4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
4.5.2 用二分法求方程的近似解
知识点一 函数的零点
对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
方程、函数、图象之间的关系：
方程 f(x)＝0 有实数解 函数 y＝f(x)有零点 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点．
知识点二 函数的零点、方程的解、函数图象与 x 轴的交点
方程 f(x)＝0 的实数解 函数 y＝f(x)的零点 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标．
知识点三 函数零点存在定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间
(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的解．
知识点四 二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，
使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
知识点五 用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤
1．确定零点 x0的初始区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0.
2．求区间(a，b)的中点 c.
3．计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若 f(c)＝0(此时 x0＝c)，则 c 就是函数的零点；
(2)若 f(a)·f(c)<0(此时 x0∈(a，c))，则令 b＝c；
(3)若 f(c)·f(b)<0(此时 x0∈(c，b))，则令 a＝c.
4．判断是否达到精确度 ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤(2)～(4)．
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精
确度上来判断．
【题型目录】
题型一、求函数的零点
题型二、探求零点所在区间
题型三、根据零点所在的区间求参数范围
题型四、判断函数零点个数
题型五、根据函数零点个数求参数范围
题型六、二分法概念的理解
题型七、用二分法求方程的近似解
题型一、求函数的零点
1．函数 f（x）＝x2﹣4x+4 的零点是（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．2 D．4
2．函数 f x log3 x 1 2的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
3．求下列函数 f (x) 的零点：
（1） f (x) 2x 16；
（2） f (x) x2 2x 8；
（3） f (x) log2 x
1
；
2
（4） f (x) 4x 2x 2；
（5） f (x) x ln x 1；
（6） f (x) 2x 2x 8 .
4．求下列函数的零点：
（1） f (x) x3 8x ；
（2） f (x) x4 2x2 ；
x 1, x 1
（3） f (x) 2
x 4x 1, x 1
.
题型二、探求零点所在区间
5 x．在下列区间中，函数 f x 2 x 3的零点所在的区间为（ ）
A． 0，1 B． 1，2 C． 2，3 D． 3，4
6．函数 f (x) ln x
3
的零点所在的区间是（ ）
x
A． 1,2 B． 2,3 C． 3,4 D． 4,5
7．已知函数 f x ln x 1 x2 6，则下列区间中含 f x 零点的是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
题型三、根据零点所在的区间求参数范围
8 2．已知函数 f x x 2ax 1在区间 1,2 上有零点，则 a的取值范围为___________.
9 k f x 2x x2．设 为实数，函数 k 在 0,1 上有零点，则实数 k 的取值范围为________．
10．已知函数 f x log2 x x b的零点在区间 0,1 上，则b 的取值范围为____．
题型四、判断函数零点个数
11．函数 f x ex ln x 1的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
x 1
, x 0 1
12 ．已知函数 f x 2 ，则函数 g x f x 的零点个数为（2 ）
log2 x , x 0
A． 0 个 B．1个 C． 2个 D．3个
x
13．若偶函数 f x 满足 f x 1 f x 1 x [0 1] f x x2 x f x 1＝ ，在 ，时， ＝ ，则关于 的方程 ＝ 在[0，4]上根的
10
个数是___．
题型五、根据函数零点个数求参数范围
log3 x , x 014．已知函数 f x 3x ，若函数 g, x
2
x f x m 2 f x 2m恰好有 5 个不同的零点，则实数 m 的
0
取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 1, D． 1,
x2 ,0 x 1
15．（多选）已知函数 f x | ln x 1 , x 1 ，若方程
f (x) kx 2有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值可以是
（ ）
1
A． B． 2 2 C．3 D．42
2 , x 2,
16．已知函数 f x x 若关于 x 的方程 f x k 有三个不同的实数根，则实数 k 的取值范围是________．
x 1
2 , x 2,
题型六、二分法概念的理解
17．判断正误．
（1）所有函数的零点都可以用二分法来求．( )
（2）函数 f (x) | x |可以用二分法求其零点．( )
（3）精确度 就是近似值．( )
18．用二分法求函数 f (x) x lg x 2的零点，可以取的初始区间是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
19．（多选）下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（ ）
x 1, x 0
A． y
2
3 B． y
x x 1, x 0
C． y x2 3x 3 D． y x 2
题型七、用二分法求方程的近似解
20 3．若函数 f x x x 1在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151
那么方程 x3 x 1 0的一个近似根（精确度为 0.1）可以为（ ）
A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25
21 5．用二分法研究函数 f x x 8x3 1的零点时，第一次经过计算得 f 0 0， f 0.5 0，则其中一个零点所在
区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A． 0,0.5 ， f 0.125 B． 0,0.5 ， f 0.375
C． 0.5,1 ， f 0.75 D． 0,0.5 ， f 0.25
3
1 2．若 是函数 f x 2x ax 3的一个零点，则 f x 的另一个零点为（ ）
2
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
2．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
f x x 3（1） ；
x
（2） f x x2 2x 4；
（3） f x 2x 3；
（4） f x 1 log3x ．
3．方程 lnx 4 2x的根所在的区间是（ ）
A． 0，1 B． 1，2 C． 2，3 D． 3，4
2
4．函数 y ln x 的零点所在的大致区间是（
x ）
(1A． ,1) B． (1, 2) C． (2,e) D． (e, )
e
5．已知函数 f x 2x 2x 6 的零点为 x0 ，不等式 x 6 x0 的最小整数解为 k，则 k＝（ ）
A．8 B．7 C．5 D．6
6．已知函数 f（x）=ax-3（a>0，且 a≠1），f（x0）=0，若 x0∈（0，1），则实数 a 的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，2）
C．（2，3） D．（3，+ ）
7．函数 f x x2 2 x ln x 的零点个数为（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
|x|
8．函数 f (x) 1 2 x 的零点个数是______．
2
x2 4x, x 1
9．已知函数 f (x) f ( f ( 9)) =__________ f (x) __________
lg x 1 , x 1
，则 ， 的零点个数为 个．
1, x是有理数,
10．（多选）狄利克雷函数的解析式为D x 则（ ）
0, x ,
是无理数
A．D x 0 B．D x 1
C． y D x x3有 1 个零点 D． y D x 2 x 有 2 个零点
11．已知函数 f x x2 mx 1 m R .
(1)若函数 f x 在 x 1,1 上是单调函数，求实数m 的取值范围；
(2)若函数 f x 在 0, 2 内只有一个零点，求实数m 的取值范围.
12．下列函数图象与 x 轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）
13．利用二分法求 f (x) x3 2的零点时，第一次确定的区间是（1,2），第二次确定的区间是___________.
