4.4 对数函数 学案（PDF版含解析）

4．4　对数函数
知识点一　对数函数的概念
一般地，函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识点二　对数函数的图象和性质
对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象和性质如下表：
y＝logax (a>0，且 a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
函数值特点
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
函数 y＝logax 与 y＝ log 1 x的图象关于 x 轴对称对称性
a
知识点三　不同底的对数函数图象的相对位置
一般地，对于底数 a>1 的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近 x 轴；对于底数 0间(1，＋∞)内，底数越小越靠近 x 轴．
知识点四　反函数的概念
一般地，指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数．
(1)y＝ax的定义域 R 就是 y＝logax 的值域；而 y＝ax的值域(0，＋∞)就是 y＝logax 的定义域．
(2)互为反函数的两个函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象关于直线 y＝x 对称．
(3)互为反函数的两个函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与 y＝logax(a>0，且 a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．
【题型目录】
题型一、对数函数的概念及应用
题型二、与对数函数有关的定义域
题型三、对数函数模型的应用
题型四、对数函数的图象问题
题型五、比较大小
题型六、反函数
题型七、解对数不等式
题型八、对数型复合函数的单调性
题型一、对数函数的概念及应用
1．给出下列函数：
（1） y log x ；（2） y loge x；（3） y log10 x ；（4） y e log 2a x；（5） y log2 x ；（6） y log2 x 1 ．其中
是对数函数的是______．（将符合的序号全填上）
2．若函数 f x log2 x a 的图象过点 2,0 ，则a （ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
题型二、与对数函数有关的定义域
3．求下列函数的定义域：
（1） y log2 (5x 2)； （2） y log1 (x 3)；
3
2
（3） y ln(3x 1)； （4） y log4 .4x 3
4 f x log x2．函数 2 2x 的定义域为_________.
题型三、对数函数模型的应用
5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为 V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q，研究中
Q
发现 V 与 log3 成正比，且当 Q＝900 时，V＝1.100
（1）求出 V 关于 Q 的函数解析式；
（2）计算一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时耗氧量的单位数．
题型四、对数函数的图象问题
6．如图是对数函数 y log x 5 4 1a 的图象，已知 a 值取 5 ， ， ， ，则相应的C1，C2 ，C3，C4 的 a 值依次是3 5 8
（ ）
1 4 5 5 4 1
A． ， ， ， 5 B． 5 ， ， ，8 5 3 3 5 8
5 4 1 5 1 4
C． ， 5 ， ， D． ， ， ，3 5 8 5 3 8 5
7．函数 y lg | x 1|的图像的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
8．若 a 0且a 1，则函数 y loga (x 1) 2的图像恒过定点（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）
9．已知函数 f x loga x b 的图象如图，则 ab ________．
10．已知函数 f (x) log3 x .
(1)作出函数 f (x) 的图象；
(2)由图象观察当 x 1时，函数的值域．
题型五、比较大小
11．比较下列各组中两个数的大小：
(1) log1.2 1.6， log1.2 1.7；
(2) log 2 0.5， log 2 0.6 ；
3 3
(3) loga 0.9， loga 0.8．
12．分别比较下列各组数的大小：
(1) log3.8 2.5， log2.8 2.9， log2.8 4.6；
(2)8 0.7 ， log7 0.8， log0.8 0.7 ；
(3) log2 5与 log3 5．
lg5
13 a lg 3 b lg 4．若 ， ， c 2 3 ，则正确的是（ ）4
A． a b c B． c a b C． c b a D．b a c
题型六、反函数
14．函数 y f x 的图像与函数 y 3x 的图像关于直线 y x 对称，则 f 3 f 9 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．函数 y x2 1(x 1)的反函数是___________.
16．（多选）函数 y f x 是 y a x （ a 0，且a 1）的反函数，则对于任意正数 x，下列结论正确的是（ ）
A． f x2 2 f x B． f 2x f x f 2
f 1 x C． f x f 2 D． f 2x 2 f x
2
题型七、解对数不等式
17．已知 p : log2 (x 1) 1， q : (x 2)2 1，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

18．已知集合 A x | log1 (ax 1) 0 ，若1 A，则 a 的取值范围是（ ）
2
A． ( ,2) B ． 1,
3
2 C． (1, 2) D． (2, )
19．解关于 x 的不等式： loga x 1 loga 3 x2 （ a 0，且a 1）．
20．解下列不等式：
(1) log x 0.2 log3x 4 0.2；
(2) log x2(x 1) 1 1；
题型八、对数型复合函数的单调性
2
21．已知函数 f x log 1 3 2x x .
2
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间及值域.
22．已知函数 f (x) log2(2 x) log2(2 x) .
(1)求 f (x) 的定义域和值域：
(2)判断 f (x) 的奇偶性，并说明理由：
(3)求 f (x) 的单调区间.
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A． y loga 2x B． y lg10x C． y loga x2 x D． y ln x
2．若函数 f (x) loga x a2 4a 5 是对数函数，则a .
3．下列函数的定义域：
（1 2 x） y ；
x 1
（2） f x log1 x 1 .
3
2
4．人们常用里氏震级M e表示地震的强度，ES 表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为M e lg Es 4.8，3
2021 年 1 月 4 日四川省乐山市犍为县发生里氏 4.2级地震，2021 年 9 月 16 日四川省泸州市泸县发生里氏 6.0 级地震，
则后者释放的能量大约为前者的（ ）倍．(参考数据：100.3 ~ 2.00,100.7 5.01 )
A．180 B． 270 C．500 D．720
5．函数 y lg(x 1) 的图像是（ ）
A． B．
C． D．
6 f (x) 1
x

