29.1投影
一、单选题
1.在同一时刻(非正午)，两根长度不等的竿子置于阳光之下，但看到它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是 ( )
A.两竿都垂直于地面 B.两竿平行斜插在地上
C.两根竿子不平行 D.两根都倒在地面上
【答案】C
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析.
【详解】解：因为在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳光之下，但看到它们的影长相等
所以这两根竿子肯定不平行.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了平行投影，同一时刻，物长和影长的关系，解题的关键是掌握同一时刻，物长和影长成正比.
2.如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆(PQ)，量得其影长(QR)为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为 ( )
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
【答案】D
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答.
【详解】解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，
∵杆高与影长成正比例，
∴CD：DE=1：0.5，
∴DE=1米，
∴AB：BE=1：0.5，
∵BE=BD+DE=4，
∴，
∴AB=8米.
故选：D.
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论.
3.下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是 ( )
A.A B C D B.D B C A C.C D A B D.A C B D
【答案】C
【分析】根据平行投影的特点和规律可知，C、D是上午，A、B是下午，再据影子的长度即可解答.
【详解】根据平行投影的特点和规律可得，C、D是上午，A、B是下午，再对比影子的长度可知先后为C DA B.
【点睛】本题主要考察平行投影的特点，熟练掌握平行投影的特点是解题的关键.
4.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为，则投影三角板的对应边长为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】中心投影下的三角板与投影三角板一定是相似的，再根据相似三角形对应边的比等于相似比，列式进行计算即可.
【详解】解：三角板的一边长为，则设投影三角板的对应边长为，
三角板与其投影的相似比为，
，
，
投影三角板的对应边长为.
故选：B.
【点睛】此题主要考查了中心投影与相似三角形的性质，熟练掌握中心投影的概念与相似三角形的性质是解答此题的关键.
5.在乡村振兴中，农村也装上了路灯，照亮了农民夜晚回家的路.某天夜晚，一棵树和王大伯在路灯照射下的影子如图所示，则路灯的位置为 ( )
A.a处 B.b处 C.c处 D.d处
【答案】B
【分析】根据中心投影的定义，画出图形即可判断.
【详解】解：由题意可得，如下图所示，观察可知路灯应该在b处
故选：B.
【点睛】本题考查中心投影，解题关键是理解中心投影定义.
6.如图是某学校操场上单杠(图中实线部分)在地面上的影子(图中虚线部分)，可判断形成该影子的光线为 ( )
A.该影子实际不可能存在 B.可能是太阳光线也可能是灯光光线
C.太阳光线 D.灯光光线
【答案】D
【分析】根据平行投影和中心投影的特点分析判断即可.
【详解】解：若影子是由太阳光照射形成的，则两条直线一定平行；若影子是由灯光照射形成的，则两条直线一定相交.据此可判断形成该影子的光线为灯光光线.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了平行投影和中心投影的特点及规律，解题关键是准确区分平行投影和中心投影.
7.由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可.
【详解】解：从上面看，底层中最右边一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：A.
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.
8.如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】过点A作于点C，根据解直角三角形即可求得.
【详解】解：过点A作于点C，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
故选：A.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键.
9.如图，从点观测建筑物的视角是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断.
【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为，
故选：A.
【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义.
10.如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现 ( )
A.M，R，S，F B.N，S，E，F C.M，F，S，R D.E，S，F，M
【答案】D
【分析】凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，P处为视点，凯凯只有藏在盲区才不会被发现.
【详解】只有在P点的盲区内才不容易被发现.由图可知：P视点的盲区中有E，S，F，M点，因此在这四点时不容易被发现.
故选D.
【点睛】本题考查了视点，视角和盲区的定义.
二、填空题
11.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”.其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”.答：竹竿的长为___________寸.
【答案】450
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.
【详解】解：设竹竿的长度为x寸，
∵竹竿的影长寸，标杆长寸，影长寸，
∴，
解得.
答：竹竿长为450寸，
故答案为：450.
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.
12.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3∶5，且三角板的一边长为9cm，则投影中对应边的长为__________cm.
【答案】15
【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.
