第八章 一元二次方程专项训练 根的判别式的五种常见应用（含答案）

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专项训练
根的判别式的五种常见应用
应用一：判断一元二次方程根的情况
1.对于任意实数m，方程x -(m-1)x-m=6的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.没有实数根
C.有实数根且都是正数 D.有两个不相等的实数根
2.已知关于x的一元二次方程ax -2x+b=0，其中a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则这个方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.只有一个实数根
应用二：求字母的值或取值范围
3.若关于x的一元二次方程x +(2+a)x=0有两个相等的实数根,则a的值是 .
4.若关于x的一元二次方程(k-2)x -2kx+k=6有实数根,则k的取值范围为 .
应用三：与三角形结合
5.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x -4x+k=0的两个根,则k的值为( )
A.3 B.4 C.3或4 D.7
6.已知关于x的一元二次方程(a+c)x +2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.
(2)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
应用四：与不等式结合
7.若关于x的不等式 的解集为x<1,则关于x的一元二次方程x +ax+1=0 的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
8.已知关于x的一元二次方程 x -(k+3)x+2k+2=0.
(1)求证：方程总有两个实数根.
(2)若方程有一根小于1，求k的取值范围.
应用五：与一次函数结合
是关于x的一次函数，则一元二次方程 kx +2x+ 1=0 的根的情况为( )
A.没有实数根 B.有一个实数根
C.有两个不相等的实数根 D.有两个相等的实数根
10.若关于x的一元二次方程x -2x-k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx-k的大致图象是( )
参考答案
1.D 2.A 3.-2 且k≠2
5.C [解析]当3为腰长时,将x=3代入方程得3 -4×3+k=0，解得k=3，此时底边长为1，符合题意；当3为底边长时，该方程有两个相等的实数根，∴△=( -4) -4×1×k =0,解得k=4,此时两腰之和为4,4>3,符合题意.因此,k的值为3或4.
6.解：(1)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b) -4( a+c)( a -c)=0,
∴4b -4a +4c =0,∴a =b +c ,∴△ABC 是直角三角形.
(2)∵△ABC是等边三角形,∴a=b=c.
∵(a+c)x +2bx+(a-c)=0,∴2ax +2ax=0,∴x =0,x =-1.
7.C
8.(1)证明:∵在方程x -(k+3)x+2k+2=0中,
△=[-(k+3)] -4×1×(2k+2)=k -2k+1=(k-1) ≥0，
∴方程总有两个实数根.
(2)解：∵x -(k+3)x+2k +2=(x-2)(x-k-1)=0,∴x =2,x =k+1.
∵方程有一根小于1,∴k+1<1,解得k<0,∴k的取值范围为k <0.
9.A 10.B
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