【班海精品】冀教版（新）七下-8.5 乘法公式 第一课时【优质课件】

(共55张PPT)
8.5 乘 法 公 式
第1课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
(m+a)(n+b)= mn+mb+na+ab
多项式乘法法则：
情景导入
如果(x+a)(x+b)中的a、b 再有某种特殊关系，又将得到
什么特殊结果呢？
这就是从本课起要学习的内容.
如果m=n，且都用x 表示，那么上式就成为：
(x+a)(x+b)= x 2+ (a+b)+ab
这是上一节学习的一种特殊多项式的乘法——
两个相同字母的二项式的乘积.
新课精讲
探索新知
1
知识点
平方差公式的特征
1. 计算：
(1) (x+1)(x－1)=_______.
(2) (a+2)(a－2)=_______.
(3) (2x+1)(2x－1)=________.
(4) (a+b)(a－b)=________.
探索新知
2. 上面四个式子中，两个乘式之间有什么特点？
3. 乘积合并同类项后是几项式？这个多项式有什么特点？
探索新知
(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差．
这个公式叫做平方差公式.
归 纳
探索新知
例1
计算：
(1) (2x+y )(2x－y )；
(2)
(3) (－5a+3b)(－5a－3b) .
(1) (2x+y )(2x－y )
= (2x )2－y 2
=4x 2－y 2 .
解：
探索新知
(2)
(3) (－5a+3b)(－5a－3b)
=(－5a)2－(3b)2
=25a 2－9b 2
探索新知
总 结
本题运用转化思想求解．将不符合平方差公式
形式的式子化为符合平方差公式形式的式子，常见
转化方法有位置变化、符号变化、系数变化、指数
变化等．
易错警示：用公式时，当a、b表示的不是单独数字
或字母时，要用括号括起来．
典题精讲
1
计算：
(1)(x－2)(x＋2) ； (2)(x＋2y )(x－2y ) ；
(3)(3m＋2n)(3m－2n) ； (4)(4a＋3b)(3b－4a).
(1)(x－2)(x＋2)＝x 2－4.
(2)(x＋2y )(x－2y )＝x 2－(2y )2＝x 2－4y 2.
(3)(3m＋2n)(3m－2n)＝(3m)2－(2n)2＝9m 2－4n 2.
(4)(4a＋3b)(3b－4a)＝(3b)2－(4a)2＝9b 2－16a 2.
解：
典题精讲
下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来.
(1)(－m－2n)(m－2n)＝m 2－2n 2
(2)(－a＋b)(－a－b)＝－a 2－b 2.
2
(1)不正确，应为(－m－2n)(m－2n)＝－(m＋2n)(m－2n)＝－[m 2－(2n)2]＝4n 2－m 2.
(2)不正确，应为(－a＋b)(－a－b)＝－(b－a)(b＋a)
＝－(b 2－a 2)＝a 2－b 2.　
解：
典题精讲
平方差公式(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2中的a，b (　　)
A．是数或单个字母 B．是单项式
C．是多项式 D．是单项式或多项式
下列计算能运用平方差公式的是(　　)
A．(m＋n)(－m－n)
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a 2－b 2c)(bc 2＋5a 2)
D.
3
D
4
D
探索新知
2
知识点
平方差公式
(1)公式特点：公式左边是两个二项式相乘，这两项中
有一项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘
式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方).
(2)在运用公式时，要分清哪个数相当于公式中的a，哪
个数相当于公式中的b，不要混淆．
(3)公式中的a与b可以是具体的数，也可以是单项式或
多项式．
(4)平方差公式可以逆用，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
探索新知
例2
先化简，再求值：(2x－y )(y＋2x )－(2y＋x )·(2y－x )，
其中x＝1，y＝2.
先利用平方差公式将原式化简合并，再将字母的值代入求值．
导引：
原式＝(2x－y )(2x＋y )－(2y＋x )(2y－x )
＝(2x )2－y 2－[(2y )2－x 2]
＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2)
＝4x 2－y 2－4y 2＋x 2
＝5x 2－5y 2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝5－20＝－15.
解：
探索新知
总 结
解答本类题的关键是先利用平方差公式将原式化简，同时有同类项的要合并同类项，再将字母的值代入即可得到解决．
典题精讲
计算：
(1)(3x＋4)(3x－4) ；
(2)(3a－4b)(－4b－3a) ；
(3) ；
(4) .