14．（多选）如图，函数 f x 的图像与 x 轴交于M x1,0 ， N x2 ,0 ，P x3 ,0 ，Q x4 ,0 四点，则能用二分法求出
f x 的零点近似值的是（ ）
A．x1 B．x2 C． x3 D． x4
1．下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（ ）
A． y x2 B． y x
y log x y (1C x． 2 D． )2
2．已知函数 f (x) x3 2x 1，则方程 f (x) x在 ( 1,2)内的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．函数 f (x) 2x log2 x 1的零点个数为（ ）
A． 0 B．1 C． 2 D． 4
2x
2 3x 1, x 0
4．已知 f x g x f x b x , x , x , x x log2x , x 0
，函数 有四个不同的零点 1 2 3 4 ，且满足： 1 2 3 4 则下
列结论中不正确的是（ ）
1 3
A． 1 b 0 B． x3x4 1 C． x3 1 D． x1 x2 2 2
ln x, x 0
5．已知函数 f x 2 2 ，若函数 y f x mf x 1x 4x 3, x 0 有 6 个零点，则m 的取值范围是（ ）
10 10 10 10
A． 2,
B
． 2, C． 2, D． 2,
3 3 3 3
6．方程 x3 2x2 3x 6 0在区间 2,4 上的根必定在（ ）
2,1 5 1, 7A B , 4 7 5 ． 上 ． 2 上 C． 上 D． , 上 4 4 2
7．（多选）下列函数不存在零点的是（ ）
1
A． y x B．
x y 2x
2 x 1
x 1, x 0 x 1, x 0
C． y y
x 1, x 0
D．
x 1, x 0
8．(多选)已知函数 f x log2 x 1 ，在下列区间中，包含 f x 零点的区间是（ ）
A． 1,3 B． 0.5, 2 C． 1,4 D． 4,
9．（多选）对 x R ， x 表示不超过 x 的最大整数．十八世纪， y x 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函
数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如： 3.5 4， 2.1 2，则下列命题中的真命题是（ ）
A． x [ 1,0]， x 1
B． x R ， x x 1
C．函数 y x x 的值域为［0，1）
D．方程 2022x2 [x] 2023 0有两个实数根
10x 1, x 1
10．（多选）已知函数 f (x) ，则下列结论正确的是（ ）
lg x, x 1
A．函数 f x 的定义域为R B．函数 f x 的值域为 1,9
C．函数 f x 在R 上为增函数 D．函数 f x 有两个零点
11．（多选）下列选项中能用二分法求图中函数零点近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（多选）若函数 y=f (x)在区间 a,b 上的图象不间断，则下列结论中错误的是（ ）
A．若 f (a) f (b) 0 ，则 f (x) 在 a,b 上不存在零点
B．若 f (a) f (b) 0，则 f (x) 在 a,b 上至少有一个零点
C．若 f (x) 在 (a,b)内有且只有一个零点，则 f (a) f (b) 0
D．若 f (x) 在 a,b 上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值
13．函数 f x ln x x2 3的零点个数为________．
14．函数 f x x log 1 x的零点个数为________．
2
e x 2, x 1
15．已知函数 f (x) 则函数 g(x) f [ f (x)] 2 f (x) 1的零点个数是___________.
| ln(x 1) , x 1
1 x
16．已知函数 f (x)
1, x 0 2 ，则 f 1 f 2 ________，函数 f x 的零点有________个．
log2 x 1, x 0
17．已知集合 A x, y y m x ，B x, y y x m ，若集合 A B中仅含有一个元素，则实数 m 的取值范围
是______
18．用二分法研究函数 f x lgx 11 的零点时，第一次经计算可知 f 8 f 12 0，说明该函数在区间（8，12）
x
存在零点 x0 ，那么经过下一次计算可知 x0 ___________（填区间）.
19．已知函数 f x ln 3 x ln 3 x .
(1)证明：函数 f x 是偶函数；
(2)求函数 f x 的零点.4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
4.5.2 用二分法求方程的近似解
知识点一 函数的零点
对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
方程、函数、图象之间的关系：
方程 f(x)＝0 有实数解 函数 y＝f(x)有零点 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点．
知识点二 函数的零点、方程的解、函数图象与 x 轴的交点
方程 f(x)＝0 的实数解 函数 y＝f(x)的零点 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标．
知识点三 函数零点存在定理
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间
(a，b)内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的解．
知识点四 二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，
使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
知识点五 用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤
1．确定零点 x0的初始区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0.
2．求区间(a，b)的中点 c.
3．计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若 f(c)＝0(此时 x0＝c)，则 c 就是函数的零点；
(2)若 f(a)·f(c)<0(此时 x0∈(a，c))，则令 b＝c；
(3)若 f(c)·f(b)<0(此时 x0∈(c，b))，则令 a＝c.
4．判断是否达到精确度 ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤(2)～(4)．
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精
确度上来判断．
【题型目录】
题型一、求函数的零点
题型二、探求零点所在区间
题型三、根据零点所在的区间求参数范围
题型四、判断函数零点个数
题型五、根据函数零点个数求参数范围
题型六、二分法概念的理解
题型七、用二分法求方程的近似解
题型一、求函数的零点
1．函数 f（x）＝x2﹣4x+4 的零点是（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．2 D．4
【答案】C
【分析】由函数零点的定义列出方程 x2﹣4x+4＝0，求出方程的根是函数的零点．
【详解】由 f（x）＝x2﹣4x+4＝0 得，x＝2，
所以函数 f（x）＝x2﹣4x+4 的零点是 2，
故选：C．
2．函数 f x log3 x 1 2的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【答案】A
【分析】令 f x 0，解对数方程，求出 x＝10.
【详解】令 f x log3 x 1 2 0 ，即 log3 x 1 2 log 23 3 ，所以 x 1 32，因此 x＝10，所以函数
f x log3 x 1 2的零点为 10，
故选：A.
3．求下列函数 f (x) 的零点：
（1） f (x) 2x 16；
（2） f (x) x2 2x 8；
1
（3） f (x) log2 x ；2
（4） f (x) 4x 2x 2；
（5） f (x) x ln x 1；
（6） f (x) 2x 2x 8 .
【答案】（1）4；（2）-2，4；（3） 2 ；（4）1；（5）1；（6）2.
【分析】（1）（2）（3）（4）令 f x 0，求出 x 的值，即可得出答案；
（5）（6）令 f x 0，求出 x 的值，再根据函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：（1）令 f (x) 2x 16 0，解得 x 4，所以函数的零点为 4；
（2）令 f (x) x2 2x 8 0 ，解得 x 4或 2，所以函数的零点为 2,4 ；
（3）令 f (x)
1
log2 x 0，解得 x 2 ，所以函数的零点为2 2
；
2
（4）令 f (x) 4x 2x 2 0，即 2x 2x 2 0，解得 2x 2或 2x 1（舍去），
所以 x 1，所以函数的零点为 1；
（5）由 f (x) x ln x 1，则 f 1 1 0 1 0，又函数 y x, y ln x 1在 0, 上都是增函数，
所以函数 f (x) x ln x 1在 0, 上都是增函数，所以函数的零点为 1；
（6）由 f (x) 2x 2x 8，则 f 2 4 4 8 0，
又函数 y 2x , y 2x 8都是增函数，所以函数 f (x) 2x 2x 8是增函数，所以函数的零点为 2.