【详解】解：设投影三角尺的对应边长为x cm，
∵三角尺与投影三角尺相似，
∴9：x=3：5，
解得x=15.
故答案是：15.
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用.利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.
13.已知，如图所示，木棒AB在投影面P上的正投影为A1B1，且AB＝20cm，∠BAA1＝120°，则投影长A1B1＝________cm.
【答案】10
【详解】作AC⊥BB1交BB1于点C，则四边形ACB1A1为矩形，
∴∠CAA1=90°，
∵∠BAA1＝120°，∴∠BAC=30°，
∵AB=20cm，∴BC=10cm，
∴AC=10cm，
∴A1B1= AC=10cm.
故答案为10cm.
点睛：本题关键在于辅助线的构造.
14.现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发现(用阴影部分的序号表示)________.
【答案】①②③
【分析】根据图形找出AB两点的盲区即可
【详解】由图可知，①②③都在AB两个视点的盲区内，因此在这三处，不会被两个同学发现，因此选①②③.
【点睛】投影和视图是本题的考点，根据图形正确找出盲区是解题的关键.
三、解答题
15.如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N，P分别为AD，BC，CD的中点.现从点P观察线段AB，当长度为1的线段l(图中的黑粗线)以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时，l将阻挡部分观察视线，在△PAB区域内形成盲区.设l的右端点运动到M点的时刻为0，用t(秒)表示l的运动时间.
(1)请你针对图(1)(2)(3)中l位于不同位置的情形分别画出在△PAB内相应的盲区，并在盲区内涂上阴影.
(2)设△PAB内的盲区面积是y(平方单位)，在下列条件下，求出用t表示y的函数关系式.
①1≤t≤2； ②2≤t≤3；
③3≤t≤4.
根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t变化而变化的情况.
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.
【分析】(1)根据题意涂上阴影即可；
(2)根据正方形的性质得AM＝2，盲区为梯形，且上底为下底的一半，高为2，然后分段计算：梯形的上底、下底，然后根据梯形的面积分别计算出三种情况下的梯形的面积即可；根据一次函数的性质求解.
【详解】(1)如图：
(2)①当1≤t≤2时，△PAB内的盲区是梯形AEFG.
FG是△PAE的中位线，FG＝t－1，AE＝2(t－1).而梯形AEFG的高为2，
∴y＝[(t－1)＋2(t－1)]×2＝3t－3. ②当2≤t≤3时，△PAB内的盲区是梯形QRST.
易知TS＝1，QR＝2，而梯形QRST的高为2，
∴y＝(1＋2)×2＝3.
③当3≤t≤4时，△PAB内的盲区是梯形WBUV.
易知UV＝1－(t－3)＝4－t，WB＝2(4－t)，而梯形的高为2，
∴y＝[(4－t)＋2(4－t)]×2＝12－3t.
当1≤t≤2时，盲区的面积由0逐渐增大到3；
当2≤t≤3时，盲区的面积y为定值3；
当3≤t≤4时，盲区的面积由3逐渐减小到0.
【点睛】此题主要考查中心投影的性质与应用，解题的关键是正确理解好盲区的定义，及梯形面积的求法.
16.如图假设一座大楼高30米，观众坐在距大楼500米处，魔术师只需做一个屏障，屏障上的图画和没有大楼以后的景物一样，将屏障立在大楼前100米处，这样观众看上去好像大楼突然消失了.若要完全挡住大楼，请你找到一个方法计算出屏障至少要多高？(人身高忽略不计)
【答案】屏障至少是24 m.
【分析】根据已知得出tanEOD=tanAOB=，进而求出即可.
【详解】连接OA，交CD于E，
由题意知，AB⊥OB，CD⊥OB，EDO＝ABO＝90.
则tanEOD＝tanAOB＝＝，
故＝，
解得ED＝24(m).
故答案为屏障至少是24 m.
