【班海精品】冀教版（新）七下-11.3 公式法 第二课时【优质课件】

(共46张PPT)
11.3 公式法
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
利用完全平方公式分解因式时，应注意些什么？
先把多项式写成a 2＋2ab＋b 2，判断符号再分解.
新课精讲
探索新知
1
知识点
完全平方式的特征
由完全平方公式：(a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2，
(a－b)2＝a 2－2ab＋b 2，可得：
a 2＋2ab＋b 2＝(a＋b)2；a 2－2ab＋b 2＝(a－b)2.
两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，
等于这两数和(或者差)的平方．
探索新知
完全平方式：形如a 2±2ab＋b 2的式子叫做完全平方式．
即：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍
的式子是完全平方式．
要点精析：完全平方式的条件：
(1)多项式是二次三项式．
(2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是
这两个数(或式子)的积的2倍．
拓展：完全平方式中的a，b可以是一个数、一个式子
(一个单项式或一个多项式)
探索新知
判断下列多项式是否为完全平方式．
(1)b 2＋b＋1； (2)a 2－ab＋b 2；
(3)1＋4a 2； (4)a 2－a＋ .
例1
(1)中b 不是数b 与1的乘积的2倍；
(2)中ab 不是a、b 乘积的2倍；
(3)中1与2a 的乘积的2倍没有出现；
(4)中a 是a 与 乘积的2倍．
导引：
探索新知
(1)b 2＋b＋1不是完全平方式；
(2)a 2－ab＋b 2不是完全平方式；
(3)1＋4a 2 不是完全平方式；
(4)a 2－a＋ 是完全平方式．
解：
探索新知
总 结
完全平方式首末有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式，且符号相同，中间项为这两个数或两个式子积的2倍．
典题精讲
已知x 2＋16x＋k 是完全平方式，则常数k 等于(　　)
A．64 B．48
C．32 D．16
已知4x 2＋mx＋36是完全平方式，则m 的值为(　　)
A．8 B．±8
C．24 D．±24
1
A
D
2
典题精讲
给多项式x 8＋4加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式是____________．(写出一个即可)
x 2＋10x＋______＝(x＋______)2.
若x 2－14x＋m 2是完全平方式，则m＝_______.
若关于x 的二次三项式x 2＋ax＋ 是完全平方式，则a 的值是________．
3
4x 4
25
4
5
6
5
±7
±1
探索新知
2
知识点
用完全平方公式分解因式
我们把多项式a 2＋2ab＋b 2及a 2－2ab＋b 2叫做完
全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关
键是判断这个多项式是不是一个完全平方式. 例如:
9x 2－6x＋1＝(3x )2－2·(3x )·1＋12＝(3x－1)2.
a2 － 2 a b＋b2＝( a－ b)2
探索新知
完全平方公式法
两个数的平方和加上(或减去)这两个数积的2倍，等
于这两个数的和(或差)的平方．
即：a 2±2ab＋b 2＝(a±b)2.
要点精析：(1)完全平方公式的结构：等式的左边是一
个完全平方式，右边是这两个数和(或差)的平方．
(2)是整式乘法中的完全平方公式的逆用，在整式乘法
中能写成两个数的和(或差)的平方，结果一定是完
全平方式，而在因式分解中，每一个完全平方式都
能因式分解．
探索新知
(3)结果是加还是减由乘积项的符号确定，即乘积项的
符号可以是“＋”也可以是“－”，而两个平方项
的符号相同，否则就不是完全平方式，即也不能用
完全平方公式进行因式分解．
(4)用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因
式要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．
探索新知
例2
把下列各式分解因式：
(1)t 2＋22t＋121； (2)m 2＋ n 2－mn.
(1) t 2＋22t＋121
＝ t 2＋2×11t＋112
＝(t＋11)2.
解：
(2) m 2＋ n 2－mn
＝m 2－2 ·m ·
探索新知
总 结
利用完全平方公式因式分解先看多项式的结构特征，其特征为：①此多项式为三项式；②至少有两个是完全平方项，若有公因式要先提取公因式，再看是否符合这两个特征.
典题精讲
(1)2xy－x 2－y 2＝－(x 2－2xy＋y 2)＝－(x－y )2.
(2)36p 2＋12pq＋q 2＝(6p)2＋2×6p ·q＋q 2＝(6p＋q )2.
(3)16x 2＋8x＋1＝(4x )2＋2×4x ·1＋12＝(4x＋1)2.
(4)a 2－4a (b＋c )＋4(b＋c )2＝a 2－2· a ·2(b＋c )
＋[2(b＋c )]2＝[a－2(b＋c )]2＝(a－2b－2c )2.
解：
把下列各式分解因式：
(1)2xy－x 2－y 2； (2)36p 2＋12pq＋q 2；
(3)16x 2＋8x＋1； (4)a 2－4a (b＋c)＋4(b＋c )2.
1
典题精讲
把下列各式分解因式：
(1)－x 2＋2x－1； (2)x 2＋xy＋ y 2 ；
(3)4x 2＋4x＋1 ； (4)a 4－2a 2＋1.
