【班海精品】冀教版（新）八下-22.6 正方形 第一课时【优质课件】

(共48张PPT)
22.6 正方形
第1课时
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
鞋匠们钉鞋时常用的铁钉的横截面的形状，不像普通铁钉那样是圆的，而呈正方形，你知道其中的原因吗？
你提的问题十分有趣，为什么是正方形而不是圆形，这是正方形独特的性质所起的作用，我们只要再进一步深入接触正方形就会知道其中的道理.
新课精讲
探索新知
1
知识点
正方形的定义
做一做：
用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．
问题：什么样的四边形是正方形？
探索新知
正方形(square)是我们熟悉的几何图形，它的四
条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，
又是菱形.它既有矩形的性质，又有菱形的性质.
探索新知
正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的
平行四边形叫做正方形．
要点精析
(1)正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形；
(2)正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形.即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
探索新知
例1 如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD上一点，点F 是CB 的延长线上一点，
且EA⊥AF. 求证：DE=BE.
本题要证明两条线段相等，而证明线段相等的方
法有很多，根据题中所给的条件，由正方形
ABCD，我们可以得到边相等，角相等，也可以
得到平行，所以在可以得到比较多的条件的情况
下，一般会想到用全等去解决，而本题中全等的
条件也很充足，那么问题即可解决．
分析：
A
B
C
D
E
F
探索新知
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABF=∠BAD=90 °．
∴∠BAE+∠EAD=90 °．∴EA⊥AF，
∴∠BAE+∠FAB=90 °．∴∠EAD=∠FAB．
∴△ABF ≌△ADE．
∴DE=BF.
证明：
探索新知
总 结
知道正方形就说明它的四边都相等，四个角都是直角.
典题精讲
如图，如果正方形ABCD 旋转后能与正方形 CFED 重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有多少个？请指出它们的位置.
1
共3个．
分别是点D、点C 和线段CD 的
中点．
解：
A
B
C
D
E
F
典题精讲
下面四个定义中不正确的是(　　)
A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的
平行四边形叫做正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2
B
典题精讲
已知在四边形ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　)
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
3
D
典题精讲
ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得 ABCD 为正方形．
4
AC＝BD
探索新知
2
知识点
正方形边的性质
正方形的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切
性质，即：
①边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；
②角：四个角都是直角.
探索新知
例2 已知：如图，在正方形ABCD 中，对角线的交
点为O，E 是OB上的一点，DG⊥AE 于G，DG
交AO 于F，求证：EF∥AB.
要证EF∥AB，由于∠OBA＝45°，
∠EOF＝90°，即需证∠OEF＝
45°，即要证明OE＝OF，而
OE＝OF 可通过证明△AEO ≌△DFO 获得．
导引：
探索新知
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.
又∵DG⊥AE，
∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.
∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.
∴△AEO ≌△DFO (ASA)．∴OE＝OF.
∴∠OEF＝45°. ∴∠OEF＝∠OBA.
∴EF∥AB.
证明：
探索新知
总 结
通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．
典题精讲
1 已知：如图，四边形ABCD 和BGFE 都是正方形.求证：AE=CG.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝90°.
∵四边形BGFE 是正方形，
∴BE＝BG，∠EBG＝90°.
∴∠ABC－∠EBC＝∠EBG－∠EBC，
即∠ABE＝∠CBG.∴△ABE ≌△CBG.
∴AE＝CG.
解：
典题精讲
正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　　)
A．四个角都相等
B．四条边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
2
B
典题精讲
一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n 个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n 的最小值是(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
3
A
典题精讲
如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为(　　)　
A.
B．2
C. ＋1
D．2 ＋1
4
B
探索新知
知识点
正方形角的性质
例3 如图，正方形ABCD 的边长为1 cm，AC 为对角线，
AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求BE 的长．
线段BE 是Rt△ABE 的一边，但由
于AE 未知，不能直接用勾股定理
求BE，由条件可证△ABE ≌△AFE，问题转化为求EF 的长，结合已知条
件易获解．
导引：
3
探索新知
∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC 是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE ≌△AFE.
∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE.
在Rt△ABC 中，AC
∴FC＝AC－AF＝( －1)(cm)，∴BE＝( －1) cm.
解：
探索新知
总 结
解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边
相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正
方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解
决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙．
典题精讲
如图，正方形ABCD 的对角线AC 为菱形AEFC 的一边.求∠FAB 的度数.
1
由题意可知∠CAE＝ ∠DAB＝45°.
∵在菱形AEFC 中，AF 平分∠CAE，
∴∠FAB＝ ∠CAE＝22.5°.
