【班海精品】冀教版（新）八下-22.3 三角形的中位线【优质课件】

(共48张PPT)
22.3 三角形的中位线
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1. 在△ABC 中，AD=BD，
线段CD 是△ABC 的中线.
2. 在△ABC 中，AE=EC，
线段BE 是△ABC 的中线.
如果连结DE，那么DE 是否是△ABC 的中线？
A
D
C
B
E
新课精讲
探索新知
1
知识点
三角形的中位线性质
什么叫三角形的中位线？
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.
如图：点 D、E 分别是AB、AC 边的中点，线段DE 就
是△ABC 的中位线。
一个三角形共有几条中位线？
答：三条
探索新知
思考：三角形的中位线与三角形的
中线有什么区别与联系？
区别：中位线：中点--------中点
中线：顶点--------中点
联系：一个三角形有三条中线，三条中位线，它们都
在三角形的内部且都是线段.
D
C
B
E
A
F
探索新知
1. 如图，在△ABC 中，画出它的三条中位线DE，DF，
EF. 沿中位线剪出四个小三角形，将它们叠合在一
起，它们能完全重合吗？你发现三角形的中位线DE
与BC 具有怎样的位置关系和数量关系？
探索新知
2. 如图，DE 是△ABC 的中位线，将△ADE 以点E 为中
心顺时针旋转180°，使点A 和点C 重合.四边形
DBCF 是平行四边形吗？由此发现DE 与BC 的位置关
系和数量关系与上面的发现是否相同？
探索新知
通过探究，我们发现：三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半.
现在，我们来证明这个结论.
已知：如图，D，E 分别为△ABC 的边AB，AC 的中点.
求证：DE∥BC，且DE= BC.
探索新知
延长DE 到点F，使EF=DE.连接CF.
在△ADE 和△CFE 中，
∵ AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=FE，
∴ △ADE ≌△CFE.
∴AD=CF，∠A=∠ECF.∴AD∥CF，即BD∥CF.
又∵BD=AD=CF，∴四边形DBCF 是平行四边形.
∴DE∥BC，且DF=BC.
∴DE= DF= BC.
证明：
探索新知
归 纳
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
探索新知
例1 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD=BC，P 为对角线BD的中点，M 为DC 的中点，N 为AB 的中点.
求证：△PMN 是等腰三角形.
在△ABD 中，
∵N，P 分别为AB，BD 的中点，
∴PN = AD.
同理PM = BC.
又∵AD=BC，
∴PN=PM.∴ △PMN 是等腰三角形.
证明：
探索新知
总 结
证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考虑用三角形中位线定理．
典题精讲
三角形三边的长分別为5，9，12.求连接各边中点所构成的三角形的周长.
解： 略．
∵EF 为△ABC 的中位线，
∴EF＝ BC＝3，EF∥BC，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB＝ AB＝2，∴DF＝EF－ED＝3－2＝1.
典题精讲
2 如图，EF 为△ABC 的中位线，BD 平分∠ABC，交EF 于点D，AB=4，BC=6.求 DF 的长.
解：
典题精讲
3 如图， △CDE 为△ABC 沿AC 方向平移得到的，延长AB，ED 相交于点F.请指出图中有哪些相等的线段，有哪些平行的线段.
相等的线段有AB＝BF＝CD，
BC＝DF＝DE，AC＝CE.
平行的线段有AF∥CD，AB∥CD，
BF∥CD，BC∥DF，BC∥DE，BC∥EF.
解：
典题精讲
4 如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别为AB，BC，CD，DA 的中点.请猜想四边形EFGH 的形状，并证明自己的猜想.
典题精讲
四边形EFGH 为平行四边形．
证明如下：
如图，连接AC，BD.
∵H，E 分别是AD，AB 的中点，
∴EH＝ BD，同理可得FG＝ BD，
∴EH＝FG，同理可得EF＝HG，
∴四边形EFGH 是平行四边形．
解：
典题精讲
如图，要测定被池塘隔开的A，B 两点的距离，可以在AB 外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(　　)
A．50 m
B．48 m
C．45 m
D．35 m
5
B
典题精讲
如图，在△ABC 中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F 分别为AB，BC，AC 的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF 的周长是(　　)
A．5 B．7
C．9 D．11
6
B
典题精讲
如图，△ABC 的面积是12，点D，E，F，G 分别是BC，AD，BE，CE 的中点，则△AFG 的面积是(　　)
A．4.5 B．5
C．5.5 D．6
7
A
探索新知
2
知识点
三角形中位线在四边形中的应用
欲证MN BC，只需证明MN
是△EBC 的中位线即可．而要证得M，N 分别为
BE，CE 的中点，则可利用E，F 分别为AD，BC
的中点证四边形ABFE 和四边形EFCD 为平行四边
形得到．
例2 如图，在 ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 的中点，
连接AF，DF 分别交BE，CE 于点M，N，连接MN.
求证：MN BC.
∥
＝
∥
＝
导引：
探索新知
如图，连接EF.
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC.
∵E，F 分别是AD，BC 的中点，
∴AE＝ AD，BF＝ BC，∴AE BF.
∴四边形ABFE 是平行四边形，∴MB＝ME.
同理，四边形EFCD 是平行四边形，∴NC＝NE.
∴MN 是△EBC 的中位线．∴MN BC.
∥
＝
∥
＝
∥
＝
证明：
探索新知
总 结
(1)证明两直线平行的常用方法：
①利用同平行(垂直)于第三条直线；②利用同位角、
内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形
的性质；④利用三角形的中位线定理．
(2)证明一条线段是另一条线段的2倍的常用方法：
①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四边
形的对角线；③利用三角形的中位线定理．
典题精讲
1 如图，A，B 两点被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离.测量员在岸边选一点C，连接AC，BC，并分别找到AC 和BC的中点M，N.由MN 的长度即可知道A，B 两点间的距离.
