【班海精品】冀教版（新）七下-11.1 因式分解【优质课件】

(共36张PPT)
11.1 因式分解
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1. 整式乘法有几种形式
(1)单项式乘单项式
(2)单项式乘多项式：m (a＋b＋c )=ma＋mb＋mc
(3)多项式乘多项式：(a＋b)(m＋n)=am＋an＋bm＋bn
2. 乘法公式有哪些
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)=a 2－b 2
(2)完全平方公式：(a±b)2=a 2±2ab＋b 2
知识回顾
情景导入
导入新知
近年来，我国土地沙漠化问题严重，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植物造林活动。每队都种树37行，其中一队种树102列，二队种树93列，三队种树105列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？
情景导入
列式：37×102+37×93+37×105
=37×(102+93+105)
=37×300=11100(棵)
m ·a+m ·b+m ·c= m (a+b+c )
37
37
37
37
102
102
93
105
105
93
×
×
×
×
+
+
+
+
=
)
(
m
m
m
m
a
a
b
b
c
c
有简便算法吗？
新课精讲
探索新知
1
知识点
因式分解的定义
观察下面计算2 0112－2 011×2 010和372－362的过程，
哪种更简便
小明的方法
2 0112－2 011×2 010
=4 044 121－4 042 110
=2011.
小亮的方法
2 0112－2 011×2 010
=2 011×(2011－2 010)
=2011.
探索新知
小明的方法
372－362
=1 369－1 296
=73.
小亮的方法
372－362
= (37＋36)×(37－36)
=73.
小亮的方法是运用了乘法对加法的分配律以及平方
差公式，运算较简单.
现在，我们来研究多项式的因式分解问题.
探索新知
由整式的乘法运算，我们知道：
x (x－2)=x 2－2x， (x＋y )(x－y )=x 2－y 2，
(x＋1) 2=x 2＋2x＋1.
反过来，可以把这些多项式写成整式乘积的形式：
x 2－2x=x (x－2)， x 2－y 2=(x＋y )(x－y ) ，
x 2＋2x＋1= (x＋1)2.
探索新知
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做
多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式.其中每
个整式都叫做这个多项式的因式.
归 纳
探索新知
下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A．a 2＋1＝　　　　　
B．(x＋1)(x－1)＝x 2－1
C．a 2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x 2y＋xy 2＝xy (x＋y)
例1
D
探索新知
紧扣因式分解的定义进行判断，因为 不是整式，
所以a 2＋1＝ 不是因式分解，故A错误；
因为(x＋1)(x－1)＝x 2－1不是和差化积，
因此不是因式分解，而是整式乘法，B错误；
因为a 2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1结果不是积的形式，
因此不是因式分解，C错误；
x 2y＋xy 2＝xy (x＋y )符合因式分解的概念，因此是因
式分解，D正确．
导引：
探索新知
总 结
因式分解的结果应该是整式的积，否则就不是因式分解．
典题精讲
1
下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？
(1) (m＋n)(m－n)=m 2－n 2 ；
(2) m 2－n 2=(m＋n)(m－n)
(3) 5a＋10b=5(a＋2b)；
(4) x 2－2x＋1=x (x－2)＋1.
(2)(3)是因式分解．
解：
典题精讲
2
对下列各式所进行的因式分解正确吗？如果不正确，请改正过来.
(1) ab－b=b (a－1);
(2) －10x－10=－10(x－ 1);
(3) 3x＋3y =3(3x＋3y );
(4) m 2＋4m＋4＝m 2＋4 (m＋1).
(1)正确．(2)不正确，应为－10x－10＝－10(x＋1)．
(3)正确．(4)不正确，应为m 2＋4m＋4＝(m＋2)2.
解：
典题精讲
下列式子从左到右的变形是因式分解的是(　　)
A．a 2＋4a－21＝a (a＋4)－21
B．a 2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a 2＋4a－21
D．a 2＋4a－21＝(a＋2)2－25
3
B
探索新知
2
知识点
因式分解与整式乘法的关系
1. 多项式相乘的结果是什么？
2. 一个多项式进行因式分解的结果是什么？
多项式的因式分解与乘法运箅是不同的.多项式的
因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积，而多
项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.
探索新知
多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程.