4．求下列函数的零点：
（1） f (x) x3 8x ；
（2） f (x) x4 2x2 ；
x 1, x 1
（3） f (x)
x
2 4x . 1, x 1
【答案】（1）0, 2 2 （2）0, 2 （3） 1,2 3
【解析】解方程 f (x) 0 可得．
【详解】解：（1）令 f (x) x3 8x 0 ，得 x x2 8 0，所以 x 0或 x 2 2 ，因此函数的零点为0, 2 2 .
（2）令 f (x) x4 2x2 0 x4 2x2，得 x2 x2 2 0，所以 x 0或 x 2 .因此函数的零点为0, 2 .
（3）令 f (x) 0 ，当 x 1时， x 1 0，所以 x 1 .
当 x 1时， x 2 4x 1 0 ，所以 x 2 3 或 x 2 3 （舍去）.
因此函数的零点为 1,2 3 .
【点睛】本题考查求函数的零点．根据零点定义，只要解方程 f (x) 0 即得．
题型二、探求零点所在区间
5．在下列区间中，函数 f x 2x x 3的零点所在的区间为（ ）
A． 0，1 B． 1，2 C． 2，3 D． 3，4
【答案】C
【分析】根据零点存在定理，分别求各选项的端点函数值，找出函数值异号的选项即可
2 3
【详解】由题意，因为 f 2 2 2 3 1 0， f 3 2 3 3 2 0，
x
由零点存在定理，故函数 f x 2 x 3的零点所在的区间为 2,3
故选：C
6．函数 f (x) ln x
3
的零点所在的区间是（ ）
x
A． 1, 2 B． 2,3 C． 3,4 D． 4,5
【答案】B
【分析】结合零点存在定理，求出函数值异号的两个端点即可得答案.
3 3
【详解】因为 y ln x, y 为 x 0, 上的单调递增函数，所以 f (x) ln x 为 x 0, 上的单调递增函数，
x x
f 1 ln1 3 3 3因为 3 0， f 2 ln 2 0， f 3 ln 3 0，
1 2 3
由零点存在定理， (2,3) 上必有唯一零点.
故选：B．
7．已知函数 f x ln x 1 x2 6，则下列区间中含 f x 零点的是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
【答案】C
【分析】分别求出 f 0 、 f 1 、 f 3 、 f 4 的值，即可判断其正负号，利用零点存在定理则可选出答案.
3
【详解】由题意知： f 0 ln1 6 6 0 ， f 1 ln2+1 6 ln3+4 6 （f 2） ln 3 2 ln 0，
e2
f 3 ln3+9 6 ln 3 3 0， f 4 ln4+16 6 ln 4 10 0 .
由零点存在定理可知 f x 在区间 2,3 一定有零点.
故选：C.
题型三、根据零点所在的区间求参数范围
8．已知函数 f x x2 2ax 1在区间 1,2 上有零点，则 a的取值范围为___________.
5
【答案】 , 1
4
【分析】函数 f x 在区间 1,2 上有零点，即 f x 0在 1,2 有方程根，按 0和 0两种情况讨论，可解出 a的
取值范围．
2
【详解】函数 f x x 2ax 1在区间 1,2 上有零点，即 f x x2 2ax 1 0在 1,2 有方程根，
当 4a2 4 0时， a 1，
若 a 1， f x x 1 2 ，在区间 1,2 上没有零点，
若 a 1， f x x 1 2 ，在区间 1,2 上有零点，故 a 1满足题意；
2
当 4a2 4 0，即 a 1或 a 1时， f x x 2ax 1在区间 1,2 上有零点，
即 x2 2ax 1 0在 1,2 有方程根，根据韦达定理可知，两根互为倒数，
应有 f 1 f 2 0 5，即 2a 2 4a 5 0，解得 a 1，
4
5
故答案为： , 1
. 4
9．设 k x 2为实数，函数 f x 2 x k 在 0,1 上有零点，则实数 k 的取值范围为________．
【答案】 1,3
【分析】由零点的存在性定理求解即可
【详解】因为 f x 2x x2 k 在 0,1 单调递增，且有零点，
f 0 1 k 0
所以
f 1 2 1 k 0
，解得1 k 3，
故答案为： 1,3
10．已知函数 f x log2 x x b的零点在区间 0,1 上，则b 的取值范围为____．
【答案】 ,1
【分析】易得函数 f x log2 x x b在区间 0,1 上单调递增，再根据零点的存在性定理可得 f 1 0，从而可得出
答案.
【详解】解：因为函数 y log2 x, y x在区间 0,1 上单调递增，
所以函数 f x log2 x x b在区间 0,1 上单调递增，
因为函数 f x log2 x x b的零点在区间 0,1 上，
又当 x 0时， log2 x x ， （f x） 0 ，
所以 f 1 1 b 0，解得b 1，
所以b 的取值范围为 ,1 .
故答案为： ,1 .
题型四、判断函数零点个数
11．函数 f x ex ln x 1的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】令 f x 0 x，即可得到 ln x e ，则函数的零点个数转化为函数 y e x 与 y ln x 的交点个数，画出函数
图象，数形结合即可判断.
【详解】解：由题意，令 f x ex ln x 1 0，即 ln x e x ，
则函数 f x ex ln x 1的零点个数，等价于两个函数 y e x 与 y ln x 的交点个数，
y e x 与 y ln x 两函数的图象如下图所示：
由图知，两个函数有 2个交点，故函数 f x ex ln x 1的零点个数是 2 .
故选：B．
1 x
, x 0 1
12 ．已知函数 f x 2 ，则函数 g x f x 的零点个数为（ ）
2
log2 x , x 0
A． 0 个 B．1个 C． 2个 D．3个
【答案】C
【分析】解方程 g x 0可得结果.
x
【详解】当 x 0 1 1时，由 g x 0可得 ，解得 x 1（舍去）；
2 2
当 x 0时，由 g x 0可得 log x 1 1 1 22 ，即 log2 x 或 log2 x ，解得 x 或 2 .2 2 2 2
综上所述，函数 g x 的零点个数为 2 .
故选：C.
x
13．若偶函数 f x 满足 f x 1 ＝f x 1 ，在 x [0，1]时， f x x2 x f x 1＝ ，则关于 的方程 ＝ 在[0，4]上根的
10
个数是___．
【答案】4
【分析】根据 f x 1 ＝f x 1 可得 f x 是周期函数，根据 f x
x
y 1 的对称性和周期性画出函数图象，然后在同一直角坐标系中观察 ＝ 与 f x 图象的交点情况即可求解.
