【班海精品】冀教版（新）七下-7.5 平行线的性质 第三课时【优质课件】

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7.5 平行线的性质
第3课时
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顾
平行线的三个性质：
两直线平行，同位角相等．
两直线平行，内错角相等．
两直线平行，同旁内角互补．
新课精讲
探索新知
1
知识点
平行线的性质的应用
下图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，
∠B=115°， 梯形的另外两个角分别是多少度？
例1
探索新知
因为梯形上、下两底AB 与DC 互相平行，根据“两直线平行，
同旁内角互补”，可得∠A 与∠D 互补， ∠B 与∠C 互补.
于是∠D = 180°-∠A=180°-100°=80°，
∠C = 180°-∠B=180°-115°=65° .
所以梯形的另外两个角分别是80°，65°.
解：
探索新知
如图，已知DA⊥AB，DE 平分∠ADC，CE 平分∠BCD，且∠1＋∠2＝90°，试说明BC⊥AB.
例2
探索新知
要说明BC⊥AB，即说明∠B＝90°.
因为DA⊥AB，
所以若能说明AD∥CB，
则BC⊥AB.
由DE 平分∠ADC，CE 平分∠BCD，
且∠1＋∠2＝90°，
可说明∠ADC＋∠BCD＝180°，
从而说明AD∥BC.
导引：
探索新知
因为DE 平分∠ADC，CE 平分∠BCD，
所以∠1＝∠3，∠2＝∠4(角平分线的定义)．
因为∠1＋∠2＝90°，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
即∠ADC＋∠BCD＝180°.
所以AD∥BC (同旁内角互补，两直线平行)，
所以∠A＋∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
解：
探索新知
因为DA⊥AB，
所以∠A＝90°(垂直定义)．
所以∠B＝90°，
所以BC⊥AB (垂直定义)．
探索新知
总 结
平行线和角的大小关系、直线的位置关系等是紧
密联系在一起的，通过同位角相等或内错角相等或同
旁内角互补可以判断两直线平行，反过来可以根据两
直线平行判断同位角相等、内错角相等或同旁内角互
补，再利用这些相等、互补关系说明其他结论；因此
两直线平行好似一座桥梁，将原本没有关系的数学问
题建立起联系．
典题精讲
1
如图，在平行线a，b 之间放置一块直角三角尺，三角尺的顶点A，B 分别在直线a，b上，则∠1＋∠2的值为(　　)
A．90°
B．85°
C．80°
D．60°
A
典题精讲
2
如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为(　　)
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
D
探索新知
2
知识点
平行线的判定的应用
例3 如图所示，∠B＝∠D，∠CEF＝∠A.
试问CD 与EF 平行吗？为什么？
探索新知
导引：1.要说明CD∥EF，我们无法找出相等的同位角、内错
角，也无法说明其同旁内角互补，因此需找第三条直线与它
们平行(即AB∥CD，AB∥EF )，这都能由已知∠B＝∠D，
∠CEF＝∠A 说明．
2.由已知∠B＝∠D，∠CEF＝∠A 很容易就能得出AB∥CD 及
EF∥AB，再由如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两
条直线也互相平行就可得到CD∥EF.
探索新知
解：CD∥EF，理由：
∵∠B＝∠D，
∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行)．
∵∠CEF＝∠A，
∴EF∥AB (同位角相等，两直线平行)．
∴CD∥EF (平行于同一条直线的两条直线平行)．
探索新知
总 结
找寻说明平行的方法：
1. 分析法：由结论往前推，要说明这个结论成立需要什么样
的条件，一直递推到已知条件为止；(如导引1)
2. 综合法：由已知条件一步一步往后推理，看这个已知条件
能推出什么结论， 一直推导出要说明的结论为止；(如导引2)
3. 两头凑：当遇到复杂问题的时候，我们常常将分析法和综
合法同时进行，即由两头向中间推，寻找到中间的结合点．
探索新知
例4 光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这种现象叫做光的折射现象．同样，光线从水中射入空气中时，也会发生折射现象，一束光线从空气射入水中再从水中射入空气中时，光线的传播方向如图，其中，直线a，b 都表示空气与水的分面．已知∠1＝∠4，∠2＝∠3，请你判断光线c 与d 是否平行？为什么？
探索新知
导引：设光线在水中的部分为e，e 与直线a 所成的钝
角为∠5，e 与直线b 所成的钝角为∠6，只要能
说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6，则根据“内错角相等，
两直线平行”即可判定c∥d.
