【班海精品】冀教版（新）七下-8.5 乘法公式 第二课时【优质课件】

(共48张PPT)
8.5 乘 法 公 式
第2课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
平方差公式：
结构特点：
等式左边是两个二项式的乘积，等式右边是两个数的平方差
(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2.
知识回顾
导入新知
下边的式子如何计算呢？
(1)(a+b)2；(2)(a－b)2
新课精讲
探索新知
1
知识点
完全平方式的特征
一块边长为a 米的正方形，因需要将其边长增加 b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).
用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.
你发现了什么
a
b
a
b
探索新知
a
b
a
b
方法一：
总面积=(a+b)2．
方法二：
总面积=a 2+ab+ab+b 2．
因为总面积一样，
所以(a+b)2=a 2+2ab+b 2．
探索新知
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗
(a+b)2=a 2+2ab+b 2
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b 2 =a 2+2ab+b 2．
(2)小颖写出了如下的算式:
(a－b)2=[a+(－b)]2
你能继续做下去吗
(a－b)2=[a+(－b)]2=a 2+2a (－b)+(－b) 2
=a 2－2ab+b 2．
探索新知
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍．
这两个等式分别叫做两数和、两数差的完全平方公式.
归 纳
探索新知
例1
计算：
(1) (x+3y )2；
(2)
(3) (－4a－3b)2 .
(1) (x+3y )2
= x 2+2x (3y )+(3y )2
=x 2+6xy+9y 2 .
解：
探索新知
(2)
(3) (－4a－3b)2
=(4a+3b)2
=(4a)2+2(4a)(3b)+ (3b)2
=16a 2+24ab+9b 2.
探索新知
总 结
在应用公式(a±b)2＝a 2±2ab＋b 2时关键是弄清题目中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b，同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的完全平方公式；解(1)(2)时还用到了互为相反数的两数的平方相等．不要受平方差公式的结果的影响而出现(a±b)2＝a 2±b 2的错误．
典题精讲
1
用完全平方公式计算：
(1)(1＋a)2； (2)(2a－1)2； (3)(3a＋b)2；
(4) ； (5) ； (6) .
(1)(1＋a)2＝1＋2a＋a 2.
(2)(2a－1)2＝4a 2－4a＋1.
(3)(3a＋b)2＝9a 2＋6ab＋b 2.
(4)
解：
典题精讲
(5)
(6)
典题精讲
下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来.
(1) (a＋b)2＝a 2＋b 2；(2) (a－b)2＝a 2－b 2；
(3) (－a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2；
(4) (－a－b)2＝a 2－2ab－b 2.
2
(1)不正确，应为(a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2.
(2)不正确，应为(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2.
(3)不正确，应为(－a＋b)2＝a 2－2ab＋b 2.
(4)不正确，应为(－a－b)2＝a 2＋2ab＋b 2.
解：
典题精讲
若代数式x 2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝________．
若x 2＋6x＋k 是完全平方式，则k 等于(　　)
A．9 B．－9
C．±9 D．±3
3
±10
4
A
探索新知
2
知识点
完全平方公式
例2
计算：(1)(2x－1)2－(3x＋1)2； (2)(a－b)2·(a＋b)2；
(3)(x＋y )(－x＋y )(x 2－y 2)．
对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并同类项；对于(2)可以把底数(a－b)、(a＋b)分别看成一个整体，然后逆用积的乘方法则进行计算；对于(3)先利用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方公式进行计算．
导引：
探索新知
(1)原式＝4x 2－4x＋1－(9x 2＋6x＋1)
＝4x 2－4x＋1－9x 2－6x－1
＝－5x 2－10x；
(2)原式＝[(a－b)(a＋b)]2
＝(a 2－b 2)2
＝a 4－2a 2b 2＋b 4；
(3)原式＝－(x＋y )(x－y )(x 2－y 2)
＝－(x 2－y 2)2
＝－(x 4－2x 2y 2＋y 4)
＝－x 4＋2x 2y 2－y 4.
解：
探索新知
总 结
在解答与乘法公式有关的比较复杂的整式计算问题时，要注意观察题目结构特征，灵活运用平方差公式和完全平方公式求解；在能用平方差公式和完全平方公式时，尽量先用平方差公式；合理运用公式，能使计算更简便，如(1)小题如果先运用平方差公式，则计算过程为原式＝[(2x－1)＋(3x＋1)][(2x－1)－(3x＋1)]＝
5x (－x－2)＝－5x 2－10x.
