【班海精品】冀教版（新）七下-6.2 二元一次方程组的解法【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
6.2 二元一次方程组的解法
用代入法解有一个未知数系数
为1的二元一次方程组
学习目标：
1. 会用代入消元法解有一个未知数系数为1的二元一次方程组.[来源:学#科2．了解 “消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
3．让学生经历自主探索过程，化未知为已知，从中获得成功的体验，从而激发学生的学习兴趣.[]
重点：用代入消元法解二元一次方程组.
难点：在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
学习过程：
课前热身：教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“买门票”问题，想一想当时是怎么获得二元一次方程组的解的.
设他们中有x个成人，y个儿童，我们得到了方程组成人和儿童到底去了多少人呢？在上一节课的“做一做”中，我们通过检验是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34的解，从而得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程组的解的定义，得出是方程组的解.所以成人和儿童分别去了5人和3人.
自主学习：让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点.
1.列二元一次方程组设有两个未知数：x个成人， y个儿童.列一元一次方程只设了一个未知数：x个成人，儿童去的个数通过去的总人数与去的成人数相比较，得出(8－x)个.因此y应该等于(8－x).而由二元一次方程组的一个方程x+y=8，根据等式的性质可以推出y=8－x.
2.发现一元一次方程中5x+3(8－x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相类似，只需把5x+3y=34中的“y”用“（8－x）”代替就转化成了一元一次方程.
教师引导学生发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识（二元一次方程组）转化为旧知识（一元一次方程）便可.
将中的①变形，得y=8－x ③，我们把y=8－x代入方程②，即将②中的y用（8－x）代替，这样就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”.
解：
由①得：. ③
将③代入②得：
.[]
解得：.
把代入③得：.[]
所以原方程组的解为：（提醒学生进行检验，即把求出的解代入原方程组，必然使原方程组中的每个方程都同时成立，如不成立，则可知解有问题）
归纳总结：教师总结：同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想，通过它使问题得到完美解决.请同学们完整地解一下这个二元一次方程组.
布置作业：
随堂练习
用代入法解没有未知数系数为1的二元一次方程组
重点难点
重点：熟练应用代入消元法解二元一次方程组．
难点：灵活应用代入消元法解二元一次方程组．
疑点：如何根据方程组中未知数系数的特点，准确地判定消什么元．
解决办法：选择一个未知数系数较简单的方程，并用另一个未知量表达出系数较简单的未知量．
教学过程设计
（一）师生互动活动设计
1．引导学生通过复习上节课所学的方程组的解法，引入本节课所要研究的题型．
2．学生探究当方程组中未知量的系数都不为1时，能否化归为前面已学过的至少有一个未知量系数为1的方程，从而利用上节课的知识来求解．
3．通过多次的训练，学生提高解题技巧及能力．
（二）整体感知
首先应观察出题型的特征即方程组中任何一个未知量的系数都不为1，其次熟练该方程组的解题的一般步骤．
（三）教学过程
1．复习引入
（1）方程组如何求解？解题思想是什么？解题的步骤是什么？
（2）将方程 ①写成用含的代数式表示的形式；②写成用含的代数式表示的形式．
2．探索新知
通过上一节的学习，我们知道解二元一次方程组的基本思想是消元，而且当方程组中有一个方程可以直接变为用一个未知数来表示另一个未知数的形式时，就可以用直接代入法求解．
现在研究不具备上述条件的二元一次方程组，如何求解呢？
例2：解方程组
引导学生思考：（1）从具体一个方程中求出x=含y的代数式，或y=含x的代数式，具体应怎样实现这一步？
（2）如果由某个方程实现了（1）中的表示法，将它代入到哪一个方程转化为一元一次方程？
（3）怎样求出另一个未知数的值？
学生活动：积极思考上述问题，按自己的想法解这个方程组．然后向大家展示并讲解不同解法．
老师鼓励学生互相点评，对每一种解法进行相应的肯定和完善，并板书标准解题过程．
分析：这里两个方程中未知数的系数都不是1，方程①中的系数是3，比较简单，可以将方程①中的用含的代数式表示出来．
解：由①得 3x=14-10y ③
将③代入②，得
即 140-100y+45y=96.
