【班海精品】冀教版（新）七下-11.2 提公因式法 第一课时【优质课件】

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11.2 提公因式法
第1课时
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目录
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学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1. 什么叫做因式分解？
2. 两个多项式进行整式乘法运算的结果是什么？一个
多项式因式分解的结果是什么？
1. 多项式ab +bc 各项都含有相同的因式吗？多项式
3x 2+6x 呢？多项式mb 2+nb+b 呢？
2. 你能将上面的多项式写成几个因式的乘积的形式
吗？说出你的结果.
知识回顾
导入新知
新课精讲
探索新知
1
知识点
公因式的定义
我们知道， m (a＋b)＝ma＋mb，反过来，就有
ma＋mb＝m (a＋b).应用这一事实，怎样把多项式2ab
＋4abc 分解因式？
探索新知
归 纳
一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个
多项式各项的公因式，简称多项式的公因式.
(1)公因式必须是多项式中每一项都含有的因式．
(2)某个或某些项中含有而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分．
探索新知
指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a 2y－3ya＋6y； (2) xy 3－ x 3y 2；
(3)a (x－y )3＋b (x－y )2＋(x－y )3；
(4)－27a 2b 3＋36a 3b 2＋9a 2b.
例1
(1)3中系数3，－3，6的最大公因数为3，所以公因
式的系数为3，有相同字母y，并且y 的最低次数
是1，所以公因式为3y.
(2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是
27，分子的最大公因数是4，所以公因式的系数
解：
探索新知
是 ；两项都有x，y，且x 的最低次数是1，y 的最
低次数是2，所以公因式是
(3)观察发现三项都含有(x－y )这个因式，且(x－y )的最
低次数是2，所以公因式是(x－y )2.
(4)此多项式的第一项前面是“－”号，应将“－”号
提取变为－(27a 2b 3－36a 3b 2－9a 2b)，多项式27a 2b 3
－36a 3b 2－9a 2b各项系数的最大公因数是9，且a 的
最低次数为2，b 的最低次数是1，所以这个多项式
各项的公因式为－9a 2b.
探索新知
总 结
找公因式的方法：一看系数：若各项系数都是整
数，应取各项的系数的最大公约数；二看字母：公因
式的字母是各项相同的字母；三看字母的次数：各相
同字母的指数取最低次数；四看整体：如果多项式中
含有相同的多项式，应将其看作整体，不要拆开；五
看首项符号，若多项式中首项含“－”号，则公因式
符号为负．
典题精讲
多项式8x 2y 2－14x 2y＋4xy 3各项的公因式是(　　)
A．8xy B．2xy
C．4xy D．2y
式子15a 3b 3(a－b)，5a 2b (a－b)的公因式是(　　)
A．5ab (a－b) B．5a 2b 2(a－b)
C．5a 2b (a－b) D．以上均不正确
1
B
2
C
典题精讲
下列各组式子中，没有公因式的是(　　)
A．4a 2bc 与8abc 2
B．a 3b 2＋1与a 2b 3－1
C．b(a－2b)2与a (a－2b)2
D．x＋1与x 2－1
3
B
探索新知
1. 多项式ma＋mb＋mc 有几项？每一项的因式都有哪
些？这些项中有没有公共的因式？若有，是哪个？
2. 多项式a 2b 2－2a 2b 的两项中，有没有公共的因式？
若有，是哪些？
多项式 项 各项的公因式
ma＋mb＋mc ma，mb，mc m
a 2b 2－2a 2b a 2b 2，－2a 2b a，b，ab
2
知识点
提公因式法分解因式
探索新知
逆用乘法对加法的分配率，可以把公因式写在括
号外边，作为积的一个因式，写成下面的形式：
ma＋mb＋mc＝m (a＋b＋c)，
a 2b 2－2a 2b＝ab (b－2a).
这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.
