【班海精品】冀教版（新）八下-21.3 用待定系数法确定一次函数表达式【优质课件】

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21.3 用待定系数法确定一次函数表达式
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新课精讲
学以致用
课堂小结
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情景导入
通过直接列式可以求一次函数表达式. 当然，还
有其他的方法求一次函数表达式. 本节将探究用待定
系数的方法来求一次函数的表达式.
新课精讲
探索新知
1
知识点
用待定系数法求正比例函数表达式
由于正比例函数的解析式y=kx (k≠0)中，只有一个基本量k (我们也称待定系数)，因此只需要一个条件就可以求得k的值，从而确定正比例函数的解析式.
比如已知满足函数解析式y=kx 的一组x，y 的值或已知直线y=kx 上的一个点等都可以确定正比例函数的解析式．
探索新知
注意：先假定解析式中的未知系数，然后根据已知
条件求出待定的系数，从而确定出该解析式的方法
是数学上常用的方法，这种方法称为待定系数法．
探索新知
例1 y 与x+2成正比例，并且当x =4时，y =10，求y与x 的函数关系式.
导引：根据正比例函数的定义，可以设y =k (x+2)，然
后把x =4，y =10代入求出k 的值即可.
解：设y =k (x+2)，∵x =4时，y =10，
∴10=k (4+2)，解得k = ，
∴y = (x+2)
探索新知
总 结
熟记正比例函数的定义，必须满足自变量x 的次数为1，系数k 不为0.
典题精讲
1 求函数的表达式：正比例函数的图像经过点(2，－1).
设正比例函数的表达式为y＝kx，将点(2，－1)的坐标代入，可得2k＝－1，解得k＝－ .所以正比例函数的表达式为y＝－ x.
解：
典题精讲
2 已知正比例函数y＝kx (k≠0)的图像经过点(1，－2)，则这个正比例函数的表达式为(　　)
A．y＝2x B．y＝－2x
C．y＝ x D．y＝－ x
B
探索新知
2
知识点
用待定系数法求一次函数表达式
在图中，直线PQ 上两点的坐标分别为P (-20，5)，Q (10，20).怎样确定这条直线所对应的一次函数表达式呢？
阅读下面小惠对此问题的解
答过程，并验证小惠求得的
一次函数表达式是否正确.
小惠的解答过程如下：
探索新知
设这个一次函数表达式为y＝kx＋b.
因为P，Q 为直线上的两点，所以这两个点的坐标都满
足表达式y＝kx＋b ，即
解这个关于k 和b 的二元一次方程组，得
所以，这个一次函数表达式为
探索新知
像这样先设出函数表达式，再根据已知条件确定表达
式中未知的系数，从而求出函数表达式的方法，叫做
待定系数法.
探索新知
例2 一辆汽车匀速行驶，当行驶了 20 km时，油箱剩余58.4 L油；当行驶了50 km时，油箱剩余56 L油.如果油箱中剩余油y (L)与汽车行驶的路程x (km)之间是一次函数关系，请求出这个一次函数的表达式， 并写出自变量x 的取值范围以及常数项的意义.
探索新知
设所求一次函数的表达式为y＝kx＋b. 根据题意，
把已知的两组对应值(20，58. 4)和(50，56)代入
y＝kx＋b，得
解得
这个一次函数表达式为y＝－0.08x＋60.
因为剩余油量y ≥0，所以－0.08x＋60 ≥0.解得x ≤750.
因为路程x ≥0,所以0≤ x ≤750.
因为当x =0时，y =60，所以这辆汽车行驶前油箱存油60 L.
解：
探索新知
总 结
求一次函数的表达式一般要经过设、列、解、还
原四步，设就是设出一次函数的表达式；列就是把已
知两点的坐标代入所设表达式，列出一个二元一次方
程组；解就是解这个方程组；还原就是回代所设表达
式得到所求的表达式．
典题精讲
1 某市举办一场中学生羽毛球比赛.场地和耗材需要一些费用.场地费b (元)是固定不变的.耗材费用与参赛人数x (人)成正比例函数关系.这两部分的总费用为y (元).已知当x =20时，y =1 600；当x =30时，y =2 000.
(1)求y 与x 之间的函数关系式.
(2)当支出总费用为3 200元时，有多少人参加了比赛？
典题精讲
(1)设y 与x 之间的函数关系式为y＝kx＋b，因为当x＝20时，y＝1 600；当x＝30时，y＝2 000，
所以 解得
所以y＝40x＋800(x 为正整数)．
(2)当y＝3 200时，40x＋800＝3 200，解得x＝60.所以当支出总费用为3 200元时，有60人参加了比赛．
解：
典题精讲
2 为保护学生的视力，供学生使用的课桌和椅子的高度均需按一定的关系配套设计.研究表明：课桌高度y (cm)与椅子高度x (cm)具有一次函数关系.今有两套符合条件的课桌和椅子，其高度如下表所示：
(1)试确定y 与x 的函数关系式.
