【班海精品】冀教版（新）八下-22.6 正方形 第二课时【优质课件】

(共55张PPT)
22.6 正方形
第2课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
相传，上古神话人物伏羲在黄河边行走，得到龙马送来的“河图”(如下图所示)，在洛水边又得到神龟送来的“洛书”.“河图”、“洛书”是几千年前的两幅图象，是正方形的图案，由点和线交织而成，充满了巧妙的数字关系，说明中华祖先很早对于几何和代数的研究. 充分显示了中华祖先的聪明才智.
新课精讲
探索新知
1
知识点
正方形的对称性
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
正方形的对称性：
正方形是中心对称图形，对称中心为点O；
又是轴对称图形，有四条对称轴.
探索新知
例1 如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC上，且EC
＝2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG 分别
交BC、DC 于点M、N.若正方形ABCD 的边长为a，
则重叠部分四边形EMCN 的面积为(　　)
A. a 2　　 B. a 2　
　 C. a 2　 　D. a 2
D
探索新知
作EP⊥BC 于点P，EQ⊥CD 于点Q，易得△EPM ≌△EQN，利用四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积求解．
作EP⊥BC 于点P，EQ⊥CD 于点Q，
∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD＝90°，
又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，
∴∠PEM＋∠MEQ＝90°，
∵三角形FEG 是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ＋∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，
∵CA 是∠BCD 的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，四边形PCQE 是正方形，
导引：
探索新知
在△EPM 和△EQN 中，
∴△EPM ≌△EQN (ASA)，∴S△EQN＝S△EPM，
∴四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积，
∵正方形ABCD 的边长为a，∴AC＝ a，
∵EC＝2AE，∴EC＝ a，∴EP＝PC＝ a，
∴正方形PCQE 的面积＝ a× a＝ a 2，
∴四边形EMCN 的面积＝ a 2.
探索新知
总 结
本例解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在
一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中，
再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了
割补法及转化思想．
典题精讲
已知：如图，正方形ABCD 的两条对角线相交于点O，点M，N 分别在OA，OD上，且MN∥AD.请探究线段DM 和CN 之间的数量关系， 写出结论并给出证明.
1
典题精讲
DM＝CN.
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA＝OD，AD＝DC，∠DAM＝∠CDN＝45°.
又∵MN∥AD，
∴OM＝ON.∴AM＝DN.
∴△AMD ≌△DNC.
∴DM＝CN.
解：
典题精讲
已知：如图，正方形ABCD 的两条对角线相交于点O，E 为OC上一点， AM⊥BE，垂足为M，AM 与DB 相交于点F. 求证：OE=OF.
2
典题精讲
在正方形ABCD 中，OA＝OB，
∠BOC＝∠AOF＝90°.
∵在Rt△AME 中，∠EAM＋∠AEM＝90°，
在Rt△AOF 中，∠FAO＋∠AFO＝90°，
∴∠AEM＝∠AFO.
∴△AOF ≌△BOE.
∴OE＝OF.
证明：
典题精讲
3
如图，菱形ABCD 的面积为120 cm2，正方形AECF 的面积为50 cm2，则菱形的边长为________．
13cm
典题精讲
4
小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(　　)
A．1次　 B．2次
C．3次 D．4次
B
探索新知
2
知识点
正方形的判定
思考
正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方形？
把它们写出来， 并和同学交流一下，然后证明其中的
一些结论.
探索新知
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
平行四边形
有一个角是直角
有一组邻边相等
探索新知
归 纳
正方形的判定方法：要判定一个四边形是正方形，最
常用的方法就是先证明它是菱形(或矩形)，再证明这
个菱形(或矩形)有一个角是直角(或有一组邻边相等)，
其实质就是根据正方形的定义来判定，当然也可以先
证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等且有一
个角是直角，或证这个平行四边形的对角线相等并且
互相垂直．
探索新知
例2 如图，△ABC 中，AB＝AC，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD 是矩形．
(2)当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形？并说明理由．
探索新知
(1)利用平行四边形的判定方法首先得出四边形
AEBD 是平行四边形，进而由等腰三角形的
性质得出∠ADB＝90°，即可证得结论；
(2)利用等腰直角三角形的性质得出AD＝BD＝
CD，进而利用正方形的判定方法即可判定
矩形AEBD 是正方形．
导引：
探索新知
(1)证明：∵点O 为AB 的中点，OE＝OD，
∴四边形AEBD 是平行四边形．
∵AB＝AC，AD 是△ABC 的角平分线，
∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.
