【班海精品】冀教版（新）八下-22.1 平行四边形的性质 第二课时【优质课件】

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22.1 平行四边形的性质
第2课时
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目录
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新课精讲
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课堂小结
课前导入
情景导入
如果从泽当出发，向南行进，以穿越藏南分水岭遇到的第一个小镇哲古为起点，做一个连线游戏，往西南，连接洛扎；往东，连接隆子；往东南，连接错那.于是我们看到，一个标准的平行四边形清晰地镶嵌在山南南端.你想了解平行四边形的知识吗？
新课精讲
探索新知
知识点
平行四边形的性质——对角线互相平分
探究
如图 ，在 ABCD 中，连接 AC，
BD，并设它们相交于点O，OA与OC，
OB 与OD 有什么关系？你能证明发现
的结论吗？
我们猜想，在 ABCD中，OA=OC，OB=OD.
1
探索新知
与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似，我们也可以通过三角形全等证明这个猜想.请你结合图完成证明.
已知：如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O.
求证： OA=OC，OB=OD.
证明：在△AOB 和△COD 中，
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ ∠BAO=∠DOC.
又∵∠AOB=∠COD.∴△AOB ≌ △COD.
∴OA=OC， OB=OD.
探索新知
归 纳
由此我们又得到平行四边形的一个性质：
平行四边形的对角线互相平分
探索新知
例1 已知：如图，O 为 ABCD 两条对角线的交点，AC= 24 mm，BD=38 mm，BC= 28 mm.求△AOD 的周长.
解：在 ABCD 中，
∵ AC= 24 mm，BD=38 mm，
∴
又∵BC=28cm，∴AD=BC=28cm.
∴ △AOD 的周长=AO+OD+AD=12+19+28=59(mm).
探索新知
总 结
在应用平行四边形的性质时，我们应从边、角、
对角线这三个方面去考虑，解本例时，我们由“平行
四边形的对角线互相平分”可以得出“平行四边形被
它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个小三角
形的周长之差等于平行四边形中对应的两邻边之差”.
典题精讲
1 如图，在 ABCD 中，AB=5 cm，AC=6 cm，BD=8 cm.求△AOB 和△AOD 的周长.
典题精讲
在 ABCD 中，AC 与BD 互相平分．又因为AC＝6 cm，BD＝8 cm，所以OA＝OC＝ AC＝3 cm，OB＝OD
＝ BD＝4 cm.因为AB＝5 cm，且32＋42＝52，即OA2＋OB 2＝AB 2，所以∠AOB＝90°，所以∠AOD＝90°，
所以AD＝ ＝5(cm)．所以△AOB的周长为AB＋OA＋OB＝5＋3＋4＝12(cm)，△AOD 的周长为OA＋OD＋AD＝3＋4＋5＝12(cm)．
解：
由 ABCD 的周长是38，
可知AB＋AD＝ ＝19①，
由△AOD 与△AOB 的周长之差是5，可知AD－AB＝5②，由①、②联立成方程组，
得 解得
故AB 的长为7.
典题精讲
2 如图， ABCD 的周长是38，对角线AC，BD 相交于点O，△AOD 和△AOB 的周长差是5.求AB 的长.
解：
典题精讲
3 如图，在 ABCD 中，E 是AD 的中点，∠ABE = ∠EBC，AB=2.求 ABCD 的周长.
在 ABCD 中，AD＝BC，
AB＝CD，AD∥BC.
因为AD∥BC，所以∠AEB＝∠EBC.
又因为∠ABE＝∠EBC，
所以∠ABE＝∠AEB，所以AB＝AE＝2.
因为E 是AD 的中点，所以AD＝2AE＝4.
所以 ABCD 的周长为AD＋BC＋AB＋CD＝4＋4＋2＋2＝12.
解：
典题精讲
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，则下列说法一定正确的是(　　)
A．AO＝OD
B．AO⊥OD
C．AO＝OC
D．AO⊥AB
4
C
典题精讲
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO 的周长是(　　)
A．10
B．14
C．20
D．22
5
B
探索新知
例2 如图，已知 ABCD 与 EBFD 的顶点A，E，F，C
在一条直线上，求证：AE＝CF.
