【班海精品】冀教版（新）七下-9.2 三角形的内角和外角 第二课时【优质课件】

(共56张PPT)
9.2 三角形的内角
和外角
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
如图给我们展示了一个三角形的钢架，在实际生活
中这样的例子很多，这主要是利用三角形的稳定性，除
此之外，你还知道三角形的哪些性质呢
新课精讲
探索新知
1
知识点
三角形的外角定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角.
探索新知
例1
如图，△CEF 的外角为__________________．
图中△CEF 的三边的延长线只有EF 的延长线FA，
CE 的延长线EB，延长线FA 与边FC 构成的角为
∠AFC；延长线EB 与边EF 构成的角为∠BEF.由三
角形外角的概念可以判断∠AFC，∠BEF 是△CEF 的外角.
导引：
∠AFC，∠BEF
探索新知
总 结
判定一个角是三角形的外角的三个条件：一
是顶点在三角形的一个顶点上；二是一边是三角
形的一条边；三是另一边是三角形的另一条边的
延长线．
典题精讲
如图，下列关于△ABC 的外角的说法正确的是(　　)
A．∠HBA 是△ABC 的外角　
B．∠HBG 是△ABC 的外角
C．∠DCE 是△ABC 的外角　
D．∠GBA 是△ABC 的外角
1
D
典题精讲
关于三角形的外角，下列说法中错误的是(　　)
A．一个三角形只有三个外角
B．三角形的每个顶点处都有两个外角
C．三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角
D．一个三角形共有六个外角
2
A
探索新知
2
知识点
三角形的外角性质
现在我们讨论三角形的外角及外角和.
如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.
探索新知
三角形的外角与内角有什么关系呢？
在图中，显然有∠CBD (外角)+∠ABC (相邻的内角)=180°.
那么外角∠CBD 与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
依据三角形的内角和等于180°，
我们有∠ACB +∠BAC +∠ABC = 180°.
探索新知
由上面两个式子，可以推出
∠ CBD = 180°－∠ABC，
∠ACB + ∠BAC = 180°－∠ABC.
因而可以得到你与你的同伴所发现的结论：
∠CBD =∠ACB +∠BAC.
探索新知
归 纳
由此可知，三角形的外角有两条性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和.
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻
的内角.
探索新知
如图，∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°. 求：(1)∠B 的度数；
(2)∠BFD 的度数．
例2
探索新知
(1)在△ABC 中，
∵ ∠BCD=∠A+∠B (三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角的和).
∴∠B =∠BCD－∠A = 92°－27°=65°.
(2)在△BEF 中，
∵ ∠BFD=∠A+∠BED (三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角的和).
∠BED=44°(已知)，∠B=65°(已求).
∴∠BFD=44°+65°=109°.
解：
探索新知
总 结
利用三角形的外角的性质求角的度数常与内角的
度数相结合来应用.
典题精讲
如图，点D 在△ABC 的边AB的延长线上，∠DBC=112°，∠A=35°.求∠C.
1
因为∠DBC 是△ABC 的一个外角，所以∠DBC＝∠A＋∠C，所以∠C＝∠DBC－∠A＝112°－35°＝77°.
解：
典题精讲
如图， ∠DAC，∠EBA，∠FCB 分别是∠ABC 的三个外角，求∠DAC+∠EBA+∠FCB 的度数.
2
典题精讲
因为∠DAC，∠EBA，∠FCB 分别是△ABC 的三个外角，所以∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，∠EBA＝∠BAC＋∠ACB，∠FCB＝∠BAC＋∠ABC.所以∠DAC＋∠EBA＋∠FCB＝∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＋∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝2∠ABC＋2∠BAC＋2∠ACB.又因为∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，所以∠DAC＋∠EBA＋∠FCB＝2∠ABC＋2∠BAC＋2∠ACB＝360°.
解：
典题精讲
如图，在△ABC 中∠BAD=∠CAD，∠B=64°，∠C=55°，请各用两种方法求∠ADB 和∠ADC 的度数.
3
典题精讲
方法一：在△ABC 中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝64°，∠C＝55°，所以∠BAC＝180°－64°－55°＝61°，因为∠BAD＝∠CAD，所以∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝30.5°.在△ABD 中，∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°，所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－64°－30.5°＝85.5°.在△ACD 中，∠CAD＋∠C＋∠ADC＝180°，所以∠ADC＝180°－∠C－∠CAD＝180°－55°－30.5°＝94.5°.
