( 2.5)3 ；(2) (0.4) 2 ；(3)
1 2 > 3 2 2.5 ；(4) 0.4 2.5
1.6 2 0.2
5 3 2
【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数函数的单调性分析比较大小即可
2 2 4 4
【详解】（1）由于 ( 2.5)3 2.53 ， ( 2.5)5 2.55 ．
4 2
∵ y 2.5x 在 R 上为增函数，且 ，
5 3
4 2 4 2
∴ 2.55 2.53 ，即 ( 2.5)5 ( 2.5)3 ；
3 3
（2）由于 (0.4) 2 (2) 2 ．
5
x
∵ y 2
1 3
在 R 上为减函数，且 ，
5 2 2
∴ (2
1 3
) 2 (0.4) 2 ；
5
x x 1
（3）∵ y 1 3 在 R 上为减函数， y 在 R 上为增函数，且 0，
3 2 2
∴ (1
1
1
) 2 1 (3， ) 2 1，
3 2
∴ (1
1 1
) 2 (3) 2 ；
3 2
（4）∵ 0.4 2.5 2.52.5， y 2.5x 在 R 上为增函数，且 2.5 1.6 0 0.2
∴ 2.52.5 2.51.6 1 2.5 0.2 ，
∴ 0.4 2.5 2.51.6 2 0.2 ．
14．比较下列各题中的两个值的大小．
(1)0.8－0.1，1.250.2；
1
(2) ( ) ，1；
(3)0.2－3，（－3）0.2.
1
【答案】(1)0.8－0.1<1.250.2；(2) ( ) 1；(3)0.2－3>（－3）0.2
【分析】（1）根据指数函数的单调性进行求解即可；
（2）根据指数函数的单调性进行求解即可；
（3）根据指数幂的性质进行求解即可
【详解】(1)∵0<0.8<1，∴y＝0.8x 在 R 上是减函数．
∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，
即 0.8－0.1<1.250.2.
(2)因为 y x是实数集上的增函数，
1所以 0 1 ，所以 ( ) 1；
(3)因为0.2 3 0, ( 3)0.2 5 3 0，所以0.2 3 ( 3)0.2 .
题型七、简单的指数不等式的解法
15．关于 x 的不等式10 2 x 4 x 16的解集为______;
【答案】 3, 1
2
【分析】首先将不等式转化为 2 x 10 2 x 16 0，从而得到 2 2 x 8，再解指数不等式即可.
【详解】由题知： 4 x 10 2 x 16 0，
整理得： 2 x 2 10 2 x 16 0 2 x 8 2 x，即 2 0 ，
解得 2 2 x 8，即 3 x 1.
故答案为： 3, 1
16．设 a>0 2 2，且 a≠1，解关于 x 的不等式 a2x 3x 1 a x 2x 5
【答案】当 0 a 1时，不等式的解集为 2,3 ；当 a 1时，不等式的解集为 , 2 3,
【分析】对 a进行分类讨论，结合指数函数的单调性求得不等式的解集.
【详解】当 0 a 1时， y a x 在R 上递减，
所以 2x2 3x 1 x2 2x 5，
2
即 x 5x 6 x 2 x 3 0，解得 2 x 3，
即不等式的解集为 2,3 .
当 a 1时， y a x 在R 上递增，
所以 2x 2 3x 1 x 2 2x 5 ，
x2即 5x 6 x 2 x 3 0，解得 x 2 或 x 3，
即不等式的解集为 , 2 3, .
题型八、指数型函数的单调性
17．已知指数函数 f（x）＝ax（a＞0 且 a≠1），过点（2，4）．
(1)求 f（x）的解析式；
(2)若 f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数 m 的取值范围．
【答案】(1) f x 2x ；(2) m 4
【分析】（1）将点（2，4）代入函数解析式即可；
（2）根据函数的单调性，即可求出 m 的取值范围.
【详解】(1)将点（2，4）代入 f x a x ，得 4 a2 ,a 2 ，故 f x 2x ；
(2) 2 1 ， f x 是增函数，
f 2m 1 f m 3 0 ，即 f 2m 1 f m 3 ，
2m 1 m 3 ，m 4 ；
综上， f x 2x ，m 4 .
18 x．已知函数 y f (x) 为 R 上的偶函数，当 x 0 时， f x e x．
(1)求 x 0 时， f x 的解析式；
(2)写出函数 y f (x) 的单调增区间；
(3)若 f x f 2x 1 ，求 x 的取值范围．
【答案】(1) f x e x x ；(2) 0, 1；(3) ( ,1)3
x
【分析】（1）设 x 0 ，则 x 0 ，结合题意得到 f x f x e x ，即可求解；
（2）根据 y ex 和 y x x都是增函数，得到 f x e x在[0, ) 上为增函数，进而得到函数 f x 的单调递增区间；
（3）根据函数的单调性与奇偶性，把不等式 f x f 2x 1 ，转化为 x 2x 1 ，即可求解.