10
【详解】解： f x 满足 f x 1 ＝f x 1 ，故可得 f (x) f (x 2) ，所以函数 f x 是以 2 为周期的周期函数，且 f x
是偶函数
根据 x [0，1] f x ＝x2， 得该函数在[0，4]上的图象为：
1 x
再在同一坐标系中做出函数 y＝ 的图象，当 x 1时， f 1 ＝1，当 x 3时， f (3) 1，而当 x 0时，
10
0 1
x
1
10
如图，当 x [0，4]时，两函数图象有四个交点．
1 xf x 所以方程 ＝ 在[0，4]上有 4 个根．
10
故答案为：4．
题型五、根据函数零点个数求参数范围
log x , x 0
14．已知函数 f x 3 2x ，若函数 g x f x m 2 f x 2m恰好有 5 个不同的零点，则实数 m 的
3 , x 0
取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 1, D． 1,
【答案】A
2
【分析】函数 y g x 有零点转化为方程 g(x) 0 有实根，令 t f (x) ，则方程 f x m 2 f x 2m 0可转
化为常见的一元二次方程，对其分析求解即可.
【详解】画出函数的大致图象，如下图所示：
函数 g 2 2x f x m 2 f x 2m恰好有 5 个不同的零点， 方程 f x m 2 f x 2m 0有 5 个根，
设 t f (x) 2，则方程化为 t m 2 t 2m 0 ，易知此方程有两个不等的实根 t1 ， t2 ，结合 f (x) 的图象可知， t1 0,1 ，
Δ (m 2)2 8m 0
t 1, h(t) t 2 m 2 t 2m 2 ，令 ，则由二次函数的根的分布情况得： h(0) 0 ，解得：0 m 1 .
h(1) 0
故选：A
x
2 ,0 x 1
15．（多选）已知函数 f x f (x) kx 2
| ln x 1 , x 1
，若方程 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值可以是
（ ）
1
A． B． 2 2 C．3 D．42
【答案】CD
x2 ,0 x 1
【分析】作出函数 f x | ln x 1 , x 1的大致图象，将方程
f (x) kx 2有两个不相等的实数根，转化为 y kx 2
与 y f (x) 图象有 2 个交点的问题，数形结合，求出参数的范围，可得答案
x2 ,0 x 1【详解】如图，作出函数 f x
| ln x 1 , x 1
的大致图象，
当 x 2时， f (x) ln(x 1), f (x)
1
，
x 1
f (x) (2,0) 1故 在点 处的切线斜率为 1 ，
2 1
直线 y kx 2过定点 (0, 2) ，当0 k 1时， y kx 2与 y f (x) 图象有一个交点；
直线 y kx 2过点 (1,1) 时， k 3 ，此时 y kx 2与 y f (x) 图象有 2 个交点；
当1 k 3时， y kx 2与 y f (x) 图象有一个交点；
当 k 3时， y kx 2与 y f (x) 图象有 2 个交点；
综上，当 k 3时， y kx 2与 f (x) 图象有 2 个交点，
故方程 f (x) kx 2有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值可以是 3，4，
故选：CD
2 , x 2,
16．已知函数 f x x 若关于 x 的方程 f x k 有三个不同的实数根，则实数 k 的取值范围是________．
x 1
2 , x 2,
【答案】 0,1
【分析】作出分段函数 f x 和直线 y k 的图像，数形结合即可求解.
【详解】作出函数 f x 的图像和直线 y k ，如图所示:
由图可知，当 k 0,1 时，函数 f x 的图像和直线 y k 有三个交点，所以 k 0,1 ．
故答案为： 0,1 或0 k 1.
题型六、二分法概念的理解
17．判断正误．
（1）所有函数的零点都可以用二分法来求．( )
（2）函数 f (x) | x |可以用二分法求其零点．( )
（3）精确度 就是近似值．( )
【答案】 错误 错误 错误
【详解】运用二分法需要函数图象在与 x 轴交点附近连续，且零点左右两侧的函数值符号不同，所以（1）（2）错
误，精确度不是近似值，所以（3）错误.
18．用二分法求函数 f (x) x lg x 2的零点，可以取的初始区间是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
【答案】B
【分析】根据二分法求函数零点的条件，结合 f x 即可判断和选择.
【详解】因为 y x, y lg x是单调增函数，故 f x 是单调增函数，其零点至多有一个；
又 f 1 1, f 2 lg 2 0，故用二分法求其零点，可以取得初始区间是 1,2 .
故选：B.
19．（多选）下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（ ）
x 1, x 0
A． y
2
3 B． y
x x 1, x 0
C． y x2 3x 3 D． y x 2
【答案】AB
【分析】根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值．
y 2
2
【详解】对于选项 A，当 x 1时， 3 1 0
1 y 3 1>0
，当 x 时， 1 ，所以能用二分法求零点的近似
1 2 2
值．
y 2+1 1 0 x 1 y 1 +1 1对于选项 B，当 x 2时， ，当 时， >0 ，能用二分法求零点的近似值．
2 2 2
2
对于选项 C， y x2 3x 3 x 3 3 0，故不能用二分法求零点的近似值．
2 4
对于选项 D， y x 2 0，故不能用二分法求零点的近似值．
故选：AB．
题型七、用二分法求方程的近似解
20．若函数 f x x3 x 1在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151
那么方程 x3 x 1 0的一个近似根（精确度为 0.1）可以为（ ）
A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25
【答案】B
【分析】由零点存在性定理和二分法求解近似根.
【详解】由 f 1.3125 0， f 1.375 0，且 f x 为连续函数，由零点存在性定理知：区间 1.3125,1.375 内存在零
点，故方程 x3 x 1 0的一个近似根可以为 1.32，B 选项正确，其他选项均不可.
故选：B
21 5 3．用二分法研究函数 f x x 8x 1的零点时，第一次经过计算得 f 0 0， f 0.5 0，则其中一个零点所在
区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A． 0,0.5 ， f 0.125 B． 0,0.5 ， f 0.375
C． 0.5,1 ， f 0.75 D． 0,0.5 ， f 0.25
【答案】D
【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点 x0 0,0.5 ，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】因为 f (0) f (0.5) 0，
由零点存在性知：零点 x0 0,0.5 ，
f 0 0.5 根据二分法，第二次应计算 2
，即 f 0.25 ，
故选：D.
3
1．若 是函数 f x 2x2 ax 3的一个零点，则 f x 的另一个零点为（ ）
2
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
【答案】A
3
【分析】由 是函数 f x 2x2 ax 3的一个零点，可得 a值，再利用韦达定理列方程解出 f x 的另一个零点．
2
3 2
【详解】因为 是函数 f x 2x2 ax 3 3 3 3的一个零点，所以 f 2 a 3 0，解得 a 5．设另一个零2 2 2 2
3 5
点为 x0 ，则 x0 ，解得 x0 1，所以 f x 的另一个零点为 1．2 2
故选：A．
2．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
f x x 3（1） ；
x
（2） f x x2 2x 4；
（3） f x 2x 3；
（4） f x 1 log3x ．
【答案】（1）存在， x 3；（2）不存在；（3）存在， x log23；（4）存在， x 3．
x 3
【分析】（1）令 =0，解得 x –3，得零点；
x
（2）令 x2 2x 4 0 ，由于 22 4 1 4 12 0，所以无零点；
（3）令 2x 3 0，解得 x log23，得零点；
（4）令1 log3x 0，解得 x 3，得零点.
x 3
【详解】（1）令 =0，解得 x –3，
x
f x x 3所以函数 = 的零点是 x –3．
x
故函数 f x 存在零点，零点是 x –3 .