【点睛】本题考查视点、视角和盲区，解直角三角形的应用.29.1投影
一、单选题
1.在同一时刻(非正午)，两根长度不等的竿子置于阳光之下，但看到它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是 ( )
A.两竿都垂直于地面 B.两竿平行斜插在地上
C.两根竿子不平行 D.两根都倒在地面上
2.如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆(PQ)，量得其影长(QR)为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为 ( )
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
3.下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是 ( )
A.A B C D B.D B C A C.C D A B D.A C B D
4.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为，则投影三角板的对应边长为 ( )
A. B. C. D.
5.在乡村振兴中，农村也装上了路灯，照亮了农民夜晚回家的路.某天夜晚，一棵树和王大伯在路灯照射下的影子如图所示，则路灯的位置为 ( )
A.a处 B.b处 C.c处 D.d处
6.如图是某学校操场上单杠(图中实线部分)在地面上的影子(图中虚线部分)，可判断形成该影子的光线为 ( )
A.该影子实际不可能存在 B.可能是太阳光线也可能是灯光光线
C.太阳光线 D.灯光光线
7.由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是 ( )
A. B. C. D.
8.如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为 ( )
A. B. C. D.
9.如图，从点观测建筑物的视角是 ( )
A. B. C. D.
10.如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现 ( )
A.M，R，S，F B.N，S，E，F C.M，F，S，R D.E，S，F，M
二、填空题
11.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”.其意思是：“如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长150寸，同时立一根15寸的小标杆，它的影子长5寸，则竹竿的长为多少？”.答：竹竿的长为___________寸.
12.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为3∶5，且三角板的一边长为9cm，则投影中对应边的长为__________cm.
13.已知，如图所示，木棒AB在投影面P上的正投影为A1B1，且AB＝20cm，∠BAA1＝120°，则投影长A1B1＝________cm.
14.现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发现(用阴影部分的序号表示)________.
三、解答题
15.如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N，P分别为AD，BC，CD的中点.现从点P观察线段AB，当长度为1的线段l(图中的黑粗线)以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时，l将阻挡部分观察视线，在△PAB区域内形成盲区.设l的右端点运动到M点的时刻为0，用t(秒)表示l的运动时间.
(1)请你针对图(1)(2)(3)中l位于不同位置的情形分别画出在△PAB内相应的盲区，并在盲区内涂上阴影.
(2)设△PAB内的盲区面积是y(平方单位)，在下列条件下，求出用t表示y的函数关系式.
①1≤t≤2； ②2≤t≤3；
③3≤t≤4.
根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t变化而变化的情况.
16.如图假设一座大楼高30米，观众坐在距大楼500米处，魔术师只需做一个屏障，屏障上的图画和没有大楼以后的景物一样，将屏障立在大楼前100米处，这样观众看上去好像大楼突然消失了.若要完全挡住大楼，请你找到一个方法计算出屏障至少要多高？(人身高忽略不计)
试卷第4页，共5页
试卷第5页，共5页
【参考答案及解析】
1.【答案】C
【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析.
【详解】解：因为在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳光之下，但看到它们的影长相等
所以这两根竿子肯定不平行.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了平行投影，同一时刻，物长和影长的关系，解题的关键是掌握同一时刻，物长和影长成正比.
2.【答案】D
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答.
【详解】解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，
∵杆高与影长成正比例，
∴CD：DE=1：0.5，
∴DE=1米，
∴AB：BE=1：0.5，
∵BE=BD+DE=4，
∴，
∴AB=8米.
故选：D.
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论.
3.【答案】C
【分析】根据平行投影的特点和规律可知，C、D是上午，A、B是下午，再据影子的长度即可解答.
【详解】根据平行投影的特点和规律可得，C、D是上午，A、B是下午，再对比影子的长度可知先后为C DA B.
【点睛】本题主要考察平行投影的特点，熟练掌握平行投影的特点是解题的关键.
4.【答案】B
【分析】中心投影下的三角板与投影三角板一定是相似的，再根据相似三角形对应边的比等于相似比，列式进行计算即可.
【详解】解：三角板的一边长为，则设投影三角板的对应边长为，
三角板与其投影的相似比为，
，
，
投影三角板的对应边长为.
故选：B.
【点睛】此题主要考查了中心投影与相似三角形的性质，熟练掌握中心投影的概念与相似三角形的性质是解答此题的关键.
5.【答案】B
【分析】根据中心投影的定义，画出图形即可判断.