【详解】(1)解：由题意，函数 y f (x) 为 R 上的偶函数，当 x 0 时， f x ex x
设 x 0 ，则 x 0 ，可得 f x f x e x ( x) e x x ，
即当 x 0 时，函数 f x 的解析式为 f x e x x .
(2)解：当 x 0 时， f x ex x，
因为 y ex 和 y x 都是增函数，可得 f x ex x在[0, ) 上为增函数，
又因为函数 y f (x) 为 R 上的偶函数，所以函数 f x 在区间 ( ,0)上为减函数，
所以函数 f x 的单调递增区间为[0, ) .
(3)解：由函数 y f (x) 为 R 上的偶函数，
且函数 f x 在区间为[0, ) 上单调递增，在区间 ( ,0)单调递减，
则不等式 f x f 2x 1 1，即为 x 2x 1 ，解得 x 13 ，
1
即不等式的解集为 ( ,1)3 .
19 f x a x
1 3
．已知函数 （ a 0且a 1）的图象经过点 , .
2 3
(1)求 a 的值；
(2)设F x f x f x ，
①求不等式F x 8 的解集；
3
F x k 2②若 x 恒成立，求实数 k 的取值范围.3
【答案】(1) a 3；(2)① ,1 ；② , 2
【分析】（1）代入已知点坐标可得 a值；
（2）①确定的单调性，利用单调性解不等式；
②不等式变形为，由基本不等式求得的最小值即可得的范围．
1 1 (1) f a 2 3
1 1
【详解】 由题意得 ，即 ，解得 a 3 .
2 3 a 3
(2)①由（1）知， f x 3x ，则F x f x f x 3x 3 x ，
又函数 y 3x 与 y 3 x 均为 R 上的增函数，所以F x 是 R 上的增函数，又F 1 8 ，
3
故不等式F x 8 可化为F x F 1 ，则 x 1，所以不等式F x 8 的解集为 ,1 .
3 3
1
②若F x 2 1 k x xx 恒成立，则 k 3 x 恒成立，所以 k 3 .3 3 3x min
x 1 x 1 3x 1因为3 x 2 3 x 2，当且仅当 x ，即 x 0时等号成立，所以 k 2 ，3 3 3
所以实数 k 的取值范围是 , 2 .
1．下列以 x 为自变量的函数中，是指数函数的是（ ）
A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1)
C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0 且 a≠1)
【答案】B
【分析】根据指数函数的定义，逐项判断即可.
【详解】A 中底数不满足大于 0 且不等于 1，故错误；
B 中函数满足指数函数的形式，故正确；
C 中系数不是 1，故错误；
D 中指数部分不是 x，故错误；
故选：B
2 2．若函数 y m m 1 mx 是指数函数，则m 等于（ ）
A． 1或 2 B． 1 C． 2 D 1． 2
【答案】C
【分析】根据题意可得出关于实数m 的等式与不等式，即可解得实数m 的值.
m2 m 1 1
【详解】由题意可得 m 0 ，解得m 2 .
m 1
故选：C.
3 f x f 2 9 f 1 ．已知函数 是指数函数，且 ，则 ______．
2
【答案】 3
【分析】依题意设 f x a x（ a 0且a 1），根据 f 2 9即可求出 a的值，从而求出函数解析，再代入计算可得.
x
【详解】解：由题意，设 f x a （ a 0且a 1），
因为 f 2 9，所以 a2 9，又 a 0，所以 a 3，
所以 f x 3x f 1 ，所以 3 ．
2
故答案为： 3
4．一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间
的严重浪费．这种病毒开机时占据内存 2KB，每 3 分钟后病毒所占内存是原来的 2 倍．记 x 分钟后的病毒所占内存
为 yKB．
（1）y 关于 x 的函数解析式为______；
（2）如果病毒占据内存不超过1GB(1GB 210 MB)，1MB 210 KB)时，计算机能够正常使用，则本次开机计算机能
正常使用_____分钟．
x
【答案】 1y 23 ， x (0, ) 57
【分析】（1）根据题意分析前面几分钟的情况可得，y 关于 x 的函数解析式；
（2）先根据题意，换算病毒占据的最大内存1GB 220 KB ,根据（1）中的解析式，列出不等式，可得答案.
【详解】因为这种病毒开机时据内存 2KB，每 3 分钟后病苺所占内存是原来的 2 倍，
所以，一个三分钟后它占据的内存为 2 2 22 KB；
两个三分钟后它占据的内存为 2 2 2 23 KB；
三个三分钟后它占据的内存为 23 2 24 KB；
x
所以 x 分钟后的病每所占内存为 2 23 KB，
x
所以 1y 23 ， x 0, ．
（2）由题意，病毒占据内存不超过1GB时，计覚机能够正常化用，又1GB 220 KB，
x
故有 123 220 ，解得 x 57 ．
所以本次开机计算机能正常使用的时长为 57 分钟．
x
故答案为： 1y 23 ， x 0, ；57
5．已知放射性元素氡的半衰期是 3.83 天，问：
(1)经过 7.66 天以后，氡元素会全部消失吗？
1
(2)要经过多少天，剩下的氡元素只有现在的 ？
8
(3) m x f x m a x质量为 的氡经 天衰变后其质量为 ，试用计算器求 a的值.