解：
典题精讲
方法二：在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝64°，∠C＝55°，所以∠BAC＝180°－64°－55°＝61°.因为∠BAD＝∠CAD，所以∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝30.5°.因为∠ADB 是△ACD 的一个外角，∠ADC 是△ABD 的一个外角，所以∠ADB＝∠CAD＋∠C＝30.5°＋55°＝85.5°，∠ADC＝∠BAD＋∠B＝30.5°＋64°＝94.5°.
典题精讲
三角形，一个外角等于与它相邻的内角的4倍，又等于与它不相邻的一个内角的2倍，求这个三角形各内角的度数.
4
如图，由已知，
得∠ACD＝4∠ACB＝2∠B，
所以∠ACD＋∠ACB＝4∠ACB＋∠ACB＝5∠ACB＝180°，解得∠ACB＝36°，所以∠ACD＝36°×4＝144°，∠B＝2×36°＝72°.又因为∠ACD＝∠A＋∠B，所以∠A＝∠ACD－∠B＝144°－72°＝72°，所以这个三角形各内角的度数分别为36°，72°，72°.　
解：
典题精讲
已知：如图，点E 在BA 的延长线上，∠EAD= ∠CAD，∠B=∠C.对AD∥BC 进行说理.
5
典题精讲
因为∠EAC 是△ABC 的一个外角，
所以∠EAC＝∠B＋∠C (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)．
因为∠EAC＝∠EAD＋∠CAD，
所以∠EAD＋∠CAD＝∠B＋∠C，
又因为∠EAD＝∠CAD，∠B＝∠C (已知)，
所以∠EAD＝∠B，
所以AD∥BC (同位角相等，两直线平行)．
解：
典题精讲
如图，∠1是哪个三角形的外角？∠2是哪个三角形的外角？利用三角形的外角与内角的关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
6
典题精讲
∠1是△FCE 的外角，∠2是△BDL 的外角．
因为∠1是△FCE 的一个外角，∠2是△BDL 的一个外角，所以∠1＝∠C＋∠E，∠2＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°.
解：
探索新知
例3
如图，请确定∠1与∠2的大小关系，并说明理由．
要判断∠1与∠2的大小关系，
而这两个角之间没有直接关系，则需找出一个角作为桥梁将这两个角联系起来，而∠3能担当这种角色；用三角形外角的性质，先判断∠3与∠1的大小关系，再判断∠3与∠2的大小关系，进而判断∠1与∠2的大小关系．
导引：
探索新知
∠1>∠2.
理由如下：∵∠1是△ABC 的一个外角，∴∠1>∠3.
∵∠3是△FGC 的一个外角，
∴∠3>∠2.∴∠1>∠2.
解：
探索新知
总 结
“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”是说明有关角的不等关系的一条重要定理，用它可判断与三角形有关的角的大小问题．本题通过∠3把∠1和∠2联系在一起．
典题精讲
如图，∠A＝50°，∠C＝70°，则外角∠ABD 的度数是(　　)
A．110° 　 B．120°
C．130° D．140°
如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B＝35°,∠ACE＝60°,则∠A＝(　　)
A．35° 　B．95°
C．85° D．75°
1
B
C
2
典题精讲
如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　)
A．∠A＞∠1＞∠2
B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1
D．∠2＞∠A＞∠1
3
B
典题精讲
如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠AEC 等于(　　)
A．20° 　B．50°
C．80° D．100°
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，
∠A＝50°，将其折叠，使点A 落在
边BC上的E 处，折痕为CD，则
∠EDB＝________．
4
C
5
10°
探索新知
3
知识点
三角形按角分类
1. 一个三角形的内角最多有几个直角，最多有几个钝角？
2. 一个三角形能不能三个内角都是锐角？
探索新知
一个三角形最多有一个内角是直角.因为假设它有两个内角是直角，那么这个三角形的内角和就大于180°了，这与三角形的内角和等于180°矛盾，所以一个三角形最多有一个内角是直角.同样，一个三角形最多有一个内角是钝角.一个三角形的三个内角有可能都是锐角.
探索新知
归 纳
我们把三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角
形(acute triangle)，有 一个内角是直角的三角形叫做
直角三角形(right triangle)，有一个内角是钝角的三角
形叫做钝角三角形(obtuse triangle).
探索新知
如果一个三角形三个内角度数的比为2 : 3 : 5，那么这个三角形是(　　)
A．直角三角形　　　　 B．锐角三角形
C．钝角三角形　　　　 D．等边三角形
例4
导引：
设三角形三个内角的度数分别为2x，3x，5x，由
三角形的内角和等于180°，可列出方程2x＋3x
＋5x＝180°，解得x＝18°，∴三角形最大的内
角是5x＝90°，故这个三角形是直角三角形.