1
典题精讲
(1)(3x＋4)(3x－4)＝(3x )2－42＝9x 2－16.　
(2)(3a－4b)(－4b－3a)＝(－4b)2－(3a)2＝16b 2－9a 2.
(3)
(4)
解：
典题精讲
解下列方程：
(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1 ；
(2)2(x＋3)(3－x )＋2x＋2x 2＝20.
2
(1)4x 2＋x－(2x－3)(2x＋3)＝1，
4x 2＋x－(4x 2－9)＝1，
4x 2＋x－4x 2＋9＝1，
x＋9＝1，
x＝－8.
解：
典题精讲
(2)2(x＋3)(3－x)＋2x＋2x 2＝20，
2(9－x 2)＋2x＋2x 2＝20，
18－2x 2＋2x＋2x 2＝20，
2x＋18＝20，
2x＝2，
x＝1.
典题精讲
已知a＋b＝3，a－b＝1，则a 2－b 2的值为________．
下列运算正确的是(　　)
A．x 3＋x 5＝x 8
B．x 2·x 5＝x 10
C．(x＋1)(x－1)＝x 2－1
D．(2x )5＝2x 5
3
3
C
4
典题精讲
下列计算正确的是(　　)
A．b 3·b 3＝2b 3
B．(a＋2)(a－2)＝a 2－4
C．(ab2)3＝ab 6
D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b
5
B
典题精讲
下列计算正确的是(　　)
A．2a 3＋3a 3＝5a 6
B．(x 5)3＝x 8
C．－2m (m－3)＝－2m 2－6m
D．(－3a－2)(－3a＋2)＝9a 2－4
若(2x＋3y )(mx－ny )＝9y 2－4x 2，则(　　)
A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3
6
D
7
B
典题精讲
若x，y 满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x 2－y 2的值为(　　)
A．14 B．－14
C．45 D．－45
8
D
典题精讲
如图①，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a＞b)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是(　　)
A．a 2＋b 2＝(a＋b)(a－b)
B．a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)
C．(a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2
D．(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2
9
D
探索新知
3
知识点
利用平方差公式简便计算
例3
运用平方差公式计算：
(1)2 014×2 016－2 0152；(2)1.03×0.97；
(3)40 ×39 .
探索新知
在(1)中，2 014与2 016都与2 015相差1，即2 014
＝2 015－1，2 016＝2 015＋1；在(2)中1.03与0.97
都与1相差0.03，即1.03＝1＋0.03，0.97＝1－0.03；
在(3)中40 与39 都与40相差 ，即40 ＝40
＋ ，39 ＝40－ ，因此可运用平方差公式进
行计算．
导引：
探索新知
(1)原式＝(2 015－1)(2 015＋1)－2 0152
＝2 0152－1－2 0152＝－1；
(2)原式＝(1＋0.03)(1－0.03)＝12－0.032
＝1－0.000 9＝0.999 1；
(3)原式＝
解：
探索新知
总 结
本题运用了转化思想求解．运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将两个数与这个平均数进行比较，变形成两数的和与两数的差的积的形式，再用平方差公式可求解.
典题精讲
用平方差公式计算 ：
(1)998×1 002； (2)395×405.
1
(1)998×1 002＝(1 000－2)×(1 000＋2)＝1 0002－22
＝1 000 000－4＝999 996.
(2)395×405＝(400－5)×(400＋5)＝4002－52
＝160 000－25＝159 975.
解：
典题精讲
用平方差公式计算 ：
(1)99×101； (2)39.8×40.2.
2
(1)99×101＝(100－1)×(100＋1)＝1002－1
＝10 000－1＝9 999.
(2)39.8×40.2＝(40－0.2)×(40＋0.2)＝402－0.22
＝1 600－0.04＝1 599.96.
解：
典题精讲
(1)用简便方法计算：
19×21=______；29×31=______；39×41=______；49×51=______.
(2)你发现了什么规律？请用含有字母的式子表示出来.
3
399
899
1 599
2 499
(2)(2n－1)(2n＋1)＝4n 2－1(n 为正整数)．
解：
典题精讲
运用平方差公式计算：(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1).
4
(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)
＝(24－1)(24＋1)
＝28－1
＝256－1
＝255.