【答案】(1)不会；(2)11.49；(3) 0.83
1 2 1
【分析】（1）利用半衰期是 3.83 天进而经过 2 个半衰期后，氡元素还有原来的 ( ) ；
2 4
1 1
（2 3）因为 =( ) ，所以要经过 3 个半衰期；
8 2
1 1
（3 3.83）利用半衰期为3.83，得到 f 3.83 m，即 a ，再利用计算器进行求解.
2 2
【详解】(1)解：不会，因为放射性元素氡的半衰期是 3.83 天，
1 2 1
所以经过7.66=2 3.83天以后，氡元素还有原来的 ( ) .
2 4
(2)解：因为放射性元素氡的半衰期是 3.83 天，
1 1 3
所以要使剩下的氡元素只有现在的 =( ) ，
8 2
需经过3 3.83=11.49天.
(3)解：因为放射性元素氡的半衰期是 3.83 天，
所以 f 3.83 1 m a3.83 1，即 ，
2 2
1 1
则利用计算器，得 a ( )3.83 0.83 .
2
6．函数 y a x 与 y xa的图象如图所示，则实数 a 的值可能是（ ）
1
A．2 B．3 C 1． 2 D． 3
【答案】D
【分析】利用排除法，结合指数函数和幂函数的图象特征分析判断即可.
【详解】显然 a 0．由 y a x 0，知①是函数 y a x 的图象，②是函数 y xa的图象．
由函数 y a x 的图象可知 0 a 1，排除 A，B．
由②知，函数 y xa在 x 0 时有意义，排除 C，
故选：D．
7．如图所示，函数 y 2x 2 的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将原函数变形为分段函数，根据 x 1及 x 1时的函数值即可得解.
x 2
x 2, x 1
【详解】 y 2 2 x ，
2 2 , x 1
x 1时， y 0, x 1时， y 0 .
故选：B.
8．函数 y a x 1(a 0,a 1) 恒过定点___________．
【答案】 1,1
【分析】利用指数型函数的特征，求解函数恒过的定点坐标.
【详解】当 x 1 0，即 x 1时， y a0 1，
所以 y a x 1(a 0,a 1) 恒过定点 1,1 .
故答案为： 1,1
9．已知函数 f x 2x a 的定义域为 2, ，则a _________．
【答案】 4
【分析】由已知可得不等式 2x a 0的解集为 2, ，可知 x 2为方程 2x a 0 的根，即可求得实数 a的值.
【详解】由题意可知，不等式 2x a 0的解集为 2, ，则 22 a 0 ，解得 a 4，
当 a 4时，由 2x 4 0，可得 2x 4 22 ，解得 x 2，合乎题意.
故答案为： 4 .
1 x10．函数 y 2
,( 3 x 1) 的值域是__________.
1 8 【答案】 ， 2
【分析】根据指数函数的单调性，结合定义域，即可得答案.
1
x
【详解】因为指数函数 y 在[ 3,1]上为单调递减函数，
2
3
x=-3 1 所以当 时，函数有最大值为 8，
2
1
当 x=1 1时，函数有最小值为 2 . 所以值域为 ，8 . 2
1 8 故答案为： ， 2
11 2．函数 f (x) 3 x 1(x R)的值域为_________．
【答案】 (0,3]．
【分析】求出函数 x2 1的取值集合，再利用指数函数的单调性求解.
【详解】设 t x 2 1，因为 x R ，所以 t 1 .
又因为函数 y 3x 为增函数，有0 3t 31，所以函数 f (x) 的值域为 (0,3]．
故答案为： (0,3]
12．求下列函数的定义域：
4
(1) y 2 x 4 ；
(2) y 2
x
.
3
【答案】(1) x x 4 ；(2)R
【分析】（1）根据指数函数的定义域为 R 以及分母不为零即可解出；
（2）由指数函数的定义域为 R 即可解出．
4
【详解】(1)由题意可得， x 4 0，即 x 4，所以函数 y 2 x 4 的定义域为 x x 4 ．
x
(2) 2 因为指数函数的定义域为 R ，所以函数 y 的定义域为 R ．
3
x21 6x 1713．（1）已知函数 y ．
2
①求函数的定义域、值域；
②确定函数的单调区间．
（2）画出函数 y 2|x 1|的图象，并依据图象指出它的相关性质．
1
【答案】（1）①定义为R ，值域为 (0, ]；②在 3, 上是减函数，在 ,3 256 上是增函数；（2）答案见解析.
【分析】（1）①利用二次函数、指数函数的性质求复合函数的定义域和值域，②根据指数型复合函数单调性判断
函数的单调区间.
（2）写出原函数的分段函数形式，根据指数函数的图象性质画出函数图象，结合图象确定它的单调性、定义域、
值域、对称性等.
