28.1锐角三角函数
一、单选题
1.如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C.设，下列关系式正确的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可.
【详解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴，
故选：D.
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义.在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A.掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键.
2.如图，工人师傅准备从一块斜边长为的等腰直角材料上裁出一块以直角顶点为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥接缝处忽略，则圆锥的底面半径为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】作于点，首先求出扇形的半径的长，再根据弧长公式，求出弧长，然后再根据圆的周长公式，即可求出底面半径.
【详解】解：如图，作于点，
∵是斜边长为的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴扇形的弧长，
设底面半径为，
则，
解得：，
∴圆锥的底面半径为.
故选：A
【点睛】本题考查了等腰直三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数、弧长公式，解本题的关键在理解扇形的弧长等于圆锥底面的周长.
3.如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为 ( )
A.5米 B.米 C.米 D.米
【答案】B
【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可.
【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E，
∵BE平行于地面，
∴∠ABE＝∠α，
∵BE＝5米，
∴AB＝＝.
故选B.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题.解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形.
4.某滑梯示意图及部分数据如图所示.若，则的长为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据，，，求解即可.
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握正切三角函数的运用.
5.如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米.已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为 ( )
A.米 B.米 C.米 D.米
【答案】D
【分析】作辅助线，用角α的正切解答，角α的正切等于角α的对边AC比角α的邻边B C.
【详解】如图，过点B作BC⊥AD于点C，
则∠ABC=α，AC=AD－CD=AD－BE=25 －1=24，
，
∴.
故选D.
【点睛】本题考查了锐角三角函数里面的正切，熟练掌握正切的定义及算法是解决此类问题的关键.
6.如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画弧AC，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，求阴影部分面积( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】过E点作EM⊥BC于M点，作EN⊥AB于N点，利用解含特殊角的直角三角形，得到MC=、BM=，根据BM+MC=BC=4，求出EM，进而求出BM，依据NE⊥AB，EM⊥BC，且∠ABC=90°，可知四边形BMEN是矩形，则有NE=BM=1，根据即可求解.
【详解】过E点作EM⊥BC于M点，作EN⊥AB于N点，如图，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∵∠BCE=30°，
∴∠EBC=60°，
∵EM⊥BC，
∴在Rt△EMC中，
∴tan∠ECM==tan30°=，
∴MC=，
∴∴在Rt△EBM中，
∴tan∠EBM==tan60°=，
∴BM=，
∵BM+MC=BC=4，
∴+=4，
∴，
∴BM=，
∵NE⊥AB，EM⊥BC，且∠ABC=90°，
∴四边形BMEN是矩形，
∴NE=BM=1，
∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴，，
∴，
故选： C.
【点睛】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和解含特殊角的直角三角形等知识，求出EM、EN是解答本题的关键.
7.如图，△ABC中，AB＝AC＝15，tanA=2,BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是 ( )
A． B． C． D． 10
【答案】 B
【分析】如图，作于，于．由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，作于，于．
，
，
，
设，，
则有：，
，
解得（舍去），
∴，
，，，
（等腰三角形两腰上的高相等）
，，
，
，
，
当C、D、H三点共线时，，
的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
8.在△ABC中， ，则△ABC一定是 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】D
【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案.
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ABC一定是等腰直角三角形
故选： D.
【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解.
9.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】根据计算器按键顺序计算即可.
【详解】解：根据计算器的按键顺序可知，
正确的按键顺序为，即D选项，
故选： D.
【点睛】本题主要考查用计算器计算三角函数值，熟悉计算器的按键顺序是解题的关键.
10.已知是锐角，，则的值是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】利用特殊角的函数值即可求解.
【详解】解：，
，
又，
，
解得，
故选：A.
【点睛】本题考查的是特殊角的函数值，解题的关键是熟记特殊角的函数值.
11.如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是 ( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】在直角三角形中，先根据AC与BC的关系找出所用的正弦三角函数，再利用科学计算器选项A按键顺序求角即可.
【详解】在Rt△ABC中，AC=40m，BC=10m，
∴sin，
∴用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键的顺序为A .
故选择：A.
【点睛】用科学计算器求角度问题，掌握三角函数解直角三角形的方法，根据AC、BC确定使用的三角函数是解题关键.
12.如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C.设，下列关系式正确的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】确定直角三角形，后三角函数的定义计算判断即可.
【详解】根据题意，得
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选 C.
【点睛】本题考查了三角函数的定义即，熟练掌握定义是解题的关键.