探索新知
(1)提公因式法就是把公因式提到括号外边与剩下的多
项式写成积的形式．
(2)提公因式法实质上是逆用乘法的分配律．
(3)提取公因式就是把一个多项式分解成两个因式积的
形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因
式是多项式除以这个公因式所得的商．
(4)提公因式的一般步骤：第一步找出公因式；第二步
确定另一个因式；第三步写成积的形式．
探索新知
(1)－3x 2＋6xy－3xz
=(－3x )·x＋(－3x )·(－2y )＋(－3x )·z
=－3x (x－2y＋z)
(2)3a 3b＋9a 2b2－6a 2b
=3a 2b ·a＋3a 2b ·3b＋3a 2b ·2
=3a 2b (a＋3b＋2).
解：
例2
把下列多项式分解因式：
(1)－3x 2＋6xy－3xz；
(2)3a 3b＋9a 2b 2－6a 2b.
探索新知
总 结
提取公因式法的一般步骤是：
1. 确定应提取的公因式.
2. 用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式.
3.把多项式写成这两个因式的积的形式.提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
典题精讲
把下列各式分解因式：
(1)5a＋5b； (2)m 2＋m；
(3)x 2＋2x； (4)3xy＋3xz.
1
(1)5a＋5b＝5(a＋b)．　
(2)m 2＋m＝m (m＋1).　
(3)x 2＋2x＝x (x＋2)．
(4)3xy＋3xz＝3x (y＋z )．
解：
典题精讲
把下列多项式的公因式和分解因式的结果填入表格中：
2
多项式 公因式 分解因式的结果
5a 2＋10a 2bc
12xyz－9x 2y 2
2x 2＋4xy－6x
5a 2
5a 2(1＋2bc )
3xy
3xy (4z－3xy )
2x
2x (x＋2y－3)
典题精讲
把下列各式分解因式：
(1)10a－5c； (2)ab－2abc ；
(3)5xy－xyz ； (4)a 2＋ab－ac.
3
(1)10a－5c＝5(2a－c )．
(2)ab－2abc＝ab (1－2c )．
(3)5xy－xyz＝xy (5－z )．
(4)a 2＋ab－ac＝a (a＋b－c )．
解：
典题精讲
把下列各式分解因式：
(1)2x 2y－4xy 2z； (2)7a 2b＋14ab 2c；
(3)15mn 2p 2－5mnp； (4)4ab－6ab 2．
4
(1)2x 2y－4xy 2z＝2xy (x－2yz )．
(2)7a 2b＋14ab 2c＝7ab (a＋2bc )．
(3)15mn 2p 2－5mnp＝5mnp (3np－1)．
(4)4ab－6ab 2＝2ab (2－3b)．
解：
典题精讲
将3a (x－y )－b (x－y )用提公因式法分解因式，应提出的公因式是(　　)
A．3a－b B．3(x－y )
C．x－y D．3a＋b
多项式x 2＋x 6提取公因式后，剩下的因式是(　　)
A．x 4 B．x 3＋1
C．x 4＋1 D．x 3－1
5
C
C
6
典题精讲
把多项式a 2－4a 分解因式，结果正确的是(　　)
A．a (a－4)
B．(a＋2)(a－2)
C．a (a＋2)(a－2)
D．(a－2)2－4
7
A
典题精讲
下列多项式因式分解正确的是(　　)
A．8abx－12a 2x 2＝4abx (2－3ax )
B．－6x 3＋6x 2－12x＝－6x (x 2－x＋2)
C．4x 2－6xy＋2x＝2x (2x－3y )
D．－3a 2y＋9ay－6y＝－3y(a 2＋3a－2)
8
B
典题精讲
已知x 2－2x－3＝0，则2x 2－4x 的值为(　　)　
A．－6 B．6
C．－2或6 D．－2或30
如果多项式－ abc＋ ab 2－a 2bc 的一个因式是
－ ab，那么另一个因式是(　　)
A．c－b＋5ac B．c＋b－5ac
C．c－b＋ ac D．c＋b－ ac
9
10
B
A
典题精讲
因式分解：x 2－2x＋(x－2)＝____________．
已知x 2＋3x－2＝0，则2x 3＋6x 2－4x＝________.