【详解】（1）①设u x2 6x 17 ，
y (1 2由 )u
1
及u x2 6x 17 的定义域都是 ( , ) x 6x 17，故函数 y ( )2 的定义为R ．2
∵ u x2 6x 17 (x 3)2 8 8 ，
∴ (1)u (1)8 ，又 (
1)u 0 1，故原函数值域为 (0, ]2 2 2 256 ．
②函数u x2 6x 17 在 3, 上增函数，即对任意 x1, x2 3, 且 x1 x2，有u1 u2 ，
u
1 1
u
1 2
而 ，即 y1 y2 ，
2 2
所以原函数在 3, 上是减函数，同理：原函数在 ,3 上是增函数.
2x 1, x 1
y 2 x 1 （2） x 1 1 ，图象和性质如下，
, x 1
2
①对称性：对称轴为 x 1；
②单调性：在 ,1 上单调递减，在 1, 上单调递增；
③定义域为 R，值域： 1, .
14．比较下列各组中两个数的大小：
(1) 0.20.3和0.20.2 ；
(2)1.20.3和1.20.2；
(3) 0.30.1和0.3 0.1 ；
(4)1.350.2和1.35 0.2 ．
【答案】(1) 0.20.3 0.20.2 ；(2)1.20.3 1.20.2 ；(3) 0.30.1 0.3 0.1；(4)1.350.2 1.35 0.2
【分析】（1）利用指数函数 y 0.2x 是减函数可求解；
（2）利用指数函数 y 1.2x是增函数可求解；
（3）利用指数函数 y 0.3x 是减函数可求解；
（4）利用指数函数 y 1.35x 是增函数可求解；
【详解】(1)因为指数函数 y 0.2x 是减函数，且0.3 0.2，所以0.20.3 0.20.2
(2)因为指数函数 y 1.2x是增函数，且0.3 0.2，所以1.20.3 1.20.2
(3)因为指数函数 y 0.3x 是减函数，且0.1 0.1，所以0.30.1 0.3 0.1
(4)因为指数函数 y 1.35x 是增函数，且0.2 0.2，所以1.350.2 1.35 0.2
15．下列各数中，哪些大于 1，哪些小于 1？
2 7 5
6 3 3 3 5 6 0.2
，5
，
4
， (0.16) .
3
2 7 5
【答案】 6
3 3 3 5 6 0.2
1，
5 4
1， 1， (0.16) 1 .
3
【分析】利用指数函数的单调性判断即可.
2 7 5
【详解】 6 6
0 3 3 0 0 3 3 5 6 1， 1， 5 0.2 0 5 5 4 4 3 3
1， (0.16) (0.16) 1
M x x 2 0 1 x 16．已知集合 ， N x 2 8 ，则（ ）
3 x 2
A．M N R B．M N x 2 x 3
C．M N x 2 x 3 D．M N x 1 x 3
【答案】D
【分析】解分式不等式和指数不等式可求得集合M , N ，由交集和并集定义可得结果.
x 2 x 2 3 x 0
【详解】由 0得： ，解得： 2 x 3，即M x 2 x 3 ；3 x 3 x 0
1
由 2x 8得： 1 x 3， N x 1 x 3 ；
2
M N x 2 x 3 ，M N x 1 x 3 .
故选：D.
17．（1）求 f x 22x 2x 1 3的值域；
2
（2）解不等式 a x a 3x 2 （ a 0且a 1）.
【答案】（1）值域为 2, ；（2）当 a 1时，解集为 , 2 1, ，当 0 a 1时，解集为 2, 1 .
【分析】（1）换元后利用二次函数配方求值域；（2）对 a 进行分类讨论，分 a 1与 0 a 1两种情况，结合函数单调
性解不等式.
2x x 1
【详解】（1） f x 2 2 3，令 2x t 0，则 g t t 2 2t 3 t 1 2 2，所以当 t 1时， g t 取得最小值
2，故 f x 22x 2x 1 3的值域为 2, ；
（2）当 a 1时，由于 y a x 单调递增，所以 x2 3x 2，解得： x 1或 x 2；
当 0 a 1时，于 y a x 单调递减，所以 x2 3x 2，解得： 2 x 1，
综上：当 a 1时，解集为 , 2 1, ，当 0 a 1时，解集为 2, 1 .
18 x．已知函数 f x k 3 a 3 b ( a 0，且a 1)是指数函数.
(1)求 k，b 的值；
(2)求解不等式 f 2x 7 f 4x 3 .
【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；
（2）分 a 1和 0 a 1两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】(1)解：因为 f x k 3 a x 3 b ( a 0，且a 1)是指数函数，
所以 k 3 1，3 b 0，
所以 k 2 ，b 3；
(2)解：由（1）得 f x a x ( a 0，且a 1)，
①当 a 1时， f x a x在 R 上单调递增，
则由 f 2x 7 f 4x 3 ，
可得 2x 7 4x 3，解得 x 2；
②当 0 a 1时， f x a x在 R 上单调递减，
则由 f 2x 7 f 4x 3 ，
可得 2x 7 4x 3，解得 x 2 ，
综上可知，当 a 1时，原不等式的解集为 , 2 ；
当 0 a 1时，原不等式的解集为 2, .