典题精讲
计算：
(1) ； (2) (2x+5)2； (3) (3y－4)2.
1
(1)
(2)(2x＋5)2＝(2x )2＋2×2x ·5＋52＝4x 2＋20x＋25.
(3)(3y－4)2＝(3y )2－2×3y ·4＋42＝9y 2－24y＋16.
解：
典题精讲
在下列计算中，正确的是(　　)
A．m 3＋m 2＝m 5 B．m 5÷m 2＝m 3
C．(2m)3＝6m 3 D．(m＋1)2＝m 2＋1
计算(－a－b)2等于(　　)
A．a 2＋b 2 B．a 2－b 2
C．a 2＋2ab＋b 2 D．a 2－2ab＋b 2
2
B
C
3
典题精讲
下列计算正确的是(　　)
A．(x＋y)2＝x 2＋y 2
B．(x－y )2＝x 2－2xy－y 2
C．(x＋1)(x－1)＝x 2－1
D．(x－1)2＝x 2－1
4
C
探索新知
3
知识点
完全平方公式的应用
例3
(1)若(x－5)2＝x 2＋kx＋25，则k 的值是多少？
(2)先化简，再求值：(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝－3.
(3)已知x 2－4x＋1＝0，求代数式(2x－3)2－(x＋y )(x－y )－y 2 的值．
探索新知
对于(1)把左边的式子展开后对比各项，可得解；
对于(2)利用平方差公式和完全平方公式展开，
合并同类项后代入求值；
对于(3)先化简代数式，后将条件变形整体代入求值．
导引：
探索新知
(1)依题意，得x 2－10x＋25＝x 2＋kx＋25.
∴k＝－10.
(2)原式＝1－a 2＋a 2－4a＋4＝－4a＋5，
当a＝－3时，原式＝12＋5＝17.
(3)原式＝4x 2－12x＋9－x 2＋y 2－y 2
＝3x 2－12x＋9＝3(x 2－4x＋3)；
因为x 2－4x＋1＝0，所以x 2－4x＝－1.
所以，原式＝3×(－1＋3)＝6.
解：
探索新知
总 结
本题(3)中运用了整体思想解题．对于涉及乘法公式的求值问题，一般都需要运用乘法公式将原式化简，再对比(如(1))、将字母取值代入(如(2))、将条件变形整体代入(如(3))求值，在(3)中若想通过条件求出字母的值代入求值，将会遇到目前还不会解的一元二次方程而使解题受阻，本解法可使问题变得简单．
典题精讲
若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A 为(　　)
A．2ab B．－2ab
C．4ab D．－4ab
若(x＋3)2＝x 2＋ax＋9，则a 的值为(　　)
A．3 B．±3
C．6 D．±6
1
C
2
C
典题精讲
已知x－y＝7，xy＝2，则x 2＋y 2的值为(　　)
A．53 B．45
C．47 D．51
若a＋b＝3，a 2＋b 2＝7，则ab 等于(　　)
A．2 B．1
C．－2 D．－1
3
A
4
B
典题精讲
若a－b＝1，ab＝6，则a＋b 等于(　　)
A．5 B．－5
C．± D．±5
已知a＋ ＝4，则a 2＋ 的值是(　　)
A．4 B．16
C．14 D．15
5
D
6
C
典题精讲
如图，将完全相同的四张长方形纸片和一张正方形纸片拼成一个较大的正方形，则可得出一个等式为(　　)
A．a(a＋b)＝a2＋ab
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
若x＋y＝10，xy＝1，则x 3y＋xy 3的值是________．
7
D
8
98
典题精讲
利用完全平方公式计算：
(1)(x＋y )2－4(x＋y )(x－y )＋4(x－y )2；
(2) ；
(3)2 0202－4 040×2 019＋2 0192.
9
(1)原式＝x 2＋2xy＋y 2－4(x 2－y 2)＋4(x 2－2xy＋y 2)＝x 2－6xy＋9y 2.
解：
典题精讲
(2)原式＝ ＝602＋2×60× ＋
＝3 600＋2＋ ＝3 602.　
(3)原式＝2 0202－2×2 020×2 019＋2 0192
＝(2 020－2 019)2＝1.
