4．3 对 数
知识点一 对数的有关概念
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN，
其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
常用对数与自然对数：
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，以 e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，
log10N 可简记为 lg N，
logeN 简记为 ln N.
知识点二 对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
若 a>0，且 a≠1，则 ax＝N logaN＝x.
log
对数恒等式： a a N ＝N；
logaax＝x(a>0，且 a≠1)．
知识点三 对数的性质
1．1 的对数为零．
2．底的对数为 1.
3．零和负数没有对数．
知识点四 对数运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
M
(2)loga ＝logaM－logaN；N
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点五 换底公式
logcb
1．logab＝ (a>0，且 a≠1；c>0，且 c≠1；b>0)．logca
2．对数换底公式的重要推论：
1
(1)logaN＝ (N>0，且 N≠1；a>0，且 a≠1)；logNa
m
(2) log mn b ＝ logab(a>0，且 a≠1，b>0)；a n
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且 a≠1，b≠1，c≠1)．
【题型目录】
题型一、指数式与对数式的互化
题型二、利用对数式与指数式的关系求值
题型三、利用对数性质及对数恒等式求值
题型四、对数运算性质的应用
题型五、对数换底公式的应用
题型六、对数的综合应用
题型一、指数式与对数式的互化
1．将下列指数式与对数式互化：
(1) log2 16 4；
(2) log1 27 3；
3
(3) log 3 x 3；
(4)53 125；
(5) 1 12 ；
2
(6) 1
2
3
9．
题型二、利用对数式与指数式的关系求值
2．求下列各式中 x 的值：
(1) log
2
27 x ；3
(2) log x 16 4；
1
(3) lg x；
1000
(4) lne 3 x .
3．求下列各式中的 x 的值
（1） log1 x 3； （2） log x 64 4 ；
3
（3） lg 0.00001 x ； （4） ln e x；
1 1 log 25
3
x 6 2ln e lg1 3log 2（ ） ； （ ） 3 log2 16 x .
3
题型三、利用对数性质及对数恒等式求值
4．求下列各式中 x 的值：
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x) 1 (3) x＝71－log 5＝ ； 7 .
5．求下列各式中的 x 的值：
（1） log x22 2 0；
log 3x2（2） 2 2x 1 12x 1 ．
6．若 log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则 x＋y＋z 的值为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
题型四、对数运算性质的应用
7．计算
log 16
(1) 27log38
(2) lg5 lg20 lg2 2
8 2．化简3log9 x 的结果为（ ）
A． x
1 1
B． C． x D．
x | x |
9．计算：
7
(1) lg14 2lg lg 7 lg18；
3
(2) lg5 2 3lg 2 2lg5 lg 2 lg 5；
log 2 2 2 (3) 6 log6 3 3log6 2 log 3
1
6 18 log6 2
．
3
b
10．已知 a 0，b 0，若 log4 a log6 b log9 a b ，求 的值.a
题型五、对数换底公式的应用
11．已知 a lg 2，b lg3，则 log36 5 （ ）
2a 2b 1 a
A． B．
1 a 2a b
2 2a 1 a
C． D．
a b 2a 2b
12． log59 log2 25 log3 4 ________．
13．（1）已知 log2 3 a，3b 7 ，试用 a,b表示 log12 56；
49
（2）已知 log3 2 a ， log3 7 b，试用 a,b表示 log28 ．8
题型六、对数的综合应用
14．1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637 年法国数学家笛卡
尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先
于指数．若5x 2， lg 2 0.3010，则 x 的值约为（ ）
A．0.431 B．0.430 C．0.429 D． 2.322
15．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量在 20～80mg 之间为酒后驾
车，80mg 及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 2.4mg/mL，且在停
止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时 20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经
过的小时数约为（ ）
（参考数据： lg 2 0.3， lg3 0.48）
A．12 B．11 C．10 D．9
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)54 625；
1
(2) 2 6 ；
64
(3) 4x 10 ；
m
(4) 3 4 9 ；
(5) log2 16 4；
(6) log
1
3 2；9
(7) log3 5 x 2；
(8) loga 1 b 2 3．
2．利用指数式、对数式的互化求下列各式中 x 的值．
（1） log2 x
1
；
2
（2） log x 25 2 ；
（3） log 25 x 2 ．
3．求下列各式中 x 的值：
（1）logx3 1＝ 2 ；
（2）log
2
64x＝－ 3 ；
（3）－lne2＝x；
（4） log (2x2 4x 1) 1(x2 2) ；
（5）log5[log3(log2x)]＝0.