19 x3．已知函数 f (x) a x (a 0且 a 1)．
(1)解不等式 f (x) 1；
(2)当 0 a 1时，若 x (1,2)， m (1, 2) ， f (mx 2) f (x2 nx) x2 nx mx 2 0 ，求 n的取值范围．
【答案】(1)当 a 1时，不等式的解集为 (0, )；当 0 a 1时，不等式的解集为 ( ,0) .
(2) (1 2 2, )
3
【分析】（1）把不等式 f (x) 1转化为 a x x a0 ，分 a 1和 0 a 1，结合指数函数的单调性，即可求解；
（2）由 y f (x) x是减函数，把不等式转化为 f (mx 2) (mx 2) f x2 nx x2 nx 2，得到m n x ，进
x
而得到 (m n)
2
min (x )
2
min ，结合基本不等式和题意求得m n和 x 的最小值，列出不等式，即可求解.x x
3
【详解】(1)解：因为函数 f (x) a x x ，由 f (.x) 1，可得 a x
3 x a0 ，
当 a 1时，可得 x3 x 0，解得 x 0；
当 0 a 1时．可得 x3 x 0，解得 x 0 ，
故当 a 1时，不等式 f (x) 1的解集为 (0, )；
当 0 a 1时，不等式 f (x) 1的解集为 ( ,0)．
(2)解：因为函数 y x3和 y x 是增函数，所以函数 y x3 x是增函数，
3
因为 0 a 1，所以 f (x) a x x 是减函数，则函数 y f (x) x是减函数，
不等式 f (mx 2) f x2 nx x2 nx mx 2 0，
即 f (mx 2) (mx 2) f x2 nx x2 nx ，
2
所以mx 2 x2 nx ，整理得m n x ，
x
则 (m
2
n)min (x )min ，x
x (1,2) x 2 2 x 2由 ，所以 2 2 ，当且仅当
x x x 2
时，等号成立，
又由 m (1, 2) ，可得 m n 1 nmin ，
所以1 n 2 2 ，解得 n 1 2 2 ，
故 n的取值范围为 (1 2 2, )．
1．下列是指数函数的是（ ）
A． y 4 x B 2． y 2x 1
C． y a x D． y x
【答案】D
【分析】根据指数函数的概念判断可得出合适的选项.
【详解】根据指数函数的解析式可知， y x为指数函数，A、B 选项中的函数均不为指数函数，
C 选项中的底数 a的范围未知，C 选项中的函数不满足指数函数的定义.
故选：D.
4x
1
, x 1 7
2．设函数 f (x) 2 ，若 f f 8，则a （8 ） a x , x 1
3
A 1． 2 B． C．1 D．24
【答案】D
【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解.
f 7 【详解】解： 4
7 1
3，
8 8 2
则 f
f
7
f (3) a
3
，得 a3 8，解得 a 2．
8
故选：D
3．某灭活疫苗的有效保存时间 T（单位：小时 h ）与储藏的温度 t（单位：℃）满足的函数关系为T eht b （k，b
为常数，其中 e 2.71828 ，是一个和 类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使
用.若在 0℃时的有效保存时间是 1080 h ，在 10℃时的有效保存时间是 120 h ，则该疫苗在 15℃时的有效保存时间为
（ ）
A．15h B．30h C．40h D．60h
【答案】C
【分析】根据已知的函数模型以及已知数据，待定系数即可求得结果.
2
【详解】由题意知1080 eb ，120 e10k b e10k eb e10k e5k 120 1，所以 ，1080 9
e5k 1 e15k 1 e15k b e15k eb 1所以 ，所以 ，所以 1080 40 .
3 27 27
故选：C．
4．函数 y 21 x 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将函数改写成分段函数，再根据指数函数的性质判断即可.
2x 1, x 1
【详解】解：函数 y 21 x 21 x
，
, x 1
当 x 1时， y 2x 1是增函数，当 x 1时， y 21 x的减函数，
且 x 1时， y 1，即图象过 1,1 点；
符合条件的图象是A ．
故选：A．
5．在同一坐标系中，函数 y ax2 bx 与函数 y bx 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断 b 的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可．
【详解】解：函数 y bx 的是指数函数，b 0且b 1，排除选项 C，
b
如果 a 0，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点： x ，
a
所以 B 正确；
对称轴在 x 轴左侧，C 不正确；
b
如果 a 0，二次函数有一个零点 x 0，所以 D 不正确．
a
故选：B．
6．函数 y 3 x 与函数 y 3x 的图象（ ）
A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 y x 对称
【答案】C
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象判断.
【详解】解：在同一坐标系中，作出函数 y 3 x 与函数 y 3x 的图象，如图所示：
由图象知：函数 y 3 x 与函数 y 3x 的图象关于原点对称，
故选：C
7．函数 y 3x 27 的定义域为（ ）
A． , 3 B． , 3 C． 3, D． 3,
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案.
【详解】由题意得3x 27 0，即3x 33 ，解得 x 3．
故选：C.
