【班海精品】冀教版（新）八下-22.5 菱形 第二课时【优质课件】

(共56张PPT)
22.5 菱 形
第2课时
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
想一想：
1.菱形、矩形的定义？
2.它们分别比平行四边形多了哪些性质？
3.怎样判定一个四边形是矩形？
旧知回顾
情景导入
矩形 菱形 定义 性质 边
角
对角线
判定
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形的性质
四条边都相等
四个角都是直角
相等
互相垂直且平分每一组对角
有一角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角都是直角的四边形
情景导入
探究新知
同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定
和矩形的判定时，我们是如何到的它们的判定方法
呢？那么类比着它们，菱形的判定方法是什么？
新课精讲
探索新知
1
知识点
由对角线的位置关系判定菱形
1. 用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小
钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡
皮筋，做成一个四边形.
2. 任意转动木条，这个四边形
总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？继续转
动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱
形？你能证明你的猜想吗？
探索新知
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3. 这个命题的前提是什么？结论是什么？
用几何语言表示命题如下：
已知：在□ABCD 中，对角线AC⊥BD，
求证：□ABCD 是菱形.
分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形
是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由
∠AOB=∠AOD=90 及AO=AO，得△AOB ≌△AOD，
可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到
AB=AD ) ，最后证得□ABCD 是菱形.
探索新知
归 纳
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
提示：此方法包括两个条件——
(1)是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直.
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
探索新知
例1 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，过点O 作直线EF⊥BD，分别交AD，BC 于点E 和点F，连接BE，DF.
求证：四边形BEDF 是菱形．
若要证明四边形BEDF 是菱形，
需要先证明四边形BEDF 是平行四边形，而由题意
易知DE∥BF，只需要证明DE＝BF，即可判定四
边形BEDF 是平行四边形，证明DE＝BF 可通过证
明△OED ≌△OFB 来实现．
导引：
探索新知
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB＝OD，AD∥BC.
∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB.
∴△OED ≌△OFB. ∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，∴四边形BEDF 是平行四边形.
∵EF⊥BD，∴四边形BEDF 是菱形．
证明：
探索新知
总 结
证明一个四边形是菱形时，若已知要证的四
边形的对角线互相垂直，则要考虑证明这个四边
形是平行四边形．
典题精讲
已知：如图，在 ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD，BC 分别交于点E，F.
求证：四边形AFCE 是菱形.
1
典题精讲
∵O 为AC 的中点，EF⊥AC，∴AE＝EC，AF＝FC，在 ABCD 中，∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠OCF，
在△AEO 与△CFO 中，
∴△AEO ≌△CFO，
∴AE＝CF.∴AE＝EC＝CF＝FA.
∴四边形AFCE 是菱形．
证明：
典题精讲
2
如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对称轴，BD 与AC 交于点O，AB∥CD，则下列结论：
①AC⊥BD；②AD∥ BC；
③四边形 ABCD 是菱形；
④△ABD ≌△CDB.
其中正确的是____________(只填写序号).
①②③④
探索新知
2
知识点
由边的关系判定菱形
如图，画两条等长的线段AB，AD.分别以点B，
D 为圆心，AB 为半径画弧，两弧相交于点C 连接BC，
CD.得到四边形ABCD.
四边形ABCD 是菱形吗？
探索新知
事实上，我们有：四条边相等的四边形是菱形.
现在，我们来证明这个结论.
已知：如图，在四边形ABCD 中，
AB=BC=CD=DA.
求证：四边形是菱形.
证明：∵AB=CD.且BC=AD，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
又∵AB=AD.
∴四边形ABCD 是菱形.
探索新知
归 纳
四条边相等的四边形是菱形.
探索新知
例2 已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE∥AC，交AB 于点E，DF∥AB，交AC 于点F.
求证：四边形AEDF 是菱形.
∵ DE∥AC， DF∥AB，
∴四边形AEDF 是平行四边形.
∴∠1=∠3.
又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3.∴AE=DE.
∴四边形AEDF 是菱形.
解：
探索新知
总 结
能证明四边形是平行四边形时，可以先证明四边
形是平行四边形，然后证明有一组邻边相等来证明四
边形是菱形 .
典题精讲
1 如图，在△ABC 中，AB=AC，画出点A 关于BC 的对称点A'.请用两种不同的方法证明四边形ABA'C 是菱形.
