29.3课题学习 制作立体模型
一、单选题
1.小欣同学用纸(如图)折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断.
【详解】解：根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面.
故选：B.
【点睛】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力.易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题.
2.用一个平面去截下面几何体，截面不可能是三角形的是 ( )
A.长方体 B.四棱锥 C.圆锥 D.圆柱
【答案】D
【分析】用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，结合长方体，四棱锥，圆锥，圆柱的特点可得答案.
【详解】解：过长方体的三个面得到的截面是三角形，故不符合题意；
过四棱锥的三个面得到的截面是三角形，故不符合题意；
过圆锥的顶点和下底圆心的面得到的截面是三角形，故不符合题意；
圆柱的截面跟圆、四边形有关，故符合题意.
故选：
【点睛】本题考查的是立体图形的截面，掌握截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关是解题的关键.
3.底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为 ( )
A.1：1 B.1：3 C.1：6 D.1：9
【答案】D
【分析】根据结合已知条件可得答案.
【详解】解：设圆锥与圆柱的底面半径为 圆锥的高为，则圆柱的高为，
故选D.
【点睛】本题考查的是圆锥的体积与圆柱的体积的计算，掌握以上知识是解题的关键.
4.如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛(长度不计)，一个人在A与墙BC之间运动，则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而 ( )
A.变大 B.变小 C.不变 D.不能确定
【答案】B
【分析】可连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长.
【详解】解：连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：
距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长.
则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而变小.
故选B.
【点睛】本题综合考查中心投影的特点和规律.中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
5.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】直接利用长方体展开图的特点进而得出答案.
【详解】解：选项A，B，C都能折叠成长方体盒子，选项D上面部分重叠无法折叠成长方体盒子.
故选D.
【点睛】本题考查展开图折叠成几何体，正确掌握基本图形的展开图的形状是解题关键.
6.某几何体的三视图如图所示，这个几何体是( )
A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.三棱锥
【答案】A
【详解】试题分析：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，再由俯视图是圆形，即可判断出这个几何体应该是圆锥.
故选A
考点：由三视图判断几何体
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ( )
A.24+2π B.16+4π C.16+8π D.16+12π
【答案】D
【分析】根据三视图知该几何体是一个半径为2、高为4的圆柱体的纵向一半，据此求解可得.
【详解】该几何体的表面积为2× π 22+4×4+×2π 2×4=12π+16，
故选D.
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状及圆柱体的有关计算.
8.如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是 ( )
A.25π B.24π C.20π D.15π
【答案】C
【详解】分析：求得圆锥的底面周长以及母线长，即可得到圆锥的侧面积.
详解：由题可得，圆锥的底面直径为8，高为3，
∴圆锥的底面周长为8π，
圆锥的母线长为=5，
∴圆锥的侧面积=×8π×5=20π，
故选C.
点睛：本题主要考查了由三视图判断几何体以及圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
9.如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为 ( )
A.60π B.70π C.90π D.160π
【答案】B
【分析】根据圆柱体的体积公式进行求解.
【详解】由几何体的三视图得，几何体是高为10，外径为8.内径为6的圆筒，
∴该几何体的体积为.
故选：B.
【点睛】本题考查了由三视图求体积，圆柱体的体积，解题的关键是掌握圆柱体的体积公式进行求解.
10.下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；故选C.
11.有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是1:1.在高度不变的情况下，如果将方木加工成尽可能大的圆柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得到的圆柱和长方体的体积之比为____.
【答案】
【分析】先计算方木中内切圆与正方形的面积之比；再计算圆木中圆内接正方形与圆本身的面积之比，由于方木底面正方形与圆木底面圆面积相等，故两比值之比即为结果.
【详解】正方形内作最大的圆：
设圆的半径为r，圆的面积与正方形的面积比是：
圆内作最大的正方形：
设圆的半径为，正方形的面积与圆的面积比是：
，
因为,方木与圆木的体积和高度都相等,说明底面积也相等,即图(1)的大正方形面积等于图(２)的大圆的面积，
所以，现在的圆柱体积和长方体的体积的比值是：
；
答：圆柱体积和长方体的体积的比值为.