化简得
把代入③，得
∴原方程组的解为
3．一起探究
通过解上面例题，大家总结一下解二元一次方程组的一般步骤．
学生活动：尝试总结用代入法解二元一次方程组的一般步骤，讨论后选代表发言．
之后，看课本第10页，试着用几个字概括每个步骤．
教法说明：学生可以真正理解每个步骤的含义，并提高总结概括能力
教师板书：（1）变形（）
（2）代入消元（）
（3）解一元一次方程得（）
（4）把代入求解
（5）检验求得的结果是否正确．
4．大家谈谈
例3：解方程组
分析：（1）你准备对哪个方程进行变形？用含有哪个未知数的代数式表示另一个未知数？怎样表示？
（2）如何代入另一个方程中？
学生活动：自主完成例3
教师巡视，及时纠正学生的错误．找两名学生板演
总结：可见，对每个二元一次方程组，若用代入消元法来解，从哪个方程将哪个未知数用另一个未知数表示出来都是可以的，但应该选择表示方法尽可能简单的．
5．巩固练习：用代入法解下列方程组
（1） ，
（2）错例辨析：解方程组
解：由②得 ③
把③代入②，得
下略
说明：把③代入消元时，只能代入没有变形的方程①中，不能代入②，因为③是②变形来的，把③代入②中最终会出现0＝0的形式．
6．总结、扩展
（1）用代入法解二元一次方程组的步骤．
（2）用代入法解二元一次方程组的技巧：①变形的技巧②代入的技巧．
（3）对一般形式的二元一次方程组用代入法求解的关键是选择哪一个方程变形，消什么元．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②若未知数的系数不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程．
（4）对运算的结果养成检验的习惯．
用加减法解二元一次方程组
重点难点
重点：熟练应用加减法消元法解二元一次方程组．
难点：用减法消元时，当减去一个负系数时，总以为这个负系数为“-”就是减号．
疑点：如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．
解决办法：只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值即可利用加减法进行消元．
教学过程设计
（一）师生互动活动设计
1．教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了消元法还有其他方法吗？从而导入新课即加减法解二元一次方程组．
2．通过引例进一步让学生探究是用代入法还是用加减法解方程组更简单，让学生进一步明确用加减法解题的优越性．
3．通过反复的训练、归纳、再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论．
（二）整体感知
加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元．故在教学中应教会学生观察并抓住解题的特征及办法从而方便解题．
（三）教学过程
1．创设情境，复习导入
（先引入课本P11页两思路问题）
（1）用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么？
（2）用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确．
例4：
学生活动：口答第（1）题，在练习本上完成第（2）题，一个同学说出结果．
上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解．对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢？这就是我们这节课将要学习的内容．
【教法说明】由练习导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题．
2．一起探究
（1）上面第（2）题的两个方程中，未知数的系数有什么特点？（互为相反数）．
（2）能否根据这一特点来尽快实现消元，得到一个一元一次方程呢？试着解这个方程组并与同学交流．
学生思考、讨论，按自己的想法来解．找学生说出自己的做法．
一位同学的做法：根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．
解：①＋②，得
x=2
把代入①，得
∴
∴
3．做一做，谈一谈
比较用这种方法得到的、值是否与用代入法得到的相同．（相同）
上面方程组的两个方程中，因为y的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了．
练习：解方程组
分析：哪个未知数的系数有特点？（的系数相等）把这两个方程怎样变化可以消去？（相减）
学生活动：仿照上题消元的思路独自求解此题．
解：①－②，得y=2
把代入②，得3x+2=5
∴3x=3
∴x=1
∴
谈一谈：（1）检验一下，所得结果是否正确？
（2）用②－①可以消掉吗？（可以）是用①－②，还是用②－①计算比较简单？（①－②简单）
（3）把y=2代入①，的值是多少？（1），是代入①计算简单还是代入②计算简单？（代入系数较简单的方程）
提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单？（加减法）
②在什么条件下可以用加减法进行消元？（某一个未知数的系数相等或互为相反数）
③什么条件下用加法、什么条件下用减法？（某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法）
小结：用加减法解二元一次方程组的条件是某个未知数的系数绝对值相等．
【教法说明】这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性．
例5：解方程组
（1）上面的方程组是否符合用加减法消元的条件？（不符合）
（2）如何转化可使某个未知数系数的绝对值相等？（②×2）
归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边都乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元．
学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示．
解：②×2，得 4x+6y=8
①-③， 得 x=-1
把x=-1代入②，得 -2+3y=4，即 y=2
所以，方程组的解是 ．
谈一谈：（1）在例5的解法中，②×2的目的是什么？①-③的目的是什么
（2）在例5的方程组中，进行怎样的变形可以由两个方程的加（或减）消去未知数x？
我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解．像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法（elimination by addition or subtraction），简称“加减法”．
学生活动：总结用加减法解二元一次方程组的步骤．
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等．
②加减消元．
③解一元一次方程．
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．
4．尝试反馈，巩固知识
P13 练习．
【教法说明】通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力．
1．用加减法解二元一次方程组的思想：
2．用加减法解二元一次方程组的步骤：
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