A
探索新知
总 结
利用方程思想解决问题，用未知数分别表示出三个内角的度数，再利用三角形内角和定理列出方程，
解方程求出未知数的值，进一步求出最大内角，再进
行判断即可．
典题精讲
1
已知某三角形的一个外角是55°，这个三角形是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形？
因为三角形的一个外角是55°，
所以这个三角形中与它相邻的内角的度数为180°－55°＝125°，
所以这个三角形是钝角三角形．
解：
典题精讲
2
小熊和小猫想把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个直角三角彤，能做到吗？如果使折痕把原三角形分成两个锐角三角形呢？ 如果能，说明折的方法；如果不能，说明理由.
典题精讲
能分成两个直角三角形，折的方法是沿三角形的一条高折；不能分成两个锐角三角形.如图.与原来的三角形纸片一边相交的折痕把原来的三角形纸片分成了两部分，形成了两个新三角形纸片，因为∠1和∠2是邻补角，它们的和是180°，所以如果其中一个角是直角，那么另一个角也一定是直角；如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角.
解：
典题精讲
3
如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
下列条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A : ∠B : ∠C＝1 : 2 : 3；③∠A＝90°－∠B；④∠A＝ ∠B＝ ∠C.能确定△ABC 是直角三角形的条件有(　　)
A．1个 　 B．2个 　
C．3个 　 D．4个
4
C
D
易错提醒
如图，在△ABC 的边BC 的延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列式子中正确的是(　　)
A．∠ACB＞∠ACD
B．∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3
C．∠ACB＞∠2＋∠3
D．以上都正确
易错点：忽略外角的性质中“不相邻”这一条件.
C
学以致用
小试牛刀
下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是(　　)
C
1
小试牛刀
2
如图，在△ABC 中，D 是三角形内一点，
试说明：∠BDC ＞∠A.
如图，延长BD 交AC 于点E.
因为在△ABE 中，∠BEC＞∠A，
在△CDE 中，∠BDC＞∠BEC，
所以∠BDC＞∠A.
解：
小试牛刀
3
如图，在△ABC 中，点D 是∠ACB 与∠ABC 的平分线的交点，BD 的延长线交AC 于点E.
(1)若∠A＝70°，求∠BDC 的度数；
(2)若∠EDC＝50°，求∠A 的度数；
(3)请直接写出∠A 与∠BDC 之间的数量关系(不必说明理由)．
小试牛刀
(1)∵∠A＝70°，∴∠ABC＋∠ACB＝110°.
∵BD，CD 分别为∠ABC，∠ACB 的平分线，
∴∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB.
∴∠DBC＋∠DCB＝ (∠ABC＋∠ACB )＝55°.
∴∠BDC＝180°－(∠DBC＋∠DCB )＝125°.
解：
小试牛刀
(2)∵∠EDC＝50°，∴∠DBC＋∠DCB＝50°.
∵BD，CD 分别为∠ABC，∠ACB 的平分线，
∴∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB.
∴∠ABC＋∠ACB＝2(∠DBC＋∠DCB )＝100°.
∴∠A＝80°.
(3)∠BDC＝90°＋ ∠A.
小试牛刀
如图，在△ABC 中，D 为BC 的延长线上一点，∠A＝60°，
∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点O，求∠O 的度数．
由题意得∠OBC＝ ∠ABC，
∠DCO＝ ∠ACD，
∴∠O＝∠DCO－∠OBC＝ ∠ACD－ ∠ABC＝
(∠ACD－∠ABC )＝ ∠A＝30°.
解：
4
小试牛刀
5
一个零件的形状如图所示，按规定∠A 应等于90°，
∠B 和∠C 分别是21°和20°，质量检验员量得∠BDC＝
130°后就断定这个零件不合格．请说明为什么？
小试牛刀
如图，连接AD 并延长到点E，
则∠CDE＝∠C＋∠2，
∠BDE＝∠B＋∠1.
所以∠CDE＋∠BDE＝∠C＋∠2＋∠B＋∠1.
即∠BDC＝∠C＋∠B＋∠CAB.
若零件合格，则∠BDC＝20°＋21°＋90°＝131°.
而量得∠BDC＝130°，所以这个零件不合格．
解：
课堂小结
课堂小结
三角形的外角性质：
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
2. 三角形的内角和等于180°.
三角形的外角和等于360°.
3. 在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外角
的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条
件尽可能的在图中标出来，有助于直观分析题意.
4. 数字结合.
同学们，
下节课见！
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