．函数 与 g(x) log4 x的大致图像是（ ）
4
A． B． C． D．
7．设幂函数 y xc1 , y xc2 , y xc3 x x x x，指数函数 y a1 , y a2 , y a3 , y a4 ，对数函数
y logb x, y log1 b x, y logb x, y log x2 3 b4 在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是
（ ）.
A． c1 0 c3 1 c2 B．0 a4 a3 1 a1 a2
C．0 b3 b4 1 b2 b1 D．0 b4 b3 1 b1 b2
8．函数 y loga kx 5 b （ a 0且a 1）恒过定点 2,2 ，则 k b ______．
9．比较下列各组数的大小．
(1)log3.10.5 与 log3.10.2；
(2) log 1 8与 log 1 4；
2 2
(3)log56 与 log65.
10．函数 f x log 3x 1 12 的反函数 y f x 的定义域为（ ）
A． 1, B． 0, C． 0, D． 1,
11．已知函数 f (x) 1 log2 x，它的反函数为 y f 1(x)，则 f 1(3) _______．
12．若函数 f (x) a x (a 0,a 1) 的反函数的图像经过点 (4, 2)，则 a =_______．
13．已知集合 A x x2 x 2 0 , B x log2 x 1 ，则 A B （ ）
A． x 0 x 2 B． x 0 x 2
C． x 1 x 2 D． x 1 x 2
14．已知集合 A x log2 x 2 ，则 R A ____________.
15．求函数 y log 1 x2 3x 2 的单调增区间．
2
16．已知函数 f x log 1 4x 1 .
4
(1)求 f x 的定义域；
(2)讨论 f x 的单调性；
(3)求 f x 在区间[ 12 ,2]上的值域.
1．已知函数① y 4x ；② y log x 2；③ y log3 x；④ y log0.2 x ；⑤ y log3 x 1；⑥ y log2 x 1 .其中是
对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥
2．函数 y log2 (1 x) 2 x 的定义域为（ ）
A． 0,2 B． 0,2 C． 1,2 D． 1,2
3．已知函数 f x ax b的图象如图所示，则函数 y loga x b 的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数 f x loga x b （ a 0且a 1， a，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A． a 0，b 1 B． a 0， 1 b 0
C． 0 a 1，b 1 D． 0 a 1， 1 b 0
5．函数 y loga x 1 4的图像恒过定点 P ，点 P 在幂函数 y f x 的图像上，则 f (4) （ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
x
6．声音的等级 f (x) （单位：dB）与声音强度 x （单位：W / m2 ）满足 f (x) 10 lg
1 10 12
. 喷气式飞机起飞时，声
音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强
度的（ ）
A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍
ln 2 ln 3 1
7．设 a b c 2 ， 3 ， ，则（ ）e
A． a b c B． c b a C． a c b D．b c a
8．若奇函数 f x 在区间 0, 上是增函数，则下列关系正确的是（ ）
A f 1.20.3 f 0.31.2． f log1.2 0.3 B． f log 1.21.2 0.3 f 0.3 f 1.20.3
C． f 1.20.3 f log1.2 0.3 f 0.31.2 D． f log1.2 0.3 f 1.20.3 f 0.31.2
9．已知函数 f x 3x ，且函数 g x 的图像与 f x 的图像关于 y x 对称，函数 x 的图像与 g x
的图像关于 x 轴对称，设 a f
1 1 1
， b g 2 ，
c
2
2 ．则（ ）
A． a b c B．b c a C． c b a D．b a c
10．已知集合 A x x2 x 0 ，B x log2 x 2 ，则 A B （ ）
A． x 1 x 4 B． x x 0或1 x 2
C． x x 0或1 x 4 D． x 1 x 2
11．（多选）下列四个函数的图象都有恒过的定点，定点坐标相同的函数是（ ）
A． （f x） ax 2a 2
B． （f x） log（a x 1） （2 a 0 且 a 1）
C． （f x） a x 2 （1 a 0 且 a 1）
D． f x x 1 a 1
12．（多选）已知函数 f x 1在定义域内是增函数，且 f 1 1，若 f x 的反函数为 f x ，则（ ）
A f 1 1 1 B f 1． ． x 在定义域上是增函数
C 1． f 1 1 D f 1． x 在定义域上是减函数
13．如图所示的四条曲线分别是对数函数 y loga x， y logb x ， y log c x ， y logd x 的图象，则 a，b，c，d 与
1 的大小关系为______.（按从大到小的顺序排）
14．已知函数 y loga (x 3)
8
( a 0且a 1 x）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数 f x 3 b的图象上，则
9
b __________．
15．关于函数 y log 1 x 1 ，有以下四个命题：①函数在区间 ,1 上是严格增函数；②函数的图像关于直线 x 1
2
对称；③函数的定义域为 1, ；④函数的值域为 R．其中所有正确命题的序号是______．
16． log3 6， log5 20
7
， 三个数中最小的是______．
4
17．若函数 f x loga x 1 (a 0，a 1)的反函数图像经过点 1，3 ，则a ________
x218 1 f x 3x 4．（ ）求 的定义域；
lg x
（2）若 f 2x 1 x2 4x 1，求 f x 的解析式.
19．解下列不等式 log 1 x log 1 (4 x) ．
7 7
20．求函数 y log 1 (1 x
2 )的单调区间，并求函数的最小值．
2
21．已知函数 f x log 2ax2a x 2 （ a 0且a 1）.
a 3(1)若 ，求 f x 的单调区间；
2
(2)若 f x 在区间 1,3 上是增函数，求实数 a 的取值范围.4．4　对数函数
知识点一　对数函数的概念
一般地，函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识点二　对数函数的图象和性质
对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象和性质如下表：
y＝logax (a>0，且 a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
函数值特点
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
函数 y＝logax 与 y＝ log 1 x的图象关于 x 轴对称对称性
a
知识点三　不同底的对数函数图象的相对位置
一般地，对于底数 a>1 的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近 x 轴；对于底数 0间(1，＋∞)内，底数越小越靠近 x 轴．
知识点四　反函数的概念
一般地，指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数．
(1)y＝ax的定义域 R 就是 y＝logax 的值域；而 y＝ax的值域(0，＋∞)就是 y＝logax 的定义域．
(2)互为反函数的两个函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象关于直线 y＝x 对称．
(3)互为反函数的两个函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与 y＝logax(a>0，且 a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．
【题型目录】
题型一、对数函数的概念及应用
题型二、与对数函数有关的定义域
题型三、对数函数模型的应用
题型四、对数函数的图象问题
题型五、比较大小
题型六、反函数
题型七、解对数不等式
题型八、对数型复合函数的单调性
题型一、对数函数的概念及应用
1．给出下列函数：
（1） y log x ；（2） y loge x；（3） y log10 x ；（4） y e loga x；（5） y log2 x
2
；（6） y log2 x 1 ．其中
是对数函数的是______．（将符合的序号全填上）
【答案】（1）（2）（3）
【分析】根据对数函数的定义判断．
【详解】（4）的系数不是 1，（5）的真数不是 x，（6）的真数不是 x．
故答案为：（1）（2）（3）．
2．若函数 f x log2 x a 的图象过点 2,0 ，则a （ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【答案】A
【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解.
【详解】解：由已知得 f 2 log2 2 a 0，所以 2 a 1，解得： a 3，
故选：A．
题型二、与对数函数有关的定义域
3．求下列函数的定义域：
（1） y log (5x 2)； （2） y log1 (x 3)2 ；
3
（3） y ln(3x 1)； （4） y log
2
4 .4x 3
2
【答案】（1） , ； （2） 3,
1 3
；（3） ,
5 3
；（4） , .
4
【分析】根据解析式列出使函数有意义的不等式，即可解出定义域.
【详解】（1）要使函数 y log2 (5x 2)有意义，
2
只需5x 2 0，解得： x ，
5
2
所以 y log2 (5x 2)的定义域为 , .
5
（2）要使函数 y log1 (x 3)有意义，
3
只需 x 3 0，解得： x 3，
所以 y log1 (x 3)的定义域为 3, .
3
（3）要使函数 y ln(3x 1)有意义，
1
只需3x 1 0，解得： x ，
3
1
所以 y ln(3x 1)的定义域为 ,

3
.