易错提醒
已知(a＋b)2＝25，ab＝6，则a－b 等于(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．以上都不正确
易错点：对完全平方公式的特征理解不透导致漏解
C
学以致用
小试牛刀
小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果a 2－10ab＋□，但最后一项不慎被污染了，这一项应是(　　)
A．5b
B．5b 2
C．25b 2
D．100b 2
C
1
小试牛刀
下列变形中，错误的是(　　)
①(b－4c )2＝b 2－16c 2；
②(a－2bc )2＝a 2＋4abc＋4b 2c 2；
③(x＋y )2＝x 2＋xy＋y 2；
④(4m－n)2＝16m 2－8mn＋n 2.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
A
2
(1) 已知a，b 满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，
求a 2＋b 2＋ab 的值；
(2) 已知a＋b＝3，ab＝2，求式子a 3b＋2a 2b 2＋ab 3的值．
小试牛刀
3
(1)(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，把两式子两边分别相加得
a 2＋b2＝13.把两式子两边分别相减得ab＝－6，所以a 2＋b 2＋ab＝7.
(2)a 3b＋2a 2b 2＋ab 3＝ab (a 2＋2ab＋b 2)
＝ab (a＋b)2＝2×32＝18.
解：
小试牛刀
4
若x＋y＝3，且(x＋2)(y＋2)＝12.
(1)求xy 的值；
(2)求x 2＋3xy＋y 2的值．
解：
(1)(x＋2)(y＋2)＝xy＋2(x＋y )＋4＝12.
因为x＋y＝3，所以xy＋2×3＋4＝12.所以xy＝2.
(2)因为x＋y＝3，xy＝2，
所以x 2＋y 2＝(x＋y )2－2xy＝9－4＝5.
所以x 2＋3xy＋y 2＝5＋3×2＝11.
小试牛刀
5
若m 2＋2mn＋2n 2－6n＋9＝0，求 的值．
解：因为m 2＋2mn＋2n 2－6n＋9＝0，
所以(m＋n)2＋(n－3)2＝0，
所以n＝3，m＝－3.
所以 .
小试牛刀
(1)若x 2＋4x＋4＋y 2－8y＋16＝0，求 的值；
(2)若x 2＋2y 2－2xy＋2y＋1＝0，求x＋2y 的值；
(3)试说明不论x，y 取什么有理数，多项式x 2＋y 2－2x＋2y＋3的值总是正数；
(4)已知a，b，c 是三角形ABC 的三边长，满足a 2＋b 2＝10a＋8b－41，且c 是三角形ABC 的最大边长，求c 的取值范围．
小试牛刀
(1)原等式即为(x＋2)2＋(y－4)2＝0，
所以x＝－2，y＝4.
所以
(2)原等式即为(x－y )2＋(y＋1)2＝0，
所以y＝－1，x＝－1.
所以x＋2y＝－1＋2×(－1)＝－3.
解：
小试牛刀
(3)x 2＋y 2－2x＋2y＋3
＝x 2－2x＋1＋y 2＋2y＋1＋1
＝(x－1)2＋(y＋1)2＋1，
因为(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
所以(x－1)2＋(y＋1)2＋1的最小值为1.
所以不论x，y 取什么有理数，
多项式x 2＋y 2－2x＋2y＋3的值总是正数．
(4)因为a 2＋b 2＝10a＋8b－41，
所以a 2－10a＋25＋b 2－8b＋16＝0，
所以(a－5)2＋(b－4)2＝0，所以a＝5，b＝4.
又因为c 是三角形ABC 的最大边长．所以c 的取值范围为5＜c＜9.
小试牛刀
6
我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项和(a＋b)n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
小试牛刀
(a＋b)0………………　①
(a＋b)1……………　①　①
(a＋b)2…………　①　②　①
(a＋b)3………　①　③　③　①
(a＋b)4……　①　④　⑥　④　①
(a＋b)5…　①　⑤　⑩　⑩　⑤　①
……　　　　　　　……
小试牛刀
根据“杨辉三角”请计算(a＋b)20的展开式中第三项的系数为(　　)
A．2 017　　 　B．2 016　　　
C．191　 　　D．190　
D
课堂小结
课堂小结
1. 完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a，b 表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式还可以是多项式，要记得添括号.
2. 解题技巧：在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择.
同学们，
下节课见！
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