（2）令 x2 2x 4 0 ，由于 22 4 1 4 12 0，
所以方程 x2 2x 4 0 无实数根，
所以函数 （f x） x2 +2x+4不存在零点．
（3）令 2x 3 0，解得 x log23．
所以函数 （f x） 2x 3的零点是 x log23．
（4）令1 log3x 0，解得 x 3，
所以函数 f x 1 log3x 的零点是 x 3．
【点睛】本题考查函数的零点，正确地理解函数的零点的定义，判断其对应方程根的个数是该类问题的关键，属于
基础题.
3．方程 lnx 4 2x的根所在的区间是（ ）
A． 0，1 B． 1，2 C． 2，3 D． 3，4
【答案】B
【分析】构造函数 f x ln x 2x 4，确定其单调性，结合零点存在性定理得到结论.
【详解】令 f x ln x 2x 4，显然 f x ln x 2x 4单调递增，
又因为 f 1 2 4 2 0， f 2 ln 2 4 4 ln 2 0，
由零点存在性定理可知： f x ln x 2x 4的零点所在区间为 1，2 ，
所以 ln x 4 2x 的根所在区间为 1，2 .
故选：B
2
4．函数 y ln x 的零点所在的大致区间是（
x ）
A． (
1 ,1) B． (1, 2) C． (2,e) D． (e, )
e
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】解： y f x ln x 2 的定义域为 0, y ln x y 2，又 与 在 0, 上单调递增，
x x
所以 f x ln x 2 在 0, 上单调递增，
x
又 f 1 ln1 2 2 0， f 2 ln 2 1 0， f e ln e 2 1 2 0，
e e
所以 f 2 f e 0 ，所以 f x 在 2,e 上存在唯一的零点.
故选：C
5．已知函数 f x 2x 2x 6 的零点为 x0 ，不等式 x 6 x0 的最小整数解为 k，则 k＝（ ）
A．8 B．7 C．5 D．6
【答案】A
x
【分析】方法一：由函数单调性，结合函数零点存在性定理得到 f x 2 2x 6 的零点 x0 满足1 x0 2 ，求出
7 x0 6 8，求出最小整数解；
方法二：数形结合求出零点所在区间，从而求出7 x0 6 8，求出最小整数解.
【详解】方法一：
∵函数 f x 2x 2x 6 为 R 上的增函数， f 1 2 0， f 2 2 0 ，
∴ x函数 f x 2 2x 6 的零点 x0 满足1 x0 2 ，
∴ 7 x0 6 8，
∴ x 6 x0 的最小整数解 k＝8.
方法二：已知函数 f x 2x 2x 6 的零点即为函数 y 2x 的图象与 y 6 2x的图象交点的横坐标，
x
通过图象可看出函数 f x 2 2x 6 的零点 x0 所在的区间为(1,2)，
∴ 7 x0 6 8，
∴ x 6 x0 的最小整数解 k＝8.
故选：A.
6．已知函数 f（x）=ax-3（a>0，且 a≠1），f（x0）=0，若 x0∈（0，1），则实数 a 的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，2）
C．（2，3） D．（3，+ ）
【答案】D
【分析】利用零点存在定理求解.
【详解】解：因为函数 f（x）=ax-3（a>0，且 a≠1）单调，
所以函数在区间（0，1）上至多有一个零点，
因为 f（x0）=0，且 x0∈（0，1），
所以 f 0 f 1 1 3 a 3 0，解得 a 3，
所以实数 a 的取值范围是（3，+ ），
故选：D
7．函数 f x x2 2 x ln x 的零点个数为（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
【答案】D
【分析】分析函数 f x 的奇偶性，数形结合可得出函数 f x 在 0, 内的零点个数，结合函数奇偶性的性质可得
出结果.
【详解】函数 f x 的定义域为 x x 0 ，
且 f x x 2 2 x ln x x2 2 x ln x f x ，故函数 f x 为偶函数，
当 x 0时， f x x2 2x ln x ，考虑函数 f x 在 0, 内的零点个数，
令 f x 0，可得 x2 2x ln x，
作出函数 y x2 2x 、 y ln x 在 0, 上的图象如下图所示，
由图可知，函数 y x2 2x 、 y ln x 在 0, 上的交点个数为 2，
故函数 f x 在 0, 上的零点个数为 2，
因此，函数 f x 的零点个数为 4 .
故选：D.
|x|
8．函数 f (x) 1 2 x 的零点个数是______．
2
【答案】2
1 |x| x 1
【分析】函数 f (x) 2 2 x 的零点个数，即为函数 y , y x 的图象交点的个数，作出两函数图象，数形结
2 2
合即可得出答案.
|x|
1
【详解】解：令 f x 0，则 x2 ，
2
1
x
作出函数 y 2 , y x 的图象，
2
1
x
由图可知，函数 y , y x
2的图象有两个交点，
2
故方程 f x 0有两个不同的根，
|x|
1
所以函数 f (x) x2 有 2 个零点.
2
故答案为：2.
x2 4x, x 1
9．已知函数 f (x)
，则 f ( f ( 9)) =__________， f (x)lg x 1 , x 1 的零点个数为__________个．
【答案】 3 2
【分析】本题第一空以分段函数为背景考查复合函数的求值问题，从内到外，依次将自变量的值代入对应解析式求
值即可；第二空求函数的零点个数，可以转化为方程根的个数问题处理，也可以作出函数图象，判断其与 x 轴的交
点个数.
【详解】解法一：∵ f ( 9) lg | 9 1| lg10 1∴ f ( f ( 9)) f (1) 12 4 1 3；
x2 4x 0 lg x 1 0
令 f (x) 0 ，即 或 ，解得 x 4或 x 0，故 f (x) 的零点个数为 2.
x 1
x 1
故答案为： 3，2.
解法二：∵ f ( 9) lg | 9 1| lg10 1∴ f ( f ( 9)) f (1) 12 4 1 3；作出函数 y f (x) 的图象，如图
显然函数 f (x) 的图象与 x 轴有两个交点，故 f (x) 的零点个数为 2.
故答案为： 3；2.