4．已知2a 3，b log 5，则4a 3b8 ______．
5．求下列各式的值．
2
(1) (8) 3 4 ( 1)4 ( 0.2)0
(2) lg 4 lg 25 log3 27 7
log7 2 ．
6．对数恒等式： aloga N _______， loga a
N ______.
7．计算： eln 2 log2 3 log3 4 ________.
8．若 log x 8 6，则 log2 x ___________.
9．核酸检测分析是用荧光定量 PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在 PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标 DNA
实时监测，在 PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA 的数量 X 与扩增次数 n 满足
lg X n n lg(1 p) lg X 0，其中 X 0 为 DNA 的初始数量，p 为扩增效率.已知某被测标本 DNA 扩增 12 次后，数量变为
原来的 1000 倍，则扩增效率 p 约为（ ）（参考数据：100.25 1.778,10 0.25 0.562）
A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%
2
1．求值 lg 4 2lg 5 log2 8 83 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．1
2．已知 x log 4 1，则4x3 的值为（ ）
1 1
A．3 B． C．4 D．
3 4
3．方程 ln log3 x 0的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
1
4．若 log2 3 log36 m log9 6 ，则实数m 的值为（ ）2
A．4 B．6 C．9 D．12
5．（多选）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能
量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 lg E 4.8 1.5M ，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级为七级
B．八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的 6.3 倍
C．八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的 1000 倍
f n 1
D．记地震里氏震级为 n n 1, 2, ,9 ，地震释放的能量为 f n ，则 101.5f n
6．化简 (2 log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)= ____________
7．若正数 a 满足a lg 2 4 ，则a ___________．
8． log5 log3 log x 0 1 2 ，则 x 2 ___________.
9．心理学家有时用函数 L t A 1 e kt 测定在时间 t（单位：min）内能够记忆的量 L，其中 A 表示需要记忆的量，
k 表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为 200 个单词，此时 L 表示在时间 t 内该生能够记忆的单词个数．已知
该生在 5min 内能够记忆 20 个单词，则 k 的值约为（ ln0.9 0.105， ln 0.1 2.303）______．
1 3x , x 0
10 f x f f 1 ．已知函数 ，则 ______.
log9 x, x 0 4
1
1 2
11．计算0.064 3 ( )0 2log2 5.5 结果是__________．
8 2 1
x 1 1
12 3 ．已知实数 x, y满足： y 2 27，则 x y ________． 2
13．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3x 2；
(2) 2m 6；
1
(3) log2 2；4
(4) log10 0.01 2．
14．求下列各式中的 x 值：
(1) log5 x 3；
(2) log2 2x 1 3；
(3) log
1
x 3；8
(4) log2 8
x 3．
15．求下列各式中 x 的值：
3
(1) log4 x ；2
(2) log2 log3 x 1；
(3) log x 27
3
；
2
(4) 4x 5 3x ．
16．计算下列各式的值：
2
(1) (2)-2 + (1- 2)0 (3 3- )3
3 8
(2) log 72 (4 2
5 ) log2 6 log2 3
17．已知 log23＝a，log37＝b，用 a，b 表示 log4256.4．3 对 数
知识点一 对数的有关概念
一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN，
其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
常用对数与自然对数：
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，以 e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，
log10N 可简记为 lg N，
logeN 简记为 ln N.
知识点二 对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
若 a>0，且 a≠1，则 ax＝N logaN＝x.
log
对数恒等式： a a N ＝N；
logaax＝x(a>0，且 a≠1)．
知识点三 对数的性质
1．1 的对数为零．
2．底的对数为 1.
