【班海精品】冀教版（新）八下-22.2 平行四边形的判定 第一课时【优质课件】

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22.2 平行四边形的判定
第1课时
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：
“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度
量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求.”
如何说明右图是平行四边形？
新课精讲
探索新知
1
知识点
由两组对边分别平行判定平行四边形
平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种
判定方法：
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴
反过来， ∵ ∴四边形ABCD 是平行四边形.
AB∥CD
AD∥BC
AB∥CD
AD∥BC
探索新知
例1 如图，在 ABCD 中，∠1＝∠2.
求证：四边形BEDF 是平行四边形．
导引：要证四边形BEDF 是平行四边形，由定义知需证：
DE∥BF 及DF∥BE，其中DE∥BF 可由 ABCD 的
性质得出，而DF∥BE 可通过同位角相等推出．
探索新知
证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD∥AB (平行四边形的两组对边分别平行)，
∴DE∥BF，∴∠1＝∠DFA.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DFA，∴DF∥BE，
∴四边形BEDF 是平行四边形(两组对边分别平
行的四边形是平行四边形)．
探索新知
总 结
当题目的条件中有平行四边形时，应立即想到两
组对边分别平行；当题目中有要证的平行四边形时，
首先应联想到它的两组对边是否分别平行．平行四边
形的定义的逆向利用及正向利用是后面学习平行四边
形的性质及判定的主要依据．
典题精讲
1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？为什么？
解：是；说明理由略．
典题精讲
2 已知：如图，把△ABC 绕边BC 的中点O 旋转180°得到△DCB. 求证：四边形ACDB 是平行四边形.
解：由把△ABC 绕边BC 的中点O
旋转180°得到△DCB 可知，
AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，由∠ABC＝∠DCB 得AB∥CD，所以四边形ACDB 是平行四边形．
典题精讲
下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是(　　)
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
3
D
典题精讲
小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是(　　)
A．①②
B．①④
C．③④
D．②③
4
D
探索新知
2
知识点
由一组对边平行且相等判定平行四边形
小明用下列方法得到一个四边形ABCD.
画两条互相平行的直线，在这两条直线上分别截取线段AB=CD，连接AD，BC，得四边形ABCD.
探索新知
(1)将线段AB 沿BC 方向平行移动，线段AB 与CD 能不能重合？你认为这样得到的四边形ABCD 是不是平行四边形？
(2)由此，你发现了什么结果？与大家交流.
我们发现：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
现在，我们来证明这个结论.
已知：如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AD =BC.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
探索新知
如图，连接BD.
在△ABD 和△CDB 中，
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD.
∵AD=CB，BD=DB，∴△ABD ≌△CDB.
∴∠ABD =∠CDB. ∴AB∥DC.
∴四边形ABCD 是平行四边形.
证明：
探索新知
归 纳
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
探索新知
平行四边形的判定定理1：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：如图，在四边形ABCD 中，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
探索新知
例2 已知：如图，在 ABCD 中，E 为BA 延长线上一点，F 为DC 延长线上一点，且AE=CF，连接 BF，DE.
求证：四边形BFDE 是平行四边形.
探索新知
证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
又∵AE=CF，
∴BE=BE+AE=DC+CF=DF.
且BE∥DF.
∴四边形BFDE 是平行四边形．
探索新知
总 结
当已知条件中有一组对边平行时，常常利用三角
形全等证明这组对边相等或利用平行线的判定证明另
一组对边平行，从而判定这个四边形是平行四边形．
典题精讲
1 将两块全等的含30°角的三角尺按如图的方式摆放在一起，则四边形ABCD 是平行四边形吗？请尝试用多种方法说明理由.
解：是；说明理由略．
典题精讲
2 如图，在 ABCD 中，延长AB 到点E，延长CD 到点F，使BE=DF. 猜想线段AC 与EF 之间的关系，并证明自己的猜想.
典题精讲
AC 与EF 互相平分；
证明如下：如图，连接AF，CE.
