8.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习（含答案）

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第八章 一元二次方程
5 一元二次方程的根与系数的关系
基础闯关
知识点一：根据根与系数的关系确定x +x 与x ·x 的值
1.若x ，x 是一元二次方程 x -4x-5=0的两根,则x ·x 的值为( )
A.-5 B.5 C.-4 D.4
2.已知x ，x 是一元二次方程x -2x=0的两个实数根，下列结论错误的是( )
A.x ≠x C.x +x =2 D.x ·x =2
3.一元二次方程3x -1=2x+5的两实数根的和与积分别是( )
知识点二：根据根与系数的关系确定方程的根
4.已知关于x的一元二次方程x +5x-m=0的一个根是2，则另一个根是( )
A.-7 B.7 C.3 D.-3
5.已知方程x +bx+3=0的一根为 则方程的另一根为 .
知识点三：根据根与系数的关系求代数式的值
6.若α，β是一元二次方程 3x +2x-9=0的两根,则 的值是( )
若一元二次方程x -4x+2=0的两根为x ,x ,则的值为 .
8.如果m，n是两个不相等的实数，且满足m -m=3,n -n=3,那么代数式2n -mn+2m+2022= ___________ .
知识点四：根据根与系数的关系求字母的值
9.若x ,x 是方程x -2mx+m -m-1=0的两个根，且x +x =1-x x ,则m的值为( )
A.-1或2 B.1或-2 C.-2 D.1
10.若关于x的方程x +(k -4)x+k+1=0的两个实数根互为相反数,则k的值是( )
A.k=±2 B.k=2 C.k≥-1 D.k=-2
11.设x ,x 是一元二次方程x -mx-6=0的两个根，且x +x =1,则x = ,x = .
易错点：忽视判断一元二次方程的根的判别式的符号
12.已知关于x的一元二次方程x -(2k-1)x+k +k-1=0 有实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若此方程的两实数根x ，x 满足 求k的值.
能力提升
13.若 则以x ,x 为根的一元二次方程是( )
A.x -3x+2=0 B.x +3x-2=0 C.x +3x+2=0 D.x -3x-2=0
14.关于x的一元二次方程有两个实数根若则k的值为( )
A.0或2 B.-2或2 C.-2 D.2
15.已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x -12x+m+2=0的两根，则m的值为 .
16.已知关于x的一元二次方程x -4x+m=0 的两实数根分别为x ，x ,且x +3x =5, 则m的值为 .
17.已知关于x的一元二次方程(m -1) x +3mx+3=0有一实数根为-1，则该方程的另一个实数根为 .
18.若一元二次方程 x -3x+1 = 0的两个根为x ,x ,求x x -2的值.
19.已知关于x的方程 x -4x+k+1=0有两个实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为x ，x ，且 求实数k的值.
培优创新
20.已知关于x的一元二次方程x -(2k+1)x+4k-3=0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根.
(2)当Rt△ABC的斜边 且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值.
参考答案
1.A 2.D 3.B 4.A 6.C 7.2 8.2033 9.D
10.D 11.-2 3
12.解：(1)∵关于x的一元二次方程x -(2k-1)x+k +k-1=0有实数根,
∴△≥0,即[-( 2k-1)] -4×1×( k +k-1)=-8k+5≥0,解得
(2)由根与系数的关系可得
(x +x ) -2x x =(2k-1) -2(k +k-1)=2k -6k+3.
∴9-2x x =5,∴x x =2,∴以x ,x 为根的一元二次方程为x -3x+2=0.
14.D [解析]∵关于x的一元二次方程.x -(k-1)x-k+2=0的两个实数根为x ,x ,
∴x +x =k-1,x x =-k+2.
∵(x -x +2)(x -x -2)+2x x =-3,即(x +x ) -2x x -4=-3,
∴(k-1) +2k-4-4=-3，解得k=±2.
∵关于x的一元二次方程 x -(k-1)x-k+2=0有实数根,
∴△=[-( k-1)] -4×1×(-k+2)≥0,解得 或
15.34 [解析]当a=4时,b<8,∵a,b是关于x的一元二次方程x -12x+m+2=0的两根,
∴4+b=12,∴b=8,不符合;当b=4时,a<8,
∵a,b是关于x的一元二次方程x -12x+m+2=0 的两根,∴4+a=12,∴a=8,不符合；
当a=b时，∵a，b是关于x的一元二次方程x -12x +m+2=0的两根,∴12=2a=2b,∴a=b=6,∴m+2=36,∴m=34.
[解析]∵x +x =4,∴x +3x =x +x +2x =4
把 代入x -4x+m=0,得 解得
18.解：∵x 为一元二次方程x -3x+1=0 的根， 3
-1+3x +x x -2=3(x +x )+x x -3.
根据题意得 -3=7.
19.解:(1)由题意得△=16-4(k+1)=16-4k-4=12-4k ≥0,∴k≤3.
(2)由题意得 x +x =4,x x =k+1.
=k+1-4,∴k=5或k=-3.
由(1)知k=5需舍去,∴k=-3.
20.(1)证明:∵△=[-(2k+1)] -4×1×(4k-3)=4k -12k+13=(2k-3) +4>0,
∴方程总有两个不相等的实数根.
(2)解：∵两条直角边的长b和c恰好是方程.x -(2k+1)x+4k-3=0的两个根,
∴b+c=2k+1, bc=4k-3.
在Rt△ABC中,根据勾股定理得 b +c =a ,
即((2k+1) -2(4k-3)=31,
整理得k -k-6=0, 解得k=-2或k=3.当k=-2时,b+c=-4+1=-3<0,不符合题意，舍去；
当k=3时,b+c=2×3+1=7,符合题意,故k=3.
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