解：
典题精讲
计算2 0182－2 017×2 019的结果是(　　)
A．1　 　　B．－1　　　
C．2　 　　D．－2
5
A
典题精讲
计算：
(1)499×501； (2)60 ×59 ；
(3)99×101×10 001.
6
(1)499×501＝(500－1)×(500＋1)＝5002－12
＝250 000－1＝249 999.
(2)60 ×59 ＝ ＝602－
＝3 600－ ＝3 599 .
解：
典题精讲
(3)99×101×10 001＝(100－1)×(100＋1)×10 001
＝(1002－1)×10 001＝9 999×10 001
＝(10 000－1)×(10 000＋1)＝10 0002－1
＝99 999 999.
易错提醒
下列运算正确的是(　　)
A．(a－2b)(a－2b)＝a 2－4b 2
B．(－a＋2b)(a－2b)＝－a 2＋4b 2
C．(a＋2b)(－a＋2b)＝a 2－4b 2
D．(－a－2b)(－a＋2b)＝a 2－4b 2
易错点：对平方差公式的特征理解不透而出错.
D
学以致用
小试牛刀
下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(　　)
A．(2a＋b)(－2a＋b)
B．(a＋2)(2＋a)
C．(－a＋b)(a－b)
D．(a＋b 2)(a 2－b)
A
1
小试牛刀
如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为(　　)
A．a 2＋4　　　　　
B．2a 2＋4a
C．3a 2－4a－4
D．4a 2－a－2
C
2
小试牛刀
3
先化简，再求值：(2＋x )(2－x )＋(x－1) (x＋5)，其中x＝ .
原式＝4－x 2＋x 2＋4x－5＝4x－1，
当x＝ 时，原式＝6－1＝5.
解：
小试牛刀
已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a 2－b 2的值．
把b－c＝2，a＋c＝14相加得：a＋b＝16，
所以a 2－b 2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
解：
4
小试牛刀
5
已知2a 2＋3a－6＝0，求式子3a (2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．
原式＝6a 2＋3a－4a 2＋1＝2a 2＋3a＋1，
因为2a 2＋3a－6＝0，所以2a 2＋3a＝6.
所以原式＝7.
解：
小试牛刀
6
探究活动：
(1)如图①，可以求出阴影
部分的面积是________
(写成两数平方差的形式)；
(2)若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形如图②，面积是_______________ (写成多项式乘法的形式)；
(3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式____________________________．
a2－b2
(a＋b)(a－b)
(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2
小试牛刀
知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：
(1)计算：(a＋b－2c )(a＋b＋2c )；
(2)若4x 2－9y 2＝10，4x＋6y＝4，求2x－3y 的值．
解：
(1)(a＋b－2c )(a＋b＋2c )＝(a＋b)2－4c 2
＝a 2＋2ab＋b 2－4c 2.
(2)因为4x 2－9y 2＝10，所以(2x＋3y )(2x－3y )＝10，又因为4x＋6y＝4，即2x＋3y＝2，所以2x－3y＝5.
小试牛刀
先观察下面的解题过程，然后解答问题：
题目：计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)．
解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＝(24－1)(24＋1)＝28－1.
问题：计算：
(1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)…(364＋1)－ ；
(2)
7
小试牛刀
(1)原式
解：
小试牛刀
(2)原式
小试牛刀
8
(1) 观察下列各式的规律：
(a－b)(a＋b)＝a 2－b 2；
(a－b)(a 2＋ab＋b 2)＝a 3－b 3；
(a－b)(a 3＋a 2b＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4；
…
可得到(a－b)(a 2 016＋a 2 015 b＋…＋ab 2 015＋b 2 016)＝ .
(2)猜想：
(a－b)(a n－1＋a n－2 b＋…＋ab n－2 ＋b n－1 )＝________ (其中n 为正整数，
且n≥2)．
(3)利用(2)猜想的结论计算：
29－28＋27－…＋23－22＋2.
a 2 017－b 2 017
a n－b n
小试牛刀
(3) 29－28＋27－…＋23－22＋2
＝ [2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋21×(－1)8＋(－1)9＋1]
＝ [2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋21×(－1)8＋(－1)9]＋1
＝ (210－1)＋1
＝342.
解：
课堂小结
课堂小结
平方差公式
法则：两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差.
式子表示：
(a＋b)(a－b)＝a 2－b 2.
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）