（4）要使函数 y log
2
4 有意义，4x 3
3
只需 4x 3 0 ，解得： x ，
4
所以 y log
2 3
4 的定义域为 , 4x 3 4
.

4．函数 f x log x22 2x 的定义域为_________.
【答案】 ,0 2,
【分析】由对数函数的真数大于 0 列出不等式，由一元二次不等式的解法求出解集，即可求出答案.
【详解】由题可知 x2 2x 0，即 x(x 2) 0，解得 x 0 或 x 2 .
故函数 f x log2 x2 2x 的定义域为 ,0 2, .
故答案为: ,0 2, .
题型三、对数函数模型的应用
5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为 V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q，研究中
Q
发现 V 与 log3 成正比，且当 Q＝900 时，V＝1.100
（1）求出 V 关于 Q 的函数解析式；
（2）计算一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时耗氧量的单位数．
1 Q
【答案】（1）V log
2 3
；（2）2700 个单位．
100
【分析】（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可；
（2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可.
Q
【详解】解：（1）设 V＝k·log3 ，100
900
∵当 Q＝900 时，V＝1，∴1＝k·log3 ，100
1 1 Q∴k＝ 2 ，∴V 关于 Q 的函数解析式为V log2 3
;
100
1
（2）令 V＝1.5，则1.5 log
Q Q Q
3 log3 3 3
3 27，∴Q＝2 700，
2 100 100 100
即一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时耗氧量为 2700 个单位．
题型四、对数函数的图象问题
6．如图是对数函数 y log x 5 4 1a 的图象，已知 a 值取 5 ， ， ， ，则相应的C1，C2 ，C3，C4 的 a 值依次是3 5 8
（ ）
1 4 5 5 4 1
A． ， ， ， 5 B． ， ， ，8 5 3 5 3 5 8
5 4 1 5 1 4
C． ， 5 ， ， D． ， ， ，3 5 8 5 3 8 5
【答案】B
【分析】根据对数函数的图象与性质判断．
【详解】∵当 a 1时，图象呈上升趋势；当 0 a 1时，图象呈下降趋势，又当 a 1时，a 越大，图象向右越靠近 x
5 4 1
轴； 0 a 1时，a 越小，图象向右越靠近 x 轴，故C1，C2 ，C3，C4 对应的 a 值依次是 5 ， ， ， ．3 5 8
故选：B．
7．函数 y lg | x 1|的图像的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求解函数的零点，根据排除法判断即可
【详解】求 lg | x 1| 0 可得 x 1 1或 x 1 1，解得 x 0或 x 2 ，排除 BCD；
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据函数解析式分析函数图像的问题，属于基础题
8．若 a 0且a 1，则函数 y loga (x 1) 2的图像恒过定点（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）
【答案】D
【分析】根据对数运算的性质， loga 1 0，可得答案.
【详解】根据对数函数的性质，当 x 1 1时，则 y loga 1 2 2，则函数过定点 2,2 .
故选：D.
9．已知函数 f x loga x b 的图象如图，则 ab ________．
【答案】8
【分析】由图像可得： f x 过点 3,0 和 0,2 ，代入解得 a、b．
b 3 b 4
【详解】由图像可得： f x loga x b 过点 3,0 和 0,2
log
，则有： a
0
，解得 ．
logab 2 a 2
∴ ab 8．
故答案为：８．
10．已知函数 f (x) log3 x .
(1)作出函数 f (x) 的图象；
(2)由图象观察当 x 1时，函数的值域．
【分析】（1）直接画出对数函数图象即可；
（2）根据函数图象直接写出 x 1时，函数的值域.
【详解】(1)函数 f (x) 的图象如下图：
(2)当 x 1时， f (x) 0 ，故当 x 1时，函数的值域为 (0, )．
题型五、比较大小
11．比较下列各组中两个数的大小：
(1) log1.2 1.6， log1.2 1.7；
(2) log 2 0.5， log 2 0.6 ；
3 3
(3) loga 0.9， loga 0.8．
【答案】(1) log1.2 1.6 log1.2 1.7
(2) log 2 0.5 log 2 0.6
3 3
(3)当 a 1时， loga 0.9 loga 0.8；当 0 a 1时， loga 0.9 loga 0.8；
【分析】（1）利用函数 y log1.2 x是增函数可求解；
（2）利用函数 y log 2 x 是增函数可求解；
3
（3）分类讨论 a 1，及 0 a 1时，函数 y loga x的单调性，进而求解.
【详解】(1)因为函数 y log1.2 x是增函数，且1.6 1.7，所以 log1.2 1.6 log1.2 1.7
(2)因为函数 y log 2 x 是减函数，且0.5 < 0.6，所以 log 2 0.5 log 2 0.6
3 3 3
(3)当 a 1时，函数 y loga x是增函数，且0.9 0.8，所以 loga 0.9 loga 0.8；
当 0 a 1时，函数 y loga x是减函数，且0.9 0.8，所以 loga 0.9 loga 0.8；
12．分别比较下列各组数的大小：
(1) log3.8 2.5， log2.8 2.9， log2.8 4.6；
(2)8 0.7 ， log7 0.8， log0.8 0.7 ；
(3) log2 5与 log3 5．
【答案】(1) log3.8 2.5 log2.8 2.9 log2.8 4.6
(2) log0.8 0.7 0.8
0.7 log7 0.8
(3) log2 5 log3 5
【分析】（1）对于同底数的对数，利用函数单调性，对于不同底数的对数，利用中间值法；
（2）对数与指数之间的比较，利用中间值法；
（3）对于真数相同的对数，利用函数图象.
【详解】（1）因为 y log2.8 x 在 0, 上是增函数，所以 log2.8 4.6 log2.8 2.9 log2.8 2.8 1．又 y log3.8 x 在 0,
上是增函数，所以 log3.8 2.5 log3.8 3.8 1，所以 log3.8 2.5 log2.8 2.9 log2.8 4.6．
（2）因为 y 8x 在 R 上是增函数，所以0 8 0.7 80 1．因为 y log7 x 在 0, 上是增函数，所以
log7 0.8 log7 1 0．因为 y log0.8 x 在 0, 上是减函数，所以 log0.8 0.7 log0.8 0.8 1．所以
log 0.70.8 0.7 0.8 log7 0.8．
（3）方法一：函数 y log2 x 和 y log3 x的图象如图所示．
当 x 1时， y log2 x 的图象在 y log3 x的图象的上方，所以 log2 5 log3 5．
方法二：因为 log2 5
1 1
， log3 5 ，又 log5 3 log5 2 0，所以 log2 5 log 5log 3 ．5 2 log5 3
lg5
13 lg 3 lg 4．若 a 2 ，
b ， c 3 ，则正确的是（ ）4
A． a b c B． c a b C． c b a D．b a c
【答案】C
1 1 1
【分析】结合对数运算性质， a lg 729，b lg 256， c lg125， lg x 为增函数，即可比较
12 12 12
a lg3 1 lg36 1 lg 729 b lg 4 1【详解】 ， lg 256， c
lg5 1
lg125，
2 12 12 3 12 4 12
∵ lg x 为增函数，∴ c b a .
故选：C
题型六、反函数
14．函数 y f x 的图像与函数 y 3x 的图像关于直线 y x 对称，则 f 3 f 9 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用反函数以及对数的运算性质求解.
【详解】因为 y f x 的图像与函数 y 3x 的图像关于直线 y x 对称，
所以 f x log3 x ，所以 f 3 f 9 log3 3 log3 9 1 2 3，
故 A，B，D 错误.
故选：C.
15．函数 y x2 1(x 1)的反函数是___________.
1
【答案】 f x x 1(x 0)
【分析】根据函数 y x2 1(x 1)，可得 x y 1 ( y 0)，即可得到函数的反函数.
【详解】因为 y x2 1(x 1)，则 y 0，
有 x y 1 ( y 0) .
所以函数 f (x) 的反函数 f 1(x) x 1 (x 0) .
故答案为： f 1(x) x 1 (x 0) .
16．（多选）函数 y f x 是 y a x （ a 0，且a 1）的反函数，则对于任意正数 x，下列结论正确的是（ ）
A． f x2 2 f x B． f 2x f x f 2
1
C． f x f x f 2 D． f 2x 2 f x
2
【答案】ABC
【分析】由底数相同的指数函数与对数函数互为反函数，得到 y f x 解析式，再根据对数运算法则，对选项逐一
判断即可.
【详解】由题意， f x loga x .
选项 A， f x2 loga x2 2loga x 2 f x .故 A 正确.
选项 B， f 2x loga 2x loga 2 loga x f 2 f x .故 B 正确.
1 1
C 选项 ， f x loga x loga x loga 2 f x f 2 .故 C 正确
2 2
选项 D，由 B 选项知， f 2x f 2 f x ，所以当 x 2时， f 2x 2 f x .故 D 错误.
故选: ABC.
题型七、解对数不等式
17．已知 p : log2 (x 1) 1， q : (x 2)2 1，则 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据对数与二次不等式的运算求解命题 p,q中的解集，再判断充分与必要条件即可.
【详解】由题意得 p：0 x 1 2 ，即 1故选：C.

