【班海精品】冀教版（新）八下-20.3 函数的表示【优质课件】

(共59张PPT)
20.3 函数的表示
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
函数有不同的表达方式，可用来表达不同的问题情境，帮助我们分析和解决问题.
新课精讲
探索新知
1
知识点
函数的表示法
函数的表示方法有三种：
(1)解析式法；
(2)列表法；
(3)图像法．
探索新知
用来表达函数关系的数学式子叫做函数解析式
或函数关系式．
(1)用关于自变量的数学式子表示函数与自变量的方
法叫做解析式法．
(2)用表格表示函数关系的方法，叫做列表法．
(3)用图像表示函数关系的方法．叫做图像法．
探索新知
弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表：
下列说法错误的是(　　)
A．在没挂物体时，弹簧的长度为10 cm
B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是函数，弹簧的长度是自变量
例1
物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度/cm 10 12.5 15 17.5 20 22.5
B
探索新知
根据表格中给出的有限对应值以及每组对应值所
表示的实际意义逐次判断.
导引：
C．若物体的质量为m kg(0≤m≤5)，弹簧的长度为y cm，则y＝2.5m＋10
D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为4 kg时，弹簧的长度为20 cm
探索新知
总 结
已知表格中的自变量与函数的对应值，观察对
应数组之间的联系可确定函数的变化规律，再结合
数值可确定函数表达式．
典题精讲
1
一辆机动车行驶在路途中.出发时，油箱内存油40 L.行驶若干小时后司机停车吃饭，饭后继续行驶一段时间后到某加油站准备加油.图中表示的是该过程中油箱里剩余油量Q (L)与行驶时间t (h)之间的函数关系.
(1)行驶几小时后司机开始吃
饭？吃饭用了多长时间？
(2)饭后行驶几小时到加油
站？到加油站时油箱内
还有多少油？
典题精讲
(1)行驶2 h后司机开始吃饭，吃饭用了1 h.
(2)饭后行驶4 h到加油站，到加油站时油箱内还有10 L油．
(3)相同．理由：饭前行驶过程中，汽车每小时耗油
(40－30)÷2＝5(L)；饭后行驶过程中，汽车每小时耗油
(30－10)÷(7－3)＝5(L)．
解：
(3)在饭前与饭后的行驶过程中，汽车每小时的耗油量相同吗？请说明理由.
典题精讲
某省遭受台风袭击，大部分地区发生强降雨，某河受暴雨袭击，某天的水位记录如表，观察表中数据，水位上升最快的时段是(　　)
A. 8～12时 B．12～16时
C．16～20时 D．20～24时
2
时间/时 0 4 8 12 16 20 24
水位/米 2 2.5 3 4 5 6 8
D
a. 表格法(数值表法)
典题精讲
3
已知某品牌东北大米6元/kg，请你根据条件完
成下表：
购买该品牌东北大米的质量x(kg) 1 2 3 4 5 6 …
付款金额y(元) …
6 12 18 24 30 36
典题精讲
b. 图像法
4
小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看成一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位
h 与注水时间t 之间的变化情况的是(　　)
D
典题精讲
c. 表达式法
5
若每上6个台阶就升高1米，则上升高度h (米)与上的台阶数m (个)之间的函数解析式是(　　)
A．h＝6m B．h＝6＋m
C．h＝m－6 D．h＝
D
典题精讲
6
如图，△ABC 的边BC 长是8，BC 边上的高AD ′是4，点D 在BC 上运动(不与C 点重合)，设BD 长为x，则△ACD 的面积y 与x 之间的函数关系式为 ．
y＝16－2x (0≤x＜8)
探索新知
知识点
三种函数表示法间的关系
列表法的特点是一目了然．从表格中已有的自变量的每一个值．不需计算就可以直接查出与它对应的函数值．使用起来很方便，但也布局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中．也不容易看出x 与y 之间对应的规律．图像法的特点可以直观、形象地把自变量与函数之间的关系表示出来，它的不足之处是由图像只能得到近似的数量关系．解析式法的特点是简单明了．能准确地反映整个变化过程中自变量与函数间的相互关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算 .
