【班海精品】冀教版（新）七下-11.3 公式法 第三课时【优质课件】

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11.3 公式法
第3课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
知识回顾
回想我们已经学过那些分解因式的方法？
提供因式法，公式法——平方差公式，完全平方公式
导入新知
今天我们要学习一种新的分解因式的方法——分组分
解因式法.
新课精讲
探索新知
1
知识点
分组分解法
(a＋b)(m＋n)
＝a (m＋n)＋b (m＋n)
＝am＋an＋bm＋bn，
整式乘法
am＋an＋bm＋bn
＝a (m＋n)＋b (m＋n)
＝(a＋b)(m＋n)
分解因式
探索新知
归 纳
这种把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法.
注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.
探索新知
把a 2－ab＋ac－bc 分解因式．
例1
把这个多项式的四项按前两项与后两项分成两
组，分别提出公因式a 和c 后，另一个因式正好
都是a－b，这样就可以提出公因式a－b.
分析：
a 2－ab＋ac－bc
＝(a 2－ab)＋(ac－bc )
＝a (a－b)＋c (a－b)
＝(a－b)(a＋c )
解：
分组
组内提公因式
提公因式
探索新知
总 结
在有公因式的前提下，按对应项系数成比例分组，
或按对应项的次数成比例分组.
典题精讲
多项式x 2－4与x 2－4x＋4的公因式为(　　)
A．x＋4 B．x－4
C．x＋2 D．x－2
把多项式4x 2－2x－y 2－y 用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是(　　)
A．(4x 2－y )－(2x＋y 2) B．(4x 2－y 2)－(2x＋y )
C．4x 2－(2x＋y 2＋y ) D．(4x 2－2x )－(y 2＋y )
1
D
B
2
典题精讲
将多项式a 2－9b 2＋2a－6b 分解因式为(　　)
A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b)
B．(a－9b)(a＋9b)
C．(a－9b)(a＋9b＋2)
D．(a－3b)(a＋3b＋2)
3
D
典题精讲
分解因式x 2－2xy＋y 2＋x－y 的结果是(　　)
A．(x－y )(x－y＋1)
B．(x－y )(x－y－1)
C．(x＋y )(x－y＋1)
D．(x＋y )(x－y－1)
4
A
典题精讲
分解因式：
(1)am＋an＋bm＋bn＝______________；
(2)x 2－xy＋xz－yz＝______________．
(3)a 2－4ab＋4b 2－1＝ ．
5
(a＋b)(m＋n)
(x－y )(x＋z )
(a－2b＋1)(a－2b－1)
典题精讲
把下列各式分解因式：
(1)1＋x＋x 2＋x； (2)xy 2－2xy＋2y－4；
(3)a 2－b 2＋2a＋1.
6
(1)原式＝(1＋x )＋(x 2＋x )
＝(1＋x )＋x (x＋1)
＝(1＋x )(1＋x )
＝(1＋x )2.
解：
典题精讲
(2)原式＝(xy 2－2xy )＋(2y－4)
＝xy (y－2)＋2(y－2)
＝(y－2)(xy＋2)．
(3)原式＝(a 2＋2a＋1)－b 2
＝(a＋1)2－b 2
＝(a＋1＋b)(a＋1－b)
＝(a＋b＋1)(a－b＋1)．
探索新知
例2
把2ax－10ay＋5by－bx 分解因式.
把这个多项式的四项按前两项与后两项分成两
组，并使两组的项都按x 的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a 和－b，这时，另一个因式
正好都是x－5y，这样全式就可以提出公因式
x－5y.
分析：
2
知识点
因式分解的方法
探索新知
2ax－10ay＋5by－bx
＝(2ax－10ay )＋(5by－bx )
＝ (2ax－10ay )＋(－bx＋5by )
＝ 2a (x－5y )－b (x－5y )
＝ (x－5y )(2a－b).
解：
探索新知
总 结
分解步骤：
(1)分组；
(2)在各组内提公因式；
(3)在各组之间进行因式分解；
(4)直至完全分解.
典题精讲
把多项式2x 2－8分解因式，结果正确的是(　　)
A．2(x 2－8) B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x
把代数式3x 3－12x 2＋12x 分解因式，结果正确的是(　　)
A．3x (x 2－4x＋4) B．3x (x－4)2
C．3x (x＋2)(x－2) D．3x (x－2)2
1
C
D
2
典题精讲
将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是(　　)
A．a2－1
B．a2＋a
C．a2－2a＋1
D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
3
C
典题精讲
观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解：
甲：x 2－xy＋4x－4y
＝(x 2－xy )＋(4x－4y )(分成两组)
＝x (x－y )＋4(x－y )(分别提公因式)
＝(x－y )(x＋4)．
乙：a 2－b 2－c 2＋2bc
＝a 2－(b 2＋c 2－2bc )(分成两组)
＝a 2－(b－c )2(直接运用公式)
4
典题精讲
＝(a＋b－c )(a－b＋c )．
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
(1)m 3－2m 2－4m＋8； (2)x 2－2xy＋y 2－9.