∴平行四边形AEBD 是矩形．
(2)解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD 是正方形．
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD 是△ABC
的角平分线，∴AD＝BD＝CD.
∵由(1)得四边形AEBD 是矩形，
∴矩形AEBD 是正方形．
探索新知
总 结
本题运用演绎推理解答，(1)中根据对角线互相平
分判定四边形AEBD是平行四边形，再由等腰三角形
三线合一的性质证直角，从而判定四边形AEBD是矩
形．(2)中添加条件后可证得矩形的一组邻边相等，即
可判定该矩形是正方形．
探索新知
例3 如图，已知在 ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，E
是BD 的延长线上的点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD 是菱形；
(2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
求证：四边形ABCD 是正方形．
要证 ABCD 是正方形，有三种途径可走：即在平行四
边形、菱形、矩形的基础上，找各需补充的对角线的
条件进行证明；若要证明 ABCD 是菱形，由于题中条
件与对角线相关，则需证AC⊥BD.
导引：
探索新知
(1)首先根据平行四边形的性质可得AO＝CO，再由EA
＝EC 可得△EAC 是等腰三角形，然后根据等腰三角
形三线合一的性质可得EO⊥AC，根据对角线互相
垂直的平行四边形是菱形可证出结论；
(2)首先根据角的关系得出AO＝DO，进而得到AC＝
BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结论．
探索新知
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO＝CO，
∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
∴四边形ABCD 是菱形．
(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，
∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC＝2AO，BD＝2DO，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD 是正方形.
证明：
探索新知
总 结
证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：
(1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”；
(2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”；
(3)证：“矩形＋对角线互相垂直”；
(4)证：“菱形＋对角线相等”．
典题精讲
1 如图，把一张矩形纸片折叠，把重叠部分剪下来，展开后可以得到一个怎样的四边形？为什么？
正方形．因为有三个角是直角，
所以是矩形，由折叠可知一组邻边相等，所以是正方形．
解：
典题精讲
2
如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件___________________________，使四边形ABCD是正方形．
∠BAD＝90°(答案不唯一)
典题精讲
3
下列判断错误的是(　　)
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形
D
典题精讲
4
关于 ABCD 的叙述，正确的是(　　)
A．若AB⊥BC，则 ABCD 是菱形
B．若AC⊥BD，则 ABCD 是正方形
C．若AC＝BD，则 ABCD 是矩形
D．若AB＝AD，则 ABCD 是正方形
C
典题精讲
5
小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD 中选两个作为补充条件，使 ABCD 为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(　　)
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
B
易错提醒
四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O，假设有下列条件：①AB＝AD； ②∠DAB＝90°；
③AO＝CO，BO＝DO； ④四边形ABCD 为矩形；
⑤四边形ABCD 为菱形； ⑥四边形ABCD 为正方形.
则下列推理不成立的是(　　)
A．①④ ⑥ B．①③ ⑤
C．①② ⑥ D．②③ ④
易错点：将特殊四边形的判定相混淆导致出错
C
学以致用
小试牛刀
将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示方式摆放，点A，B，C，D 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为(　　)
A．2 cm2
B．4 cm2
C．6 cm2
D．8 cm2
B
1
小试牛刀
在△ABC 中，点D，E，F 分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，连接EF，AD，则下列三种说法：
①如果EF＝AD，那么四边形AEDF 是矩形；
②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF 是菱形；
③如果AD⊥BC 且AB＝AC，那么四边形AEDF 是正方形，其中正确的有(　　)
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
B
2
小试牛刀
3
已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别为AB，AC，AD 的中点，连接CE，CF，OE，OF.
(1)求证：△BCE ≌△DCF.
(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D.
∵点E，F 分别为AB，AD 的中点，
∴BE＝ AB，DF＝ AD.
∴BE＝DF.
在△BCE 和△DCF 中，
∴△BCE ≌△DCF (SAS)．
证明：
小试牛刀
(2)AB⊥BC，理由如下：
∵点E，O，F 分别为AB，AC，AD 的中点，
∴OE＝ BC＝ AD＝AF.