故答案为：.
【点睛】本题以方木圆木的体积为背景，考查了正方形的内切圆，圆的内接正方形的面积问题，熟练的掌握以上关系是解题的关键.
二、填空题
12.如图是某些多面体的表面展开图，说出这些多面体的名称：(1)____；(2)____.
【答案】 六棱锥, 三棱柱
【分析】(1)展开的每一个侧面都是三角形，底面是六边形，说明是六棱锥；
(2)展开的侧面都是长方形，上下两个面是三角形，说明是三棱柱.
【详解】(1)展开的每一个侧面都是三角形，底面是六边形，说明是六棱锥；
(2)展开的侧面都是长方形，上下两个面是三角形，说明是三棱柱.
故答案为六棱锥；三棱柱
【点睛】此题考查立体图形的展开图，识记每一个图形的特点，是解决问题的关键.
13.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______.
【答案】20 cm##20厘米
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
【详解】解∶如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离.
根据勾股定理，得
.
故答案为：20cm.
【点睛】本题考查了平面展开－－－最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.
14.如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得该几何体的侧面积为_____.
【答案】
【分析】易得此几何体为圆柱，圆柱的侧面积=底面周长×高.
【详解】解：由主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得此几何体为圆柱，
易得圆柱的底面直径为，高为，
侧面积.
故答案为：.
【点睛】本题考查圆柱的侧面积计算公式，关键是得到该几何体的形状.
15.如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体(不改变张明所搭几何体的形状)，那么王亮至少还需要 个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为 .
【答案】19，48.
【详解】试题分析：首先确定张明所搭几何体所需的正方体的个数，然后确定两人共搭建几何体所需小立方体的数量，求差即可.
解：∵王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，
∴该长方体需要小立方体4×32=36个，
∵张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，
∴王亮至少还需36﹣17=19个小立方体，
表面积为：2×(9+7+8)=48，
故答案为19，48.
考点：由三视图判断几何体.
三、解答题
16.(1)如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名是从哪个方向看的；(填正面或上面)
(2)根据两种视图中尺寸(单位：cm)，计算这个组合几何体的表面积和体积.(用含π的式子表示)
【答案】(1)正面、 上面；(2)表面积：132+24π；体积：80+24π
【分析】(1)找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中.
(2)根据题目所给尺寸，计算出下面长方体表面积+上面圆柱的侧面积.
【详解】解：(1)正面、 上面
(2)表面积： 2(8×5+8×2+5×2)+4×π×6
＝2(8×5+8×2+5×2)+4×π×6
＝132+24π(cm2).
体积： 8×5×2+4×π×6
＝2(8×5+8×2+5×2)+4×π×6
＝80+24π(cm3)
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，求几何体的表面积和几何体的体积，解题关键是数形结合.
17.有一张长 9cm，宽 5cm 的长方形硬纸板，如图在长方形硬纸板的四个角上各截去一个边长为 0.5cm 的正方形，如图①所示，然后把它折叠成一个无盖的长方体小盒，如图②所示.
请问：
(1)折叠成一个无盖的长方体小盒的地面长.宽分别是多少？
(2)这个硬纸板折叠成的小盒容积是多大？
【答案】(1)8，4；(2)16
【分析】(1)首先根据题意，用长方形硬纸板的长减去小正方形的边长的2倍，求出长方体纸盒的长是多少；然后用长方形硬纸板的宽减去小正方形的边长的2倍，求出长方体纸盒的宽是多少；(2)根据长方体的容积=长×宽×高，求出这个纸盒的容积是多少立方厘米即可.
【详解】解：由题意得(1)无盖的长方体小盒的长=9－2×0.5=8
无盖的长方体小盒的宽=5－2×0.5=4；
(2)小盒的容积=8×4×0.5=16(立方厘米)
故答案为(1)8，4；(2)16.