多项式x 2－y 2分解为x＋y 与x－y 的乘积
x 2－y 2=(x＋y )(x－y )
多项式x＋y 与x－y 的乘积为x 2－y 2
(x＋y )(x－y )=x 2－y 2
探索新知
整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形．
即：多项式 整式乘积．
探索新知
对下列各式所进行的因式分解正确的是(　　)
A．3x 2－6xy－3x＝3x (x－2y )
B．ab－a－b＋1＝(a＋1)(b－1)
C．2x 2－5xy－3y 2＝(2x－y )(x＋3y )
D．a 2－4＝(a＋2)(a－2)
例2
D
探索新知
检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整
式相乘的积与左边的多项式是否相等．A中，
∵3x (x－2y )＝3x 2－6xy ≠3x 2－6xy－3x，∴A不正
确；B中，∵(a＋1)(b－1)＝ab－a＋b－1≠ab－a－
b＋1，∴B不正确；C中，∵(2x－y )(x＋3y )＝2x 2
＋5xy－3y 2≠2x 2－5xy－3y 2，∴C不正确；D中，
∵(a＋2)(a－2)＝a 2－4，∴D正确.
导引：
探索新知
总 结
因式分解的检验方法是利用整式乘法将因式的乘积化为多项式的形式，看与分解前的多项式是否相等．
典题精讲
请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里：
(1) 2x＋4 = 2( )；
(2) x－xy=x ( )；
(3) 16x 2－1 = (4x＋1)( )；
(4) a 2＋6a＋9=(a＋3)( ).
1
x＋2
x－y
4x －1
a＋3
典题精讲
请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里：
(1) 2R－2r= 2( )；
(2) 3mn－6nx=( )(m－2x )；
(3) 3ax＋3ay=3a ( )；
(4) 10ax－15xy＋5x=5x ( ).
2
3n
x＋y
2a－3y＋1
R－r
典题精讲
因为(a－2)2＝a 2－4a＋4，所以a 2－4a＋4可因式分解为____________．
若x 2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m 的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
一个多项式分解因式的结果是(b 3＋2)(2－b 3)，那么这个多项式是(　　)
A．b 6－4 B．4－b 6
C．b 6＋4 D．－b 6－4
3
(a－2)2
5
B
B
4
典题精讲
下列因式分解正确的是(　　)
A．x 2＋2x＋1＝x (x＋2)＋1
B．(x 2－4)x＝x 3－4x
C．ax＋bx＝(a＋b)x　　　
D．m 2－2mn＋n 2＝(m＋n)2
把多项式x 2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b 的值分别是(　　)
A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3
C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3
6
7
C
B
学以致用
小试牛刀
下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是(　　)
A．a (m＋n)＝am＋an
B．a 2－b 2－c 2＝(a－b)(a＋b)－c 2
C．10x 2－5x＝5x (2x－1)
D．x 2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
C
1
小试牛刀
2
计算下列各式：
(1)(a＋b)(a－b)＝__________；
(2)(a＋b)2＝ ；
(3)8y (y＋1)＝__________；
(4)a (x＋y＋1) ＝__________ .
根据上面的算式将下列多项式进行因式分解：
(5)ax＋ay＋a；　　　　 (6)a 2－b 2；
(7)a 2＋2ab＋b 2 ； (8)8y 2＋8y.
a 2－b 2
a 2＋2ab＋b 2
8y 2＋8y
ax＋ay＋a
小试牛刀
(5)ax＋ay＋a＝a (x＋y＋1)．
(6)a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)．
(7)a 2＋2ab＋b 2＝(a＋b)2.
(8)8y 2＋8y＝8y (y＋1)．
解：
小试牛刀
3
仔细阅读下面的例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x 2－4x＋m 有一个因式是x＋3，求另一个因式以及m 的值．
解：设另一个因式为x＋n，得
x 2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
则x 2－4x＋m＝x 2＋(n＋3)x＋3n，
∴ 解得
∴另一个因式为x－7，m 的值为－21.
小试牛刀
设另一个因式为x＋a，
则2x 2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)，
则2x 2＋3x－k＝2x 2＋(2a－5)x－5a，
∴ 解得
故另一个因式为x＋4，k 的值为20.
解：
问题：仿照上面的方法解答下面的问题：
已知二次三项式2x 2＋3x－k 有一个因式是2x－5，求另一个因式以及k 的值．
4
课堂小结
课堂小结
知识总结 知识方法要点 关键总结 注意事项
因式分解 将一个多项式化成几个整式乘积的形式 左边必须是一个多项式，右边必须是几个整式的乘积
因式分解与整式乘法 因式分解与整式乘法互为变形 正确理解二者的区别与联系
方法规律总结 本节主要内容是因式分解的定义及判断一个变形是否是因式分解，一是看结果是否是积的形式，二是要看积中的每个因式是否都是整式.根据因式分解的意义，我们知道因式分解与整式乘法互为逆过程，因此，把分解后的因式展开后，一定会和原来的多项式相等，在解题时，往往要用到这一点. 同学们，
下节课见！
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