13.___________.
二、填空题
14.如图，某仓储中心有一斜坡，斜坡顶部A处的高为2米，在同一水平面上，若该斜坡的坡度，则该斜坡的水平宽度为_________米.
【答案】4
【分析】根据坡度的概念计算即可.
【详解】∵斜坡的坡度，
∴
∴米，
故答案为：4.
【点睛】本题考查坡度的概念，熟记坡度是铅垂高与水平宽的比(类似于正切的计算公式)是本题的解题关键.
15.如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么cotB的值为___________
【答案】或
【分析】如图，取点，连接，根据网格的特点以及余切的定义求解即可.
【详解】解：如图，取点，连接，
，，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了求余切，掌握直角三角形三角函数的定义是解题的关键.
16.计算：=_________.
【答案】1
【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的乘除法与加法法则即可得.
【详解】解：原式
故答案为：1.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键.
17.如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为__________.
【答案】或0.8
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H.利用勾股定理求出AC即可解决问题.
【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于H.
在Rt△ACH中，∵AH=4，CH=3，
∴AC==5，
∴sin∠ACH=，
故答案为：.
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
18.如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、.
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的正切值；
(3)如图2，过点的直线交抛物线于点，若，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)点坐标
【分析】(1)用待定系数法求解析式即可；
(2)过点作点，交于点，过点作轴于点，证出，设，则，证出，求出，求出；
(3)过点作于点，交于点，过点作轴于点，根据AAS证出，求出点，求出直线MC的解析式，列方程组求出点坐标即可.
【详解】(1)(1)解：把点，代入，得
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
(2)解：连接，过点作点，交于点，过点作轴于点，
∵，，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴；
(3)解：过点作于点，交于点，过点作轴于点，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴ (AAS)，
∴，，
∴点，
设直线的解析式为，
将、点坐标代入，得，
解得 ，
∴直线的解析式，
联立直线和抛物线的解析式，得，
解得(舍去)或，
∴点坐标.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，综合性较强，难度较大，正确作出辅助线是解答本题的关键.
三、解答题
19.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴的正半轴上，顶点，在第一象限内，正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，且与边交于点，连接，已知.
(1)直接写出满足的的取值范围；
(2)求的值；
(3)连接，在轴上取一点，使，过点作垂直轴，交双曲线于点，请求线段的长.
【答案】(1)
(2)
(3)或.
【分析】(1)根据D点纵坐标为3，图象在直线的上方，结合图象即可得出答案；
(2)求出，根据正切的性质即可求解；
(3)分当点P在线段上时和当点P在线段的延长线时，分别求出的长，故可求解.
【详解】(1)解：如图，
∵正方形的边长，
设，
又∵D点在正比例函数上
代入得
解得
∴D
根据图象可得时，图象在直线的上方，
∴x的取值为
(2)解：∵反比例函数的图象经过点，
∴
∴
∵E点的横坐标为
∴，代入得到
∴；
(3)解：当点P在线段时，如图1，设，则，
∵
∴=
解得
∴，
∴点，与B点重合，故Q点与E点重合，
∴
当点P在线段AB的延长线时，如图2，设，则，
∵
∴=
解
∴
∴点，
当时，
∴
∴，
综上，的长为或.
【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合、解直角三角形，解题的关键是熟知待定系数法的应用、正切的性质.
20.如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点、经过三个格点，点为与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图，保留连线痕迹.
(1)在图1中，作点关于点所在直径的对称点；
(2)在图1中，直接写出___________；
(3)在图2中取一个格点，使取出一点即可.
(4)在图3中取格点，连接、，作直线平分封闭图形的面积.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
(4)见解析
【分析】(1)根据对称性即可求解；
(2)利用圆周角定理可得，可得结论；
(3)构造平行四边形，在的延长线上，截取，使得，连接即可；
(4)取格点连接交于点目的是使得的面积为，四边形的总面积为，过点作直线即可.
【详解】(1)如图中，
点即为所求；
(2)根据圆周角定理可得，
.
故答案为：；
(3)如图中，点即为所求；
(4)如图中，直线即为所求.
