【班海精品】冀教版（新）八下-22.4 矩形 第二课时【优质课件】

(共53张PPT)
22.4 矩 形
第2课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
知识回顾
四边形
平行
四边形
两组对
边平行
一个角
是直角
∟
矩形
平行四边形□
矩形
四边形
情景导入
木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？
你现在有方法帮他吗？
探究新知
测量…？
新课精讲
探索新知
知识点
由直角的个数判定矩形
分析矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
由定义识别：
∵□ABCD，∠A=90°.
∴ □ ABCD 是矩形.
①
②
A
B
C
D
1
探索新知
根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形．如果不通过平行四边形，能根据四边形中直角的个数，直接由四边形来判定它是矩形吗？有几个角是直角的四边形是矩形呢？
性质：矩形的四个角都是直角
四个角是直角的四边形是矩形
条件
结论
条件
结论
探索新知
李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形。猜想她判断的依据？
猜想：
有三个角是直角的四边形是矩形
你能证明上述结论吗？
已知：如图所示，在四边形ABCD 中，
∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD 是矩形．
B
C
A
D
探索新知
证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形ABCD 是平行四边形.
∵ ∠A=90°， ∴ □ABCD 是矩形.
比较上面两种说法，你认为选择哪种说法作为矩形的
判定定理更为简洁
于是，便得到：有三个角是直角的四边形是矩形.
探索新知
归 纳
有三个角是直角的四边形是矩形 .
符号表达式：
∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD 是矩形.
A
B
C
D
探索新知
例1 如图， ABCD 的四个内角的平分线分别相交于
点E，F，G，H.求证：四边形EFGH 是矩形.
要证明四边形EFGH 是矩形，
由于已知ABCD 的四个内角
的平分线分别相交于点E，F，
G，H，因此可选用“有三个角是直角的四边形是
矩形”来证明．
导引：
探索新知
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵BG 平分∠ABC，CG 平分∠BCD，
∴∠GBC＋∠GCB＝ ∠ABC＋ ∠BCD
＝ ×180°＝90°，
∴∠BGC＝90°. 同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.
∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.
∴四边形EFGH 是矩形．
证明：
探索新知
总 结
本题目中的图形是建立在四边形基础上，而条件中又涉及角的关系，一般采用“角的方法”来判定矩形．
典题精讲
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为BC 的中点，四边形AEDB 为平行四边形.
求证：四边形AECD 是矩形.
1
在 AEDB 中，AE＝BD，
AE∥BD，AB＝DE，
∵D 为BC 的中点，∴BD＝DC，∴AE＝CD，
又∵AE∥CD，∴四边形AECD 是平行四边形．
在△ABC 中，AB＝AC，∴AC＝DE，
∴四边形AECD 是矩形．
解：
典题精讲
已知矩形的对角线长为10 cm，求顺次连接矩形四边中点所得的四边形的周长.
2
如图所示．在矩形ABCD 中，
AC，BD 的长都为10 cm.
点E，H 分别是AD，CD 的中点，则EH＝ AC＝5 cm.同理：FE，FG，GH 的长均为5 cm.
所以所得到的四边形的周长为5＋5＋5＋5＝20(cm)．
解：
典题精讲
下列命题中，假命题是(　　)
A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
C．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
D．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
3
C
典题精讲
下列说法：
①三角形的三条高一定都在三角形内；
②有一个角是直角的四边形是矩形；
③两边及一角对应相等的两个三角形全等；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
其中正确的有(　　)
A．0个　 　B．1个　　 C．2个 　　D．3个
4
A
典题精讲
如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是(　　)
A．AB∥DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AB＝DC
5
C
探索新知
2
知识点
由对角线的关系判定矩形
我们知道，矩形的对角线相等. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？
思考
探索新知
已知：在 ABCD，AC=BD.
求证： ABCD 是矩形.
证明：∵ 在 ABCD 中，AB=DC，BC=CB，且AC=DB.
∴ △ABC ≌ △DCB（SSS）.∴ ∠ABC=∠DCB.
∵ AB//CD，∴ ∠ABC+∠DCB=180°.
∴ ∠ABC=∠DCB=90°.
又∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ ABCD 是矩形.
A
B
C
D
探索新知
归 纳
可以发现并证明矩形的一个判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
警示：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，这个
四边形必须是平行四边形才可以.
探索新知
例2 已知：如图，在矩形ABCD 中，E，F，G，H 分别
为OA，OB，OC，OD 的中点.
求证：四边形EFGH 是矩形.
探索新知
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC=BD.且 OA=OC，OB=OD.
∴OA=OC=OB=OD.
又∵E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD 的中点，
∴OE=OG=OF=OH.
∴四边形EFGH 是平行四边形.
又∵EG=OE+OG=OF+OH= HF，
∴四边形EFGH 是矩形.
证明：
探索新知
总 结
证明一个平行四边形为矩形的两种方法：一是证
明有一个角是直角，另一个是证明两条对角线相等．
典题精讲
解： (1)(2)(3)错误，(4)正确．
指出下列说法是否正确.
(1)有一个角为直角的四边形是矩形.
(2)两条对角线相等的四边形是矩形.
(3)两条对角线互相垂直的四边形是矩形.
(4)四个角皆为直角的四边形是矩形.
1
典题精讲
如图，矩形ABCD 的两条对角线AC，BD 的夹角为60°，AC+AB= 12.求AC 和AB 的长.