8．已知集合 A x x2 3x 0 x，B x | 3 3 ，则 A B （ ）
1
A 1 ． 0, B． ,3 C． 0, 2 D． 1,32 2
【答案】B
【分析】求出集合A 、 B ，再由交集的定义求解即可
【详解】集合 A x x2 1 3x 0 x 0 x 3 B x 3x， 3 x x ，
2
则 A B
1
x x 3
2
.
故选：B.
9．(多选)设指数函数 f (x) a x (a>0，且 a≠1)，则下列等式中正确的是（ ）
A． f (x y) f (x) f (y)
f (x)
B． f (x y) f (y)
f ( xC． ) f (x) f (y)y
D． f (nx) [ f (x)]n (n Q)
【答案】ABD
【分析】根据给定的指数函数，结合指数运算法则逐项计算判断作答.
【详解】因指数函数 f (x) a x (a>0，且 a≠1)，则有：
对于 A， f (x y) a x y a x a y f (x) f (y)，A 中的等式正确；
x
B f x y a x y a x a y a
f x
对于 ， a y
f y ，B 中的等式正确；
x
对于 C， f ( x ) a y ， f (x) f (y) a x
x
a y ，显然， a y xy a a
y ，C 中的等式错误；
对于 D， n Q， f (nx) anx (a x )n [ f (x)]n ，D 中的等式正确.
故选：ABD
10 x．（多选）已知函数 f x 2 1 ，实数 a，b 满足 f a f b a b ，则（ ）
A． 2a 2b 2 B． a，b R ，使得0 a b 1
C． 2a 2b 2 D． a b 0
【答案】CD
【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项 A、C 的正误，根据基本不等式，可得选项
B、D 的正误.
【详解】画出函数 f x 2x 1 的图象，如图所示．由图知1 2a 2b 1，则 2a 2b 2，故 A 错，C 对．
由基本不等式可得 2 2a 2b 2 2a 2b 2 2a b ，所以 2a b 1，则 a b 0，故 B 错，D 对．
故选：CD．
x2 4x 3
11．（多选）已知函数 f x 1 ，则（ ）
2
A．函数 f x 的定义域为 R B．函数 f x 的值域为 0, 2
C．函数 f x 在 2, 上单调递增 D．函数 f x 在 2, 上单调递减
【答案】ABD
u
1
【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断 A；令u x2 4x 3，则u 1, ， y ，结合指数函数
2
的单调性得到函数的值域，可判断 B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断 C、D.
【详解】令u x2 4x 3，则u 1, ．
对于 A， f x 的定义域与u x2 4x 3的定义域相同，为 R，故 A 正确；
u
对于 B 1， y ，u 1, 的值域为 0,2 ，所以函数 f x 的值域为 0, 2 ，故 B 正确；
2
u
对于 C、D，因为u x2 4x 3在 2, y 1上单调递增，且 ，u 1, 在定义域上单调递减，所以根据复
2
合函数单调性法则，得函数 f x 在 2, 上单调递减，所以 C 不正确，D 正确.
故选：ABD.
12．判断正误．
x
（1 1 ）函数 y 1的值域是 (0, )．( )
3
x
2 f (x) 5 （ ）已知函数 ，若实数 m，n 满足 f (m) f (n)，则m n ．( )
2
（3）指数函数 f (x) 的图象过点( 0, 1)．( )
（4）函数 y 2 x 1 的定义域是 R．( )
【答案】 × √ √ ×
1 1
x
1
x 1 x
【详解】（ ）由 0
，所以 1 1，所以函数 y 1的值域是 ( 1, )，故错误；
3 3 3
x
（2 f (x) 5 ）由函数 为递增的函数，所以当 f (m) f (n)时，m n ，故正确；
2
（3）指数函数 f (x) 的图象过定点( 0, 1)，故正确；
（4）令 x 1 0 x 1，所以函数 y 2 x 1 的定义域是 1, ，故错误.
13．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y g 与
时间 t h 之间近似满足如图所示的图象，则 y 关于 t 的函数解析式为______；据进一步测定，每毫升血液中含药量
不少于0.25 g 时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______h．
4t,0 t 1
【答案】 y
79
1 t 3
, t 1 16
2
t a
【分析】由图象可直接写出0 t 1对于的解析式，将(1,4) y 1 代入 求得 a 即可求解；令 y 0.25分段求解即
2
可.
【详解】解：由题意知，当0 t 1时，函数图象是一条线段，易得解析式为 y 4t ；
t a 1 a
当 t 1时，函数的解析式为 y 1 ，将(1,4)
1
代入函数解析式，得 4 ，解得 a＝3，
2 2
1 t 3
故解析式为 y ．
2
4t,0 t 1
所以 y
1 t 3 ．
, t 1
2
令 y 0.25
1
，则当0 t 1时， 4t 0.25，解得 t 1；
16
t 3
t 1 1
1
当 时， 0.25，解得1 t 5，所以 t 5．
2 16
1 79
故服药一次治疗疾病有效的时间为5 h ．
16 16
4t,0 t 1
t 3 79
故答案为: y 1 ; .
