【班海精品】冀教版（新）七下-8.2 幂的乘方与积的乘方 第二课时【优质课件】

(共54张PPT)
8.2 幂的乘方
与积的乘方
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
幂的意义： a ·a ·…·a ＝a n
n 个a
知识回顾
同底数幂的乘法运算法则：
a m·a n＝a m+n (m，n 都是正整数)
幂的乘方运算法则：
(a m)n = a mn (m，n 都是正整数)
情景导入
思考
计算 46×0.256
小明认为46×0.256=(4×0.25)6，马上得出结果为1.你认为他这样计算有道理吗？
一般的，如果n 是正整数，(ab)n=a nb n 成立吗？
新课精讲
探索新知
1
知识点
积的乘方法则
1. 观察下面的运算过程，指出每步运算的依据.
(3×7)2
=(3×7)·(3×7) ( )
=(3×3)·(7×7) ( )
=32×72. ( )
探索新知
2. 按照上面的方法，完成下面的填空.
(ab)2=______________________；
(ab)3=______________________.
3.试着归纳：如果n 是正整数，(ab)n=_______.
探索新知
一般地，若n 是正整数，则有
(ab)n
= ab ·ab · … ·ab
= (a·a· … ·a) (b·b· … ·b)
= anbn.
n 个ab
n 个a
n 个b
探索新知
(ab)n = anbn (n是正整数)
积的乘方，等于各因式乘方的积.
归 纳
探索新知
例1
把下列各式表示成幂的形式：
(1) (2x )2； (2) (3ab)3；
(3) (－2b 2)3 ； (4) (－xy 3) 2 ；
(5) (2a 2)3+ (－3a 2)3+ (a 2)2·a 3.
探索新知
(1) (2x )2＝22·x 2＝4x 2.
(2) (3ab)3＝33a 3b 3＝27a 3b 3.
(3) (－2b 2)3 ＝ (－2)3(b 2)3 ＝－8b 6.
(4) (－xy 3) 2 ＝ (－1)2·(x )2·(y 3)2 ＝x 2y 6.
(5) (2a 2)3+ (－3a 2)3+ (a 2)2·a 2
＝23·(a 2)3 + (－3)2·(a 2)3+(a 2)2·a 2
＝8a 6+9a 6+a 6
＝18a 6.
解：
探索新知
总 结
运用积的乘方时，每个因式都要乘方，不能漏
掉任何一个因式；系数应连同它的符号一起乘方，
系数是－1时不可忽略．
典题精讲
1
下列各式的计算是否正确？如果不正确.请改正过来.
(1) (2a)2=2a 2； (2) (ab 2)3 =a 3b 2；
(3) (－3a 2)3 = －9a 4； (4) (2ab 2)2＝4a 2b 2.
(1)不正确，应为(2a)2＝22a 2＝4a 2.
(2)不正确，应为(ab 2)3＝a 3b 6.
(3)不正确，应为(－3a 2)3＝(－3)3·a 6＝－27a 6.
(4)不正确，应为(2ab 2)2＝22a 2b 4＝4a 2b 4.
解：
典题精讲
计算：
(1)(3a)4； (2)(－2x 2)3；
(3)(－x 2y 3)3； (4)(－3x 2)3·(3x )2.
(1)(3a)4＝34a 4＝81a 4.
(2)(－2x 2)3＝(－2)3·(x 2)3＝－8x 6.
(3)(－x 2y 3)3＝－(x 2)3·(y 3)3＝－x 6y 9.
(4)(－3x 2)3·(3x )2＝－33·(x 2)3·32·x 2＝－27x 6·9x 2
＝－243x 8.
解：
2
典题精讲
3
计算：
(1)(x 2y )5； (2)(－3x )3；
(3)－(y 4)2； (4)－(m n)3.
(1)(x 2y )5＝(x 2)5·y 5＝x 10y 5.
(2)(－3x )3＝(－3)3x 3＝－27x 3.
(3)－(y 4)2＝－y 4×2＝－y 8.