解：
典题精讲
如图，E 是正方形ABCD 的边BC 的延长线上一点，且CE=BD，AE 交DC 于点F. 求∠AFC 的度数.
2
连接AC，在正方形ABCD 中，
AC＝BD，AD∥BC，
∠DAC＝∠ACD＝45°.
∵BD＝CE，∴AC＝CE.∴∠CAE＝∠CEA.
∵AD∥CE，∴∠DAF＝∠AEC.
∴∠DAF＝∠CAE＝ ∠DAC＝22.5°.
又∵∠ACF＝45°，∴∠AFC＝112.5°.
解：
典题精讲
如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(　　)
3
A
典题精讲
如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF 的长是(　　)
A．7
B．8
C．7
D．7
4
C
易错提醒
如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE＝1，F 为AB上的一点，AF＝2，P 为AC上一个动点，则PF＋PE 的
最小值为________．
易错点：不能将两线段和转化为一条线段而致错
学以致用
小试牛刀
如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH. 若BE∶EC＝2∶1，则线段CH 的长是(　　)
A．3　　　
B．4　　　
C．5　　　
D．6
B
1
小试牛刀
我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D ′处，则点C 的对应点C ′的坐标为(　　)
A．( ，1) B．(2，1)
C．(1， ) D．(2， )
D
2
小试牛刀
3
如图，四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形．
(1)求证：△ABE ≌△DCE；
(2)求∠AED 的度数．
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°.
∵△EBC 是等边三角形，
∴EB＝BC＝EC，
∠EBC＝∠ECB＝∠BEC＝60°.
∴∠EBA＝∠ECD＝30°.
在△ABE 和△DCE 中，
∴△ABE ≌△DCE.
证明：
小试牛刀
(2)由(1)可知，AB＝BE，∠ABE＝30°.
∴∠BAE＝∠BEA＝75°.
同理∠CDE＝∠CED＝75°.
∴∠AED＝360°－75°－75°－60°
＝150°.
小试牛刀
4
如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别为边AD 和CD上的点，且AE＝CF，连接AF，CE 交于点G.
求证：AG＝CG.
小试牛刀
∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADF＝90°，AD＝CD.
∵AE＝CF，∴DE＝DF.
在△ADF 和△CDE 中，
∴△ADF ≌△CDE (SAS)，∴∠DAF＝∠DCE.
在△AGE 和△CGF 中，
∴△AGE ≌△CGF (AAS)，∴AG＝CG.
证明：
小试牛刀
5
如图，正方形ABCD 中，G 为BC 边上一点，BE⊥AG 于E，DF⊥AG 于F，连接DE.
(1)求证：△ABE ≌△DAF；
(2)若AF＝1，四边形ABED 的面积为6，求EF 的长．
小试牛刀
(1)在正方形ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAE＋∠DAF＝90°.
∵BE⊥AG 于E，DF⊥AG 于F，
∴∠AEB＝∠DFA＝90°，
∠ADF＋∠DAF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE ≌△DAF (AAS)．
证明：
小试牛刀
(2)∵△ABE ≌△DAF，
∴BE＝AF＝1，AE＝DF，
设AE＝DF＝x，∵S四边形ABED＝S△ABE＋S△ADE，
∴6＝ AE (BE＋DF )，
∴6＝ x (1＋x )，
∴x1＝3，x2＝－4(舍去)，
∴AE＝3，
∴EF＝AE－AF＝2.
解：
小试牛刀
6
如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上(不与点B，D 重合)，GE⊥DC 于点E，GF⊥BC 于点F，连接AG.
(1)写出线段AG，GE，GF 长度之间的等量关系，并说明理由；
(2)若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG 的长．
小试牛刀
(1)AG 2＝GE 2＋GF 2.理由如下：如图，连接GC，
由正方形的性质知AD＝CD，∠ADG＝∠CDG.
在△ADG 和△CDG 中，
所以△ADG ≌△CDG，所以AG＝CG.
由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°，
所以四边形GFCE 为矩形，
CG 2＝CF 2＋GF 2，所以GE＝FC.
又因为AG＝CG，
所以AG 2＝GE 2＋GF 2.
解：
小试牛刀
(2)如图，作AH⊥BD 于点H，
由题意易知∠AGB＝60°，∠ABG＝45°，
所以∠BAH＝45°＝∠ABG，∠GAH＝30°，
所以AH＝BH，AG＝2HG.
因为AB＝1，
所以在Rt△ABH 中，由勾股定理可得AH＝BH＝ .
在Rt△AGH 中，由勾股定理可得HG＝ .
所以BG＝ .
课堂小结
课堂小结
正方形同时具备平行四边形、菱形、矩形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据．
同学们，
下节课见！
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