【班海精品】冀教版（新）七下-8.2 幂的乘方与积的乘方 第一课时【优质课件】

(共46张PPT)
8.2 幂的乘方
与积的乘方
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
a n ＝a ·a ·…·a
n 个a
幂的意义
a m·a n＝a m+n (m，n 都是正整数)
同底数幂的乘法
知识回顾
情景导入
练习
a m·a m=_________.
a 3·a 3·a 3=_________.
思考：怎样计算
(a 4)3 (a 3)5
新课精讲
探索新知
1
知识点
幂的乘方法则
1. 依据同底数幂乘法的性质，210×210×210=______.
根据乘方的意义， 210×210×210可以表示为______.
由此，能得到什么结论？
2. (102)3表示3个102相乘，(102)3=10( )
(a 3)4表示4个a 3相乘，(a 3)4 =a ( )
3. 观察上面各式中幂指数之间的关系，猜想：若m，n是正整数，则(a m)n=______.
探索新知
事实上，根据乘方的意义及同底数幂乘法的性质，
对于正整数m，n，有
(am)n
=am·am· … ·am
=a m+m+ …+m
= amn.
n 个am
n 个m
探索新知
(am)n = amn(m，n 都是正整数).
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
归 纳
探索新知
(1)幂的乘方法则在推导过程中运用了乘方的意义和同
底数幂的乘法法则．
(2)运用此法则时要明白，底数a可以是一个单项式，
也可以是一个多项式．
(3)幂的乘方法则可以逆用，即amn＝(am)n＝(an)m.
(4)幂的乘方与同底数幂的乘法都是底数不变，但容易
出现指数相乘与相加混淆的错误．
探索新知
例1
把下列各式表示成幂的形式：
(1) (103)4； (2) (c 2)3； (3) (a 4)m .
(103)4 = 103×4 = 1012 ；
(2) (c 2)3 = c 2×3 = c 6 ；
(3) (a 4)m = a 4×m = a 4m.
解：
探索新知
总 结
利用幂的乘方法则进行计算时，要紧扣法则的要求，出现负号时特别要注意符号的确定和底数的确定．
典题精讲
1
下列各式的计算是否正确？如果不正确.请改正过来.
(1) (a 2)3 =a 5； (2) a 2·a 3 =a 6 ；
(3) a 3 +a 3 =a 6； (4) (a m)n＝(a n)m(m，n 都是正整数).
(1)不正确，应为(a 2)3＝a 2×3＝a 6.
(2)不正确，应为a 2·a 3＝a 2＋3＝a 5.
(3)不正确，应为a 3＋a 3＝2a 3.
(4)正确．
解：
典题精讲
计算：
(1)(72)3； (2)(b 4)3.
填空：
(1)(33)3 =3( ) ； (2)(23)4 =2( ) ；
(3)94 =3( ) ； (4)[(－3)3 ]5 =－3( ) .
(1)(72)3＝72×3＝76.
(2)(b 4)3＝b 4×3＝b 12.
解：
2
3
9
12
8
15
典题精讲
4
设m，n 是正整数，计算：
(1)(58)n； (2)(7m)5；
(3)(98)n； (4)(2m)n.
(1)(58)n＝58n ； (2)(7m)5＝75m ；
(3)(98)n＝98n ； (4)(2m)n＝2mn.
解：
典题精讲
计算(－a3)2的结果是(　　)
A．a 6 B．－a 6
C．－a 5 D．a 5
下列计算正确的是(　　)
A．a 3＋a 3＝a 6 B．3a－a＝3
C．(a3)2＝a 5 D．a·a 2＝a 3
5
A
D
6
典题精讲
下列运算正确的是(　　)
A．(x 3)2＝x 5 B．(－x )5＝－x 5
C．x 3·x 2＝x 6 D．3x 2＋2x 3＝5x 5
下列运算正确的是(　　)
A．4m－m＝3 B．m 3·m 4＝m 7
C．(－m 3)2＝m 9 D．－(m＋2n)＝－m＋2n
7
B
B
8
探索新知
例2
计算：
(1) x ·(x 2)3； (2) a ·a 2·a 3 －(a 2)3.
(1) x ·(x2)3 ＝ x ·x 2×3 ＝ x ·x 6 ＝x 7.
(2)a ·a 2·a 3 －(a2)3 ＝ a 6－ a 6 ＝0.
解：
探索新知
总 结
在幂的运算中，如果遇到混合运算，则应按有理数的混合运算顺序进行运算；如果底数互为相反数，就要把底数统一成相同的，然后再进行计算；计算中不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．
典题精讲
(1)(a 3)2·a 2＝a 3×2·a 2＝a 6·a 2＝a 8.