3．零和负数没有对数．
知识点四 对数运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
M
(2)loga ＝logaM－logaN；N
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点五 换底公式
logcb
1．logab＝ (a>0，且 a≠1；c>0，且 c≠1；b>0)．logca
2．对数换底公式的重要推论：
1
(1)logaN＝ (N>0，且 N≠1；a>0，且 a≠1)；logNa
m
(2) log bmn ＝ logab(a>0，且 a≠1，b>0)；a n
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且 a≠1，b≠1，c≠1)．
【题型目录】
题型一、指数式与对数式的互化
题型二、利用对数式与指数式的关系求值
题型三、利用对数性质及对数恒等式求值
题型四、对数运算性质的应用
题型五、对数换底公式的应用
题型六、对数的综合应用
题型一、指数式与对数式的互化
1．将下列指数式与对数式互化：
(1) log2 16 4；
(2) log1 27 3；
3
(3) log 3 x 3；
(4)53 125；
(5) 12 1 ；
2
1 2(6) 3
9．
3
3
【答案】(1) 24
1
16；(2)
1
27；(3) 3 x；(4) log5 125 3；(5) log2 1；(6) log1 9 2 ．
3 2 3
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用指数式与对数式的互化公式直接求解作答.
【详解】(1)因为 log2 16 4，所以有：24 16 .
3
(2) 1 因为 log1 27 3，所以有： 27 .3 3
3
(3)因为 log 3 x 3，所以有： 3 x .
(4)因为53 125，所以有： log5 125 3 .
(5) 1 1因为2 ，所以有： log
1
2 1.2 2
2
(6) 1 因为 9，所以有：
log1 9 2 .
3 3
题型二、利用对数式与指数式的关系求值
2．求下列各式中 x 的值：
2
(1) log27 x ；3
(2) log x 16 4；
1
(3) lg x；
1000
(4) lne 3 x .
1 1
【答案】(1) x ；(2) x ；(3) x 3；(4) x 3 .
9 2
【分析】根据对数的定义，进而进行指对数式的互化即可求得答案.
2
2
【详解】(1) 1由题意， x 27 3 33 3 3 2 .9
1 4(2)由题意， x 4
1 1
16 2
4，而 x 0且 x 1，所以 2 x .
x x 2
1
(3) 10x 10 3由题意， x 3 .
1000
(4)由题意， ln e 3 x e 3 e x x 3 .
3．求下列各式中的 x 的值
（1） log1 x 3；（2） log x 64 4 ；
3
（3） lg 0.00001 x ；（4） ln e x；
5 1
1 log3 2
（ ） x ；（6 2
ln e lg1
） 3log3 2 log2 16 x .
3
3
【答案】（1） x 27；（2） x 2 2 ；（3） x 5；（4） x
1
；（5） ；（6） 0 .2 2
【解析】结合指数式与对数式的互化原则以及指对式的运算法则求解得结果.
1 3 3
【详解】（1）由 log1 x 3可得 x ( ) 3 27；
3 3
（2）由 log 4x 64 4 可得 x 64，且 x 0，所以 x 2 2 ；
（3）由 lg 0.00001 x 得 lg10 5 x，所以 x 5；
1 1 1
（4）由 ln e x得 e x e e2 ，所以 x ， x 2 ；2
1 1 log 25
3 3
（ ）由 (
1) 1 (1)log 13 2 3 x ，得 x ；
3 3 3 2 2
6 2ln e lg1（ ）由 3log3 2 log2 16 2
1 2 4 x ，所以 x 0 .
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数式与指数式的互化，指数幂的运算化简求值问题，在解题的过程中，
正确解题的关键是掌握指对式的互化原则，指数幂的运算法则.
题型三、利用对数性质及对数恒等式求值
4．求下列各式中 x 的值：
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3) x＝71－log7 5.
【详解】(1)∵log 02(log5x)＝0，∴log5x＝2 ＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.
7
(3) x＝71－log7 5＝7 7log7 5＝7 5＝ .
5
5．求下列各式中的 x 的值：
1 log x2（ ） 2 2 0；
（2） log 2 3x
2 2x 1 1
2x 1 ．
【答案】（1） x 3 ；（2） x 2 ．
【分析】（1）根据对数式与指数式互化公式进行求解即可；
（2）根据对数式与指数式互化公式，结合对数的定义进行求解即可.