【点睛】本题主要考查长方体的体积(容积)计算的实际应用，关键是求得盒子的长、宽、高各是多少.29.3课题学习 制作立体模型
一、单选题
1.小欣同学用纸(如图)折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中 ( )
A. B. C. D.
2.用一个平面去截下面几何体，截面不可能是三角形的是 ( )
A.长方体 B.四棱锥 C.圆锥 D.圆柱
3.底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为 ( )
A.1：1 B.1：3 C.1：6 D.1：9
4.如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛(长度不计)，一个人在A与墙BC之间运动，则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而 ( )
A.变大 B.变小 C.不变 D.不能确定
5.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是 ( )
A. B. C. D.
6.某几何体的三视图如图所示，这个几何体是( )
A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.三棱锥
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ( )
A.24+2π B.16+4π C.16+8π D.16+12π
8.如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是 ( )
A.25π B.24π C.20π D.15π
9.如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为 ( )
A.60π B.70π C.90π D.160π
10.下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是1:1.在高度不变的情况下，如果将方木加工成尽可能大的圆柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得到的圆柱和长方体的体积之比为____.
12.如图是某些多面体的表面展开图，说出这些多面体的名称：(1)____；(2)____.
13.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为_______.
14.如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得该几何体的侧面积为_____.
15.如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体(不改变张明所搭几何体的形状)，那么王亮至少还需要 个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为 .
三、解答题
16.(1)如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名是从哪个方向看的；(填正面或上面)
(2)根据两种视图中尺寸(单位：cm)，计算这个组合几何体的表面积和体积.(用含π的式子表示)
17.有一张长 9cm，宽 5cm 的长方形硬纸板，如图在长方形硬纸板的四个角上各截去一个边长为 0.5cm 的正方形，如图①所示，然后把它折叠成一个无盖的长方体小盒，如图②所示.
请问：
(1)折叠成一个无盖的长方体小盒的地面长.宽分别是多少？
(2)这个硬纸板折叠成的小盒容积是多大？
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
【参考答案及解析】
1.B
【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断.
【详解】解：根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面.
故选：B.
【点睛】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力.易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题.
2.D
【分析】用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，结合长方体，四棱锥，圆锥，圆柱的特点可得答案.
【详解】解：过长方体的三个面得到的截面是三角形，故不符合题意；
过四棱锥的三个面得到的截面是三角形，故不符合题意；
过圆锥的顶点和下底圆心的面得到的截面是三角形，故不符合题意；
圆柱的截面跟圆、四边形有关，故符合题意.
故选：
【点睛】本题考查的是立体图形的截面，掌握截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关是解题的关键.
3.D
【分析】根据结合已知条件可得答案.
【详解】解：设圆锥与圆柱的底面半径为 圆锥的高为，则圆柱的高为，
故选D.
【点睛】本题考查的是圆锥的体积与圆柱的体积的计算，掌握以上知识是解题的关键.
4.B
【分析】可连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长.
【详解】解：连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：
距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长.
则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而变小.
故选B.
【点睛】本题综合考查中心投影的特点和规律.中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
5.D
【分析】直接利用长方体展开图的特点进而得出答案.
【详解】解：选项A，B，C都能折叠成长方体盒子，选项D上面部分重叠无法折叠成长方体盒子.
故选D.
【点睛】本题考查展开图折叠成几何体，正确掌握基本图形的展开图的形状是解题关键.
6.A
【详解】试题分析：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，再由俯视图是圆形，即可判断出这个几何体应该是圆锥.
故选A
考点：由三视图判断几何体
7.D
【分析】根据三视图知该几何体是一个半径为2、高为4的圆柱体的纵向一半，据此求解可得.
【详解】该几何体的表面积为2× π 22+4×4+×2π 2×4=12π+16，
故选D.
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状及圆柱体的有关计算.
8.C
【详解】分析：求得圆锥的底面周长以及母线长，即可得到圆锥的侧面积.
详解：由题可得，圆锥的底面直径为8，高为3，
∴圆锥的底面周长为8π，
圆锥的母线长为=5，
∴圆锥的侧面积=×8π×5=20π，
故选C.
点睛：本题主要考查了由三视图判断几何体以及圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
9.B
【分析】根据圆柱体的体积公式进行求解.
