【班海精品】冀教版（新）八下-22.4 矩形 第一课时【优质课件】

(共60张PPT)
22.4 矩 形
第1课时
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
四边形ABCD
如果
AB∥CD AD∥BC
B
D
ABCD
A
C
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
情景导入
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此
平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性
质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平
行四边形，也，这堂课我们就来研究一种恃殊的平行
四边形——矩形.
一个角是
直角
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
新课精讲
探索新知
知识点
矩形及其对称性
1. 如图，剪出一个矩形纸片ABCD ，点O 是这个矩形
的中心.请你用折叠的方法，验证它是轴对称图形.
矩形有几条对称轴.它们都经过矩形的中心吗？
1
探索新知
2. 四边形具有不稳定性，即当一个四边形的四条边长
保持不变时，它的形状却是可以改变的.如图，使
一个平行四边形保持四条边长不变，而将一个内角
α由钝角先变成直角，再变成锐角.
探索新知
在这个过程中：
(1)这个四边形总是平行四边形吗？
(2)当α =90°时，其余三个内角各是多少度的角？
(3)当α =90°时，两条对角线的长有什么关系？
探索新知
归 纳
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
探索新知
例1 如图，直线EF 过矩形ABCD 对角线的交点O，分别交AB、CD 于点E、F，若AB＝3，BC＝4，那么阴影部分的面积为________．
导引：由题意易得到△OEB ≌△OFD，
将阴影部分的面积转化为规则
的几何图形的面积进行计算．
3
探索新知
方法一：∵四边形ABCD 是矩形，
∴由矩形中心对称的性质知S△EBO＝S△FDO，
∴阴影部分的面积为矩形面积的 .
∴S阴影部分＝S△ABO＝ ×3×4＝3.
方法二：在矩形ABCD 中，OB＝OD，∠EBO＝∠FDO.
在△OEB 与△OFD 中，
∴△OEB ≌△OFD.
∴S阴影部分＝S△ABO＝ S矩形ABCD＝ ×3×4＝3.
探索新知
总 结
矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，根据对
称性将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积
求解．体现了转化思想．
典题精讲
下列说法不正确的是(　　)
A．矩形是平行四边形
B．矩形不一定是平行四边形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．矩形既是轴对称图形又是中心对称图形
1
B
典题精讲
在 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，连接AC，BD，当 ABCD的面积最大时，下列结论正确的有(　　)
①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；
③AC⊥BD；④AC＝BD.
A．①②③　　 B．①②④
C．②③④　　 D．①③④
2
B
探索新知
2
知识点
矩形的边角性质
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形
的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般
平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
思考
探索新知
(1)取一张矩形的纸片，分别沿它的两组对边的中点所在
的直线折叠，你发现矩形是轴对称图形吗？如果是，它
有几条对称轴？
(2)利用矩形的轴对称性质，由矩形的一个角是直角，你
发现矩形的另外三个角有什么性质？证明你的结论．
探索新知
归 纳
矩形的四个角都是直角.
探索新知
例2 如图所示，在矩形ABCD 中，AE⊥BD 于点E， ∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO 和∠EAO 的度数．
由∠DAE 与∠BAE 之和为矩形
的一个内角及两角之比即可求
出∠DAE 和∠BAE 的度数，从
而得出∠ABE 的度数，由矩形的性质易得∠BAO＝
∠ABE，即可求出∠BAO 的度数，再由∠EAO＝
∠BAO－∠BAE 可得∠EAO 的度数．
导引：
探索新知
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD.
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.
∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.
∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.
解：
探索新知
总 结
矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，
矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此
有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等
腰三角形中来解决．
典题精讲
1 已知：如图，E 为矩形ABCD 的边AD 的中点，连接BE，CE. 求证：△EBC 是等腰三角形.
在矩形ABCD 中，AB＝CD，
∠A＝∠D＝90°，
∵E 为AD 的中点，∴AE＝DE，
在△ABE 和△DCE 中，
∴△ABE ≌△DCE.