(2)现有一把高为42.0cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？
项目 第一套 第二套
x /cm 40.0 37.0
y /cm 75.0 70.2
典题精讲
(1)设y 与x 的函数关系式为y＝kx＋b，将(40.0，75.0)和(37.0，70.2)分别代入，
得 解得
所以y＝1.6x＋11.
(2)配套．理由：当x＝42.0时，y＝1.6×42.0＋11＝78.2，所以它们配套．
解：
典题精讲
3 若一次函数y＝kx＋b 的图像经过点(0，2)和(1，0)，则这个函数的表达式是(　　)
A．y＝2x＋3 B．y＝3x＋2
C．y＝x＋2 D．y＝－2x＋2
D
4 根据表中一次函数的自变量x 与函数y 的对应值，可得p 的值为(　　)
A.1　　 B．－1　 　C．3　 　D．－3
A
x －2 0 1
y 3 p 0
典题精讲
5 若点A (m，n)在一次函数y＝3x＋b 的图像上，且3m－n＞2，则b 的取值范围为(　　)
A．b＞2 B．b＞－2
C．b＜2 D．b＜－2
D
6 一次函数y＝－2x＋m 的图像经过点P (－2，3)，且与x 轴，y 轴分别交于点A，B，则△AOB 的面积是(　　)
A. B.
C．4 D．8
B
探索新知
3
知识点
用关系式法求一次函数表达式
例3 已知一次函数y＝kx＋b，当x＝0时，y＝1；当x＝1时，y＝0.试确定这个函数的表达式．
分别将x＝0，y＝1和x＝1，y＝0代入y＝kx＋b 中，
得到关于k、b 的二元一次方程组，解之即可．
将x＝0，y＝1和x＝1，y＝0分别代入y＝kx＋b，
得 解得
所以这个函数的表达式为y＝－x＋1.
导引：
解：
探索新知
总 结
满足一次函数表达式的一对对应值就是将一次函
数表达式作为方程时的一组解．将函数问题转化为方
程问题来解决．
典题精讲
1 一次函数的图像经过点A (1，2)和点B (-2，1)，求这个函数的表达式.
设此一次函数的表达式为y＝kx＋b，把点(1，2)，(－2，1)的坐标分别代入
得 解得
故这个函数的表达式为y＝
解：
典题精讲
2 如果一次函数y =(k+3)x-13的图像上一点P 的坐标为(-5， 7)，那么k 的值为_________.
3 一次函数的图像经过点(－1，－2)和( ， 3).求函数的表达式.
－7
设一次函数的表达式为y＝kx＋b，将点(－1，－2)，( ， 3)的坐标分别代入，
可得 解得
所以此一次函数的表达式为y＝
解：
典题精讲
4 已知一次函数的图像如图所示，求这个函数的表达式.
设这个函数的表达式为y＝kx＋b，
将点(0，2)，(3，－4)的坐标分别
代入，
可得 解得
所以这个函数的表达式为y＝－2x＋2.
解：
典题精讲
5 已知y 是x 的一次函数，当x＝3时，y＝1；当x＝－2时，y＝－4.求这个一次函数的表达式．
设这个一次函数的表达式为y＝kx＋b (k≠0)，将x＝3，y＝1和x＝－2，y＝－4分别代入上式得
可得 解得
所以这个函数的表达式为y＝x－2.
解：
典题精讲
6 已知y＋2与x－1成正比例，且当x＝3时，y＝4.
(1)求y 与x 之间的函数表达式；
(2)当y＝1时，求x 的值．
(1)设y＋2＝k (x－1)(k≠0)，把x＝3，y＝4代入，得4＋2＝k (3－1)，解得k＝3.
则y 与x 之间的函数表达式是y＋2＝3(x－1)，
即y＝3x－5.
(2)当y＝1时，3x－5＝1，解得x＝2.
解：
典题精讲
7 根据下列条件，分别确定y 关于x 的函数表达式.
(1)y 与x 成正比例，且当x＝9时，y＝16；
(2)已知一次函数y＝kx＋b，当x＝3时，y＝2；当x＝－2时，y＝1.
(1)设y＝k ′x (k ′≠0)，把x＝9，y＝16代入，得16＝9k ′，k ′＝ ，所以y＝ x.
解：
典题精讲
(2)把x＝3，y＝2和x＝－2，y＝1分别代入y＝kx＋b，
得 解得
所以y＝
易错提醒
已知函数y＝(n＋3)x |n |－2是一次函数，则n＝_______．
易错点：忽略一次函数中的k≠0这一条件导致错误.