(4)－(m n)3＝－m 3n.
解：
典题精讲
4
计算：
(1) (－mn 2)3； (2) (x 3)2·(x 2)3 ；
(3) (2ab 3)2·(ab)2 ； (4) －3x 2·(－x )2.
(1)(－mn 2)3＝－m 3n 6.
(2)(x 3)2·(x 2)3＝x 6·x 6＝x 12.
(3)(2ab 3)2·(ab)2＝4a 2b 6·a 2b 2＝4a 4b 8.　
(4)－3x 2·(－x)2＝－3x 2·x 2＝－3x 4.
解：
典题精讲
化简(2x )2的结果是(　　)
A．x 4 B．2x 2
C．4x 2 D．4x
下列计算正确的是(　　)
A．a 2＋a 3＝a 5 B．a 2·a 3＝a 6
C．(a 2)3＝a 6 D．(ab)2＝ab 2
5
C
C
6
典题精讲
下列运算正确的是(　　)
A．3m－2m＝1 B．(m3)2＝m 6
C．(－2m)3＝－2m3 D．m 2＋m 2＝m 4
计算a ·a 5－(2a 3)2的结果为(　　)
A．a 6－2a 5 B．－a 6
C．a 6－4a 5 D．－3a 6
7
B
D
8
探索新知
2
知识点
积的乘方公式也可以逆用：anbn=(ab)n(n为正整数)，
即：几个因式的乘方(指数相同)的积，等于它们的
积的乘方.
注意：①当两个幂的底数互为倒数，即底数的积为1
时，逆用积的乘方法则可起到简化运算的作用.
②当遇到指数比较大，但指数相差不大时，可以考
虑逆用积的乘方法则解题.
③必须是同指数的幂才能逆用法则，逆用时一定要
注意：底数相乘，指数不变.
积的乘方法则的应用
探索新知
例2
球体表面积的计算公式是S=4πr 2.地球可以近似地看成一个球体， 它的半径r 约为6.37×106 m.地球的表面积大约是多少平方米？(π取 3.14)
S=4πr 2
=4×3.14×(6.37×106)2
=4×3.14×6.372×1012
≈5.10×1014 (m2).
答：地球的表面积大约是5.10×1014 m2.
解：
探索新知
总 结
在实际问题中，当数值较大时，一般利用科学记数法表示.
典题精讲
已知3x+1×5x+1=152x－3，求x 的值.
1
左边＝3x＋1×5x＋1＝(3×5)x＋1＝15x＋1，
右边＝152x－3，
所以x＋1＝2x－3，
解得x＝4.　
解：
典题精讲
如果5n＝a，4n＝b，那么20n＝________.
若n 为正整数，且x 2n＝3，则(3x 3n)2的值为________.
若(－2a 1＋xb 2)3＝－8a 9b 6，则x 的值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
2
ab
243
3
C
4
探索新知
例3
用简便方法计算：
(1) ×0.254× ×(－4)4；
(2)0.1252 015×(－82 016)．
本例如果按照常规方法进行运算，(1)题比较麻
烦，(2)题无法算出结果，因此需采用非常规方
法进行计算．(1)观察该式的特点可知本题需利
用乘法的结合律和逆用积的乘方公式求解；
(2)82 016＝82 015×8，故该式逆用同底数幂的乘法和积的乘方公式求解．
导引：
探索新知
(1)
＝ ×[0.254×(－4)4]
＝ ×(0.25×4)4＝1×1＝1.
(2)0.1252 015×(－82 016)＝－0.1252 015×82 016
＝－(0.125×8)2 015×8＝－12 015×8＝－8.
解：
探索新知
总 结
底数互为倒数的两个幂相乘时，先通过逆用同底数幂的乘法法则化为指数相同的幂，然后逆用积的乘方法则转化为底数先相乘、再乘方，从而大大简化运算．
典题精讲
比一比谁算得快，并进行交流.