1, x是有理数,
10．（多选）狄利克雷函数的解析式为D x 则（ ）
0, x
是无理数,
A．D x 0 B．D x 1
C． y D x x3有 1 个零点 D． y D x 2 x 有 2 个零点
【答案】ABC
【分析】根据D x 的值域为 0,1 3可判断 A，B；分 x 是无理数、 x 是有理数讨论，由D x x 0，求出零点可判
断 C；令 y D x 2 x 0，分D x 1、D x 0讨论，由 y D x 2 x 0求出零点可判断 D．
【详解】因为D x 的值域为 0,1 A B x D x x3，所以 ， 正确；当 是无理数时，由 0，得0 x3 0，解得 x 0
，不合题意；当 x 3 3是有理数时，由D x x 0，得1 x3 0 ，解得 x 1．则 y D x x 有 1 个零点，故 C 正确；
令 y D x 2 x 0，则D x x 2 ，当D x 1时， x 3 2 2 为无理数，不合题意；当D x 0时， x 2
为有理数，不合题意，所以 y D x 2 x 没有零点，故 D 错误．
故选：ABC．
11 2．已知函数 f x x mx 1 m R .
(1)若函数 f x 在 x 1,1 上是单调函数，求实数m 的取值范围；
(2)若函数 f x 在 0,2 内只有一个零点，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) , 2 2, 5 ;(2) m m 2 或m 2
【分析】（1）求出 f x 对称轴，根据其在 x 1,1 上是单调函数，列出不等式，求解即可.
（2）分两种情况进行讨论，第一种 f x 在实数范围内只有一个零点，且零点在 0,2 内；第二种函数 f x 在实数
范围内有两个零点，其中一个零点在 0,2 内，分别列出不等式计算即可.
m
【详解】（1）易知函数 f x 的图像开口向上且对称轴为 x ，
2
当 f x 在 x 1,1 m上单调递增时， 1，解得m 2；
2
当 f x 在 x 1,1 m上单调递减时， 1，解得m 2 .
2
综上， , 2 2,
（2）函数 f x 在 0, 2 内只有一个零点分两种情况：
①函数 f x 在实数范围内只有一个零点，此时有0 m 2且 ( m)2 4 0，解得m 2 ；
2
②函数 f x 5 1在实数范围内有两个零点，此时当 f 2 0 时，m ，函数 f x 在 0,2 内有一个零点
2 2
；
当 f 2 0 5时，必有 f 0 f 2 0，即 0 0 1 4 2m 1 0 ，解得m .
2
综上， m m 2 或m 5
2
12．下列函数图象与 x 轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）
【答案】（1）（3）
【分析】根据二分法所求零点的特点，结合图象可确定结果.
【详解】用二分法只能求“变号零点”， （1），（3）中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求
故答案为：（1）（3）
13．利用二分法求 f (x) x3 2的零点时，第一次确定的区间是（1,2），第二次确定的区间是___________.
【答案】(1，1.5)
【分析】根据二分法的原理，判断两个端点函数值正负以及两个端点的中点处函数值正负即可得到答案．
【详解】由题可知 f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，
∵ 1 2f( 2 )＝f(1.5)＝1.375＞0，∴f(x)零点应该在(1，1.5)上．
故答案为：(1，1.5).
14．（多选）如图，函数 f x 的图像与 x 轴交于M x1,0 ， N x2 ,0 ，P x3 ,0 ，Q x4 ,0 四点，则能用二分法求出
f x 的零点近似值的是（ ）
A．x1 B．x2 C． x3 D． x4
【答案】ACD
【分析】观察图像寻找零点左右符号不一致的即可.
【详解】由题图，可知在 x x2两侧，函数 f x 的值均大于 0，故x2
的近似值不能用二分法求出.其他零点两侧函数值符号均相反，可以用二分法求解近似值.
故选:ACD.
1．下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（ ）
A． y x2 B． y x
C． y log2 x D． y (
1) x
2
【答案】D
【分析】结合基本函数的函数的性质和零点的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】对于 A 中，函数 y x2 的对称轴为 y 轴，故 y x2 是偶函数，
令 x2 0得 x 0，所以 y x2 的零点为 x 0．不符合题意；
对于 B 中，函数 y x 的定义域为[0, ），不关于原点对称，
故 y x 不是偶函数，不符合题意；
对于 C 中，函数 y log2 x 的定义域为（0, ），不关于原点对称，
故 y log2 x 不是偶函数，不符合题意．
1 x 1 1
对于 D 中，函数 y ( ) ，可得 ( ) x ( ) x ，所以函数为偶函数，
2 2 2
(1 1令 ) x 0，此时方程无解，所以函数 y ( ) x 无零点，不符合题意.
2 2
故选：D.
2．已知函数 f (x) x3 2x 1，则方程 f (x) x在 ( 1,2)内的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由 f (x) x变形，可设 g(x) x3 3x 1，则 g( 1) 0, g(1) 0, g(2) 0，分别在 ( 1,1) 与 (1, 2)用定义法求
出 g x 的单调性，结合零点存在定理判断即可
【详解】由 f (x) x得： x3 3x 1 0，令 g(x) x3 3x 1，则
g( 1) 1 3 1 3 0, g(1) 1 3 1 1 0, g(2) 8 6 1 3 0，
3 3
设 x1 x2，则 g x1 g x2 x1 x2 3x1 3x x x x 2 x x x 22 1 2 1 1 2 2 3 ，
2 2
当 1 x1 x2 1时， x1 x1x2 x2 3 0 ，则 g x1 g x2 0，故 g x 在 ( 1,1) 内单调递减，又 g( 1) g(1) 0，故 g(x)
在 ( 1,1) 内只有一个零点；
2 2
当1 x1 x2 2时， x1 x1x2 x2 3 0， g x1 g x2 0，故 g x 在 (1, 2)内单调递增，又 g(1) g(2) 0，故 g(x)
在 (1, 2)内只有一个零点；
综上， g(x)在 ( 1,2)内有两个零点，即方程 f (x) x在 ( 1,2)内有两个实数解.
故选：C
3．函数 f (x) 2x log2 x 1的零点个数为（ ）
A． 0 B．1 C． 2 D． 4
【答案】C
【分析】 f (x) 的零点的问题转化成图象的交点个数的问题，令 f (x) 0 后，整理成
log x 1 12 x ，在同一坐标系中中画出 y1 x , y2 log2 x 两者图象即可.2 2
【详解】令 f (x) 0 ，整理得 log x
1 1
2 x ，再令 y1 x , y2 log2 x ，不难在同一坐标系中画出它们的图象如下，根2 2
据图象可知它们有两个交点，即方程 f (x) y1 y2 0 有两个根，于是 f (x) 有两个零点.
故选：C
2 2x 3x 1, x 04．已知 f x g x f x b x , x , x , x x log x , x
，函数 有四个不同的零点 ，且满足： 则下
2 0
1 2 3 4 1 2 3 4
列结论中不正确的是（ ）
A． 1 b 0 B． x3x4 1
1 3
C． x 1 D． x x
2 3 1 2 2
【答案】A
【分析】作出 f x 图象，利用函数有四个不同的交点求出 1 b 0 ，A 错误；
3
根据二次函数的对称轴求出 x1 x2 可判断 D；2
数形结合结合对数运算得到 x3x4 1可判断 B；
数形结合求出 1 log2 x3 0
1
，解得 x
2 3
1，可判断 C.