【详解】由几何体的三视图得，几何体是高为10，外径为8.内径为6的圆筒，
∴该几何体的体积为.
故选：B.
【点睛】本题考查了由三视图求体积，圆柱体的体积，解题的关键是掌握圆柱体的体积公式进行求解.
10.C
【详解】A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；故选C.
11.
【分析】先计算方木中内切圆与正方形的面积之比；再计算圆木中圆内接正方形与圆本身的面积之比，由于方木底面正方形与圆木底面圆面积相等，故两比值之比即为结果.
【详解】正方形内作最大的圆：
设圆的半径为r，圆的面积与正方形的面积比是：
圆内作最大的正方形：
设圆的半径为，正方形的面积与圆的面积比是：
，
因为,方木与圆木的体积和高度都相等,说明底面积也相等,即图(1)的大正方形面积等于图(２)的大圆的面积，
所以，现在的圆柱体积和长方体的体积的比值是：
；
答：圆柱体积和长方体的体积的比值为.
故答案为：.
【点睛】本题以方木圆木的体积为背景，考查了正方形的内切圆，圆的内接正方形的面积问题，熟练的掌握以上关系是解题的关键.
12. 六棱锥, 三棱柱
【分析】(1)展开的每一个侧面都是三角形，底面是六边形，说明是六棱锥；
(2)展开的侧面都是长方形，上下两个面是三角形，说明是三棱柱.
【详解】(1)展开的每一个侧面都是三角形，底面是六边形，说明是六棱锥；
(2)展开的侧面都是长方形，上下两个面是三角形，说明是三棱柱.
故答案为六棱锥；三棱柱
【点睛】此题考查立体图形的展开图，识记每一个图形的特点，是解决问题的关键.
13.20 cm##20厘米
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
【详解】解∶如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离.
根据勾股定理，得
.
故答案为：20cm.
【点睛】本题考查了平面展开－－－最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.
14.
【分析】易得此几何体为圆柱，圆柱的侧面积=底面周长×高.
【详解】解：由主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得此几何体为圆柱，
易得圆柱的底面直径为，高为，
侧面积.
故答案为：.
【点睛】本题考查圆柱的侧面积计算公式，关键是得到该几何体的形状.
15.19，48.
【详解】试题分析：首先确定张明所搭几何体所需的正方体的个数，然后确定两人共搭建几何体所需小立方体的数量，求差即可.
解：∵王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，
∴该长方体需要小立方体4×32=36个，
∵张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，
∴王亮至少还需36﹣17=19个小立方体，
表面积为：2×(9+7+8)=48，
故答案为19，48.
考点：由三视图判断几何体.
16.(1)正面、 上面；(2)表面积：132+24π；体积：80+24π
【分析】(1)找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中.
(2)根据题目所给尺寸，计算出下面长方体表面积+上面圆柱的侧面积.
【详解】解：(1)正面、 上面
(2)表面积： 2(8×5+8×2+5×2)+4×π×6
＝2(8×5+8×2+5×2)+4×π×6
＝132+24π(cm2).
体积： 8×5×2+4×π×6
＝2(8×5+8×2+5×2)+4×π×6
＝80+24π(cm3)
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，求几何体的表面积和几何体的体积，解题关键是数形结合.
17.(1)8，4；(2)16
【分析】(1)首先根据题意，用长方形硬纸板的长减去小正方形的边长的2倍，求出长方体纸盒的长是多少；然后用长方形硬纸板的宽减去小正方形的边长的2倍，求出长方体纸盒的宽是多少；(2)根据长方体的容积=长×宽×高，求出这个纸盒的容积是多少立方厘米即可.
【详解】解：由题意得(1)无盖的长方体小盒的长=9－2×0.5=8
无盖的长方体小盒的宽=5－2×0.5=4；
(2)小盒的容积=8×4×0.5=16(立方厘米)
故答案为(1)8，4；(2)16.
【点睛】本题主要考查长方体的体积(容积)计算的实际应用，关键是求得盒子的长、宽、高各是多少.