平行四边形的性质提供了边的平行
与相等，角的相等与互补，对角线
的平分，当所要证明的结论中的线
段在对角线上时，往往利用平行四边形的对角线互相平分这一性质．因此本例要证对角线上的AE＝CF，可考虑利用对角线互相平分这一性质，先连接BD 交AC 于点O，再进行证明．
导引：
探索新知
如图，连接BD 交AC 于点O.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC (平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形EBFD 是平行四边形，
∴OE＝OF (平行四边形的对角线互相平分)，
∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF (等式的性质)．
证明：
探索新知
总 结
本例易受全等三角形思维定式的影响．欲证的两线段相等且又属于不同的三角形，习惯上就联想到证这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目的，却忽视了平行四边形特有的性质，易走弯路．因此在解决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形的性质．
典题精讲
1 已知：如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
求证：OE=OF.
典题精讲
证明：在 ABCD 中，OA＝OC.因为AE⊥BD，CF⊥BD，所以∠AEO＝∠CFO＝90°.
在△AOE 和△COF 中，
所以△AOE ≌△COF.所以OE＝OF.
典题精讲
2 已知：如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，M 是OA 的中点，N 为OC 的中点，
求证：BM=DN，BM∥DN.
典题精讲
证明：在 ABCD 中，OA＝OC，OB＝OD，又因为M 是OA 的中点，N 为OC 的中点，所以OM＝ON.
在△MOB 和△NOD 中，
所以△MOB ≌△NOD.
所以BM＝DN，∠MBO＝∠NDO.
所以BM∥DN.
典题精讲
3 已知：如图，E 为 ABCD 的边AD 延长线上一点，且AD=DE，EB 交DC 于点F.
求证：DF=FC.
典题精讲
证明：在 ABCD 中，AD＝BC，AD∥BC，
因为AE∥BC，所以∠E＝∠FBC.
因为AD＝BC，AD＝DE，所以DE＝BC.
在△DEF 和△CBF 中，
所以△DEF ≌△CBF.
所以DF＝FC.
典题精讲
如图， ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE 的长为(　　)
A. B.
C. D.
4
D
典题精讲
如图，EF 过 ABCD 对角线的交点O，交AD 于E，交BC于F，若 ABCD 的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(　　)
A．14
B．13
C．12
D．10
5
C
探索新知
2
知识点
平行四边形的面积
在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．在平行四边形中，有时高是指垂线段本身，如作平行四边形的高，就是指作垂线段．所以平行四边形的高，在作图时一般是指垂线段本身．在进行计算时，它的意义是距离，即长度．
探索新知
平行四边形的面积等于它的底和高的积，即S ABCD
＝a ·h．其中a 可以是平行四边形的任何一边，h 必须是a 边与其对边的距离，即对应的高，如图(1)．要避免学生
发生如图(2)的错误．为了区别，有时也可以把高记成ha、
hAB ，表明它们所对应的底是a 或AB．
探索新知
1. 面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边
形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．
2. 等底等高的平行四边形的面积相等．
要点精析
(1)求面积时，底和高一定要对应，必须是底边上的高；
(2)等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系：
三角形面积＝与它等底等高的平行四边形面积的一半.
探索新知
例3 已知：如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，直线EF 过O 点，交DA 于点E，交BC 于点F.
求证：OE=OF，AE=CF，DE=BF.
探索新知
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，且对角线AC，
BD 相交于点O，
∴OA=OC，∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE ≌△COF.
∴OE=OF，AE=CF.
又∵AD=CB，
∴DE=AD -AE=CB -CF=BF.
探索新知
总 结
求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积
公式，要知道平行四边形的一边的长及这条边上的
高．平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为
平行线间的距离处处相等．
典题精讲
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E，F， ABCD的面积为24. 求图中阴影部分的面积.
典题精讲
在 ABCD 中，OD＝OB，AD∥BC.因为AD∥BC，所以∠EDO＝∠FBO，在△DOE 和△BOF 中，
所以△DOE ≌△BOF.