解：略．
A
B
C
典题精讲
如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF⊥ BD 于点H，交BC 延长线于点F，交DC 于点G.
求证：DC 与EF 互相平分.
2
连接AC，则AC⊥BD，
又因为EF⊥BD，∴AC∥EF.
∵E 是AD 的中点，∴G 是DC 中点．
易得△DEG ≌△CFG，∴EG＝FG，
∴DC 与EF 互相平分．
证明：
典题精讲
已知：如图，四边形ABCD 是菱形，两条对角线交于点O，DE 为∠ADB 的平分线，交AC 于点E，DF 为∠CDB 的平分线，交AC 于点F，连接BE，BF. 求证：四边形DEBF 是菱形.
3
典题精讲
∵四边形ABCD 是菱形，AC、BD 是其两条对角线，∴EF 垂直平分DB，∴ED＝EB，DF＝BF.
∵DE、DF 分别平分∠ADB，∠CDB，∠ADB＝∠CDB，∴∠ADE＝∠CDF.
在△ADE 和△CDF 中，
∴△ADE ≌△CDF，
∴DE＝DF，∴DE＝DF＝BE＝BF.
∴四边形DEBF 是菱形．
证明：
探索新知
例3 如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，
点E，F，G，H 分别是AD，BD，BC，AC 的中
点．试说明：四边形EFGH 是菱形．
由于点E，F，G，H 分别是AD，BD，
BC，AC 的中点，可知EH，HG，
GF，FE 分别是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD
的中位线，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，
根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形
EFGH 是菱形．
导引：
探索新知
∵点E，H 分别为AD，AC 的中点，
∴EH 为△ACD 的中位线，∴EH＝ CD.
同理可证：EF＝ AB，FG＝ CD，HG＝ AB.
∵AB＝CD，
∴EH＝EF＝FG＝HG，
∴四边形EFGH 是菱形．
解：
探索新知
总 结
有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明
四条边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也
可以通过先证四边形EFGH 是平行四边形，再证一组
邻边相等，只不过步骤复杂一点，大家不妨试一试．
典题精讲
1
如图在 ABCD 中，∠D=60°，以顶点A 为圆心，AB 为半径画弧，交BC 于点E，交AD 于点F.请你指出图中的等腰三角形、平行四边形和菱形.
△ABE，△AEF 是等腰三角形．四边形ABCD、四边形ABEF、四边形CDFE 是平行四边形，四边形ABEF 是菱形．
解：
典题精讲
2
如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =60°，M 为AB 中点，P 为对角线AC 上的一个动点，PM+PB 的最小值是3. 求AB 的长.
典题精讲
作点M 关于AC 对称的点M ′，则M ′在边AD上．
且M ′为AD 的中点，连接BM ′，易得BM ′的长为PM＋PB 的最小值，∴BM ′＝3. 连接BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD 为等边三角形．
∴∠ABM ′＝30°，∠AM ′B＝90°，
∴AM ′＝ AB，AB 2－AM ′2＝BM ′2＝9，
∴AB＝2 .
解：
典题精讲
3
如图，绿丝带下部重叠部分是什么图形？请说明理由.
解：菱形. 理由略．
典题精讲
4
如图，四边形ABCD 的对角线AC，BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是(　　)
A．BA＝BC
B．AC，BD 互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
B
典题精讲
5
如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD 是菱形的只有(　　)
A．AC⊥BD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．∠1＝∠2
C
典题精讲
6
如图，将 ABCD 沿AE 翻折，使点B 恰好落在AD上的点F 处，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．AF＝EF
B．AB＝EF
C．AE＝AF
D．AF＝BE
C
典题精讲
7
如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上的点(与B，C 两点不重合)，过点D 作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC 于E，F 两点，下列说法正确的是(　　)
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF 是矩形
B．若AD 垂直平分BC，则四边形AEDF 是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF 是菱形
D．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形
D
典题精讲
8
如图，四边形ABCD 的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC ＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为 (　　)
A．52 cm　
B．40 cm
C．39 cm
D．26 cm
A
典题精讲
9
如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE∥AC 交AB 于点E，DF∥AB 交AC 于点F.如果AE＝4 cm，那么四边形AEDF 的周长为(　　)
A．12 cm
B．16 cm
C．20 cm
D．22 cm
B
易错提醒
下列命题：
①四边都相等的四边形是菱形；
②两组邻边分别相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
④对角线相等的四边形是菱形；
⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中正确的是__________(填序号)．
①③⑤
易错点：臆造菱形的判定方法导致出错
学以致用
小试牛刀
如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE 交AB 于点F，P 是EB 延长线上一点，下列结论：
①BE 平分∠CBF；②CF 平分∠DCB；
③BC＝FB； ④PF＝PC，
其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
C
1
小试牛刀
如图，分别以Rt△ABC 的斜边AB 和直角边AC 为边向△ABC 外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE，F 为AB 的中点，DE 与AB 交于点G，EF 与AC 交于点H，∠BAC＝30°.给出以下结论：
①EF⊥AC；　　　
②四边形ADFE 为菱形；
③AD＝4AG；④FH＝ BD.