(1)25×55； (2)(－4)4×0.254 ；
(3)82 011×0.1252 011 ； (4)(－4)6×0.255.
1
(1)25×55＝(2×5)5＝105.
(2)(－4)4×0.254＝(－4×0.25)4＝(－1)4＝1.
(3)82 011×0.1252 011＝(8×0.125)2 011＝12 011＝1.
(4)(－4)6×0.255＝46×0.255＝4×45×0.255＝4×(4×0.25)5＝4.
解：
典题精讲
计算：
(1)59×0.28； (2) ； (3)22×42×56.
2
(1)59×0.28＝5×58×0.28＝5×(5×0.2)8＝5×18＝5.
(2) ＝(－1)9＝－1.
(3)22×42×56＝22×(22)2×56＝22×24×56＝26×56
＝(2×5)6＝106.
解：
典题精讲
式子22 019· 的结果是(　　)
A. 　 B．－2 　
C．2 D．－
3
C
探索新知
3
知识点
幂的三种运算是指：
①同底数幂的乘法；
②幂的乘方；
③积的乘方.
在计算中，既可以是上面任意两种运算的混合，也
可以是三种运算的混合.应特别注意掌握运算的顺序
及不同运算的方法.
幂的混合运算
探索新知
(1)三种混合运算的顺序
先算乘方(先算积的乘方，再算幂的乘方)，再算
乘法(同底数幂的乘法)，最后再加减(合并同类项).
(2) 幂的乘方与同底数幂的乘法混合运算
幂的乘方与同底数的幂的乘法比较容易混淆，在
其混合运算时，要特别注意区分.
探索新知
例4
计算：(1)(x ·y 2)3； (2)(a nb 3n)2＋(a 2b 6)n； (3)[(a 2)3＋(2a 3)2]2.
利用相关的幂的运算法则按先乘方，再乘除，
最后加减，有括号的先算括号里的顺序进行计
算，有同类项的要合并同类项，使结果最简．
导引：
(1)原式＝x 3y 6；
(2)原式＝a 2nb 6n＋a 2nb 6n＝2a 2nb 6n；
(3)原式＝(a 6＋4a 6)2＝(5a 6)2＝25a 12.
解：
探索新知
总 结
幂的混合运算顺序与有理数的运算顺序相同．
典题精讲
计算：
(1)(－x 2)3＋(－3x 2)2·x 2 ；
(2)(ab 2)3＋(ab 2)2·ab 2 .
1
(1)(－x 2)3＋(－3x 2)2·x 2＝－x 6＋(－3)2·(x 2)2·x 2
＝－x 6＋9x 4·x 2＝－x 6＋9x 6＝8x 6.
(2)(ab 2)3＋(ab 2)2·ab 2＝(ab 2)3＋(ab 2)3＝2(ab 2)3
＝2a 3b 6.
解：
典题精讲
计算(－2a)2－3a 2的结果是(　　)
A．－a 2　　B．a 2　　C．－5a 2　　D．5a 2
已知2n·x n＝22n(n 为整数)，求正数x 的值．
2
B
3
由题意知(2x )n＝22n＝4n，所以2x＝4，即x＝2.
解：
典题精讲
已知3x＋2·5x＋2＝153x－4，求x 的值．
4
由题意知15x＋2＝153x－4，
所以x＋2＝3x－4.
所以x＝3.
解：
易错提醒
1. 下面的计算正确吗？正确的打“√”，错误的打“×”，并将错误的改正过来．
(1)(ab 2)2＝ab 4； (　　)
(2)(3cd )3＝9c 3d 3； (　　)
(3)(－3a 3)2＝－9a 6； (　 )
(4)(－x 3y )3＝－x 6y 3. (　　 )
易错点：对积的乘方的运算法则理解不透而导致出错
易错提醒
(1)×，原式＝a 2b 4.
(2)×，原式＝27c 3d 3.
(3)×，原式＝9a 6.
(4)×，原式＝－x 9y 3.