2
(1)－x 2＋2x－1＝－(x 2－2x＋1)＝－(x－1)2.
(2)X 2＋xy＋ y 2＝x 2＋2· x ·y＋
(3)4x 2＋4x＋1＝(2x )2＋2×2x ·1＋12＝(2x＋1)2.
(4)a 4－2a 2＋1＝(a 2)2－2·a 2·1＋12＝(a 2－1)2
＝[(a＋1)(a－1)]2＝(a＋1)2(a－1)2.
解：
典题精讲
把下列各式分解因式：
(1)x 2＋8x＋16； (2)64x 2＋y 2＋16xy ；
(3)Y 2＋y＋ ； (4) t 2＋ ts＋s 2.
3
(1)x 2＋8x＋16＝(x＋4)2.
(2)64x 2＋y 2＋16xy＝(8x＋y )2.
(3)y 2＋y＋ ＝
(4) t 2＋ ts＋s 2＝
解：
典题精讲
下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A．x 2＋1 B．x 2＋2x－1
C．x 2＋x＋1 D．x 2＋4x＋4
把多项式x 2－6x＋9分解因式，结果正确的是(　　)
A．(x－3)2 B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3) D．(x＋9)(x－9)
4
D
A
5
典题精讲
把2xy－x 2－y 2分解因式，结果正确的是(　　)
A．(x－y )2 B．(－x－y )2
C．－(x－y )2 D．－(x＋y )2
把多项式(a＋b )2－4(a 2－b 2)＋4(a－b)2因式分解的结果为(　　)
A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2 D．(3a＋b)2
6
C
C
7
探索新知
3
知识点
先提取公因式用完全平方公式分解因式
例3
把下列各式分解因式：
(1)ax 2＋2a 2x＋a 3；
(2)(x＋y )2－4(x＋y )＋4.
(3) (3m－1)2＋(3m－1)＋ .
(1) ax 2＋2a 2x＋a 3；
＝a (x 2＋2ax＋a 2)
＝a (x＋a )2.
解：
探索新知
(2) (x＋y )2－4(x＋y )＋4.
＝ (x＋y )2－2·(x＋y )·2＋22
＝ (x＋y－2)2.
(3) (3m－1)2＋(3m－1)＋
＝ (3m－1)2－2·(3m－1)·
＝
探索新知
总 结
因式分解时，要注意综合运用所学的分解方法，
常用的分析思路是： ① 提公因式法； ② 公式法．有
时，需要反复利用公式法因式分解，直至每一个因式
都不能分解为止．注意综合利用乘法公式，既用到平
方差公式又用到完全平方公式．
典题精讲
(1)6xy－x 2－9y 2＝－(x 2－6xy＋9y 2)＝－(x－3y )2.
(2)－m 3＋2m 2－m＝－m (m 2－2m＋1)＝－m (m－1)2.
(3)3x 2－6x＋3＝3(x 2－2x＋1)＝3(x－1)2.
(4)4xy 2＋4x 2y＋y 3＝y (4x 2＋4xy＋y 2)＝y (2x＋y )2.
解：
把下列各式分解因式：
(1)6xy－x 2－9y 2；(2)－m 3＋2m 2－m；
(3)3x 2－6x＋3； (4)4xy 2＋4x 2y＋y 3.
1
典题精讲
把下列各式分解因式：
(1)x 2－6x (y－z )＋9(y－z )2；
(2)(a＋b)2－4(a＋b)c＋4c 2.
2
(1)x 2－6x (y－z )＋9(y－z )2＝x 2－2 ·x ·3(y－z )＋[3(y－z )]2＝[x－3(y－z )]2＝(x－3y＋3z )2.
(2)(a＋b)2－4(a＋b)c＋4c 2＝(a＋b－2c )2.
解：
典题精讲
用简便方法计算：20012－4 002+1.
把下列各式分解因式：
(1)x 4－8x 2＋16；(2)(a 2＋b 2)2－4a 2b 2.
2 0012－4 002＋1＝2 0012－2×2 001×1＋12
＝(2 001－1)2＝2 0002＝4 000 000.
解：
3
(1)x 4－8x 2＋16＝(x 2)2－2 ·x 2 · 4＋42＝(x 2－4)2
＝(x＋2)2(x－2)2.
(2)(a 2＋b 2)2－4a 2b 2＝(a 2＋b 2＋2ab)(a 2＋b 2－2ab)
＝(a＋b)2(a－b)2.
解：
4
典题精讲
请给4x 2＋1添上一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式分解因式.
5
方法一：加上4x.
4x 2＋1＋4x＝(2x )2＋2×2x ·1＋12＝(2x＋1)2.
方法二：加上－4x.
4x 2＋1－4x＝(2x )2－2×2x ·1＋12＝(2x－1)2.
方法三：加上4x 4.
4x 4＋4x 2＋1＝(2x 2)2＋2×2x 2·1＋12＝(2x 2＋1)2.