其中正确的结论是(　　)
A．①②③　 B．①②④　
C．①③④　 D．②③④
C
2
小试牛刀
3
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点D，E 分别是边BC，AB上的中点，连接DE 并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.
(1)求证：AF＝CE；
(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF 的形状并说明理由．
小试牛刀
(1)证明：∵点D，E 分别是边BC，AB上的中点，
∴DE∥AC，且DE＝ AC.
∴AC＝2DE.∵EF＝2DE，
∴EF＝AC，又∵EF∥AC，
∴四边形ACEF 是平行四边形．∴AF＝CE.
(2)解：四边形ACEF 是菱形．理由如下：
∵在Rt△ABC 中，E 为AB 的中点，∴EC＝ AB.
∵∠B＝30°，∴AC＝ AB.∴AC＝EC.
∵四边形ACEF 是平行四边形，
∴四边形ACEF 是菱形．
小试牛刀
4
如图，在矩形ABCD 中，∠ABD、∠CDB 的平分线BE、DF 分别交边AD、BC 于点E、F.
(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；
(2)当∠ABE 为多少度时，四边形BEDF 是菱形？请说明理由．
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB∥DC、AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB.
∵BE 平分∠ABD、DF 平分∠BDC，
∴∠EBD＝ ∠ABD，∠FDB＝ ∠BDC.
∴∠EBD＝∠FDB. ∴BE∥DF.
又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF 是平行四边形．
证明：
小试牛刀
(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF 是菱形．
理由：∵BE 平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°.
∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A＝90°.
∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°.
∴∠EDB＝∠EBD＝30°. ∴EB＝ED.
又∵四边形BEDF 是平行四边形，
∴四边形BEDF 是菱形．
解：
小试牛刀
5
如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 的垂直平分线交AD 于点E，交CB 的延长线于点F，连接AF，BE.
(1)求证：△AGE ≌△BGF；
(2)试判断四边形AFBE 的形状，并说明理由．
小试牛刀
(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠AEG＝∠BFG.
∵EF 垂直平分AB，∴AG＝BG.
在△AGE 和△BGF 中，
∴△AGE ≌△BGF (AAS)．
(2)解：四边形AFBE 是菱形，理由如下：
∵△AGE ≌△BGF，∴AE＝BF.
∵AD∥BC，∴四边形AFBE 是平行四边形．
又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE 是菱形．
小试牛刀
6
如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F.
(1)求证：△BDF 是等腰三角形；
(2)如图②，过点D 作DG∥BE，交BC 于点G，连接FG 交BD 于点O.
①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG 的长．
小试牛刀
(1)由折叠得，△BDC ≌△BDE，
∴∠DBC＝∠DBE.
又∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∴∠DBC＝∠FDB，
∴∠DBE＝∠FDB，∴DF＝BF，
∴△BDF 是等腰三角形．
证明：
小试牛刀
(2)①四边形BFDG 是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴FD∥BG.∵DG∥BE，
∴四边形BFDG 是平行四边形．
∵DF＝BF，
∴四边形BFDG 是菱形．
解：
小试牛刀
②∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A＝90°.
∴BD＝ ＝10.
∵四边形BFDG 是菱形，
∴GF⊥BD，FG＝2OF，OB＝ BD＝5.
设DF＝BF＝x，则AF＝AD－DF＝8－x，
在Rt△ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，
解得：x＝ . ∴FB＝ .
在Rt△FOB 中，FO＝ ，
∴FG＝2FO＝ .
课堂小结
课堂小结
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）