若ab＝2，a－b＝－1，则代数式a 2b－ab 2的值等于________．
11
(x＋1)(x－2)
12
13
0
－2
易错提醒
因式分解：－14x 3－21x 2＋28x.
解：
－14x 3－21x 2＋28x＝－7x (2x 2＋3x－4)．
易错点：首项符号为“－”时，在利用提公因式法分解因式的过程中出现符号错误.
学以致用
小试牛刀
下列多项式的各项中，公因式是5a 2b 的是(　　)
A．15a 2b－20a 2b 2
B．30a 2b 3－15ab 4－10a 3b 2
C．10a 2b 2－20a 2b 3＋50a 4b 5
D．5a 2b 4－10a 3b 3＋15a 4b 2
A
1
小试牛刀
2
用提公因式法分解因式：
(1)9x 2－6xy＋3x；
(2)(a－b)3－(a－b)2；
(3)3m (x－y )－n (x－y )；
(4)－3a n＋2＋2a n＋1－5a n.
小试牛刀
(1)原式＝3x ·3x－3x ·2y＋3x ·1＝3x (3x－2y＋1)．
(2)原式＝(a－b)2(a－b－1)．
(3)原式＝(x－y )(3m－n )．
(4)原式＝－a n ·3a 2－a n ·(－2a)－a n ·5
＝－a n (3a 2－2a＋5)．
解：
小试牛刀
3
利用简便方法计算：
(1)3.2×201.8＋4.7×201.8＋2.1×201.8；
(2)
(1)原式＝201.8×(3.2＋4.7＋2.1)＝201.8×10＝2 018.
(2)原式＝ ×(36.8＋20.2－2)＝ ×55＝13.
解：
小试牛刀
4
△ABC 的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC 是等边三角形还是等腰三角形？说明理由．
△ABC 是等腰三角形．理由如下：
∵a＋2ab＝c＋2bc，∴(a－c )＋2b (a－c )＝0.
∴(a－c )(1＋2b)＝0，故a－c＝0或1＋2b＝0.
显然b≠－ ，∴a＝c，∴△ABC 为等腰三角形．
解：
小试牛刀
5
阅读下面分解因式的过程：把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式．
解法一：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝
a (m＋n)＋b (m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．
解法二：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝
m (a＋b)＋n (a＋b)＝(a＋b)(m＋n)．
根据你的发现，选择一种方法把下面的多项式分解因式：
(1)mx－my＋nx－ny； (2)2a＋4b－3ma－6mb.
小试牛刀
(1)mx－my＋nx－ny
＝(mx－my )＋(nx－ny )
＝m (x－y )＋n (x－y )
＝(x－y )(m＋n)．
(2)2a＋4b－3ma－6mb
＝(2a－3ma)＋(4b－6mb)
＝a (2－3m)＋2b (2－3m)
＝(2－3m)(a＋2b)．
解：
课堂小结
课堂小结
知识总结 知识方法要点 关键总结 注意事项
公因式 多项式中各项都含有的相同因式（公因式可以是单项式，也可以多项式） 公因式的系数应是各项系数的最大公约数，指数应是相同字母的最小指数
提公因式法 将多项式的公因式提取出来，从而将多项式写成因式乘积的形式，其实质是乘法分配律的逆运用 多项式首项系数含“－”时，先提“－”；公因式和某项相同时，提取公因式后该项剩余的因式为 1
课堂小结
方法规律总结：
提公因式法不仅是一种重要的因式分解的方法，也是把一个多项式进行因式分解时首要考虑的方法，在提公因式时应注意以下两点： (1)当多项式的首项系数是负数时，这时可以把负号提出，提负号时应注意多项式的各项都要变号．(2)当一个多项式中既含有系数，又含有字母时，应注意综合考虑多项式的公因式．做到三看：一看系数；二看字母；三看指数．因式分解完成后，剩下的因式必须不能再继续分解.
同学们，
下节课见！
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