2
探索新知
注意：
列表法、图像法、解析法虽然形式不同、但都反映了问题中的两个变量——x (自变量)、y (函数)的关系．我们在解决问题时，常常综合运用这三种表示法来深入地研究自变量与函数的关系式的性质．同一个函数关系可以用不同的方法表示．
探索新知
例2
某年初，我国西南部分省市遭遇了严重干旱．
某水库的蓄水量随着时间的增加而减小，干
旱持续时间t (天)与蓄水量V (万立方米)的变
化情况如图所示，根据图象回答问题：
(1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系？
(2)根据图象填表：
(3)当t 取0至60天之间的任一值时，对应几个V 值？
(4)V 可以看作t 的函数吗？若可以，写出函数解析式．
干旱持续时间t /天 0 10 20 30 40 50 60
蓄水量V /万立方米
探索新知
(1)通过读图可知，横坐标表示干旱持续时间，纵坐标表
示水库蓄水量，因此它表示的是干旱持续时间与水库蓄
水量之间的关系；
(2)根据图象信息确定每个特殊点的坐标即可；
(3)观察图象可得；
(4)可根据函数的定义来判断．
(1)图象反映了干旱持续时间与水库蓄水量之间的关系．
(2)填表如下：
解：
干旱持续时间t /天 0 10 20 30 40 50 60
蓄水量V /万立方米 1 200 1 000 800 600 400 200 0
导引：
探索新知
(3)当t 取0至60天之间的任一值时，对应着一个V 值．
(4)V 可以看作t 的函数．
根据图象可知，该水库初始蓄水量为1 200万立方米，
干旱每持续10天，蓄水量相应减少200万立方米，由
此可得出函数解析式为
V＝1 200－ ＝－20t＋1 200(0≤ t ≤60)．
探索新知
本例通过“形”，即图象中的信息，用列表及解析式这些“数”来表示说明，三种函数表示方法之间有互补性，是可以相互转化的，体现了数形结合思想的应用．
总 结
典题精讲
小莉的父母出去散步，从家走了 20 min到达离家900 m的一个报亭，母亲随即按原速度返回，父亲看了10 min报纸后，用了15 min返回家.请根据关于父亲或母亲距家的路程y (m)和离家时间x (min)的函数图像回答：
1
典题精讲
(1)哪幅图像表示父亲距家的路程y 与离家时间x 的关系？
(2)哪幅图像表示母亲距家的路程y 与离家时间x 的关系？
(3)余下的那幅图像是关于小莉的，请讲述一段与之相符的故事.
(1)图(1)表示父亲距家的路程y 与离家时间x 的关系．
(2)图(2)表示母亲距家的路程y 与离家时间x 的关系．
(3)小莉从家走了30 min到达离家900 m的一个报亭，
随即用15 min跑步返回家.
解：
典题精讲
小亮家与学校相距1 500 m. 一天，他步行去上学，最初以某一速度匀速行进.途中遇到熟人小强，说话耽误了几分钟.与小强告别后他就改为匀速慢跑，终于准时到校.设小亮从家出发后所用的时间为t (min)，行进的路程为s (m).
(1)在下列图像中，哪幅能表示上述过程？
(2)从其他两个图像中任选一个，写出与图像相应的实际情景.
2
典题精讲
(1)图(2)能表示上述过程．　
(2)选择图(3)：小亮放学回家，最初以某一速度匀速行进，途中经过一家文具店，便停下来在文具店里买了两件文具，然后他就匀速慢跑回家了．设小亮从学校出发后所用的时间为t (min)，距离家的路程为s (m)．
解：
典题精讲
在用表达式和图像这两种方式表达玩具车以1 m/s的速度匀速行驶的过程时，得到了表达式y=x 和如图所示的图像.
(1)请你从图像上任意找出5个点，并写出这 5个点的坐标.
(2)说明你得到的5个点的坐标可分别使得表达式y =x 成立.
(3)任意写出满足表达式y =x 的三组有序正数对，说明分别以这三组 有序正数对为坐标的三个点都在图中所示的图像上.