∴EB＝EC，∴△EBC 是等腰三角形．
解：
典题精讲
如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝4，对角线AC 与BD 相交于点O，EF 经过点O 且分别与AB，CD 相交于点E，F，则图中阴影部分的面积为________．
2
3
典题精讲
如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE 交CD 于点O，连接AO，下列结论中不正确的是(　　)
A．△AOB ≌△BOC
B．△BOC ≌△EOD
C．△AOD ≌△EOD
D．△AOD ≌△BOC
3
A
典题精讲
如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM∥AB交AD 于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB 的长为(　　)
A．5 B．4
C. D.
4
D
典题精讲
如图，在矩形纸片ABCD 中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O. 若AO＝5 cm，则AB 的长为(　　)
A．6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
5
C
探索新知
3
知识点
矩形的对角线性质
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们
的长．你有什么发现
已知：如图所示，四边形ABCD 是矩形．
求证：AC=DB．
A
B
C
D
O
探索新知
证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．
∵AB=CD (平行四边形的对边相等)，BC=CB．
∴△ABC ≌△DCB (SAS).
∴AC=DB．
于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.
探索新知
归 纳
矩形的对角线相等.
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC=BD，AO=OC=BO=OD.
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.
∴∠AOB 是等边三角形.
∴AO=BO=AB=4 cm，AC=AO+OC=AO+OB=8(cm),
即矩形ABCD 对角线的长为8 cm.
探索新知
例4 如图，矩形ABCD 两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=4 cm.求矩形对角线的长.
解：
A
B
C
D
O
探索新知
总 结
因为矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的
对角线将矩形分成了四个等腰三角形，再由特殊角可
得到特殊的三角形——等边三角形，利用等边三角形
的性质即可求解．
典题精讲
矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是__________________________________________________________________________.
1
①矩形的四个内角都是直角；
②矩形的两条对角线相等
典题精讲
如图，四边形ABCD 为矩形，指
出图中相等的线段和角.
2
相等的线段：AB＝CD，AD＝BC，
AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD.
相等的角：∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC，∠AOB＝∠DOC，∠AOD＝∠BOC，
∠OAB＝∠ABO＝∠ODC＝∠OCD，
∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB.
解：
A
B
C
D
O
典题精讲
已知矩形ABCD 的边AB=4，BC=5.求对角线AC 的长.
3
如图，在矩形ABCD 中，
AB＝4，BC＝5，∠ABC＝90°.
∴AC＝
解：
A
B
C
D
典题精讲
如图，在矩形ABCD 中，E 为AD上一点，EF丄CE，交AB于点F，DE=2. 矩影的周长为16，且CE=EF. 求AE 的长.
4
典题精讲
在矩形ABCD 中，∠A＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD，∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.
在△AEF 和△DCE 中，
∴△AEF ≌△DCE，
∴AE＝CD，设AE＝x，则CD＝x，AD＝x＋2.
∵矩形的周长为16，∴2(x＋x＋2)＝16.解得x＝3.
即AE＝3.
解：
在矩形ABCD 中，
AB∥CD，AC＝BD，
因为AB∥CE，BE∥AC，
所以四边形ABEC 是平行四边形．
所以AC＝BE，又因为AC＝BD，所以BD＝BE.
典题精讲
已知：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，过点B 作BE∥AC，交DC 的延长线于点E.求证：BD=BE.
5
证明：
连接PO，在矩形ABCD 中，
AC＝BD＝
＝5.OA＝OD＝ AC＝ BD＝ .
S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝ OA ·PE＋ OD ·PF＝
OA· (PE＋PF )＝ S△ADC＝ × AD ·DC＝3.
故PE＋PF＝ .
典题精讲
已知：如图，在矩形ABCD 中， AB=3，AD=4，P 为AD上一点，过点P 作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F.求PE+PF 的值.
6
解：
典题精讲
如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，E 为CD 的中点，连接AE 并延长，交BC 的延长线于点F，连接DF.求DF 的长.
7
典题精讲
连接AC，在矩形ABCD 中，AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠DCF＝90°，因为E 为CD 的中点，所以DE＝CE.因为AD∥CF，所以∠DAE＝∠CFE.