探索新知
解：c∥d.理由如下：
如图，设光线在水中的部分为e.
∵∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°，
∠2＝∠3，
∴∠5＝∠6(等角的补角相等)．
又∵∠1＝∠4，
∴∠1＋∠5＝∠4＋∠6.
∴c∥d (内错角相等，两直线平行)．
探索新知
总 结
判断光线c 与d 是否平行，应首先解决两个关键问
题，一是把实物图抽象为“三线八角”的基本图形；
二是把直线c，d 看作被直线e 所截的两条直线．如此，
问题转化为说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6.
典题精讲
1
如图，已知BE 平分∠ABC，CF 平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系是________．
平行
典题精讲
2
如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
A
探索新知
3
知识点
平行线的性质与判定的综合应用
平行线的性质与判定之间既有联系又有区别，一定不
可混淆二者的条件和结论，要把它们严格区别开来．
分类 条件 结论
平行线的判定 同位角相等
两直线平行
内错角相等 同旁内角互补 平行线的性质 两直线平行 同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
探索新知
例5 如图，已知∠ABC 与∠ECB 互补，∠1＝∠2，则∠P 与∠Q
一定相等吗？说说你的理由．
导引：如果∠P 和∠Q 相等，那么PB∥CQ，
∴要判断∠P 与∠Q 是否相等，
只需判断PB 和CQ 是否平行．
要说明PB∥CQ，可以通过说明
∠PBC＝∠BCQ 来实现，由于∠1＝∠2，
因此只需说明∠ABC＝∠BCD 即可．
探索新知
解：∠P＝∠Q.
理由如下：∵∠ABC 与∠ECB 互补(已知)，
∴AB∥ED (同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠ABC＝∠BCD (两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性质)，
即∠PBC＝∠BCQ.
∴PB∥CQ (内错角相等，两直线平行)．
∴∠P＝∠Q (两直线平行，内错角相等)．
探索新知
总 结
一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条
件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果
题目所含的四个要素解题者已经知道或者结论虽未
指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性
的数学问题．
典题精讲
1
如图，直线a，b 被直线c，d 所截，若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4的度数是（　　）
A．80°
B．85°
C．95°
D．100°
B
典题精讲
2
如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α 与∠β 满足（　　）
A．∠α＋∠β＝180°
B．∠β－∠α＝90°
C．∠β＝3∠α
D．∠α＋∠β＝90°
B
探索新知
4
知识点
由“第三直线”判定两直线平行
如图，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗
探索新知
总 结
平行于同一条直线的两直线平行.
探索新知
如图，已知∠1＝∠A，∠2＝∠B，那么MN 与EF平行吗？如果平行，请说明理由．
例6
探索新知
解：
MN 与EF 平行．理由如下：
∵∠1＝∠A，
∴MN∥AB (内错角相等，两直线平行)，
∵∠2＝∠B，
∴EF∥AB (同位角相等，两直线平行)，
∴MN∥EF (平行于同一条直线的两条直线平行)．
探索新知
总 结
在同一平面内和一条直线平行的直线也互相平行．
典题精讲
在同一个平面内，不重合的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一条边(　　)
A．互相平行
B．互相垂直
C．共线
D．互相平行或共线
1
D
典题精讲
三条直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a 与b 的位置关系是(　　)
A．a⊥b
B．a∥b
C．a⊥b 或a∥b
D．无法确定
2
B
典题精讲
如图，已知AB⊥BD 于点B，CD⊥BD 于点D，∠1
＝∠2，试问CD 与EF 平行吗？为什么？
解：CD∥EF.理由：因为∠1＝∠2(______)，
所以AB∥EF (_________________________)．
因为AB⊥BD，CD⊥BD，
所以AB∥CD （ ）．
所以CD∥EF ( )．
3
已知
同位角相等，两直线平行
在同一平面内，垂
平行于同一条直线的两条直线平行
直于同一条直线的两条直线平行
易错提醒
如图，已知∠ABC，请你再画一个∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE 交BC 边于点P. 探究：∠ABC 与∠DEF 有怎样的数量关系？并说明理由．
易错点：画图考虑不周导致漏解.