同理可证：OF＝AE＝ AB；
∴OE＝OF＝AF＝AE.
∴四边形AEOF 是菱形．
∵AB⊥BC，又易知OE∥BC，∴AE⊥OE.
∴四边形AEOF 是正方形．
解：
小试牛刀
4
如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 边的中点，过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED ≌△CFD；
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE 是正方形．
小试牛刀
(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D 是BC 的中点，∴BD＝CD.
∴△BED ≌△CFD.
(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
∵∠A＝90°，∴四边形DFAE 为矩形．
∵△BED ≌△CFD，∴DE＝DF.
∴四边形DFAE 是正方形．
证明：
小试牛刀
5
定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.
①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD 的长．
②若AC⊥BD，
求证：AD＝CD.
小试牛刀
(1)①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形．
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD 是菱形．
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD 是正方形．
∴BD＝
解：
小试牛刀
②如图①，连接AC，BD，
∵AB＝BC，AC⊥BD，
∴∠ABD＝∠CBD.
又∵BD＝BD，
∴△ABD ≌△CBD，
∴AD＝CD.
证明：
小试牛刀
(2)如图②，在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝9，点P
是对角线BD 上一点，且BP＝2PD，过点P 作直线
分别交AD，BC 于点E，F，使四边形ABFE 是等
腰直角四边形，求AE 的长．
小试牛刀
(2)若EF 与BC 垂直，则AE≠EF，BF≠EF，AB≠BF，
AB≠AE，
∴四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件．
若EF 与BC 不垂直．
①当AE＝AB＝5时，如
图②，此时四边形
ABFE 是等腰直角四
边形．
解：
小试牛刀
②当BF＝AB 时，如图③，
此时四边形ABFE 是等腰直角四边形．
∴BF＝AB＝5.
∵DE∥BF，
∴△PED∽△PFB，
∴DE：BF＝PD：PB＝1：2，
∴DE＝2.5，
∴AE＝9－2.5＝6.5.
综上所述，AE 的长为5或6.5.
小试牛刀
6
如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D 是AB 的中点，E，F 分别是AC，BC 上的点(点E 不与端点A，C 重合)，且AE＝CF，连接EF 并取EF 的中点O，连接DO 并延长至点G，使GO＝DO，连接DE，DF，GE，GF.
(1)求证：四边形EDFG 是正方形；
(2)当点E 在什么位置时，四边形EDFG 的面积最小？
并求四边形EDFG 面积的最小值．
小试牛刀
(1)如图，连接CD.∵O 是EF 的中点，∴OE＝OF.
又∵OD＝OG，∴四边形EDFG 为平行四边形．
∵AC＝BC，D 为AB 的中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝DC，∠A＝∠FCD＝45°，CD⊥AB.
在△AED 和△CFD 中，AE＝CF，∠A＝∠FCD，
AD＝DC，∴△AED ≌△CFD.
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.
∴四边形EDFG 为菱形．
∵CD⊥AD，∴∠ADE＋∠EDC＝90°.
∴∠EDC＋∠CDF＝90°，即∠EDF＝90°.
∴四边形EDFG 为正方形．
证明：
小试牛刀
(2)∵四边形EDFG 为正方形，
∴当正方形EDFG 的边长DE 最短时，其面积最小．
∵垂线段最短，
∴当DE⊥AC 时，四边形EDFG 的面积最小．
∵AD＝DC，DE⊥AC，
∴AE＝EC，DE＝ AC＝2.
∴当E 为AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，
四边形EDFG 的面积的最小值＝22＝4.
解：
课堂小结
课堂小结
1. 判定方法：
(1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角
的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相
等的四边形是正方形；
(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个
角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂
直且相等的平行四边形是正方形；
课堂小结
(3)从矩形出发：
①有一组邻边相等的矩形是正方形；
②对角线互相垂直的矩形是正方形；
(4)从菱形出发：
①有一个角是直角的菱形是正方形；
②对角线相等的菱形是正方形．
2. 四边形间的关系：
(1)平行四边形、矩形、菱形、
正方形间的包含关系如图.
课堂小结
(2)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转
化关系如图：
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）