在△ADE 和△FCE 中，
所以△ADE ≌△FCE，
所以CF＝AD，又因为AD＝BC，所以BC＝CF，
又因为DC⊥BF，
所以DF＝BD＝ ＝5.
解：
典题精讲
如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB 的长是(　　)
A．3 cm
B．6 cm
C．10 cm
D．12 cm
8
A
典题精讲
9
如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝ DE＝2，则四边形OCED 的面积为(　　)
A．2
B．4
C．4
D．8
A
易错提醒
矩形一个角的平分线分矩形一边为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为 ．
4 cm2或12 cm2
易错点：对题意理解不透彻导致漏解.
学以致用
小试牛刀
在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图所示的图形．该图中，四边形ABCD 是矩形，E 是BA 延长线上一点，F 是CE 上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，则∠ECD 的度数是(　　)
A．7°
B．21°
C．23°
D．24°
1
C
小试牛刀
如图，点P 是矩形ABCD 的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是(　　)　
A．4.8
B．5
C．6
D．7.2
A
2
小试牛刀
3
在矩形ABCD 中，E、F 分别是AD、BC 的中点，CE、AF 分别交BD 于G、H 两点．
求证：(1)四边形AFCE 是平行四边形；
(2)EG＝FH.
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵E、F 分别是AD、BC 的中点，
∴AE＝ AD，CF＝ BC.
∴AE＝CF.
∴四边形AFCE 是平行四边形．
证明：
小试牛刀
(2)∵四边形AFCE 是平行四边形，
∴CE∥AF.
∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF.
∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH.
∵DE＝ AD，BF＝ BC，AD＝BC，
∴DE＝BF.
在△DEG 和△BFH 中，
∴△DEG ≌△BFH (AAS)．
∴EG＝FH.
小试牛刀
4
如图，矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD 的面积．
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°.
∵BE＝DF，∴OE＝OF.
在△AOE 和△COF 中，
∴△AOE ≌△COF (SAS)．
∴AE＝CF.
证明：
小试牛刀
(2)∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB.
∵∠AOB＝∠COD＝60°.
∴△AOB 是等边三角形．
∴OA＝AB＝6.∴AC＝2OA＝12.
在Rt△ABC 中，BC＝ ＝6 ，
∴矩形ABCD 的面积为AB ·BC＝6×6 ＝36 .
解：
小试牛刀
5
数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徵》)
小试牛刀
请根据该图完成这个推论的证明过程．
证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC )，S矩形EBMF＝S△ABC－(________＋________)．
易知，S△ADC＝S△ABC，________＝________，________＝________．
可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF
S△AEF
S△FMC
S△ANF
S△AEF
S△FGC
S△FMC
小试牛刀
6
如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，连接DE，EF.请回答下列问题：
(1)四边形ADEF 是什么四边形？并说明理由．
(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？
小试牛刀
(1)四边形ADEF 是平行四边形．
理由：∵△ABD，△BEC 都是等边三角形，
∴BD＝AB＝AD，BE＝BC，
∠DBA＝∠EBC＝60°.
∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA.
∴∠DBE＝∠ABC.
∴△DBE ≌△ABC.∴DE＝AC.
又∵△ACF 是等边三角形，∴AC＝AF.∴DE＝AF.
同理可得△ABC ≌△FEC，∴EF＝BA＝DA.
∵DE＝AF，DA＝EF，
∴四边形ADEF 为平行四边形．
解：
小试牛刀
(2)若四边形ADEF 为矩形，则∠DAF＝90°.
∵∠DAB＝∠FAC＝60°，
∴∠BAC＝360°－∠DAB－∠FAC－∠DAF＝360°
－60°－60°－90°＝150°.
∴当△ABC 满足∠BAC＝150°时，四边形ADEF 是矩形．
课堂小结
课堂小结
1. 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，它的特殊性就是四个角都是直角和对角线相等．
2. 矩形的两条对角线将矩形分为两对全等的等腰三角形．在解题的时候常用到等腰三角形的性质．
3. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴．
同学们，
下节课见！
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