(2)(x m)4·x 3＝x 4m·x 3＝x 4m＋3.
(3)(m 2)n·m n＋1＝m 2n·m n＋1＝m 3n＋1.
(4)X m·(x 2m)3＝x m·x 6m＝x 7m.
解：
1
计算：
(1)(a 3)2·a 2； (2)(x m)4·x 3；
(3)(m 2)n·m n＋1； (4)x m·(x 2m)3.
典题精讲
设m，n 是正整数，计算：
(1)(m 2)n·m n ； (2)(y n)2·(y 3)m.
2
(1)(m 2)n·m n＝m 2n·m n＝m 2n＋n＝m 3n.
(2)(y n)2·(y 3)m＝y 2n·y 3m＝y 2n＋3m.
解：
典题精讲
(1)(a 2)4·a 2＋2(a 3)2·(a 2)2＝a 8·a 2＋2·a 6·a 4＝a10＋2a10
＝3a10.
(2)3(x 2)2·x 3－x ·(x 2)3＝3x 4·x 3－x ·x 6＝3x 7－x 7＝2x 7.
解：
3
计算：
(1)(a 2)4·a 2＋2(a 3)2·(a 2)2 ；
(2)3(x 2)2·x 3－x ·(x 2)3.
典题精讲
化简a 4·a 2＋(a 3)2的结果是(　　)
A．a 8＋a 6 B．a 6＋a 9
C．2a 6 D．a 12
下列运算正确的是(　　)
A．a 2＋a 2＝a 4 B．a 5－a 3＝a 2
C．a 2·a 2＝2a 2 D．(a 5)2＝a 10
4
C
5
D
典题精讲
计算：
(1)[(z－y)2]3；
(2)(y m)2·(－y 3)；
(3)(－x 3)4·(－x 4)3.
6
(1)原式＝(z－y )2×3＝(z－y )6.
(2)原式＝y 2m·(－y 3)＝－y 2m＋3.
(3)原式＝x 12·(－x 12)＝－x 24.
解：
探索新知
2
知识点
幂的乘方法则的应用
a mn=(a m)n=(a n)m（m、n 均为正整数）.
即将幂指数的乘法运算转化为幂的乘方运算.
注意：逆用幂的乘方法则的方法是：幂的底数不变，
将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的
乘方的形式，如x 8=(x 4)2=(x 2)4.至于选择哪一个变形
结果，要具体问题具体分析．
探索新知
例3
若x m·x 2m＝3，求x 9m的值．
利用a mn＝(a m)n＝(a n)m，可对式子进行灵活
变形，从而使问题得到解决．
导引：
因为x m·x 2m＝3，所以x 3m＝3，
因此x 9m＝(x 3m)3＝33＝27.
解：
探索新知
总 结
本题运用整体思想将x 3m 看作一个整体，结合幂的乘方法则的逆向运用使所求式子转化为这个整体的幂.从而运用整体代入求出要求的值使问题获解.
典题精讲
(1)将[(a+b)2]4表示成以a+b 为底的幂.
(2)将[(2x+y)3]2表示成以2x+y 为底的幂.
1
(1)已知(x 2)m=x 8，求m.
(2)已知a m=4，a n=8，求 a 2m+3n.
2
(1)[(a＋b)2]4＝(a＋b)2×4＝(a＋b)8.
(2)[(2x＋y)3]2＝(2x＋y)3×2＝(2x＋y)6.
解：
(1)(x 2)m＝x 2m＝x8，则2m＝8，m＝4.
(2)a 2m＋3n＝a 2m·a 3n＝(a m)2·(a n)3＝42×83＝16×512＝8 192.
解：
典题精讲
已知a＝－34，b＝(－3)4，c＝(23)4，d＝(22)6，则下列a，b，c，d 四者关系的判断，正确的是(　　)
A．a＝b，c＝d
B．a＝b，c≠d
C．a≠b，c＝d
D．a≠b，c≠d
3
C
典题精讲
已知10x＝m，10y＝n，则102x＋3y 等于(　　)
A．2m＋3n B．m 2＋n 3
C．6mn D．m 2n 3
9m·27n 可以写为(　　)
A．9m＋3n　　 B．27m＋n
C．32m＋3n　　 D．33m＋2n
4
5
D
C
典题精讲
若3×9m×27m＝321，则m 的值为(　　)
A．3　　　　 B．4　　　　
C．5　　　　 D．6
若5x＝125y，3y＝9z，则x : y : z 等于(　　)
A．1 : 2 : 3 B．3 : 2 : 1
C．1 : 3 : 6 D．6 : 2 : 1
6
B
7
D
典题精讲
若x，y 均为正整数，且2x＋1·4y＝128，则x＋y 的值为(　　)
A．3 B．5
C．4或5 D．3或4或5
已知x＋4y＝5，求4x×162y 的值．
8
C
因为x＋4y＝5，所以4x×162y＝4x×(42)2y＝4x×42×2y＝4x＋4y＝45＝1 024.