18．已知集合 A x | log1 (ax 1) 0 ，若1 A，则 a 的取值范围是（ ）
2
A． ( ,2) B ． 1,
3
2 C． (1, 2) D． (2, )
【答案】C
【详解】 1 A log1 (a 1) 0， ， 0 a 1 1，即1 a 2 ，
2
则实数 a 的取值范围是 (1, 2)，
故选:C.
19．解关于 x 的不等式： loga x 1 loga 3 x2 （ a 0，且a 1）．
【答案】当 a 1时，原不等式的解集为 x 1 x 3 ；当 0 a 1时，原不等式的解集为 x 1 x 1
【分析】分成 a 1，0 a 1进行讨论，结合对数函数的单调性及定义域即可列出关于 x 的不等式，进而即得.
3 x2 0 3 x 3
【详解】当 a 1时，原不等式等价于 ，即 ，解得1 x 3 ，
x 1 3 x
2
x 1或x 2
所以当 a 1时，原不等式的解集为 x 1 x 3 ；
x 1 0 x 1
当 0 a 1时，原不等式等价于 1 x 1
x 1 3
，即
x2 2 x 1
，解得 ，
所以当 0 a 1时，原不等式的解集为 x 1 x 1 ；
综上，当 a 1时，原不等式的解集为 x 1 x 3 ；当 0 a 1时，原不等式的解集为 x 1 x 1 ．
20．解下列不等式：
(1) log x 0.2 log3x 4 0.2；
(2) log 2(x 1) x 1 1；
4 , 5 【答案】(1) 2, (2, )
3 3
；(2)

【分析】（1）、（2）结合对数函数的定义与性质、对数运算求得不等式的解集.
4 5
【详解】（1）由题 x 0且 x 1，3x 4 0且3x 4 1，得 x 且 x ，
3 3
log x 0.2 log(3x 4) 0.2
lg 0.2 lg 0.2
，则 lg 0.2 0, lg x 0lg x lg(3x 4) ，由 ，
1 1
, lg x 1
lg x lg(3x 4) lg(3x 4) ，
化简得 log(3x 4) x 1 log(3x 4) (3x 4) ，
0 3x 4 1 3x 4 1 4 5
则 x x 2
x 3x
或 ，解得 或 ，
4 x 3x 4 3 3
4
故不等式解集为 ,
5 2,
3 3
.

（2）由题 log(x 1) x2 1 1 log(x 1) (x 1)，
0 x 1 1 x 1 1
2
则 x 1 x 1
x2或 1 x 1，解得 x 2 .