3
典题精讲
(1)(答案不唯一)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)
(2)将x＝1，2，3，4，5分别代入y ＝x 中，可得y 的值依次为1，2，3，4，5，所以(1)中5个点的坐标可分别使得表达式y＝x 成立．
(3)(答案不唯一)(6，6)，(7，7)，(8，8)，说明略．
解：
典题精讲
要形象、直观地表示某市某天的气温与时间的函数关系，适宜用(　　)
A．列表法　 B．解析式法
C．图象法 D．以上都可以
4
C
探索新知
知识点
画函数的图像
做一做
1. 以横轴表示气温，每5℃为一个单位长度，纵轴表
示声速，每100 m/s为一个单位长度，建立直角坐标
系.以表格中给出的气温和声速的数值为点的横坐标
和纵坐标，在直角坐标系中描点，连线(用平滑的曲
线连点)，画出图形.
3
探索新知
2. 观察表格中数值，不难发现：气温每升高(或降低)
5℃，对应的声速增加(或减少)3 m/s.根据这个特点，
求声速y (m/s)和气温x (℃)之间的函数关系式.
探索新知
通过上面的“做一做”，我们发现在这个问题中，声速与气温这两个变量之间的函数关系，既可以用数值表表示，也可以用图1中的图像表示，还可以用函数表达式 来表示.
数值表、图像、表达式是函
数关系的三种不同表达形式，它
们分别表现出具体、形象直观和
便于抽象应用的特点.
图1
探索新知
一般地，我们把一个函数的自变量 x 的值与对应的函数y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图像(image).如图1中的图形就是函数 331.36的图像.
观察可知，函数 的图像为一条直线.
探索新知
用描点法画函数图像的一般步骤：
(1)列表：在自变量取值范围内有代表性地取值，并求
出相应的函数值．
(2)描点：一对对应值即一个点的坐标，一个点的坐标
确定一个点．
(3)连线：按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点
用平滑的曲线连接起来．
探索新知
要点精析
(1)列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的函数的图像能反映函数的全貌．
(2)描点时要以表中每对对应值为坐标，在坐标系中准确描点．
(3)连线时要用平滑的曲线将所描的点顺次连接起来．
探索新知
例3
在直角坐标系中，画出函数y =2x+1的图像.
(1)取值.根据函数表达式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表：
(2)描点.根据自变量和函数
的数值表，在直角坐标
系中描点.
(3)连线.用平滑的曲线将这
些点连接起来，即得函
数的图像，如图所示.
解：
x -2 -1 0 1 2
y -3 -1 1 3 5
探索新知
描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对
应的函数值；
第二步，描点——在直角坐标系中，以自变量的值
为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数
值对应的各点；
第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序，把
所描出的各点用平滑曲线连接起来.
总 结
典题精讲
下表是某年一条河流自8月1日至8月10日的水位记录:
(1)试画出这个函数的图像.
(2)观察图像，判断从哪天起水位开始全面回落.
1
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
水位/m 7.3 7.5 8.4 8.6 9.1 8.8 8.1 7.3 6.9 6.4
(1)如图所示.
(2)从8月6日起水位开始
全面回落．
解：
典题精讲
某菜市场西红柿标价是2元/千克.购买x kg西红柿，应付费y 元.
(1)写出y 与x 的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
(2)请画出这个函数的图像.
2
(1)y＝2x，自变量x 的取值范围是x ≥0.
(2)函数y＝2x 的图像如图所示．
解：
典题精讲
一辆汽车，以90 km/h的速度行驶在高速公路上，用t (h)表示它行驶的时间，用s (km)表示它行驶的路程.
(1)写出s 与t 的函数关系式,并指出自变量t 的取值范围.
(2)根据t 的值,在下表中填写s 相应的值，并画出函数的图像.
3
(1)s＝90t，t ≥0.　
(2)36；72；90；135；180；360
　画函数的图像略．
解：
典题精讲
画出函数y＝2x－1的图象．
(1)列表：
(2)描点并连线；
4
x … －1 0 1 …
y … －3 －1 1 …
(2)如图.