3
学以致用
小试牛刀
1 若一个正比例函数的图像经过A (3，－6)，B (m，－4)
两点，则m 的值为(　　)
A．2 B．8
C．－2 D．－8
A
小试牛刀
2 如图，直线y＝ x＋4与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B，点C，D 分别是线段AB，OB 的中点，点P 为OA上一动点，当PC＋PD最小时，点P 的坐标为(　　)
A．(－3，0)
B．(－6，0)
C.
D.　
C
小试牛刀
3
在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b (k，b 都是常数，且k≠0)的图象经过点(1，0)和(0，2)．
(1)当－2＜x ≤3时，求y 的取值范围；
(2)已知点P (m，n)在该函数的图象上，且m－n＝4，求点P 的坐标．
小试牛刀
将(1，0)，(0，2)代入y＝kx＋b
得： 解得：
∴这个函数的表达式为：y＝－2x＋2.
(1)把x＝－2代入y＝－2x＋2得，y＝6，
把x＝3代入y＝－2x＋2得，y＝－4，
∴y 的取值范围是－4≤ y＜6.
(2)∵点P (m，n )在该函数的图象上，∴n＝－2m＋2.
∵m－n＝4，∴m－(－2m＋2)＝4，
解得m＝2. ∴n＝－2，∴点P 的坐标为(2，－2)．
解：
小试牛刀
4
如图，直线y＝ x＋ 与两坐标轴分别交于A，B 两点．
(1)求∠ABO 的度数；
(2)过A 的直线l 交x 轴正半轴于C，AB＝AC，求直线 l 对应的函数表达式．
小试牛刀
(1)对于直线y＝ x＋ ，
令x＝0，则y＝ ，
令y＝0，则x＝－1，
故点A 的坐标为(0， )，点B 的坐标为(－1，0)，
则AO＝ ，BO＝1，
∴AB＝ ＝2. ∴BO＝ AB，
∴∠BAO＝30°. ∴∠ABO＝60°.
解：
小试牛刀
(2)在△ABC 中，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴BO＝CO，
则C 点的坐标为(1，0)，
设直线l 对应的函数表达式为：y＝kx＋b (k，b为常数)，
则 解得：
即直线 l 对应的函数表达式为：y＝－ x＋ .
小试牛刀
5
小明受“乌鸦喝水”故事的启发，利用量桶和体积相同
的小球进行了如下操作：
　 请根据图中给出的信息，解答下列问题．
(1)放入一个小球，量桶中水面升高________cm；
(2)求放入小球后量桶中水面的高度y (cm)关于小球个
数x (个)的一次函数表达式(水未溢出，不要求写出
自变量的取值范围)；
(3)量桶中至少放入几个小球时有水溢出？
2
小试牛刀
(2)设一次函数表达式为y＝kx＋b (k≠0)．
把x＝0，y＝30及x＝3，y＝36分别代入函数解析
式，得 解得
即y＝2x＋30.
(3)由题意得2x＋30＞49，解得x＞9.5.
因为x 是正整数，所以量桶中至少放入10个小球
时有水溢出．
解：
小试牛刀
6
小明对学校所添置的一批课桌、凳子进行观察后，发现它们可以根据人的身高来调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳子相对应的四档高度，得到如下数据：

(1)小明经过对数据的探究发现：桌高y 是凳高x 的一次函数，请你求出这个函数的表达式(不要求写出x 的取值范围)；
(2)小明回家后，测量了家里的写字台和凳子．写字台的高度为77 cm，凳子的高度为43.5 cm，请你判断它们是否配套，并说明理由．
　　　档次 高度　　　 第一档 第二档 第三档 第四档
凳高x (cm) 37.0 40.0 42.0 45.0
桌高y (cm) 70.0 74.8 78.0 82.8
小试牛刀
(1)设所求一次函数的表达式为y＝kx＋b (k，b 为常数，k≠0)，任取表中的两组数据，不妨取(37.0，70.0)和(42.0，78.0)分别代入，
得 解得
∴所求一次函数的表达式为y＝1.6x＋10.8.
(2)不配套．理由：当x＝43.5时，
y＝1.6×43.5＋10.8＝80.4.
∵77≠80.4，∴不配套．
解：
课堂小结
课堂小结
用待定系数法求一次函数表达式要明确两点：
(1)具备条件：一次函数y＝kx＋b 中有两个不确定的系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b 的方程，联立方程，解方程组求得k，b 的值．这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y 的值．
(2)确定方法：将两对已知变量的对应值分别代入y＝kx＋b 中，建立关于k，b 的方程组，通过解这个方程组，求出k，b，从而确定其表达式．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）