(1)　m 3－2m 2－4m＋8
＝m 2(m－2)－4(m－2)
＝(m－2)(m 2－4)
＝(m－2)(m＋2)(m－2)
＝(m＋2)(m－2)2.
解：
(2)　x 2－2xy＋y 2－9
＝(x－y )2－32
＝(x－y＋3)(x－y－3).
学以致用
小试牛刀
1
灵活运用各种方法对下列多项式因式分解．
(1)a 2＋b 2＋2ab－16；
(2)2x 2－3x－8y 2＋6y；
(3)(m 2－1)2＋6(1－m 2)＋9；
(4)(x 2＋y 2－1)2－4x 2y 2.
小试牛刀
(1)原式＝(a 2＋2ab＋b 2)－16
＝(a＋b)2－42
＝(a＋b＋4)(a＋b－4)．
(2)原式＝(2x 2－8y 2)－(3x－6y )
＝2(x＋2y )(x－2y )－3(x－2y )
＝(x－2y )[2(x＋2y )－3]
＝(x－2y )(2x＋4y－3)．
解：
小试牛刀
(3)设m 2－1＝a，则原式可化为a 2－6a＋9.
∵a 2－6a＋9＝(a－3)2，
∴原式＝(m 2－1－3)2
＝(m 2－4)2
＝(m＋2)2(m－2)2.
(4)原式＝(x 2＋y 2－1)2－(2xy )2
＝(x 2＋y 2－1＋2xy )(x 2＋y 2－1－2xy )
＝[(x＋y )2－1][(x－y )2－1]
＝(x＋y＋1)(x＋y－1)(x－y＋1)(x－y－1)．
小试牛刀
2
由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x 2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x 2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x 2＋5x＋6＝x 2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x 2＋6x＋8＝(x＋______)(x＋______)；
(2)应用：请用上述方法解方程：x 2－3x－4＝0.
2
4
小试牛刀
(2)x 2－3x－4＝0，
(x－4)(x＋1)＝0，
x－4＝0或x＋1＝0，
解得x＝4或x＝－1.
解：
先阅读下面的材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、公式法、分组分解法，其实分解因式的方法还有拆项法等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x 2＋2x－3
＝x 2＋2x＋1－4
＝(x＋1)2－22
小试牛刀
3
小试牛刀
＝(x＋1＋2)(x＋1－2)
＝(x＋3)(x－1)．
请你仿照以上方法，分解因式：
(1)x 2－6x－7；
(2)a 2＋4ab－5b 2.
小试牛刀
(1)　x 2－6x－7
＝x 2－6x＋9－16
＝(x－3)2－42
＝(x－3＋4)(x－3－4)
＝(x＋1)(x－7)．
(2)　a 2＋4ab－5b 2
＝a 2＋4ab＋4b 2－9b 2
＝(a＋2b)2－(3b)2
＝(a＋2b＋3b)(a＋2b－3b)
＝(a＋5b)(a－b)．
解：
小试牛刀
4
下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x 2－4x＝y.
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4　　(第一步)
＝y 2＋8y＋16 (第二步)
＝(y＋4)2 (第三步)
＝(x 2－4x＋4)2 (第四步)
回答下列问题：
小试牛刀
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：________．　
(2)请你模仿上面的方法尝试对多项式(m 2－2m)(m 2－2m＋2)＋1进行因式分解．
不彻底
(x－2)4
小试牛刀
(2)设m 2－2m＝y，则
原式＝y (y＋2)＋1
＝(y＋1)2
＝(m 2－2m＋1)2
＝(m－1)4.
解：
阅读下面文字内容：对于形如x 2＋2ax＋a 2的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成(x＋a)2的形式．但对于二次三项式x 2＋4x－5，就不能直接用完全平方公式分解了．对此，我们可以添上一项4，使它与x 2＋4x 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即x 2＋4x－5＝(x 2＋4x＋4 )－4－5＝(x＋2)2－9＝(x＋2＋3)(x＋2－3)＝(x＋5)(x－1)．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
小试牛刀
5
小试牛刀
6
请用配方法来解下列问题：
(1)已知：x 2＋y 2－8x＋12y＋52＝0，求(x＋y )－2的值；
(2)求x 2＋8x＋7的最小值．
(1)由x 2＋y 2－8x＋12y＋52＝0，得(x 2－8x＋16)＋(y 2＋12y＋36)＝0，(x－4)2＋(y＋6)2＝0.所以x－4＝0且y＋6＝0.解得x＝4，y＝－6.所以(x＋y )－2＝[4＋(－6)]－2＝(－2)－2＝ .
(2)x 2＋8x＋7＝(x 2＋8x＋16)－16＋7＝(x＋4)2－9.
因为(x＋4)2≥0，所以(x＋4)2－9≥－9.
所以x 2＋8x＋7的最小值是－9.
解：
课堂小结
课堂小结
(1)分组时小组内能提公因式要保证组与组之间还有公
因式可以提．
(2)分组添括号时要注意符号的变化．
(3)要将分解到底，不同分组的结果应该是一样的．
同学们，
下节课见！
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