, t 1 16
2
14 x 1．不论 a为何值时，函数 f x a a(a 0且 a 1)恒过定点__________．
【答案】 2,0
【分析】将函数变形为 f x a x 1 a a a x 2 1 ，由恒等式 a0 1可得.
f x a x 1 a a a x 2【详解】因为 1 ， f (2) 0恒成立，所以恒过定点 2,0 ．
故答案为： 2,0
1
15 ．函数 y 0.5x 8 2 的定义域为______．
【答案】 , 3
【分析】将函数转化为根式形式，根据根式复合型函数定义域范围求解，转化为指数函数不等式 2 x 23 ，根据其
单调性进一步求解.
1
【详解】因为 y 0.5x 8 2 1 ，所以
x 0.5
x 8 0，则 2 x 23 ，
0.5 8
即 x 3，解得 x 3，
1
故函数 y 0.5x 8 2 的定义域为 , 3 ．
故答案为： , 3 .
16 x2．不等式3 ax 32x a 2 恒成立，则 a的取值范围是_________．
【答案】 2，2
【分析】由 y 3x 在 R 2 2上递增，将不等式3x ax 32x a 2 恒成立，转化为 x a 2 x a 2 0恒成立求解.
【详解】解：因为 y 3x 在 R 上递增，
2
所以不等式3x ax 32x a 2 恒成立，
即 x2 ax 2x a 2，恒成立，
2
亦即 x a 2 x a 2 0恒成立，
则 a 2 2 4 a 2 0，解得 2 a 2，
故 a的取值范围是 2，2 ．
故答案为： 2，2
17．求下列函数的定义域、值域：
(1) y 3 5x 1;
x2 2x 3
(2) y 1 2
.
1
【答案】(1)定义域为 x | x ，值域为[1, ) ；
5
(2)定义域为 R，值域为（0，16].
【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可；
（2）根据指数函数的性质进行求解即可.
1
【详解】(1)由函数解析式可知：5x 1 0 x
1
x | x ，所以函数的定义域为： ；5 5
因为 5x 1 0 ，所以3 5x 1 30 1，因此函数的值域为：[1, ) ；
(2)由函数的解析式可知：函数的定义域为 R，
2
1 x 2x 3 2y 2
x 2x 3，因为 x2 2x 3 (x 1)2 4 4，
2
2
所以0 2 x 2x 3 24 16，因此函数的值域为：（0，16].
18 2x x．已知函数 f x a 2a 1（ a 0，且a 1），求函数 f x 在 0, 上的值域．
2
【分析】应用换元法，令 t a x 则 g t t 1 2 ，讨论 a 1、 0 a 1，注意定义域的范围，结合二次函数性质判
断 g t 单调性，根据单调性求值域即可.
【详解】令 t a x
2
，则 f x 可化为 g t t 2 2t 1 t 1 2．
当 a 1， x 0 时， t 1，又 g t 在 1, 上单调递增，
∴ g t g 1 2，即 f x 2；
当 0 a 1， x 0 时，0 t 1，又 g t 在 0,1 上单调递增，
∴ 1 g t 2，即 1 f x 2．
综上，当 a 1时，函数 f x 在 0, 上的值域是 2, ；
当 0 a 1时，函数 f x 在 0, 上的值域是 1,2 ．
1 ax
2 4x 3
19 f (x) ．已知函数 ，若 f (x) 的值域是 (0, )，求 a的值．
3
【答案】0
t
1
【分析】利用换元法，令 t ax2 4x 3，则 y ，则由题意可知 t ax2 4x 3的值域为R ，从而可求出 a的值
3
1 t
【详解】令 t ax2 4x 3 y ，则 ，
3
t
因为 f (x) 的值域是 (0, ) 1，即 y 的值域是 (0, )，
3
所以 t ax2 4x 3的值域为R ，
若 a 0，则 t ax2 4x 3为二次函数，其值域不可能为R ，
若 a 0，则 t 4x 3，其值域为R ，
所以 a 0
20．比较下列各组中两个数的大小：
(1)1.62.5，1.73 ；
(2) 0.6 0.1，0.6 0.5；
(3)1.70.3，0.93.1．
【答案】(1)1.62.5 1.73 ；(2) 0.6 0.1 0.6 0.5 ；(3)1.70.3 0.93.1
【分析】（1）利用指数函数与幂函数的单调性可出1.62.5与1.73 的大小关系；
（2）利用指数函数的单调性可得出0.6 0.1与0.6 0.5的大小关系；
（3）利用指数函数的单调性结合中间值法可得出1.70.3与0.93.1的大小关系.
【详解】（1）解：因为指数函数 y 1.6x为R 上的增函数，幂函数 y x3在 0, 上为增函数，
故1.62.5 1.63 1.73 ，故1.62.5 1.73 .
（2）解：因为指数函数 y 0.6x 为R 上的减函数，故0.6 0.1 0.6 0.5 .
（3）解：因为指数函数 y 1.7x 为R 上的增函数，指数函数 y 0.9x 为R 上的减函数，
故1.70.3 1.70 1 0.90 0.93.1，即1.70.3 0.93.1 .