解：
9
典题精讲
已知275＝9×3x，求x 的值．
10
因为275＝9×3x，
所以(33)5＝32×3x.
所以315＝32＋x.
所以2＋x＝15.
所以x＝13.
解：
易错提醒
下列四个算式中正确的有(　　)
①(a 4)4＝a 4＋4＝a 8；②[(b 2)2]2＝b 2×2×2＝b 8；
③[(－x)3]2＝(－x)6＝x 6；④(－y 2)3＝y 6.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
C
易错点：对幂的乘方运算法则理解不透导致出错
学以致用
小试牛刀
1
马小虎同学做如下计算题：
①x 5＋x 5＝x 10；②x 5－x 4＝x；③x 5·x 5＝x 10；
④(x 3)2·x 5＝x 30；⑤(x 5)2＝x 25.其中结果正确的是(　　)
A．①②③　　 B．②④　　
C．③　　 D．④⑤
C
计算：
(1)(－a 2)3·a 3＋(－a)2·a 7－5(a 3)3；
(2)x 5·x 7＋x 6·(－x 3)2＋2(x 3)4；
(3)[(a－2b)2]m·[(2b－a)3]n(m，n 是正整数)．
小试牛刀
2
(1)原式＝－a 2×3·a 3＋a 2·a 7－5×a 3×3＝－a 6＋3＋a 2＋7－5a 9＝－a 9＋a 9－5a 9＝－5a 9.
(2)原式＝x 5＋7＋x 6·x 3×2＋2x 3×4＝x 12＋x 6＋6＋2x 12＝x 12＋x 12＋2x 12＝4x 12.
(3)原式＝(a－2b)2m·(2b－a)3n＝(2b－a)2m·(2b－a)3n＝(2b－a)2m＋3n.
解：
已知2x＝a，4y＝b，8z＝ab，试猜想x，y，z 之间的数量关系，并说明理由．
小试牛刀
3
x＋2y＝3z.理由如下：
因为2x·4y＝ab，8z＝ab，
所以2x·4y＝8z，即2x＋2y＝23z，
所以x＋2y＝3z.
解：
小试牛刀
4
已知2×8x×16＝223，求x 的值．
因为2×8x×16＝223，
所以23x＋5＝223.所以3x＋5＝23.
所以x＝6.
解：
已知3m＋2×92m－1×27m＝98，求m 的值．
因为3m＋2×92m－1×27m＝98，
所以38m＝316，所以8m＝16，
所以m＝2.
解：
5
小试牛刀
6
阅读下列解题过程，试比较2100与375的大小．
解：因为2100＝(24)25＝1625，375＝(33)25＝2725，
因为16＜27，所以2100＜375.
请根据上述方法解答问题：比较255，344，433的大小.
技巧1
底数比较法
255＝(25)11＝3211，344＝(34)11＝8111，433＝(43)11＝6411，因为32＜64＜81，所以255＜433＜344.
解：
小试牛刀
7
已知a＝833，b＝1625，c＝3219，试比较a，b，c 的大小．
技巧2
指数比较法
a＝833＝(23)33＝299，b＝1625＝(24)25＝2100，c＝3219＝(25)19＝295，因为95＜99＜100，所以c＜a＜b.
解：
小试牛刀
阅读下列材料：
若a 3＝2，b 5＝3，比较a，b 的大小．
解：因为a 15＝(a 3)5＝25＝32，b 15＝(b 5)3＝33＝27，32＞27，所以a 15＞b 15，所以a＞b.
依照上述方法解答下列问题：
已知x 7＝2，y 9＝3，试比较x 与y 的大小．
技巧3
乘方比较法
8
小试牛刀
x 63＝(x 7)9＝29＝512，
y 63＝(y 9)7＝37＝2 187，因为2 187＞512，
所以x 63＜y 63.所以x＜y.
解：
课堂小结
课堂小结
幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘
意义
正向应用：
(a m)n = amn(m，n 都是正整数).
逆向应用：
a mn＝(am)n＝(an)m (m，n 都是正整数).
解决实际问题
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）