【点睛】本题考查作图旋转变换，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题.28.1锐角三角函数
一、单选题
1.如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点 C.设，下列关系式正确的是 ( )
A. B. C. D.
2.如图，工人师傅准备从一块斜边长为的等腰直角材料上裁出一块以直角顶点为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥接缝处忽略，则圆锥的底面半径为 ( )
A. B. C. D.
3.如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为 ( )
A.5米 B.米 C.米 D.米
4.某滑梯示意图及部分数据如图所示.若，则的长为 ( )
A. B. C. D.
5.如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米.已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为 ( )
A.米 B.米 C.米 D.米
6.如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画弧AC，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，求阴影部分面积( )
A. B. C. D.
7.如图，△ABC中，AB＝AC＝15，tanA=2,BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是 ( )
A． B． C． D． 10
8.在△ABC中， ，则△ABC一定是 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
9.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是 ( )
A. B.
C. D.
10.已知是锐角，，则的值是 ( )
A. B. C. D.
11.如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是 ( ).
A.
B.
C.
D.
12.如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点 C.设，下列关系式正确的是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.___________.
14.如图，某仓储中心有一斜坡，斜坡顶部A处的高为2米，在同一水平面上，若该斜坡的坡度，则该斜坡的水平宽度为_________米.
15.如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么cotB的值为___________
16.计算：=_________.
17.如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为__________.
三、解答题
18.如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、.
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的正切值；
(3)如图2，过点的直线交抛物线于点，若，求点的坐标.
19.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴的正半轴上，顶点，在第一象限内，正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，且与边交于点，连接，已知.
(1)直接写出满足的的取值范围；
(2)求的值；
(3)连接，在轴上取一点，使，过点作垂直轴，交双曲线于点，请求线段的长.
20.如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点、经过三个格点，点为与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图，保留连线痕迹.
(1)在图1中，作点关于点所在直径的对称点；
(2)在图1中，直接写出___________；
(3)在图2中取一个格点，使取出一点即可.
(4)在图3中取格点，连接、，作直线平分封闭图形的面积.
试卷第6页，共6页
试卷第5页，共6页
【参考答案及解析】
1.D
【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可.
【详解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴，
故选： D.
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义.在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A.掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键.
2.A
【分析】作于点，首先求出扇形的半径的长，再根据弧长公式，求出弧长，然后再根据圆的周长公式，即可求出底面半径.
【详解】解：如图，作于点，
∵是斜边长为的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴扇形的弧长，
设底面半径为，
则，
解得：，
∴圆锥的底面半径为.
故选：A
【点睛】本题考查了等腰直三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数、弧长公式，解本题的关键在理解扇形的弧长等于圆锥底面的周长.
3.B
【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可.
【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E，
∵BE平行于地面，
∴∠ABE＝∠α，
∵BE＝5米，
∴AB＝＝.
故选 B.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题.解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形.
4.A
【分析】根据，，，求解即可.
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握正切三角函数的运用.
5.D
【分析】作辅助线，用角α的正切解答，角α的正切等于角α的对边AC比角α的邻边B C.
【详解】如图，过点B作BC⊥AD于点C，
则∠ABC=α，AC=AD－CD=AD－BE=25 －1=24，
，
∴.
故选 D.
【点睛】本题考查了锐角三角函数里面的正切，熟练掌握正切的定义及算法是解决此类问题的关键.
6.C
【分析】过E点作EM⊥BC于M点，作EN⊥AB于N点，利用解含特殊角的直角三角形，得到MC=、BM=，根据BM+MC=BC=4，求出EM，进而求出BM，依据NE⊥AB，EM⊥BC，且∠ABC=90°，可知四边形BMEN是矩形，则有NE=BM=1，根据即可求解.
【详解】过E点作EM⊥BC于M点，作EN⊥AB于N点，如图，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∵∠BCE=30°，
∴∠EBC=60°，
∵EM⊥BC，
∴在Rt△EMC中，
∴tan∠ECM==tan30°=，
∴MC=，
∴∴在Rt△EBM中，
∴tan∠EBM==tan60°=，
∴BM=，
∵BM+MC=BC=4，
∴+=4，
∴，
∴BM=，
∵NE⊥AB，EM⊥BC，且∠ABC=90°，
∴四边形BMEN是矩形，
∴NE=BM=1，
∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴，，
∴，
故选： C.
【点睛】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和解含特殊角的直角三角形等知识，求出EM、EN是解答本题的关键.
7. B
【分析】如图，作于，于．由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，作于，于．
，
，
，
设，，
则有：，
，
解得（舍去），
∴，
，，，
（等腰三角形两腰上的高相等）
，，
，
，
，
当C、D、H三点共线时，，
的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
8.D
【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案.
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ABC一定是等腰直角三角形
故选： D.
【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解.
9.D
【分析】根据计算器按键顺序计算即可.