解：
典题精讲
(3)判断点A (－3，－5)，B (2，－3)，C (3，5)是否在函数y＝2x－1的图象上；
(3)当x＝－3时，y＝2×(－3)－1＝－7≠－5；
当x＝2时，y＝2×2－1＝3≠－3；
当x＝3时，y＝2×3－1＝5.
∴点A，B 不在函数y＝2x－1的图象上，
点C 在其图象上．
解：
典题精讲
(4)若点P (m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求出m 的值．
(4)∵点P (m，9)在函数y＝2x－1的图象上，
∴2m－1＝9，解得m＝5.
解：
易错提醒
如图，A，B 是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P 从点A 出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A 运动结束，设运动时间为x (单位：s)，BP 的长为y，
那么下列图像中可能表示y 与x 函数关系的是(　　)
A．① B．④
C．②或④ D．①或③
D
易错点：不注意分类导致漏解.
学以致用
小试牛刀
下面说法中正确的是(　　)
A．两个变量间的关系只能用解析式表示
B．图象不能直观地表示两个变量间的数量关系
C．借助表格可以反映出因变量随自变量的变化情况
D．以上说法都不对
C
1
小试牛刀
2
如图，已知函数y＝kx＋n 的图像是一条直线，且图像经过两点，两点坐标分别是A (－1，3)与B (3，－3)．
(1)试确定k 和n 的值；
解：
(1)分别把点A，B的坐标代入函数的表达式，
得方程组 解得
所以k和n的值分别为
小试牛刀
解：
(2)由(1)知函数的表达式是y＝－ x＋ .
把x＝－5代入函数的表达式，
得y＝－ ×(－5)＋ ＝9，
因此图像经过点C (－5，9)．
同理当x＝－6时，y＝－ ×(－6)＋ ＝ ≠10，
因此图像不经过点D (－6，10)．
(2)判断函数图像是否经过点C (－5，9)，D (－6，10)．
小试牛刀
方法总结：
判断某点是否在函数的图像上的方法：将该点的横坐标代入函数表达式，看求出的函数值是否等于纵坐标．若相等，则该点在函数的图像上；反之，则该点不在函数的图像上．
小试牛刀
已知函数y 与自变量x 之间成反比例关系，下表给出了x 与y 的一些值：
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
y … 1 2 4 －4 －2 －1 …
3
小试牛刀
(1)写出这个函数的表达式；
(2)根据函数表达式计算当x 的取值分别是－6和5时
的函数值，计算函数值分别是－12和36时的自变
量的值．
(1)由表中的数据可知xy＝－2，
所以函数的表达式是y＝
(2)当x＝－6时，
函数值y＝
解：
小试牛刀
当x＝5时，函数值y＝
因为y＝
所以x＝
因此当y＝－12时，x＝
当y＝36时，x＝
小试牛刀
4
一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动，滚动的距离s (m)与时间t (s)之间的函数表达式为s＝2t 2(t ≥0)．
(1)根据表达式完成下表，并画出图像．
时间t /s 1 2 3 4
距离s /m
2 8 18 32
这个函数的图像如图．
解：
小试牛刀
(2)当小球滚动6.5 s时，其滚动的距离是多少？
(3)经过多少秒，小球滚动的距离是128 m
(2)当t＝6.5时，s＝84.5，即当小球滚动6.5 s时，
其滚动的距离是84.5 m.
(3)令s＝128，则128＝2t 2，解得t＝8，
即经过8 s，小球滚动的距离是128 m.
解：
小试牛刀
5
如图，点P 是平行四边形ABCD 边上一动点，沿A→D→C→B 的路径移动，设P 点经过的路径长为x，△BAP 的面积是y，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图像是(　　)
A
课堂小结
课堂小结
1. 函数的表示方法共有三种：表格法(数值表法)、图像法、表达式法，它们分别从数、形和式的角度反映了函数的本质．
2. 根据图像读取信息时要把握三个方面：(1)横轴和纵轴的意义即横轴、纵轴分别表示的量；(2)对于某个具体点，可向横、纵轴作垂线，从而求得该点的坐标；(3)在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点坐标代表的具体意义．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）