2
因为两条对角线AC，BD 的
夹角为60°，AO＝BO，
所以∠OAB＝∠OBA＝
∠AOB＝60°，
所以△AOB 为等边三角形，AC＝2AB.
所以AC＋AB＝2AB＋AB＝3AB＝12.
所以AB＝4，所以AC＝8.
解：
典题精讲
小亮想检验一块木板是不是矩形.现仅有一根足够长的细绳，你能想办法帮他进行检验吗？请说明理由.
3
解：略.
典题精讲
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE 是矩形.
4
典题精讲
由题意易知∠MAC＝∠B＋∠ACB，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠MAC＝2∠B，
∵AN 是∠MAC 的平分线，∴∠MAC＝2∠MAE，∴∠MAE＝∠B，∴AE∥BC，
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°，
∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠DAE＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE 是矩形．
证明：
典题精讲
如图，在矩形ABCD 中，AC，BD 相交于点O，AE 平分∠BAD，交 BC 于点E，∠CAE= 15°.求∠BOE 的度数.
5
典题精讲
在矩形ABCD 中，OA＝OB＝OD＝OC，
∵AE 平分∠BAD，∴∠BAE＝ ∠BAD＝45°，
又∵∠ABE＝90°，∴∠AEB＝45°.∴AB＝BE.
∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝60°，
∴△AOB 是等边三角形．
∴OA＝OB＝AB，∠ABO＝60°，
∴BO＝BE，∠OBE＝30°，
∴∠BOE＝ ×(180°－30°)＝75°.
解：
典题精讲
如图，在矩形ABCD 中，AB＞BC，点E、F、G、H 分别是边DA、AB、BC、CD 的中点，连接EG、FH，则图中矩形的个数共有(　　)
A．5个
B．8个
C．9个
D．11个
6
C
典题精讲
如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(　　)
A．AB＝CD　
B．AD＝BC
C．AB＝BC　
D．AC＝BD
7
D
典题精讲
下列关于矩形的说法中正确的是(　　)　
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
8
B
典题精讲
如图，在 ABCD 中，延长AD 到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件_____________________，使四边形DBCE 是矩形．
9
EB＝DC (答案不唯一)
易错提醒
在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形(　　)
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
C
易错点：对矩形的判定方法理解错误导致出错
学以致用
小试牛刀
如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P 为边BC 上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC 于F，则EF 的最小值为(　　)
A．2
B．2.2
C．2.4
D．2.5
1
C
小试牛刀
如图，要使 ABCD 成为矩形，需添加的条件是(　　)
A．AB＝BC
B．AO＝BO
C．∠1＝∠2
D．AC⊥BD
2
B
小试牛刀
3
如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是边BC 的中点，连接DO 并延长，交AB 延长线于点E，连接BD，EC.
(1)求证：四边形BECD 是平行四边形；
小试牛刀
(1)在平行四边形ABCD 中，AB∥CD，
∴∠CBE＝∠BCD，
∵点O 是边BC 的中点，∴OB＝OC，
∵∠BOE＝∠COD，
∴△BOE ≌△COD，∴OE＝OD，
∴四边形BECD 是平行四边形．
证明：
小试牛刀
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD 是矩形．
100
小试牛刀
4
如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△DCA ≌△EAC；
(2)只需添加一个条件，即___________，可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．
小试牛刀
(1)证明：在△DCA 和△EAC 中，
∴△DCA ≌△EAC (SSS)．
(2)解：AD＝BC
证明：∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
∵CE⊥AE，∴∠E＝90°.
由(1)得△DCA ≌△EAC，
∴∠D＝∠E＝90°.
∴四边形ABCD 为矩形．
小试牛刀
5
如图，在矩形ABCD 中，AB＝24 cm，BC＝8 cm，点P 从A开始沿折线A→B→C→D 以4 cm/s的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边以2 cm/s的速度移动，如果点P、Q 分别从A、C
同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s．
当t 为何值时，四边形QPBC 为矩形？
小试牛刀
根据题意得CQ＝2t cm，AP＝4t cm，
则BP＝(24－4t )cm，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD∥AB.
∴只有CQ＝BP 时，四边形QPBC 是矩形，
即2t＝24－4t.
解得t＝4，
∴当t＝4时，四边形QPBC 是矩形．
解：
小试牛刀
6
如图，在△ABC 中，点O 是边AC上一个动点，过点O 作直线EF∥BC 分别交∠ACB、外角∠ACD 的平分线于点E、F.
(1)若CE＝8，CF＝6，求OC 的长；
(2)连接AE、AF.问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．
小试牛刀
(1)∵EF 交∠ACB、外角∠ACD 的平分线于点E、F，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.
∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF.
∴OE＝OC，OF＝OC.
∴OE＝OF＝ EF.
∵∠OCE＋∠BCE＋∠OCF＋∠DCF＝180°，
∴∠ECF＝90°.
在Rt△CEF 中，由勾股定理得EF＝ ＝10，
∴OC＝OE＝ EF＝5.
解：
小试牛刀
(2)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，
四边形AECF 是矩形．
理由如下：
如图所示．
当O 为AC 的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF 是平行四边形．
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF 是矩形．
课堂小结
课堂小结
矩形的判定方法：
方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
方法2：有三个角是直角的四边形是矩形 .
方法3：对角线相等的平行四边形是矩形.
(对角线互相平分且相等的四边形是矩形.)
同学们，
下节课见！
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（任务-发布任务-选择章节）