【详解】如图，作出 f x 图象，若 y＝－b 与 y f x 有四个交点，需0 b 1，则 1 b 0 ，故 A 错误；
这四个交点的横坐标依次为 x1, x2 , x3 , x
3 3
4 ，因为抛物线 y 2x2 3x 1的对称轴为 x ，所以 x4 1
x2 ，故 D 正2
确；
因为 log2 x3 log2 x4 ，即 log2 x3 log2 x4 0，所以 x3x4 1，故 B 正确；
f x3 log2 x3 0,1 ，即 1 log 12 x3 0，所以 x3 1，故 C 正确. 2
故选：A.
ln x, x 0 2
5．已知函数 f x 2 ，若函数 y f xx 4x 3, x 0 mf x 1有 6 个零点，则m 的取值范围是（ ）
2,10 10 10 A B 2, C 2, D 2,
10
． ． ．3 3
．
3 3
【答案】D
2
【分析】画出 f x 的图像，结合函数 y f x mf x 1有6个零点，结合图像列不等式来求得m 的取值范围.
【详解】当 x 0 时， f x 是开口向下的二次函数，对称轴为 x 2 ， f 2 4 8 3 1, f 0 3 .
由 x2 4x 3 0解得 x 1或 x 3 .
由此画出 f x 的图像如下图所示，
2依题意，函数 y f x mf x 1有6个零点，
令 t f x ，则 y t 2 mt 1，
根据图像可知，函数 y t 2 mt 1在区间 3,1 上有两个不相等的实数根，
Δ m2 4 0
2
3 3m 1 0 10
则 12 m 1 0 ，解得 2 m ，
3
3
m
1
2
m 2,10 所以 的取值范围是 . 3
故选：D
6．方程 x3 2x2 3x 6 0在区间 2,4 上的根必定在（ ）
A． 7 7 5 2,1 5上 B , 4 ． 2 上 C． 1, 上 D． , 上 4 4 2
【答案】D
5 7
【分析】设 f (x) x3 2x2 3x 6，运用二分法，依次计算 f ( 2)， f (4) ， f (1)， f ( ) ， f ( )的值，再利用零点
2 4
的存在性定理，即可得解.
【详解】解析：设 f (x) x3 2x2 3x 6，
则 f ( 2) 8 8 6 6 28 0， f (4) 64 32 12 6 38 0，
2 4
因为 1且 f (1) 1 2 3 6 4 0，所以函数 f (x) 在 1,4 上必有零点.
2
1 4 5
f (5) 125 25 15 37
5
又因为 且 6 0，所以函数 f (x) 在 1, 上必有零点.
2 2 2 8 2 2 8 2
1 5 7 7 7 3 7 5又因为 2 且 f ( ) ( ) 2 (
7)2 3 7 97 6 0 f (x) ,
4 4 4 4 64 ，所以函数 在 上必有零点.2 4 4 2
7
即方程的根必在 ,
5
上. 4 2
故选：D
7．（多选）下列函数不存在零点的是（ ）
y x 1A． B．
x y 2x
2 x 1
y
x 1, x 0 x 1, x 0
C． y
x 1, x
D．
0 x 1, x 0
【答案】BD
【分析】根据零点的定义，令 y 0 解方程即可.
1
【详解】A 选项中，令 y 0 ，解得 x 1，故 1和 1 是函数 y x 的零点；
x
B 选项中，令 y 0 2，则 2x2 x 1 0，因为 1 4 2 1 7 0 ，所以该方程无解，所以函数 y 2x2 x 1
无零点；
x 1, x 0,
C 选项中，令 y 0 ，解得 x 1，故-1 和 1 是函数 y
x 1, x 0
的零点；
x 1, x 0,
D 选项中，令 y 0 ，方程无解，故函数 y
x 1, x
无零点．
0
故选：BD．
8．(多选)已知函数 f x log2 x 1 ，在下列区间中，包含 f x 零点的区间是（ ）
A． 1,3 B． 0.5, 2 C． 1,4 D． 4,
【答案】AC
【分析】结合 f x 的单调性和零点的存在性定理确定正确答案.
【详解】 f x log2 x 1 的定义域为 1, ，B 选项错误.
f x log2 x 1 在区间 1, 上是增函数，
f 2 log2 2 1 log2 1 0，
所以 x 2是 f x 的唯一零点，所以 AC 选项正确，D 选项错误.
故选：AC
9．（多选）对 x R ， x 表示不超过 x 的最大整数．十八世纪， y x 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函
数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如： 3.5 4， 2.1 2，则下列命题中的真命题是（ ）
A． x [ 1,0]， x 1
B． x R ， x x 1
C．函数 y x x 的值域为［0，1）
D．方程 2022x2 [x] 2023 0有两个实数根
【答案】BCD
【分析】根据高斯函数的定义逐个分析判断即可
【详解】对于 A，当 x [ 1,0]时， 0 0，所以 A 错误，
对于 B，因为对 x R ， x 表示不超过 x 的最大整数，所以 x x 1，所以 B 正确，
对于 C，由选项 B 可知 x x 1，所以 x x 1，因为对 x R ， x 表示不超过 x 的最大整数，所以 x x 0，
所以0 x x 1，所以函数 y x x 的值域为［0，1），所以 C 正确，
对于 D，由 2022x2 [x] 2023 0，得 2022x2 2023 [x]，令 y 2022x2 2023, y [x]，则方程 2022x2 [x] 2023 0
的解转化为两函数 y 2022x2 2023, y [x]图象的交点情况，作出两函数的图象，如图所示，由图象可知两函数图
象只有两个交点，所以方程 2022x2 [x] 2023 0有两个实数根，所以 D 正确，
故选：BCD
10x 1, x 1
10．（多选）已知函数 f (x) ，则下列结论正确的是（ ）
lg x, x 1
A．函数 f x 的定义域为R B．函数 f x 的值域为 1,9
C．函数 f x 在R 上为增函数 D．函数 f x 有两个零点
【答案】AD
【分析】结合基本初等函数图像即可
【详解】做出函数简图如下
对于 A 选项：根据函数解析式可知，A 选项显然正确
对于 B 选项：结合图像易知，当 x 时， f (x) ，故 B 选项错误
对于 C 选项：由图像易知，C 选项显然错误
对于 D 选项：因为 f (0) 100 1 0， lg1 0，所以 D 选项正确.
故选：AD
11．（多选）下列选项中能用二分法求图中函数零点近似值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】能用二分法求函数零点近似值,需要函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即是函数图象需要穿过 x 轴.
【详解】根据二分法的概念可知，函数 f (x) 在区间 a,b 上的图象连续不断，且 f (a) f (b) 0，即函数的零点是变
号零点才能将区间 a,b 一分为二，逐步得到零点的近似值.对各选项中图象分析可知，选项 ACD 都符合条件，而选
项 B 不符合二分法的要求.