(1)说出上述测量方法中的道理.
(2)若测得MN=20m，求A，B 两
点间的距离.
典题精讲
(1)道理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
(2)在△ABC 中，
∵M，N 分别是AC，BC 的中点，且MN＝20 m，
∴A，B 两点间的距离为20×2＝40(m)．
解：
典题精讲
已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E，BD=AC，M，N 分别为AD，BC 的中点，MN 分别交AC，BD 于点F，G.
求证：EF= EG.
典题精讲
如图，取CD 的中点为H，连接MH，HN.
∵M，H 分别是AD，DC 的中点，
∴MH＝ AC，MH∥AC，
同理可得NH＝ BD，NH∥BD，
∵AC＝BD，∴MH＝NH，
∴∠HMN＝∠HNM，
∵MH∥AC，HN∥BD，
∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，
∴∠EFG＝∠EGF，∴EF＝EG.
证明：
典题精讲
如图，已知E，F，G，H 分别为四边形ABCD 各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH 的周长为(　　)
A．10 cm
B．11 cm
C．12 cm
D．22 cm
3
D
典题精讲
如图，已知长方形ABCD 中，R，P 分别是DC，BC上的点，E，F 分别是AP，RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R不动时，下列结论成立的是(　　)
A．线段EF 的长逐渐增大
B．线段EF 的长逐渐减小
C．线段EF 的长不改变
D．线段EF 的长先增大后减小
4
C
典题精讲
如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E 是AB的中点，OE＝5 cm，则AD 的长为______cm.
5
10
易错提醒
如图， ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO 的中点，若AC＋BD＝24 cm，△OAB 的周长是18 cm，则EF＝________cm.
易错点：忽视整体思想的应用而求不出中位线的长
3
学以致用
小试牛刀
如图，在△ABC 中，AB＝AC，E，F 分别是BC，AC 的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是(　　)
A．∠ECD＝112.5°
B．DE 平分∠FDC
C．∠DEC＝30°
D．AB＝ CD
1
C
小试牛刀
如图，四边形ABCD 中，∠A＝90°，AB＝3 ，AD＝3，点M，N 分别为线段BC，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E，F 分别为DM，MN 的中点，则EF长度的最大值为________．
2
3
小试牛刀
3
如图，在四边形ABCD 中，AB＝DC，P 是对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，N 是BC 的中点．
(1)若AB＝6，求PM 的长；
(2)若∠PMN＝20°，求∠MPN 的度数．
小试牛刀
(1)∵AB＝DC，AB＝6，∴DC＝6.
∵点P 是AC 的中点，点M 是AD 的中点，
∴PM 是△ADC 的中位线．
∴PM＝ DC＝ ×6＝3.
(2)∵点P 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，
∴PN 是△ABC 的中位线．
∴PN＝ AB.
∵AB＝DC， PM＝ DC，∴PM＝PN.
∴∠PNM＝∠PMN＝20°.
∴∠MPN＝180°－∠PMN－∠PNM＝140°.
解：
小试牛刀
4
如图，E 为 ABCD 中DC 边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD 于点F，G，连接AC 交BD 于O，连接OF，判断AB 与OF 的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
小试牛刀
AB∥OF，OF＝ AB，
理由：如图，连接BE，
∵四边形ABCD 平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝DC，AB∥DE，
又∵CE＝DC，∴AB＝CE.
∴四边形ABEC 是平行四边形．
∴BF＝CF.
∴OF 是△ABC 的中位线．
∴AB∥OF，OF＝ AB.
解：
小试牛刀
5
如图，四边形ABCD 中，AB＝CD，G，H 分别是BC，AD 的中点，BA，CD 的延长线分别交GH 的延长线于点E，F. 求证：∠AEH＝∠F.
小试牛刀
如图，连接AC，取AC 的中点M，连接HM，GM.
∵H 是AD 的中点，M 是AC 的中点，
∴HM 是△ADC 的中位线．
∴HM∥CD，HM＝ CD.
∴∠MHG＝∠F.
同理，GM∥AB，GM＝ AB.
∴∠MGH＝∠AEH.
又∵AB＝CD，∴GM＝HM.
∴∠MGH＝∠MHG. ∴∠AEH＝∠F.
证明：
小试牛刀
6
已知：如图，在 ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于G.求证：GF＝GC.
小试牛刀
如图，取BE 的中点H，连接FH，CH.
∵F 是AE 的中点，H 是BE 的中点，
∴FH 是△ABE 的中位线．
∴FH∥AB 且FH＝ AB.
在 ABCD 中，AB∥DC，AB＝DC.
又∵点E 是DC 的中点，
∴EC＝ DC＝ AB，∴FH＝EC.
∵AB∥DC，FH∥AB，∴FH∥EC，
∴四边形EFHC 是平行四边形．∴GF＝GC.
证明：
课堂小结
课堂小结
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
几何语言(如图)：
∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC．DE= BC．
A
B
C
D
E
课堂小结
注意：(1)位置关系：平行于第三边，
(2)数量关系：等于第三边的一半
拓展：(1)在三角形中位线定理中要特别注意，三角形的中位线平行的是三角形的“第三边”，而不是“底边”，在三角形中，只有等腰三角形有底边．而一般的三角形并没有底边．
(2)三角形的中位线定理可以证明线段相等或倍分关系；可以证明两直线平行.
同学们，
下节课见！
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