x
2 1 0 x 1 0
故不等式解集为 (2, ) .
题型八、对数型复合函数的单调性
f x log 3 2x x221．已知函数 1 .
2
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间及值域.
【答案】(1) 3,1 ；(2)单调递增区间为 1,1 ；单调递减区间为 3, 1 ；值域为 2,
【分析】（1）令3 2x x2 0，解不等式即可求得定义域；
（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定 f x 的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得 4 ，结合对数
函数单调性可求得值域.
【详解】（1）由3 2x x2 0得： 3 x 1， f x 的定义域为 3,1 .
（2）令 x2 2x 3， 在 3, 1 上单调递增；在 1,1 上单调递减；
又 f log 1 在 0, 上单调递减，
2
f x 的单调递增区间为 1,1 ；单调递减区间为 3, 1 ，
1 2 2 1 3 4， log 1 log 1 4 2，
2 2
f x 的值域为 2, .
22．已知函数 f (x) log2(2 x) log2(2 x) .
(1)求 f (x) 的定义域和值域：
(2)判断 f (x) 的奇偶性，并说明理由：
(3)求 f (x) 的单调区间.
【答案】(1)定义域为(-2,2)，值域为 , 2 ；
(2)偶函数，理由见解析；
(3)单调增区间为(-2,0)，减区间为(0,2).
【分析】(1)根据对数函数的定义即可求出函数的定义域，利用复合函数的性质“同增异减”，求出 f x 的单调性，
进而求得函数的值域；
(2)利用奇偶函数的定义即可证明；
(3)利用复合函数的性质“同增异减”即可求出 f x 的单调区间.
2 x 0
【详解】(1)由 ，解得 2 x 22 ，所以
f x 的定义域为 2,2 ；
x 0
f x log 22 2 x log2 2 x log2 x 4 ，
因为函数 y x2 4 在 ( 2,0) 上单调递增，在 (0,2)上单调递减，
且 y log2 x 为增函数，
所以函数 f x 在 ( 2,0) 上单调递增，在 (0,2)上单调递减，
又 x2 4 (0, 4]，所以 f x 2，
即 f x 的值域为 ( , 2]；
(2)由(1)知， f x 的定义域为 2,2 ，关于原点对称，
∵ f x log2 2 x log2 2 x f x ，
∴ f x 为偶函数；
(3)由(1)知， f x 的定义域为 2,2 ，
f x log2 2 x log2 2 x log x22 4 ，
因为函数 y x2 4 在 ( 2,0) 上单调递增，在 (0,2)上单调递减，
且 y log2 x 为增函数，
所以函数 f x 在 ( 2,0) 上单调递增，在 (0,2)上单调递减，
即 f x 的单调增区间为 ( 2,0) ，减区间为 (0,2) .
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A． y loga 2x B y lg10x C y log x2． ． a x D． y ln x
【答案】D
【分析】根据对数函数的概念即得.
【详解】因为函数 y loga x( a 0且a 1)为对数函数，
所以 ABC 均为对数型复合函数，而 D 是底数为自然常数的对数函数.
故选：D.
2．若函数 f (x) loga x a2 4a 5 是对数函数，则a .
【答案】5
【分析】根据对数函数的定义即可求解.
a2 4a 5 0

【详解】解：根据对数函数的定义有 a 0 ，解得 a 5，

a 1
故答案为：5．
3．下列函数的定义域：
1 y 2 x（ ） ；
x 1
（2） f x log1 x 1 .
3
【答案】（1） x x 2且 x 1 ；（2） x 1 x 2 .
1 x y 2 x【分析】（ ）根据偶次根式被开方数非负、分式中分母不为零，列出关于 的不等式组，解出即可得出函数
x 1
的定义域；
（2）根据偶次根式被开方数非负、对数真数大于零，列出关于 x 的不等式组，解出即可得出函数 f x log1 x 1
3
的定义域.
2 x 0 x 2
【详解】（1）由题意可得 x 1 0 ，解得 ， x 1
2 x
因此，函数 y 的定义域为 x x 2且 x 1 ；
x 1
x 1 0
（2）由题意可得 log1 x 1 0 log 1，即0 x 1 1，解得1 x 2 . 1 3 3
因此，函数 f x log1 x 1 的定义域为 x 1 x 2 .
3
【点睛】本题考查函数定义域的求解，解题时要熟悉几种常见的求函数定义域的基本原则，考查运算求解能力，属
于基础题.
2
4．人们常用里氏震级M e表示地震的强度，ES 表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为M e lg Es 4.8，3
2021 年 1 月 4 日四川省乐山市犍为县发生里氏 4.2级地震，2021 年 9 月 16 日四川省泸州市泸县发生里氏 6.0 级地震，
则后者释放的能量大约为前者的（ ）倍．(参考数据：100.3 ~ 2.00,100.7 5.01 )
A．180 B． 270 C．500 D．720
【答案】C