【详解】（1）由 log x22 2 0，得 x2 2 10 1，解得 x 3 ；
（2）由 log 2 3x
2 2x 1 12x 1 ，
得3x2 2x 1 (2x2 1)1 2x2 1， 2x2 1 0，且 2x2 1 1，且3x2 2x 1 0，解得 x 2 （ x 0舍去）．
6．若 log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则 x＋y＋z 的值为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【详解】∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.
∴x＝3. 同理 y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.
题型四、对数运算性质的应用
7．计算
log 16
(1) 27log38
(2) lg5 lg20 lg2 2
4
【答案】(1) ；(2)1
9
【分析】（1）根据对数的运算法则化简，即可求得答案;
（2）根据对数的运算法则结合完全平方公式化简，即可求得答案;
4
【详解】（1） log log
4
2716 33 2 3 log3 2 4 ;
log 338 log3 2 3 log3 2 9
（2） lg5 lg20 lg2 2 lg5 2lg2 lg5 lg2 2 lg 2 lg5 2 lg10 2 1.
8 2．化简3log9 x 的结果为（ ）
1 1
A． x B． C． x D．
x | x |
【答案】C
【分析】利用对数的运算性质求解即可.
2 log x2
【详解】3log9 x 3 32 3log3 x x ，
故选：C
9．计算：
(1) lg14
7
2lg lg 7 lg18；
3
(2) lg5 2 3lg 2 2lg5 lg 2 lg 5；
log 2 2 log 3 2 3log 2 (3) 6 6 6 log 3
1
6 18 log 2
6 ．
3
【答案】(1)0；(2)3；(3)1
【分析】（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可；
（2）提公因式，逐步化简即可求解；
（3）逐步将原式化成只含 log6 2 和 log6 3形式.
2
lg14 lg 7 lg 7 lg18 lg
14 7
2 lg1 0【详解】（1）方法一：（直接运算）原式 3 7 ．
3
18
方法二：（拆项后运算）原式 lg 2 7 2 lg 7 lg3 lg 7 lg 32 2
lg 2 lg 7 2lg 7 2lg3 lg 7 2lg3 lg 2 0 ．
（2）原式 lg 5 lg5 lg 2 2 lg 2 lg5 lg 2 lg5 lg10 2lg10 lg 2 2 lg5 lg 2 3．
3
（3）原式 log6 2
2 log6 3
2 3log6 2 log
18
6 3 2
log6 2
2 log 3 26 3log6 2 log 36 9
log6 2
2 log6 3
2 2log6 2 log6 3
log6 2 log6 3
2 1．
10．已知 a 0，b 0，若 log4 a log6 b log9 a b
b
，求 的值.
a
5 1
【答案】
2
b
2
b
【分析】根据对数式与指数式互化公式得到 1 0 ，解方程求出答案.
a a
【详解】设 log4 a log6 b log9 a b m， a 0，b 0，
则 a 4 m ， b 6 m ， a b 9m ，
36m 62m b2 2∴ a b b b 9m m
m ，整理得 1 0 ，4 4 a a a
a 0 b 0 ∴ b 5 1又 ， ， .
a 2
5 1
故答案为：
2
题型五、对数换底公式的应用
11．已知 a lg 2，b lg3，则 log36 5 （ ）
2a 2b 1 a
A． B．
1 a 2a b
2 2a 1 a
C． D．
a b 2a 2b
【答案】D
【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案．
【详解】因为 a lg 2，b lg3，所以
log 5 lg5 1 lg 2 1 a36 lg36 2 lg 2 lg3 2a 2b ．
故选：D.
12． log59 log2 25 log3 4 ________．
【答案】8
【分析】直接利用对数的运算性质及对数的换底公式，对已知式子进行化简即可求解．
【详解】解： log59 log2 25 log3 4
=log53
2 log 522 log 2
2
3
2 log53 2 log25 2 log3 2
8 log53 log3 2 log25
8 lg3 lg 2 lg 5 8
lg5 lg 3 lg 2 ，
故答案为：8．
13．（1）已知 log2 3 a，3b 7 ，试用 a,b表示 log12 56；
（2）已知 log3 2 a ， log3 7 b
49
，试用 a,b表示 log28 ．8
3 ab 2b 3a
【答案】（1） ；（2） .
a 2 2a b
【分析】（1）（2）同类型题，根据指数与对数的互化及换底公式即可求解.