解：
易错提醒
2. 计算：
(1)(2x 2yz )3；　　(2)(－3x 3y 4)3.
易错点：对于底数是多个因式的乘方运算，乘方时易漏项
(1)(2x 2yz )3＝23x 2×3y 3z 3＝8x 6y 3z 3.　
(2)(－3x 3y 4)3＝－27x 9y 12.
解：
学以致用
小试牛刀
下列计算：①(ab)2＝ab 2；②(4ab)3＝12a 3b 3；
③(－2x 3)4＝－16x 12；④ ，其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
A
1
小试牛刀
如果(a nb m)3＝a 9b 15，那么(　　)
A．m＝3，n＝6
B．m＝5，n＝3
C．m＝12，n＝3
D．m＝9，n＝3
B
2
小试牛刀
计算 ×(－1.5)2 018×(－1)2 019的结果是(　　)
A. 　 B. 　
C．－ 　 D．－
D
3
计算：
(1)a 3·a 4·a＋(a 2)4＋(－2a 4)2；
(2)(－a n)3(－b n)2－(a 3b 2)n；
(3)(－a 3)2·a 3＋(－a)2·a 7－(5a 3)3.
小试牛刀
4
(1)原式＝a 3＋4＋1＋a 2×4＋(－2)2×a 4×2＝a 8＋a 8＋4a 8＝6a 8.
(2)原式＝－a 3nb 2n－a 3nb 2n＝－2a 3nb 2n.　
(3)原式＝a 3×2·a 3＋a 2·a 7－(－5)3·a 3×3＝a 6＋3＋a 9＋125a 9＝a 9＋a 9＋125a 9＝127a 9.
解：
计算：
(1) ×161 009；
(2) ×(10×9×8×…×2×1)10；
(3)
小试牛刀
5
小试牛刀
(1)原式＝
(2)原式＝
＝1.
(3)原式＝
解：
小试牛刀
6
已知a n＝2，b 2n＝3，求(a 3b 4)2n 的值．
原式＝a 6nb 8n＝(an)6(b 2n)4＝26×34＝5 184.
解：
若59＝a，95＝b，用a，b 表示4545的值．
因为a 5＝(59)5＝545，b 9＝(95)9＝945，
所以4545＝(5×9)45＝545×945＝a 5b 9.
解：
7
先化简再求值：[－3(m＋n)]3·(m－n)[－2(m＋n)(m－n)]2，其中m＝－3，n＝2.
小试牛刀
8
原式＝－27(m＋n)3·(m－n)·4(m＋n)2·(m－n)2＝－108(m＋n)5·(m－n)3.
当m＝－3，n＝2时，
原式＝－108×(－3＋2)5×(－3－2)3
＝－108×(－1)5×(－5)3
＝－108×53
＝－13 500.
解：
小试牛刀
9
试判断212×58的结果是一个几位正整数．
因为212×58＝24×(2×5)8＝16×108，
所以212×58的结果是一个十位正整数．
解：
52×32n＋1×2n－3n×6n＋2(n 为正整数)能被13整除吗？并说明理由．
小试牛刀
10
52×32n＋1×2n－3n×6n＋2能被13整除．理由如下：
　52×32n＋1×2n－3n×6n＋2
＝52×(32n×3)×2n－3n×(6n×62)
＝75×18n－36×18n
＝39×18n
＝13×3×18n.
因为n为正整数，所以3×18n是正整数，
所以52×32n＋1×2n－3n×6n＋2能被13整除．
解：
课堂小结
课堂小结
1. 在进行积的乘方运算时，应把底数的每个因式分别
乘方，不要漏掉任何一项，当底数含有“－”号时，
应将它看成－1，作为一个因式，不要漏乘．
2. 三个或三个以上的因式的积的乘方也一样适用：
(abc )n＝a nb nc n(n 为正整数)，但是要防止出现(a＋b)n
＝a n＋b n 这样的错误．积的乘方法则也可以逆用：
a nb n＝(ab)n(n 为正整数)．
同学们，
下节课见！
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