【详解】解：根据计算器的按键顺序可知，
正确的按键顺序为，即D选项，
故选： D.
【点睛】本题主要考查用计算器计算三角函数值，熟悉计算器的按键顺序是解题的关键.
10.A
【分析】利用特殊角的函数值即可求解.
【详解】解：，
，
又，
，
解得，
故选：A.
【点睛】本题考查的是特殊角的函数值，解题的关键是熟记特殊角的函数值.
11.A
【分析】在直角三角形中，先根据AC与BC的关系找出所用的正弦三角函数，再利用科学计算器选项A按键顺序求角即可.
【详解】在Rt△ABC中，AC=40m，BC=10m，
∴sin，
∴用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键的顺序为A .
故选择：A.
【点睛】用科学计算器求角度问题，掌握三角函数解直角三角形的方法，根据AC、BC确定使用的三角函数是解题关键.
12.C
【分析】确定直角三角形，后三角函数的定义计算判断即可.
【详解】根据题意，得
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选 C.
【点睛】本题考查了三角函数的定义即，熟练掌握定义是解题的关键.
13.
【分析】根据绝对值、零次幂的性质化简，代入特殊角三角函数值计算即可.
【详解】解：原式
，
故答案为：.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值是解题的关键.
14.4
【分析】根据坡度的概念计算即可.
【详解】∵斜坡的坡度，
∴
∴米，
故答案为：4.
【点睛】本题考查坡度的概念，熟记坡度是铅垂高与水平宽的比(类似于正切的计算公式)是本题的解题关键.
15.##
【分析】如图，取点，连接，根据网格的特点以及余切的定义求解即可.
【详解】解：如图，取点，连接，
，，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了求余切，掌握直角三角形三角函数的定义是解题的关键.
16.1
【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的乘除法与加法法则即可得.
【详解】解：原式
故答案为：1.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键.
17.或0.8
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H.利用勾股定理求出AC即可解决问题.
【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于H.
在Rt△ACH中，∵AH=4，CH=3，
∴AC==5，
∴sin∠ACH=，
故答案为：.
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
18.(1)
(2)
(3)点坐标
【分析】(1)用待定系数法求解析式即可；
(2)过点作点，交于点，过点作轴于点，证出，设，则，证出，求出，求出；
(3)过点作于点，交于点，过点作轴于点，根据AAS证出，求出点，求出直线MC的解析式，列方程组求出点坐标即可.
【详解】(1)(1)解：把点，代入，得
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
(2)解：连接，过点作点，交于点，过点作轴于点，
∵，，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴；
(3)解：过点作于点，交于点，过点作轴于点，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴ (AAS)，
∴，，
∴点，
设直线的解析式为，
将、点坐标代入，得，
解得 ，
∴直线的解析式，
联立直线和抛物线的解析式，得，
解得(舍去)或，
∴点坐标.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，综合性较强，难度较大，正确作出辅助线是解答本题的关键.
19.(1)
(2)
(3)或.
【分析】(1)根据D点纵坐标为3，图象在直线的上方，结合图象即可得出答案；
(2)求出，根据正切的性质即可求解；
(3)分当点P在线段上时和当点P在线段的延长线时，分别求出的长，故可求解.
【详解】(1)解：如图，
∵正方形的边长，
设，
又∵D点在正比例函数上
代入得
解得
∴D
根据图象可得时，图象在直线的上方，
∴x的取值为
(2)解：∵反比例函数的图象经过点，
∴
∴
∵E点的横坐标为
∴，代入得到
∴；
(3)解：当点P在线段时，如图1，设，则，
∵
∴=
解得
∴，
∴点，与B点重合，故Q点与E点重合，
∴
当点P在线段AB的延长线时，如图2，设，则，
∵
∴=
解
∴
∴点，
当时，
∴
∴，
综上，的长为或.
【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合、解直角三角形，解题的关键是熟知待定系数法的应用、正切的性质.
20.(1)见解析
(2)
(3)见解析
(4)见解析
【分析】(1)根据对称性即可求解；
(2)利用圆周角定理可得，可得结论；
(3)构造平行四边形，在的延长线上，截取，使得，连接即可；
(4)取格点连接交于点目的是使得的面积为，四边形的总面积为，过点作直线即可.
【详解】(1)如图中，
点即为所求；
(2)根据圆周角定理可得，
.
故答案为：；
(3)如图中，点即为所求；
(4)如图中，直线即为所求.
【点睛】本题考查作图旋转变换，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题.