故选：ACD.
12．（多选）若函数 y=f (x)在区间 a,b 上的图象不间断，则下列结论中错误的是（ ）
A．若 f (a) f (b) 0 ，则 f (x) 在 a,b 上不存在零点
B．若 f (a) f (b) 0，则 f (x) 在 a,b 上至少有一个零点
C．若 f (x) 在 (a,b)内有且只有一个零点，则 f (a) f (b) 0
D．若 f (x) 在 a,b 上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值
【答案】ACD
【分析】通过举例判断选项 A，利用函数零点存在性定理判断选项 B，利用数形结合的思想即可判断选项 C、D.
【详解】A：令 f (x) x2 ， a 1，b 1，
则 f (0) 0， f ( 1) 1， f (1) 1，令 a 1，b 1，
f (a) f (b) 0 ，则 f (x) 在 a,b 上存在零点 0，故 A 错误；
B：函数 y=f (x)在区间 a,b 上的图象不间断，若 f (a) f (b) 0，
则 f (x) 在 a,b 上至少有一个零点，由函数零点存在定理知正确，故 B 正确；
C：如图， f (x) 在 (a，b)内有且只有一个零点，但 f (a) f (b) 0，故 C 错误；
D：如图， f (x) 在 a,b 上存在零点，但不可用二分法求此零点的近似值，故 D 错误.
故选：ACD
13 f x ln x x2．函数 3的零点个数为________．
【答案】1
2
【分析】解法一，将函数 f x ln x x 3的零点转化为函数 y ln x 与 y 3 x2 图象的交点问题，作出函数图象，
数形结合，可得答案；
解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.
【详解】解法一：令 f x 0，可得方程 ln x x2 3 0 ，即 ln x 3 x2 ，
故原函数的零点个数即为函数 y ln x 与 y 3 x2 图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．
由图可知，函数 y 3 x2 与 y ln x 的图象只有一个交点，
故函数 f x ln x x2 3只有一个零点，
故答案为：1
解法二：∵ f 1 ln1 12 3 2 0， f 2 ln 2 22 3 ln 2 1 0，
∴ f 1 f 2 0，
又 f x ln x x2 3的图象在 1,2 上是不间断的，
∴ f x 在 1,2 上必有零点，
又 f x ln x x2 3在 0, 上是单调递增的，
∴函数 f x 的零点有且只有一个，
故答案为：1
14．函数 f x x log 1 x的零点个数为________．
2
【答案】1
【分析】在同一平面直角坐标系内作出函数 y x 与 y log 1 x 的图象即可得出答案.
2
【详解】令 f x 0，可得方程 x log1 x ．
2
在同一平面直角坐标系内作出函数 y x 与 y log 1 x 的图象，如图，
2
由图可知，函数 y x 与 y log 1 x 的图象只有一个交点，
2
故方程 x log1 x 只有一个解，
2
故函数 f x 只有一个零点．
故答案为：1.
e x 2, x 1
15．已知函数 f (x)
则函数 g(x) f [ f (x)] 2 f (x) 1的零点个数是___________.
| ln(x 1) , x 1
【答案】5
【分析】令 t f (x) ， g(x) 0 ，则 f (t) 2t 1 0，分别作出 y f (x) 和直线 y 2x 1，得到两交点的横坐标，再由
图象观察，即可得到所求零点个数．
【详解】解：令 t f (x) ， g(x) 0 ，
则 f (t) 2t 1 0，
分别作出 y f (x) 和直线 y 2x 1，
由图象可得有两个交点，横坐标设为 t1 ， t2 ，
则 t1 0，1 t2 2，即有 f (x) 0 有 2 根；
1 f (x) 2时， t2 f (x) 有 3 个不等实根，
综上可得 g(x) 0 的实根个数为 5，
即函数 g(x) f [ f (x)] 2 f (x) 1的零点个数是 5．
故答案为：5．
x 1
f (x) 1, x 016．已知函数 2 ，则 f 1 f 2 ________，函数 f x 的零点有________个．
log2 x 1, x 0
【答案】 4 2
【分析】直接将 x 1和 x 2 代入函数解析式即可；根据解析式分别计算出 x 0 和 x 0的零点个数即可.
x
【详解】由题意知 f 1 f 2 1 4 1 4 ；当 x 0 时令 f (x) 1 1 0 则 x 0，当 x 0时令
2
f (x) log x 1 0 x 12 则 所以函数 f x 的零点有 2 个.2
故答案为：4；2
17．已知集合 A x, y y m x ，B x, y y x m ，若集合 A B中仅含有一个元素，则实数 m 的取值范围
是______
【答案】 1,1
【分析】由题意可得集合A ， B 表示的曲线只有一个交点，可得m x x m 只有一个根，当m 0时，符合题意，
x
当m 0 时， x 1，分别作出 y x
x
与 y 1的图象，根图象求解即可
m m
【详解】解：因为 A B中仅含有一个元素，
所以集合A ， B 表示的曲线只有一个交点，
所以m x x m 只有一个根，当m 0时解得 x 0，符合题意，
x
当m 0 时， x 1，分别作出 y x 与 y
x
1的图象，
m m
1 1
由图象可知 1或 1时，两函数图象只有一个交点，解得0 m 1或 1 m 0 ，
m m
综上，实数m 的取值范围是[ 1,1]，
故答案为：[ 1,1]
11
18．用二分法研究函数 f x lgx 的零点时，第一次经计算可知 f 8 f 12 0，说明该函数在区间（8，12）
x
存在零点 x0 ，那么经过下一次计算可知 x0 ___________（填区间）.
【答案】 10,12
【分析】分别计算出 f 8 , f 12 的值，并判断正负，再计算中点处的函数值 f (10)，即可得答案.
11
【详解】 f (8) lg8 0, f (12) lg12
11
0 ，
8 12
而 f (10) lg10
11
1 11 0，则 f (10) f (12) 0，
10 10
故答案为： 10,12 .
19．已知函数 f x ln 3 x ln 3 x .
(1)证明：函数 f x 是偶函数；
(2)求函数 f x 的零点.
【答案】(1)证明见解析；(2) 2 2 和 2 2
【分析】（1）先证明函数 f x 的定义域关于原点对称，再证明 f ( x) f (x) 即可；
（2）利用对数运算对函数 f x 的解析式进行化简，求解方程 f (x) 0 即可得到函数 f x 的零点.
3 x 0
【详解】（1）证明：由 3 x 0，解得
3 x 3，
∴函数的定义域为 x 3 x 3 ，且定义域关于原点对称，
又∵ f x ln 3 x ln 3 x f x ，∴ f x 是偶函数.
（2）解： f x ln 3 x ln 3 x ln 9 x2 ，令 f x ln 9 x2 0，
∴ 9 x2 1，解得 x 2 2 .
∴函数 f x 的零点为 2 2 和 2 2 .