【详解】（1） 3b 7， b log3 7 ，
log2 3 a ， log3 2
1
，
a
3
b
log12 56
log3 56 3log3 2 log3 7 a 3 ab ；
log3 12 1 2log 2 1 23 a 2
a
（2） log2 3 a ， log3 7 b，
log 493
log 49 8 log3 49 log3 8 2log3 7 3log 3 2 2b 3a ．28 8 log3 28 log3 4 log3 7 2log3 2 log3 7 2a b
题型六、对数的综合应用
14．1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637 年法国数学家笛卡
尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先
于指数．若5x 2， lg 2 0.3010，则 x 的值约为（ ）
A．0.431 B．0.430 C．0.429 D． 2.322
【答案】A
【分析】由指对互化原则可知 x log5 2 ，结合换底公式和对数运算性质计算即可.
x log 2 lg 2 lg 2 lg 2 0.3010
【详解】由5x 2得： 5 lg 5 lg 10
0.431
1 lg 2 1 0.3010 .
2
故选：A.
15．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量在 20～80mg 之间为酒后驾
车，80mg 及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 2.4mg/mL，且在停
止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时 20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经
过的小时数约为（ ）
（参考数据： lg 2 0.3， lg3 0.48）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【分析】由题意 2.4(1 20%)t 0.2，应用对数的运算性质求 t 的范围，即可得结果.
【详解】由题设，想要在不违法的情况下驾驶汽车，则酒精含量小于0.2mg/mL，
t t log
1 lg12 2lg 2 lg3 0.6 0.48
令 小时后， 2.4(1 20%)t 0.2，则 4
10.8
5 12 lg 5 1 3lg 2 1 0.9 小时，
4
所以想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为 11 小时.
故选：B
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)54 625；
1
(2) 2 6 ；
64
(3) 4x 10 ；
m
(4) 3 4 9 ；
(5) log2 16 4；
1
(6) log3 2；9
(7) log3 5 x 2；
(8) loga 1 b 2 3．
m 1
【答案】(1) 4 log5 625；(2) 6 log
1
2 ；(3) x log4 10 ；(4) log3 9；(5)16 24；(6) 3
2
64 ；4 9
(7) 2 (8)b 2 a 1 35 x 3 ；
【分析】根据对数式与指数式的互化即可得解.
【详解】(1)解：因为54 625，所以 4 log5 625；
1 1
(2) 6解：因为 2 ，所以 6 log ；
64 2 64
(3)解：因为 4x 10 ，所以 x log4 10 ；
m m
(4)解：因为 3 4 9 ，所以 log3 9；4
(5)解：因为 log2 16 4，所以16 24；
1
(6)解：因为 log3 2
1
3 2，所以 ；
9 9
(7)解：因为 log3 5 x 2，所以5 x 32；
(8)解：因为 loga 1 b 2 3，所以b 2 a 1 3 .
2．利用指数式、对数式的互化求下列各式中 x 的值．
1
（1） log2 x ；2
（2） log x 25 2 ；
（3） log 25 x 2 ．
2
【答案】（1） x ；（2） x 5；（3） x 5或 x 5．
2
【分析】利用指对数互化即可求解.
【详解】解：（1）由 log x
1 1
2
2
，得 2 2 x，∴ x ；2 2
（2）由 log x 25 2 ，得 x2 25, x 0，且 x 1, x 5；
（3）由 log5 x
2 2 ，得 x2 52，∴ x 5，.∵ 52 25 0, 5 2 25 0，∴ x 5或 x 5．
3．求下列各式中 x 的值：
（1 1）logx3＝ 2 ；
（2）log
2
64x＝－ 3 ；
（3）－lne2＝x；
（4 2） log 2 (2x 4x 1) 1(x 2) ；
（5）log5[log3(log2x)]＝0.
1
【答案】（1）9；（2） ；（3）－2；（4）3；（5）8.
16
【分析】利用对数的概念及指数式对数式互化即得.
1 1
【详解】（1）由 logx3＝ 2 ，得 x 2 ＝3，所以 x＝9.