解：
典题精讲
把8a 3－8a 2＋2a 进行因式分解，结果正确的是(　　)
A．2a (4a 2－4a＋1)
B．8a 2(a－1)
C．2a (2a－1)2
D．2a (2a＋1)2
6
C
典题精讲
下列因式分解正确的是(　　)
A．a 4b－6a 3b＋9a 2b＝a 2b (a 2－6a＋9)
B．X 2－x＋
C．x 2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x 2－y 2＝(4x＋y )(4x－y )
7
B
典题精讲
分解因式：mn 2－2mn＋m＝____________．
因式分解：－2x 2y＋16xy－32y＝____________．
若一个长方形的面积是x 3＋2x 2＋x (x＞0)，且一边长为x＋1，则其邻边长为________．
8
m (n－1)2
9
10
－2y (x－4)2
x 2＋x
易错提醒
有下列式子：①－x 2－xy－y 2；② a 2－ab＋ b 2；③－4ab 2－a 2＋4b 4；④4x 2＋9y 2－12xy；⑤3x 2＋6xy＋3y 2.其中在有理数范围内能用完全平方公式分解因式的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
易错点：对完全平方式的特征理解不透导致出错.
学以致用
小试牛刀
如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a 2，ab，ab，b 2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是(　　)
A．a 2＋b 2
B．a＋b
C．a－b
D．a 2－b 2
B
1
小试牛刀
2
把下列各式分解因式：
(1)9x 2－6x＋1；
(2)(x＋y )2＋4(x＋y )＋4.
(1)原式＝(3x－1)2.
(2)原式＝(x＋y )2＋4(x＋y )＋22
＝(x＋y＋2)2.
解：
把下列各式分解因式：
(1)(a 2－4)2＋6(a 2－4)＋9；
(2) (x 2＋16y 2)2－64x 2y 2；
(3)a 3－a＋2b－2a 2b；
(4)x 2－2xy＋y 2＋2x－2y＋1.
小试牛刀
3
小试牛刀
(1)原式＝(a 2－4＋3)2＝(a 2－1)2＝(a＋1)2(a－1)2.
(2)原式＝(x 2＋16y 2)2－(8xy )2
＝(x 2＋16y 2＋8xy )(x 2＋16y 2－8xy )
＝(x＋4y )2(x－4y )2.
(3)原式＝a (a 2－1)＋2b (1－a 2)＝(a－2b)(a＋1)(a－1).
(4)原式＝(x－y )2＋2(x－y )＋1＝(x－y＋1)2.
解：
小试牛刀
4
若ab＝ ，a＋b＝ ，求多项式a 3b＋2a 2b 2＋ab 3的值．
a 3b＋2a 2b 2＋ab 3＝ab (a 2＋2ab＋b 2)＝ab (a＋b)2.
∵ab＝ ，a＋b＝ ，
∴原式＝
解：
小试牛刀
5
已知x 2－y 2＝20，求[(x－y )2＋4xy ][(x＋y )2－4xy ]的值．
[(x－y )2＋4xy ][(x＋y )2－4xy ]
＝(x 2＋2xy＋y 2)(x 2－2xy＋y 2)
＝(x＋y )2(x－y )2
＝[(x＋y )(x－y )]2
＝(x 2－y 2)2
＝202
＝400.
解：
小试牛刀
已知a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足(a＋b＋c )2＝3(a 2＋b 2＋c 2)，试确定△ABC 的形状．
∵(a＋b＋c )2＝3(a 2＋b 2＋c 2)，
∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab＋2bc＋2ac＝3a 2＋3b 2＋3c 2，
∴a 2＋b 2－2ab＋b 2＋c 2－2bc＋c 2＋a 2－2ac＝0，
即(a－b )2＋(b－c )2＋(c－a )2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，
∴a＝b＝c.故△ABC 为等边三角形．
解：
6
小试牛刀
7
(1)实验与观察：(用“＞”“＝”或“＜”填空)
当x＝－5时，式子x 2－2x＋2________1；
当x＝1时，式子x 2－2x＋2________1.
(2)归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？请写出来并说明它是正确的．
(3)拓展与应用：求式子a 2＋b 2－6a－8b＋30的最小值．
＞
＝
小试牛刀
(2)发现x 2－2x＋2≥1.
∵x 2－2x＋2＝x 2－2x＋1＋1＝(x－1)2＋1，x 为任何数时，
(x－1)2≥0，∴(x－1)2＋1≥1，即x 2－2x＋2≥1.
(3)a 2＋b 2－6a－8b＋30＝(a－3)2＋(b－4)2＋5.
∵(a－3)2≥0，(b－4)2≥0，
∴(a－3)2＋(b－4)2＋5≥5，
∴式子a 2＋b 2－6a－8b＋30的最小值是5.
解：
课堂小结
课堂小结
知识总结 知识方 法要点 关键总结 注意事项
平方差公式 a2－b2＝(a＋b)(a－b). 左边是两个数的平方的差；右边是两个数的和与这两个数的差的乘积
完全平方公式 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2　 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 首平方，尾平方，积的二倍加(或减)在中央．
方法规律总结 1.能提公因式的应先提公因式 2.能运用公式的再运用平方差、完全平方公式将多项式分解彻底 3.分解因式的方法步骤：一提、二套、三查 同学们，
下节课见！
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