在 ABCD 中，AB＝CD，AB∥CD，
因为BE＝DF，所以AE＝CF，
又因为AE∥CF，
所以四边形AECF 是平行四边形，所以AC 与EF 互相平分．
解：
典题精讲
3 已知：如图，BD 是 ABCD 的对角线，点E 和点F 在BD上，且BE=DF.求证：四边形AECF 是平行四边形.
典题精讲
在 ABCD 中，AB＝CD，AB∥CD，
因为AB∥CD，所以∠ABE＝∠CDF，
在△ABE 和△CDF 中，
所以△ABE ≌△CDF，
所以AE＝FC，∠AEB＝∠CFD，
由∠AEB＝∠CFD 得∠AEF＝∠CFE，
所以AE∥CF，
由AE＝FC，AE∥FC 得四边形AECF 是平行四边形．
证明：
典题精讲
已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D，F 分别在
线段BC，AB上，DC=EF，∠EFB=60°.
求证：四边形EDCF 是平行四边形.
典题精讲
证明：在等边三角形ABC 中，∠B＝60°，
因为∠EFB＝60°＝∠B，
所以EF∥DC，
又因为EF＝DC，
所以四边形EDCF 是平行四边形.
典题精讲
5 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AE⊥AD，交BD 于点E，CF⊥BC，交BD 于点F，且AE=CF.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
典题精讲
因为AE⊥AD，CF⊥BC，
所以∠EAD＝∠FCB＝90°，
因为AD∥BC，所以∠ADE＝∠CBF，
在△ADE 和△CBF 中，
所以△ADE ≌△CBF，
所以AD＝CB，
又因为AD∥BC，
所以四边形ABCD 是平行四边形．
证明：
典题精讲
下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(　　)　
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．在四边形ABCD 中，AB＝CD，AB∥CD
D．两组对角分别相等
6
B
典题精讲
如图，在 ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形共有(　　)
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
7
B
典题精讲
在四边形ABCD 中，AD＝BC，若四边形ABCD 是平行四边形，则还应满足(　　)
A．∠A＋∠C＝180°
B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180°
D．∠A＋∠D＝180°
8
C
探索新知
3
知识点
平行线之间的距离
距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习
了点与点之间的距离、点到直线的距离.在此基础上，
我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条平行线
之间的距离.
探索新知
如图，a∥b，c∥d，c，d 与a，b 分别相交于A，
B，C，D 四点. 由平行四边形的概念和性质可知，四
边形ABDC 是平行四边形，AB=CD. 也就是说，两条
平行线之间的任何两条平行线段都相等.
A
B
C
D
a
b
c
d
探索新知
归 纳
从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，
那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相
等.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直
线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图，A
是a上的任意一点，AB丄b，B 是垂足，线段AB 的长就是a，b 之间的距离.
探索新知
定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
要点精析
(1)点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度；
(2)三种距离之间的区别与联系如下表：
类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线间的距离
区别 连接两点的线段的长度 直线外一点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的垂线段的长度
联系 最后都归结为两点间的线段的长度 探索新知
已知：如图，EF∥MN，A，B 为直线EF上任意两点，
AD丄MN，垂足为D，BC丄MN，垂足为C.
求证：AD=BC.
证明：∵ AD丄MN，BC丄MN，
∴AD∥BC.
又∵EF∥MN，∴四边形ADCB 为平行四边形.
∴AD =BC.
例4 求证：平行线间的距离处处相等.
探索新知
总 结
误区1：“距离”是一条线段的长度，而不是一条线段；
误区2：“两点之间的距离”不需要垂直，而另外两个距离都需要垂直．
典题精讲
直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b.点P 在直线a，b 之间，若PA＝3，PB＝4，则直线a，b 之间的距离(　　)
A．等于7 B．小于7
C．不小于7 D．不大于7
1
D
典题精讲
如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G 为垂足，则下列说法不正确的是(　　)
A．AB＝CD
B．EC＝FG
C．A，B 两点间的距离
就是线段AB 的长度
D．a 与b 之间的距离就是线段CD 的长度
2
D
易错提醒
判断符合下列条件的四边形ABCD 是否是平行四边形．
(1)AB∥CD，∠A＝∠C；
(2)AB∥CD，BC＝AD.