2 2 1 1
（2
2
）由 log x＝－ 3 3 －264 3 ，得 x＝64 3 ＝ 4 ＝4 ＝ ，所以 x＝ .16 16
（3）因为－lne2＝x，所以 lne2＝－x，e2＝e－x，于是 x＝－2.
4 log (2x2（ ）由 2 4x 1) 1 2(x 2) ，得 2x －4x＋1＝x2－2，
解得 x＝1 或 x＝3，又因为 x＝1 时，x2－2＝－1<0，舍去；
x＝3 时，x2－2＝7>0，2x2－4x＋1＝7>0，符合题意．
综上，x＝3.
（5）由 log5[log3(log2x)]＝0，得 log3(log2x)＝1，
所以 log2x＝3，
故 x＝23，即 x＝8.
4．已知2a 3，b log 5，则4a 3b8 ______．
9
【答案】 25
【分析】由指数与对数的运算性质求解
1
【详解】因为2a 3，所以 a log2 3，又b log8 5，所以b log2 5，3
3 2log 3
所以 a 3b log ， 4a 3b2 2
2 5 9 ，
5 25
9
故答案为： 25
5．求下列各式的值．
2
(1) (8) 3 4 ( 1)4 ( 0.2)0
(2) lg 4 lg 25 log 27 7log7 23 ．
1
【答案】(1) ；(2)3
4
【分析】（1）根据指数的运算化简求解；
（2）根据对数的运算及性质求解.
2
1 (23) 3 1 1 2 2 1【详解】（ ）原式 .
4
（2）原式 lg(4 25) log 333 2 2 3 2 3 .
6 N．对数恒等式： aloga N _______， loga a ______.
【答案】 N N
【详解】略
7 ln 2．计算： e log2 3 log3 4 ________.
【答案】4
【分析】根据换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可.
eln 2【详解】 log2 3 log3 4 2
lg3 lg 4
2 log 4 2 2 4
lg 2 lg3 2 ，
故答案为： 4
8．若 log x 8 6，则 log2 x ___________.
1
【答案】 2
【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算可得.
log 8 3 3
【详解】解：因为 log 8 6 2 6
log2 2
x ，所以 6 6log2 x
，即 ，即
log2 x log2 x
，
log x 1所以 2 ；2
1
故答案为： 2
9．核酸检测分析是用荧光定量 PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在 PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标 DNA
实时监测，在 PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA 的数量 X 与扩增次数 n 满足
lg X n n lg(1 p) lg X 0，其中 X 0 为 DNA 的初始数量，p 为扩增效率.已知某被测标本 DNA 扩增 12 次后，数量变为
原来的 1000 倍，则扩增效率 p 约为（ ）（参考数据：100.25 1.778,10 0.25 0.562）
A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%
【答案】D
【分析】由题意 X n 1000X 0 ，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．
【详解】解：由题意知， lg(1000X 0 ) 12lg(1 p) lg X 0 ，
即 lg103 lg X 0 12lg(1 p) lg X 0 ，
即3 lg X 0 12lg(1 p) lg X 0 ，
所以1 p 100.25 1.778，解得 p 0.778 77.8%．
故选：D．
2
1．求值 lg 4 2lg 5 log2 8 83 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．1
【答案】B
【分析】根据对数运算公式和指数运算公式计算即可.
【详解】因为 lg 4 2lg5 lg 4 lg52 lg 4 lg 25 lg100 2，
2 2
log2 8 log
3
2 2 3，83 23 3 22 4
2
所以 lg 4 2lg5 log2 8 83 2 3 4 9，
故选：B.
2．已知 x log3 4 1，则4x 的值为（ ）
1 1
A．3 B． C．4 D．
3 4
【答案】A
【分析】根据对数的运算法则求解即可
1
【详解】由 x log3 4 1得 x log 3，故 4x 4log4 3log 4 4 33
故选：A
3．方程 ln log3 x 0的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
【答案】D
【分析】利用指数与对数的转化即可得到结果.
【详解】∵ ln log3 x 0 0，∴ log3 x e 1，∴ x 3 .
故选：D.
4．若 log2 3 log36 m log 6
1
9 ，则实数m 的值为（ ）2
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】由换底公式对原式变型即可求解.