21．分别把下列各题中的 3 个数按从小到大的顺序用不等号连接起来：
（1） 22.1， 21.9 ，0.32.1；
1 2.52 22.5 2.50 （ ） ， ， ；
2
（3）0.80.8 ，0.80.9 ，1.20.8；
1 2 2
（4） 2
5 3 3， ， 3 3 .
3 3 2
【分析】利用指数函数的单调性求解,
【详解】（1）因为 22.1 1， 21.9 1，0.32.1 1；
又因为 y 2x 在 R 上是增函数，
所以 22.1 21.9 ，
所以 22.1 21.9 0.32.1；
2.5
（2 1）因为 22.5 1， 2.50 1 ， 2
1，
1 2.5
所以 22.5 2.50 2
；
（3）因为0.80.8 1，0.80.9 1，1.20.8 1；
又因为 y 0.8x 在 R 上是减函数，
所以0.80.8 0.80.9 ，
所以1.20.8 0.80.8 0.80.9 ；
1 1 2 2 2
（4 3 3 3 3 3）因为 2 3 1， 5 3 3 3 2 3
1， 1，
5 2
3 x
又又因为 y 在 R 上是增函数，
2
2 1
3 3
所以 3 3 2 2
，
2 1 2
3 3 2
3 5
3所以 2
3
.
3
22．已知指数函数 f (x) a x （ a 0且a 1）经过点 (3, 27) .
(1)求 f (x) 的解析式及 f ( 1)的值；
(2)若 f (x 1) f ( x)，求 x 的取值范围.
1 1
【答案】(1) f (x) 3x ， f ( 1) ；(2) x x 3 2
x
【分析】（1）将点 3,27 代入到 f x a ，解得 a 的值，即可求出解析式，由此可求出 f 1 的值；
（2）根据指数函数为增函数，转化为不等式 x 1 x，解之即可.
【详解】(1)因为 f (x) a x （ a 0且a 1）经过点 (3, 27) ，
所以 a3 27，所以 a 3，
所以 f (x) 3x ，
1
所以 f ( 1) 3 1 ；
3
(2)因为 f (x 1) f ( x)，即3x 1 3 x ，
又 f (x) 3x 在 R 上为增函数，
所以 x 1 x x
1
，
2
∴x 的取值范围为： x x
1
.
2
23．已知 y f x 是定义在R 上的奇函数，当 x 0 时， f x 3x a a R ．
(1)求函数 f x 在R 上的解析式；
(2)若 x R ， f x2 x f 4 mx 0恒成立，求实数m 的取值范围．
3x 1 x 0
【答案】(1) f x x ；(2) m 5,3
3 1 x 0
【分析】（1）根据奇函数的性质 f 0 0，即可求出 a，再设 x 0 ，利用奇偶性求出 x 0 时函数解析式，即可得
解；
（2 2）首先判断函数的单调性，再结合函数的奇偶性可得 x R ， x m 1 x 4 0恒成立，则 ，即可得到
不等式，解得即可.
【详解】(1)解：由题意知 f 0 0，解得 a 1 x，所以当 x 0 时， f x 3 1，
当 x 0 x，则 x 0 ，所以 f x 3 1 f x ．
又 f x 为奇函数，所以 f x f x ，
故当 x 0 时， f x 3 x 1．
x
综上： f x
3 1 x 0
x ．
3 1 x 0
(2) 2解：由 f x x f 4 mx 0 f x2，得 x f 4 mx ，
因为 y f x 2是奇函数，所以 f x x f mx 4 ．
x 0 f x 3x当 时 1，所以函数 f x 在 0, 上单调递增，又 f x 是定义在R 上的奇函数，
所以 y f x 在R 上单调递增．
可得 x R ， x2 m 1 x 4 0恒成立，
2
故 m 1 ，解得 5 m 3．
所以m 5,3 ．
24．已知函数 f x 2x m 4x .
(1)当m 0时，求关于 x 的不等式 f x 2 的解集；
(2) x若对 x 0,1 ，不等式 f x 2 m 2 恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) ( ,1)；(2) (1, )
【分析】（1）利用换元法，解一元二次不等式，可得答案;
（2 x）换元，将不等式 f x 2 m 2 变为一元二次不等式在给定区间上恒成立的问题，列出相应的不等式组，求
得答案.
【详解】(1)当m 0时， f x 2 即 2x m 4x 2，
即 (2x )2 2x 2 0，令 t 2x , t 0 ，则 t 2 t 2 0，
解得0 t 2 ，故0 2x 2, x 1 ，
所以关于 x 的不等式 f x 2 的解集为 ( ,1) ；
(2)对 x 0,1 x，不等式 f x 2 m 2 恒成立，
即 2x m 4x 2 m 2x恒成立，
令 t 2x , t [1,2] ，则 t 2 (m 2m )t 2 0恒成立，
1 (m 2m ) 1 2 0
需满足 ，即m 2m 3 ，
4 (m 2
m ) 2 2 0
而函数 y x 3x 是单调递增函数，且 x 1 时， y 3 ，
故由m 2m 3可知：m 1 ，
即求实数m 的取值范围为 (1, ) .