(1)是．∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.
又∵∠A＝∠C，∴∠C＋∠D＝180°.∴AD∥BC.
∴四边形ABCD 为平行四边形．
(2)不是．反例：如图所示，
该四边形是等腰梯形，而不是平行四边形．
解：
学以致用
小试牛刀
如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，DE∥AB. 若DE＝DC，∠C＝80°，则∠A＝(　　)
A．80°
B．90°
C．100°
D．110°
1
C
小试牛刀
如图，在 ABCD 中，点E，F 分别在AD，BC上，若要使四边形AFCE 是平行四边形，可以添加的条件是(　　)
①AF＝CF；②AE＝CE；
③BF＝DE；④AF∥CE
A．①或②　　 B．②或③　　
C．③或④　　 D．①或③
2
C
小试牛刀
如图，a∥b，若要使S△ABC＝S△DEF，需增加条件(　　)
A．AB＝DE
B．AC＝DF
C．BC＝EF
D．BE＝AD
3
C
小试牛刀
4
如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，点E，F 分别在边AB，BC 上，ED∥BC，EF∥AC. 求证：EB＝CF.
小试牛刀
∵ED∥BC，EF∥AC.
∴四边形EFCD 是平行四边形，
∴DE＝CF.
∵BD 平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC.
∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，
∴EB＝CF.
证明：
小试牛刀
5
如图，在平行四边形ABCD 中，∠C＝60°，M，N 分别是AD，BC 的中点，BC＝2CD.
求证：
(1)四边形MNCD 是平行四边形；
(2)BD＝ MN.
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵M，N 分别是AD，BC 的中点，
∴MD＝NC，MD∥NC，
∴四边形MNCD 是平行四边形．
证明：
小试牛刀
(2)如图，连接DN.
∵N 是BC 的中点，BC＝2CD，∴CD＝NC.
又∵∠C＝60°，
∴△DCN 是等边三角形．
∴ND＝NC，∠DNC＝∠NDC＝60°.
∴ND＝NB＝CN. 易得∠DBC＝∠BDN＝30°.
∴∠BDC＝∠BDN＋∠NDC＝90°.
∴BD＝
∵四边形MNCD 是平行四边形，
∴MN＝CD. ∴BD＝ MN.
证明：
小试牛刀
6
如图，以BC 为底边的等腰△ABC，点D，E，G 分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE 至点F，使得BF＝BE.
(1)求证：四边形BDEF 为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F 两点间的距离．
小试牛刀
(1) ∵△ABC 是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C.
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，
四边形CDEG 是平行四边形．
∴∠DEG＝∠C.
∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠F＝∠AEG＝∠ABC.
∴∠F＝∠DEG. ∴BF∥DE.
∴四边形BDEF 为平行四边形．
证明：
小试牛刀
(2)∵∠C＝45°，
∴∠BDE＝∠ABC＝∠BEF＝∠BFE＝45°.
∴△BDE、△BEF 是等腰直角三角形．
∵BD＝2，∴BF＝BE＝ .
作FM⊥BD 交DB 的延长线于M，连接DF，
如图所示．
易得△BFM 是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝1. ∴DM＝3.
在Rt△DFM 中，
由勾股定理得DF＝ ，
即D，F 两点间的距离为 .
解：
小试牛刀
7
如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，且AD>BC，BC＝6 cm. 动点P，Q 分别从点A，C 同时出发，点P 以1 cm/s的速度由点A 向点D 运动，点Q 以2 cm/s的速度由点C 向点B 运动．几秒后，四边形ABQP 是平行四边形？
小试牛刀
设x s后，四边形ABQP 是平行四边形，
则AP＝x，CQ＝2x，
∴BQ＝6－2x.
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ 时，四边形ABQP 是平行四边形．
∴x＝6－2x. 解得x＝2.
∴2 s后，四边形ABQP 是平行四边形．
解：
课堂小结
课堂小结
平行四边形的判定方法：如图：
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
几何语言(如图)：
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
A
B
C
D
A
B
C
D
O
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）