【详解】∵ log2 3 log36 m log9 6
lg3 lg m lg 6
lg 2 lg36 lg9
lg3 lg m lg 6 lg m 1
log m 1
lg 2 2lg 6 2lg 3 4lg 2 4 2 2 ,
∴ log2 m 2 ，∴ m 4 ．
故选：A．
5．（多选）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能
量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 lg E 4.8 1.5M ，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级为七级
B．八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的 6.3 倍
C．八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的 1000 倍
f n 1
D．记地震里氏震级为 n n 1, 2, ,9 1.5，地震释放的能量为 f n ，则 10f n
【答案】ACD
【分析】根据已知条件及对数运算性质即可求解.
【详解】对于 A，当E 1015.3 时，由题意得 lg1015.3 4.8 1.5M ，解得M 7，即地震里氏震级为七级．故 A 正确；
16.8
对于 B, 八级地震即M 8时，由 lg E1 4.8 1.5 8 16.8，解得E 1016.8
E 10
，所以 1 101.51 15.3 15.3 6.3．故 B 不10 10
正确；
16.8
对于 C，六级地震即M 6时，由 lg E 4.8 1.5 6
E 10
2 13.8
13.8 3
，解得E2 10 ，所以
1 13.8 10 1000，即八级E2 10
地震释放的能量为六级地震释放的能量的 1000 倍．故 C 正确；
f (n 1) 106.3 1.5n
D 1.5对于 ，由题意得 f (n) 104.8 1.5n ，则 10 ．故 D 正确.
f (n) 104.8 1.5n
故选：ACD.
6．化简 (2 log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)= ____________
【答案】2
n n
【分析】结合 log m b loga ba 、换底公式化简计算即可m
(2 1 log 3 1【详解】原式 2 log2 3)(log 2
1 4 3
3 log 2) log 3 log 2 2 .2 3 2 3 3 2 2 3
故答案为：2.
7．若正数 a 满足a lg 2 4 ，则a ___________．
【答案】100
【分析】由题意可得 lg alg 2 lg 4，再根据对数的运算性质即可得出答案.
【详解】解：因为正数 a 满足a lg 2 4 ，
所以 lg alg 2 lg 4，
即 lg 2 lg a 2lg 2 ，
所以 lg a 2，解得 a 102 100 .
故答案为：100.
8． log5 log3 log2 x 0 1，则 x 2 ___________.
2
【答案】
4
【分析】利用对数的性质，及指数式与对数式的互化求出 x 即可计算作答.
【详解】因 log5 log3 log2 x 0，则 log3 log2 x 1，即 log2 x 3，解得 x 23 8，
1 1
所以 x 2 8 2
1 2
.
8 4
2
故答案为：
4
9．心理学家有时用函数 L t A 1 e kt 测定在时间 t（单位：min）内能够记忆的量 L，其中 A 表示需要记忆的量，
k 表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为 200 个单词，此时 L 表示在时间 t 内该生能够记忆的单词个数．已知
该生在 5min 内能够记忆 20 个单词，则 k 的值约为（ ln0.9 0.105， ln 0.1 2.303）______．
【答案】0.021
【分析】该生在 5min 内能够记忆 20 个单词，将 A 200， L 5 20带入即可得出结论.
5k
【详解】由题意可知 200 1 e 20，所以， e 5k 0.9 ，
所以 ln e 5k ln 0.9 0.105，解得 k 0.021．
故答案为：0.021.
x
f 1 3 , x 0x f f 1 10．已知函数 ，则 ______.
log
9 x, x 0 4
1
【答案】 2
【分析】根据分段函数解析式及对数的运算法则计算可得.
1 3
x , x 0 1 1
【详解】解：因为 f x
2
，所以 f log log 4 log 2 2 log 2，
log x, x 0
4 9 9 3 39 4
1 1所以 f f f log3 2 1 3 log3 2 1 3log3 2
1
1 2 1 ；
4 2
1
故答案为： 2
1
0.064 3 ( 1 211 )0 2log2 5.5．计算 结果是__________．
8 2 1
【答案】 2 2
【分析】根据指数幂的运算以及对数的运算，进行化简求值，可得答案.