【分析】设前者、后者的里氏震级分别为M e、M e ，前者、后者释放出的能量分别为E 、E ，根据已知关系式列
式相减，利用对数运算法则可得．

【详解】设前者、后者的里氏震级分别为M e、M e ，前者、后者释放出的能量分别为E 、E ，则其满足关系
M 2 lg E 2 e 3 s
4.8和M e lgEs 4.8，3
M M 2 2 两式作差可以得到 e e lg Es lg Es ,，3 3
E E s
即 10
2.7 s
，所以 10
2.7 103 100.3 500 ，
Es Es
故选：C．
5．函数 y lg(x 1) 的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数 y lg x 的图象与 x 轴的交点是 (1,0)结合函数的平移变换得函数 y lg(x 1) 的图象与 x 轴的公共点是
(0,0)，即可求解.
【详解】由于函数 y lg(x 1) 的图象可由函数 y lg x 的图象左移一个单位而得到，函数 y lg x 的图象与 x 轴的交
点是 (1,0)，
故函数 y lg(x 1) 的图象与 x 轴的交点是 (0,0)，即函数 y lg(x 1) 的图象与 x 轴的公共点是 (0,0)，显然四个选项只
有 A 选项满足.
故选：A.
x
6．函数 f (x) 1 与 g(x) log4 x的大致图像是（ ）
4
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；
x
【详解】解：因为 f (x) 1 在定义域R 上单调递减，
4
又 g(x) log4 x log x log x4 1 1 ，所以 g(x)在定义域 0, 上单调递减，
4
故符合条件的只有 A；
故选：A
7．设幂函数 y xc1 , y xc2 , y xc3 x x x x，指数函数 y a1 , y a2 , y a3 , y a4 ，对数函数
y logb x, y logb x, y log x, y log x1 2 b3 b4 在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是
（ ）.
A． c1 0 c3 1 c2 B．0 a4 a3 1 a1 a2
C．0 b3 b4 1 b2 b1 D．0 b4 b3 1 b1 b2
【答案】C
【分析】对四个选项一一验证：
对于 A：利用幂函数 y x 的图像，直接判断；
对于 B：利用指数函数 y a x 的图像，直接判断；
C D y log x对于 、 ：利用对数函数 a 的图像，进行判断；
【详解】对于 A：要判断的是幂函数 y x 的图像，根据 y xc1、y xc2、y xc3 的图像可以判断 c1 0 c3 1 c2，
故 A 正确；
对于 B：要判断的是指数函数 y a x 的图像，作出 x=1，看交点，交点高，底数越大，所以0 a4 a3 1 a1 a2 ，
故 B 正确；
对于 C、D：要判断的是对数函数 y log xa 的图像，作出 y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以
0 b4 b3 1 b1 b2 ，故 D 正确， C 错误；
故选：C
8．函数 y loga kx 5 b （ a 0且a 1）恒过定点 2,2 ，则 k b ______．
【答案】5
【分析】根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，函数 y loga kx 5 b 恒过定点 2,2 ，
2k 5 1
可得 ，解得 k 3,b 2，所以 k b 3 2 5 .
b 2
故答案为：5 .
9．比较下列各组数的大小．
(1)log3.10.5 与 log3.10.2；
(2) log 1 8与 log 1 4；
2 2
(3)log56 与 log65.
【答案】(1)log3.10.5>log3.10.2； (2) log 1 8 log 1 4； (3)log56>log65
2 2
【分析】（1）由 y＝log3.1 x 在(0,＋∞)上是增函数，即可求得结果.
（2）由 y log 1 x 在(0,＋∞)上是减函数，即可求得结果.
2
（3）利用中间变量 log6 6 log5 5 1及对数的单调性，即可求得结果.
【详解】(1)因为 y＝log3.1 x 在(0,＋∞)上是增函数，所以 log3.10.5>log3.10.2.
(2)法一：因为 y log 1 x 在(0,＋∞)上是减函数，所以 log 1 8 log 1 4 .
2 2 2
法二： log 1 8＝－3， log 1 4＝－2，由－3<－2 知 log 1 8 log 1 4 .
2 2 2 2
(3)因为 log56>log55＝1，log65log65.
10．函数 f x log2 3x 1 1的反函数 y f x 的定义域为（ ）
A． 1, B． 0, C． 0, D． 1,
【答案】C
【分析】先求函数 f x 的值域，再根据反函数的性质求解即可.
【详解】解：∵ 3x 1 1，∴ log x2 3 1 0，
∴函数 f x log 3x2 1 的值域为 0, ，
∵ y f 1 x 的定义域即函数 f x log2 3x 1 的值域，
∴ y f 1 x 的定义域为 0, ．
故选：C
11．已知函数 f (x) 1 log2 x，它的反函数为 y f 1(x)，则 f 1(3) _______．
【答案】 4
【分析】令 f (x) 1 log 12 x 3，求函数的自变量即为对应反函数的函数值 f 3 .
【详解】因为 f (x) 1 log2 x，
所以令 f (x) 1 log2 x 3，解得 x 4，
1
根据互为反函数之间的关系，可得 f 3 4 .
故答案为： 4 .
12．若函数 f (x) a x (a 0,a 1) 的反函数的图像经过点 (4, 2)，则 a =_______．
【答案】2
【分析】根据指数函数与对数函数的关系求出 f (x) 的反函数，再代入计算可得；
【详解】解：因为函数 f (x) a x (a 0,a 1) 的反函数为 y loga x， (a 0,a 1) ，
所以 loga 4 2，即 a2 4，所以 a 2或 a 2 （舍去）；
故答案为： 2
13．已知集合 A x x2 x 2 0 , B x log2 x 1 ，则 A B （ ）
A． x 0 x 2 B． x 0 x 2
C． x 1 x 2 D． x 1 x 2
【答案】B
【分析】分别解二次不等式和对数不等式，求得集合 A, B，进而利用交集的定义求得 A B .
【详解】A x 1 x 2 , B x 0 x 2 ，则 A B x 0 x 2 .
故选：B
14．已知集合 A x log2 x 2 ，则 R A ____________.
【答案】 ,0 4,
【分析】根据对数函数的单调性解不等式可得集合A ，进而可得其补集.
【详解】由 A x log2 x 2 ，解不等式 log2 x 2 log2 4，且 x 0，所以 0 x 4，
故 A 0,4 ， R A ,0 4, ，
故答案为： ,0 4, .
y log x215．求函数 1 3x 2 的单调增区间．
2
【答案】 ,1 ．
【分析】利用复合函数的单调性原理和对数函数的性质求解
【详解】解：由 x2 3x 2 0 得 x 2或 x 1．
3 2
又 t x2 3x 2 x 1

，知 x 2, 时，t 关于 x 为增函数， x ,1 时，t 关于 x 为减函数．
2 4
又 y log 1 t 为减函数，
2
∴ x 2, 时，原函数单调递减； x ,1 时，原函数单调递增．
故函数 y log
2
1 x 3x 2 的单调增区间为 ,1 ．
2
x
16．已知函数 f x log 1 4 1 .
4
(1)求 f x 的定义域；
(2)讨论 f x 的单调性；
(3) f x [ 1求 在区间 2 ,2]上的值域.

【答案】(1) 0, ；(2)函数 f x 在 (0, )上为减函数；(3) log 1 15,0
4
【分析】（1）直接令真数大于 0 即可得解；
（2）由 t 4x 1和 y log 1 t ，结合同增异减即可得解；
4
（3）直接利用（2）的单调性可直接得值域.
【详解】(1)由 f x log1 4x 1 ，得 4x 1 0，解得 x 0 .
4
所以定义域为 (0, )；
(2)由 t 4x 1在 (0, )上为增函数，且 y log 1 t 为减函数，
4
所以 f x log1 4x 1 在 (0, )上为减函数；
4
1 1 (3)由（2）知函数单调递减，因为 f log 42 1 0， f 2 log 4
2
1 1 log 15
2 1
1 ，
4 4 4

所以 f x 1 ,2 在区间 上的值域为 log 1 15,0 . 2 4
1．已知函数① y 4x ；② y log x 2；③ y log3 x；④ y log0.2 x ；⑤ y log3 x 1；⑥ y log2 x 1 .其中是
对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【分析】依据对数函数的定义即可判断.
【详解】根据对数函数的定义，只有符合 y loga x（ a 0且a 1）形式的函数才是对数函数，其中 x 是自变量，a
是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中 y log3 x log1 x，是对
3
数函数；④中 y log0.2 x log0.04 x ，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函
数.
故选：C.
2．函数 y log2 (1 x) 2 x 的定义域为（ ）
A． 0,2 B． 0,2 C． 1,2 D． 1,2
【答案】D
【分析】根据对数与根式的定义域求解即可
1 x 0
【详解】由题意， 2 x 0，解得
x 1,2