易错提醒
解：
画图如图①②③④所示．∠ABC 与∠DEF 相等或互补，
理由如下：
如图①，∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DPC.
∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DPC.
∴∠ABC＝∠DEF.
如图②，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.
∵BC∥EF，∴∠EPC＝∠DEF.∴∠ABC＝∠DEF.
如图③，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BPE.∵BC∥EF，
∴∠DEF＋∠BPE＝180°.∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
易错提醒
如图④，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.
∵BC∥EF，∴∠EPC＋∠DEF＝180°.
∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
综上可知，∠ABC 与∠DEF 相等或互补．
学以致用
小试牛刀
如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是__________度．
90
1
小试牛刀
2
如图，EF∥CD，∠1＋∠2＝180°，试判断AC 与DG 的数
量关系，并说明理由．
小试牛刀
AC∥DG.
理由如下：∵EF∥CD，∴∠1＋∠ECD＝180°，
又∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠ECD.
∴AC∥DG.
解：
小试牛刀
3
已知：如图，AB∥DE，CM 平分∠BCE，CN⊥CM，猜
想∠B 与∠DCN 的关系，并说明理由．
小试牛刀
∠B＝2∠DCN.理由如下：∵AB∥DE，
∴∠B＋∠BCE＝180°，∠B＝∠BCD.
∵CM 平分∠BCE，∴∠MCE＝∠MCB.
∵CN⊥CM，
∴∠MCB＋∠BCN＝90°，∠MCE＋∠DCN＝90°.
∴∠BCN＝∠DCN.∵∠BCN＋∠DCN＝∠BCD，
∴∠B＝2∠DCN.
解：
小试牛刀
4
阅读下面的解题过程，然后解答后面的问题．
如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．
解：如图①，过点E 作EF∥AB.
则AB∥CD∥EF.
小试牛刀
∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.
∵CD∥EF，∴∠2＝∠D＝32°.
∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.
如图②③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决．
(1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？
(2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H 之间有什么关系？
小试牛刀
(1)如图①，过点C 作CF∥DE，则∠2＝∠D＝30°.因为∠ACD＝65°，即∠1＋∠2＝65°，所以∠1＝65°－∠2＝65°－30°＝35°.因为AB∥DE，CF∥DE，所以AB∥CF，所以∠A＝∠1＝35°.
解：
小试牛刀
(2)如图②，过点F 作FI∥GP，则∠G＋∠1＝180°.因为GP∥HQ，FI∥GP，所以HQ∥FI. 所以∠2＋∠H＝180°，所以∠G＋∠1＋∠2＋∠H＝360°，即∠G＋∠GFH＋∠H＝360°.
小试牛刀
5
如图，A，B 两岛位于东西方向的一条水平线上，C 岛在
A岛的北偏东50°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，求
∠ACB 的度数．
小试牛刀
如图，过点A，C，B 分别画出南北方向的方向线，由题意，得∠EAC＝50°，∠FBC＝40°.
∵AE∥DC∥BF，∴∠ACD＝∠EAC＝50°，∠BCD＝∠FBC＝40°.∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝50°＋40°＝90°.
解：
课堂小结
课堂小结
两直线平行
同位角相等
内错角相等
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
平行线的判定与平行线的性质的关系：
同学们，
下节课见！
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