1
1
【详解】因为0.064 3 0.4 1 5 ， ( )0 1， 2log2 5.58 5.5
，
2
2 2( 2 1)
2 2 2 ，
2 1 ( 2 1)( 2 1)
1
1 0 log 5.5 2 5
所以0.064 3 ( ) 2 2 1 5.5 2 2 2 2 2 ,
8 2 1 2
故答案为： 2 2
12 x, y 3
x
y 1 1．已知实数 满足： 2 27，则 x y ________． 2
1
【答案】
3
1 1
【分析】由已知指数式化为对数式求出 x, y的值，再由对数的运算性质求出 x y .
x
3
【详解】因为 2
y 27，所以 x log 3 27, y log2 27 ，
2 2
1 1 1 1 3
log27 log27 2 log27 3
1
则 x y log 3 27 log2 27 2 3 ．
2
1
故答案为： ,
3
13．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3x 2；
(2) 2m 6；
1
(3) log2 2；4
(4) log10 0.01 2．
【答案】(1) x log3 2；(2) m log 6
1
2 ；(3) 2
2 ；(4)
4 10
2 0.01
【分析】（1）由对数的定义改写；
（2）由对数的定义改写；
（3）由对数的定义改写；
（4）由对数的定义改写．
【详解】(1)由对数定义得 x log3 2；
(2)由对数定义得m log2 6；
1
(3) 2由对数定义得 2 ；
4
(4)由对数定义得10 2 0.01．
14．求下列各式中的 x 值：
(1) log5 x 3；
(2) log2 2x 1 3；
(3) log
1
x 3；8
(4) log 8x2 3．
7
【答案】(1)125；(2) ；(3) 12 ；(4) 12
【分析】将对数式化为指数式，从而可得出答案.
【详解】(1)解：因为 log5 x 3，所以 x 53 125；
7
(2)解：因为 log2 2x 1 3，所以 2x 1 23 8，解得 x 2
1 3
(3)解：因为 log 3 1，所以 x3 1
1
x ，所以 x ；8 8 2 2
(4) x解：因为 log2 8 3，所以8x 2 3 8 1，所以 x 1 .
15．求下列各式中 x 的值：
log x 3(1) 4 ；2
(2) log2 log3 x 1；
3
(3) log x 27 ；2
(4) 4x 5 3x ．
1
【答案】(1) ；(2)9；(3)9；(4) log 4 5
8 3
【分析】（1）结合对数与指数的互化公式以及指数的运算公式即可求出结果；
（2）利用对数与指数的互化公式即可求出结果；
（3）结合对数与指数的互化公式以及指数的运算公式即可求出结果；
（4）利用对数与指数的互化公式以及指数的运算公式即可求出结果.
3 3 3
【详解】(1)因为 log x ，则 x 4 2 14 22 2 2 3 ；2 8
(2)因为 log2 log3 x 1 1，所以 log3 x 2 ，即 log3 x 2，故 x 32 9；
log 27 3 3
2 2
(3)因为 x ，所以 ，即 ，所以 3 3 22 27 x 2 273 x x 3 3 9
x
(4)因为 4x 5 3x
4
，所以 x log 5 5，因此 4 .
3 3
16．计算下列各式的值：
2
(1) (2)-2 + (1- 2)0 -(3 3)3
3 8
(2) log 7 52 (4 2 ) log2 6 log2 3
【答案】(1)1；(2)20
【分析】（1）根据有理数指数幂的运算法则进行计算，可得答案；
（2）根据对数的运算法则，进行计算，可得答案.
2 3 2 3 3 2
【详解】（1） ( )-2 + (1- 2)0 -(3 )3 = ( )2 +1-(3) 3 9 9= +1- =1 ;
3 8 2 2 4 4
2 log (47 25 ) log 6 log 3 log (214 25 ) log
6
（ ） 2 2 2 2 2 log2 2
19 log2 2 19 1 20 .3
17．已知 log23＝a，log37＝b，用 a，b 表示 log4256.
1
【详解】∵log23＝a，则 ＝log32，又∵log37＝b，a
log356 log37 3log32 ab 3
∴log4256＝ ＝ ＋ ＝ ＋ .log342 log37＋log32＋1 ab＋a＋1