故选：D
3．已知函数 f x ax b的图象如图所示，则函数 y loga x b 的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得0 a 1, 1 b 0 ，再判断函数 y loga x b 的奇偶性，与单调性，即可得解；
【详解】解：由函数 f x ax b的图象可知，0 a 1, 1 b 0 ，函数 y f x loga x b 定义域为
,b b, ，且 f x loga x b loga x b f x ，即函数 y loga x b 为偶函数，又函数
loga x b , x by loga x b ，所以 y loga x b 在 b, log x b , x b 上单调递减； a
故选：D.
4．已知函数 f x loga x b （ a 0且a 1， a，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A． a 0，b 1 B． a 0， 1 b 0
C． 0 a 1，b 1 D． 0 a 1， 1 b 0
【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数 f x loga x b 为减函数，所以 0 a 1
又因为函数图象与 x 轴的交点在正半轴，所以 x 1 b 0，即b 1
又因为函数图象与 y 轴有交点，所以b 0，所以 1 b 0 ，
故选：D
5．函数 y loga x 1 4的图像恒过定点 P ，点 P 在幂函数 y f x 的图像上，则 f (4) （ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】A
【分析】利用恒等式 loga 1 0可得定点 P，代入幂函数可得解析式，然后可得.
【详解】当 x 2时， y loga 1 4 4，
所以函数 y loga x 1 4的图像恒过定点 (2, 4)
记 f (x) xm ，则有 2m 4，解得m 2
所以 f (4) 42 16 .
故选：A
x
6．声音的等级 f (x) （单位：dB）与声音强度 x （单位：W / m2 ）满足 f (x) 10 lg 12 . 喷气式飞机起飞时，声1 10
音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强
度的（ ）
A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍
【答案】B
【解析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 x1, x2 ，根据题意得出 f x1 140，
x
f x2 60 1，计算求 x 的值.2
【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 x1, x2 ，
f x1
x
10 lg 1 2
1 10 12
140， x1 10 ，
x
f x2 10 lg
x2
12 60 x
6 1 8
，
1 10 2
10 ，所以 10x ，2
因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108 倍.
故选：B
a ln 2 b ln 3
1
7．设 2 ， 3 ， c ，则（ ）e
A． a b c B． c b a C． a c b D．b c a
【答案】A
f x ln x【分析】令 ，利用导数说明函数的单调性，即可比较 c、b ，再利用作差法比较 a、b ，即可得解.
x
f x ln x f x 1 ln x【详解】解：令 ，则 2 ，所以当0 x e时 f x 0，当 x e时 f x 0，x x
所以 f x 在 0,e 上单调递增， e,+ 上单调递减，又 2 e 3，所以 f 2 f e ， f 3 f e ln 2 1，即 a c 2 e ，
b ln 3 1 c
3 e ，
b a ln 3 ln 2 2ln 3 3ln 2 ln 9 ln8又 0，所以b a，
3 2 6 6
所以 c b a；
故选：A
8．若奇函数 f x 在区间 0, 上是增函数，则下列关系正确的是（ ）
A． f 1.20.3 f 0.31.2 f log 0.3 B f log 0.3 f 0.31.2 0.31.2 ． 1.2 f 1.2
C 0.3 1.2 0.3 1.2． f 1.2 f log1.2 0.3 f 0.3 D． f log1.2 0.3 f 1.2 f 0.3
【答案】A
【分析】由已知奇函数和单调性得出函数在 R 上的单调性，由对数函数、指数函数确定1.20.3，0.31.2 ， log1.2 0.3的
大小后可得结论．
【详解】由对数与指数运算的性质可知0.09 0.3，1 1.20 1.20.3 ，
∵ log 0.3 log 1 0 ∴1.20.3又 1.2 1.2 ， 0.31.2 log1.2 0.3，
又由函数的奇偶性和单调性可知 f x 在R 上是增函数，
∴ f 1.20.3 f 0.31.2 f log1.2 0.3 ，
故选：A．
9．已知函数 f x 3x ，且函数 g x 的图像与 f x 的图像关于 y x 对称，函数 x 的图像与 g x
1 1 1
的图像关于 x 轴对称，设 a f ， b g ， c 2 2
．则（ ）
2
A． a b c B．b c a C． c b a D．b a c
【答案】D
【分析】根据函数图像的对称关系可以得到 g x ， x 的解析式，代入后跟特殊值 0 比较可得b 最小，然后构造
函数，利用特殊值和函数的单调性比较 a， c的大小即可.
【详解】因为 g x 的图像与 f x 的图像关于 y x 对称，所以 g x log3 x ，又因为 x 的图像与 g x 关于 x 轴
x log x 0 a f 1
1
1 1
3 2 1 b g log 0 0 c
1 1
对称，所以 3 ， ， 3 ， log3 log3 2 1，所
2 2 2 2 2
以b 最小；
1 1
3， log2 3 2log2 3 ，a c
h x x 2log x h x 1 2 x ln 2 2构造 2 ，则 ，x ln 2 x ln 2
x 0, 2 h x 0 h x x 0, 2 当 时， ，所以 在 上单调递减，
ln 2 ln 2
2
因为0 ln 2 1，所以 2 ，令 x 2，得 h 2 0，所以 h 3 h 2 0 ，ln 2
3 2log2 3 0 3 2log2 3
1 1
，
a c
又因为 a 0， c 0，所以 c a ，综上所述 c a b .
故选：D.
【点睛】比较对数、指数、幂的大小的方法：
①利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小；
②借助特殊值“0”、“1”或其它的数值比较大小；
③根据两数之间的关系，构造函数来比较大小.
10 A x x2．已知集合 x 0 ，B x log2 x 2 ，则 A B （ ）
A． x 1 x 4 B． x x 0或1 x 2
C． x x 0或1 x 4 D． x 1 x 2
【答案】A
【分析】解不等式后由交集的概念求解
【详解】由题意得 A ( ,0) (1, )，B (0, 4)，则 A B (1, 4)，
故选：A
11．（多选）下列四个函数的图象都有恒过的定点，定点坐标相同的函数是（ ）
A． （f x） ax 2a 2
B． （f x） log（a x 1） （2 a 0 且 a 1）
C． （f x） a x 2 （1 a 0 且 a 1）
D f x x 1 a． 1
【答案】ABCD
【分析】分别求出每个函数图象恒过的定点，即可得到答案．
【详解】对于 A、函数可化为 （f x） （a x 2） 2，令 x 2 0，得 x 2， （f x） 2，故函数的图象恒过（2，2）;
对于 B、当 x 1 1，即 x 2时，无论 a取何值， （f x） 2，故函数的图象恒过（2，2）;
对于 C、令 x 2 0，则 x 2， （f x） 2，故函数的图象恒过（2，2）；
对于 D、令 x 1 1，则 x 2， （f x） 2，故函数的图象恒过（2，2）．
综上，ABCD 都符合题意.
故选：ABCD
12．（多选）已知函数 f x 在定义域内是增函数，且 f 1 1，若 f x 1的反函数为 f x ，则（ ）
A f 1． 1 1 B． f 1 x 在定义域上是增函数
C f 1． 1 1 D f 1． x 在定义域上是减函数
【答案】AB
【分析】根据反函数的性质求解即可.
【详解】解：因为 f 1 1，且 f x 在定义域内是增函数
1 1
所以由反函数的定义及性质可知， f 1 1， f x 在定义域上是增函数，所以 A，B 正确，CD 错误.
故选：AB
13．如图所示的四条曲线分别是对数函数 y loga x， y logb x ， y log c x ， y logd x 的图象，则 a，b，c，d 与
1 的大小关系为______.（按从大到小的顺序排）
【答案】b a 1 d c
【分析】由底数的大小决定图象相对位置的高低：在第一象限内取相同的函数值时，各对数函数的底数自左向右逐
渐变大.
【详解】由题图知： a 1，b 1，0 c 1，0 d 1.
作平行于 x 轴的直线 l： y 1，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 c，d，a，b，显然b a 1 d c .
故答案为：b a 1 d c
8
14．已知函数 y loga (x 3) ( a 0且a 1）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数 f x 3x b的图象上，则9
b __________．
【答案】 1
y log (x 3) 8 ( 2, 8 x【分析】由对数函数的性质知 a 过定点 ) ，此点也在函数 f x 3 b的图象上，代入其解析9 9
式即可求得b ．
8
【详解】解：由题意函数 y loga (x 3) (a
8
0,a 1)的图象恒过定点A ，故得 A( 2, )，
9 9
又点A 也在函数 f x 3x b的图象上，
8
3 2 b ，解得b 1，
9
故答案为： 1．
15．关于函数 y log 1 x 1 ，有以下四个命题：①函数在区间 ,1 上是严格增函数；②函数的图像关于直线 x 1
2
对称；③函数的定义域为 1, ；④函数的值域为 R．其中所有正确命题的序号是______．
【答案】①②④
【分析】先求出函数的定义域，进而作出函数的图象，最后判断答案.
【详解】由题意， | x 1| 0 x 1，即函数的定义域为： x | x 1 ，则③错误，函数图象如图所示：
由题可知，①②④正确.
故答案为：①②④.
16． log3 6， log5 20
7
， 三个数中最小的是______．
4
【答案】 log3 6
【分析】将问题转化为比较 log3 2、 log5 4、0.75的大小关系，应用作差法、对数的运算及对数函数性质比较大小即
可.
【详解】由 log3 6 1 log3 2， log5 20 1 log5 4
7
， 1.75，
4
所以只需比较 log3 2、 log5 4、0.75的大小关系即可，
log 4 log 2 ln 4 ln 2 2ln 3ln 2 ln 2 ln 5 ln 2(ln 9 ln 5)而 5 3 0，ln 5 ln 3 ln 3ln 5 ln 3ln 5
则 log 4 log 2，又0.75 log 45 3 3 27 log3 2 log 43 16 ，
综上，最小数为 log3 2，即 log3 6最小.
故答案为： log3 6
17．若函数 f x loga x 1 (a 0，a 1)的反函数图像经过点 1，3 ，则a ________
【答案】4
【分析】利用函数与其反函数图象关于 y x 对称即可求解.
【详解】因为函数 f x loga x 1 (a 0，a 1)的反函数图像经过点 1，3 ，
由函数与其反函数关于 y x 对称可知，设点 1，3 关于 y x 对称的点为 x0 , y0 ，
y0 3
1 x0 1 x0 3即 ，解得 ，
x0 1 y 3 0
y0 1
2 2
则函数 f x 的图象经过点 3,1 ，即1 loga 4 ，解得 a 4，
故答案为：4.
2
18 1 f x x 3x 4．（ ）求 的定义域；
lg x
2
（2）若 f 2x 1 x 4x 1，求 f x 的解析式.
1 5 5
【答案】（1） 0,1 ；（2） f x x2 x .
4 2 4
【分析】（1）根据函数的形式，列不等式，求函数的定义域；
（2）首先换元 2x 1 t ，转化为关于 t 的二次函数，即可求得函数的解析式.
x2 3x 4 0