所以S△DOE＝S△BOF 所以阴影部分的面积为S△AOE＋S△BOF＋S△DOC＝S△AOE＋S△DOE＋S△DOC＝S△ADC＝
S ABCD＝ ×24＝12.
解：
典题精讲
如图，若 ABCD 的周长为36 cm，过点D 分别作AB，BC 边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm， ABCD 的面积为(　 　)
A．40 cm2
B．32 cm2
C．36 cm2
D．50 cm2
2
A
典题精讲
如图，过 ABCD 的对角线BD上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH，那么图中的 AEMG 的面积S1与 HCFM 的面积S2的大小关系是(　　)
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1＝S2
D．2S1＝S2
3
C
易错提醒
如图，在平行四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O，OE⊥AD 于点E，OF⊥BC 于点F.
试说明：OE＝OF.
易错点：容易把未知条件当作已知条件使用.
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，
∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴△AOE ≌△COF，∴OE＝OF.
解：
学以致用
小试牛刀
如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AE⊥BD 于点E，CF⊥BD 于点F，连接AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③DE＝BF；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
1
B
小试牛刀
如图，在平行四边形ABCD 中，AC，BD 为对角线，BC＝6，BC 边上的高为4，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．3
B．6
C．12
D．24
2
C
小试牛刀
3
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，E，F分别是OA，OC 的中点，连接BE，DF.
(1)根据题意，补全图形；
(2)求证：BE＝DF.
(1)解：如图所示．
解：
小试牛刀
证明：
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC，
BD 交于点O，
∴OB＝OD，OA＝OC.
又∵E，F 分别是OA，OC 的中点，
∴OE＝ OA，OF＝ OC.
∴OE＝OF.
在△BEO 与△DFO 中，
∴△BEO ≌△DFO (SAS)．
∴BE＝DF.
小试牛刀
4
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF 过点O 且与AB，CD 分别相交于点E，F，连接EC.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若EF⊥AC，△BEC 的周长是10，求 ABCD 的周长.
小试牛刀
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB.
∴∠FDO＝∠EBO.
在△DFO 和△BEO 中，
∴△DFO ≌△BEO (ASA)．
∴OE＝OF.
证明：
小试牛刀
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC.
∵EF⊥AC，∴AE＝CE.
∵△BEC 的周长是10，
∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10.
∴ ABCD 的周长＝2(BC＋AB )＝20.
解：
小试牛刀
5
如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的平分线AE 交CD 于点F，交BC 的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求 ABCD 的面积．
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，BA＝CD.
∴∠DAE＝∠E.
又∵AE 平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE.∴∠BAE＝∠E.
∴BA＝BE，∴BE＝CD.
证明：
小试牛刀
(2)∵∠BEA＝60°，BA＝BE，∴△ABE 为等边三角形.
∵BF⊥AE，∴F 为AE 的中点，∴AF＝EF.
在△AFD 和△EFC 中，
∴△AFD ≌△EFC (ASA)．
∴△AFD 的面积等于△EFC 的面积．
∴ ABCD 的面积等于△ABE 的面积．
在Rt△ABF 中，AB＝4，AF＝EF＝2，
∴BF＝2 .∴△ABE 的面积为 ×4×2 ＝4 .
∴ ABCD 的面积为4 .
解：
小试牛刀
6
如图①，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，过点O 作直线EF 分别交AD，BC 于点E，F.
(1)求证：OE＝OF.
(2)如图②，若过O 点的直线EF 与BA，DC 的延长线分别交于点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？
小试牛刀
(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE ≌△COF.∴OE＝OF.
(2)解：能得到OE＝OF，方法同(1)．一般性结论：经
过平行四边形的对角线的交点的直线被平行四
边形的对边或对边的延长线截得的线段被平行
四边形的对角线的交点平分．
课堂小结
课堂小结
1. 平行四边形的对角线互相平分.几何语言：如图
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO.
知识解析：(1)对角线互相平分是平行四边形所特有的
性质；(2)在平行四边形中证明线段相等,一般都与边和
对角线有关系.而在证明两线段互相平分时，也常常要
先证明由这两条对角线所组成的四边形是平行四边形.
同学们，
下节课见！
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