【详解】解：由题意可得，如下图所示，观察可知路灯应该在b处
故选：B.
【点睛】本题考查中心投影，解题关键是理解中心投影定义.
6.【答案】D
【分析】根据平行投影和中心投影的特点分析判断即可.
【详解】解：若影子是由太阳光照射形成的，则两条直线一定平行；若影子是由灯光照射形成的，则两条直线一定相交.据此可判断形成该影子的光线为灯光光线.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了平行投影和中心投影的特点及规律，解题关键是准确区分平行投影和中心投影.
7.【答案】A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可.
【详解】解：从上面看，底层中最右边一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：A.
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.
8.【答案】A
【分析】过点A作于点C，根据解直角三角形即可求得.
【详解】解：过点A作于点C，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
故选：A.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键.
9.【答案】A
【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断.
【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为，
故选：A.
【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义.
10.【答案】D
【分析】凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，P处为视点，凯凯只有藏在盲区才不会被发现.
【详解】只有在P点的盲区内才不容易被发现.由图可知：P视点的盲区中有E，S，F，M点，因此在这四点时不容易被发现.
故选D.
【点睛】本题考查了视点，视角和盲区的定义.
11.【答案】450
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.
【详解】解：设竹竿的长度为x寸，
∵竹竿的影长寸，标杆长寸，影长寸，
∴，
解得.
答：竹竿长为450寸，
故答案为：450.
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.
12.【答案】15
【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.
【详解】解：设投影三角尺的对应边长为x cm，
∵三角尺与投影三角尺相似，
∴9：x=3：5，
解得x=15.
故答案是：15.
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用.利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.
13.【答案】10
【详解】作AC⊥BB1交BB1于点C，则四边形ACB1A1为矩形，
∴∠CAA1=90°，
∵∠BAA1＝120°，∴∠BAC=30°，
∵AB=20cm，∴BC=10cm，
∴AC=10cm，
∴A1B1= AC=10cm.
故答案为10cm.
点睛：本题关键在于辅助线的构造.
14.【答案】①②③
【分析】根据图形找出AB两点的盲区即可
【详解】由图可知，①②③都在AB两个视点的盲区内，因此在这三处，不会被两个同学发现，因此选①②③.
【点睛】投影和视图是本题的考点，根据图形正确找出盲区是解题的关键.
15.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.
【分析】(1)根据题意涂上阴影即可；
(2)根据正方形的性质得AM＝2，盲区为梯形，且上底为下底的一半，高为2，然后分段计算：梯形的上底、下底，然后根据梯形的面积分别计算出三种情况下的梯形的面积即可；根据一次函数的性质求解.
【详解】(1)如图：
(2)①当1≤t≤2时，△PAB内的盲区是梯形AEFG.
FG是△PAE的中位线，FG＝t－1，AE＝2(t－1).而梯形AEFG的高为2，
∴y＝[(t－1)＋2(t－1)]×2＝3t－3. ②当2≤t≤3时，△PAB内的盲区是梯形QRST.
易知TS＝1，QR＝2，而梯形QRST的高为2，
∴y＝(1＋2)×2＝3.
③当3≤t≤4时，△PAB内的盲区是梯形WBUV.
易知UV＝1－(t－3)＝4－t，WB＝2(4－t)，而梯形的高为2，
∴y＝[(4－t)＋2(4－t)]×2＝12－3t.
当1≤t≤2时，盲区的面积由0逐渐增大到3；
当2≤t≤3时，盲区的面积y为定值3；
当3≤t≤4时，盲区的面积由3逐渐减小到0.
【点睛】此题主要考查中心投影的性质与应用，解题的关键是正确理解好盲区的定义，及梯形面积的求法.
16.【答案】屏障至少是24 m.
【分析】根据已知得出tanEOD=tanAOB=，进而求出即可.
【详解】连接OA，交CD于E，
由题意知，AB⊥OB，CD⊥OB，EDO＝ABO＝90.
则tanEOD＝tanAOB＝＝，
故＝，
解得ED＝24(m).
故答案为屏障至少是24 m.
【点睛】本题考查视点、视角和盲区，解直角三角形的应用.