【详解】解：（1）由 lg x 0 ，

x 0
得 x 0,1 ，即 f x 的定义域为 0,1 .
t 1
（2）令 2x 1 t ，则 x ，
2
t 1 2f t 4 t 1 1 1 t 2 5则 t
5
，
2 2 4 2 4
f x 1 5 5故 x2 x .
4 2 4
19．解下列不等式 log 1 x log 1 (4 x) ．
7 7
【答案】{x | 0 x 2}
【分析】利用对数函数的性质列不等式求解即可.
x 0

【详解】解：由已知，得 4 x 0 ，解得0 x 2．

x 4 x
所以原不等式的解集是{x | 0 x 2}．
y log (1 x220．求函数 1 )的单调区间，并求函数的最小值．
2
【答案】单调增区间为[0，1)，单调递减区间为（-1,0）,最小值 ymin＝0.
2
【分析】先求得 y log 1 (1 x )的定义域，再利用复合函数的单调性即可求得结果.
2
2
【详解】要使 y log 1 (1 x )有意义，则 1－x2＞0，
2
所以 x2＜1，则－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1，1)．令 t＝1－x2，x∈(－1，1)．
2
当 x∈(－1，0]时，x 增大，t 增大， y＝log 1 t 减小，所以当 x∈(－1，0]时， y log 1 (1 x )单调递减；
2 2
2
同理，当 x∈[0，1)时， y log 1 (1 x )单调递增．
2
2
故函数 y log 1 (1 x )的单调增区间为[0，1)，减区间为（-1,0），
2
2
且函数的最小值 ymin log 1 (1 0 ) 0.
2
21．已知函数 f x loga 2ax2 x 2 （ a 0且a 1）.
3
(1)若 a ，求 f x 的单调区间；
2
(2)若 f x 在区间 1,3 上是增函数，求实数 a 的取值范围.
2
(1) , 【答案】 减区间为 ，增区间为 1,
3
3(2) ,

2
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性的求法可得答案
（2 2）令 g x 2ax x 2，则可得 a 0，且a 1，则函数 g x 的图象为开口向上，
1
对称轴为 x 的抛物线，然后分 0 a 1， a 1两种情况求解即可
4a
3 2
【详解】(1)当 a 时， f x log 3 3x x 2 ，
2 2
2
由3x2 x 2 0得： x 或 x 1，3
2
所以函数的定义域为 , 1, ，
3
令 t 3x2 x 2，则 y log 3 t ，
2
2 , 2 因为 t 3x x 2在 3 上递减，在 1, 上递增，
y log 3 t 在 (0, )上递增，
2
2
所以函数的减区间为 , ，增区间为 1, .
3
(2)令 g x 2ax2 x 2，易知 a 0，且a 1，则函数 g x 的图象为开口向上，
1
对称轴为 x 的抛物线，
4a
①当 0 a 1时，要使函数 f x 在区间 1,3 上是增函数，
则 g x 2ax2 x 2在 1,3 上单调递减，且 g x 0min ，
1
3
则 4a ，解得 a ；
g 3 18a 5 0
②当 a 1时，要使函数 f x 在区间 1,3 上是增函数，
g x 2ax2则 x 2在 1,3 上单调递增，且 g x 0min ，
1
1
即 4a ，解得 a
3
，符合题意，所以 a
3
.
g 1 2a 3 0
2 2
3
综上①②所述：实数 a的取值范围为 , .
2