第八章 一元二次方程专项训练 求解几何问题的常见技巧（含答案）

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专项训练
求解几何问题的常见技巧
技巧一：补全图形，合理转化
1.如图是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值为 .
技巧二：挖掘图中隐含的数量关系
2.有一块矩形土地，宽为120m，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙均为正方形，现计划甲建住宅区，乙建商场，丙地开辟成面积为3200m 的公园.如果设这块矩形土地的长为xm，那么根据题意列出的方程是 .
3.为了节省材料，某农户利用一段足够长的墙体为一边，用总长为120m的围网围成如图所示的①②③三块矩形区域，其中AE=2BE.当BC的长x为 m 时,矩形ABCD的面积为675m .
技巧三：利用面积的和差转化并列方程
4.如图，某景区有一块长60米、宽50米的矩形荒地，管理人员准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观光通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形(其中三个矩形的一边长均为a米)区域将种植新品种花卉.
(1)设观光通道的宽度为x米，则a= .(用含x的代数式表示)
(2)若新品种花卉观光区总占地面积为2430平方米.请求出观光通道的宽度为多少米
技巧四：先作出展开示意图，再寻找数量关系列方程
5.有一块长32cm、宽14cm的矩形铁皮.
(1)如图①，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为280cm 的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长.
(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图②的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为180cm 的有盖盒子 如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由.
参考答案
1.3或6 2.
3.30 [解析]设BE=a,则AE=2a,AB=3a.
根据题意得
解得x =x =30,
∴当BC=30m 时,矩形ABCD的面积为675m .
4.解:
(2)根据题意得(50-2x)(60-3x)- 解得 (不合题意，舍去).
答：观光通道的宽度为2米.
5.解：(1)设裁去的正方形的边长为xcm.
根据题意得(32-2x)(14-2x)=280,解得x =2,x =21 (不合题意，舍去).
答：裁去的正方形的边长为2cm.
(2)能.设左边的小正方形的边长为x cm.
根据题意得 180,解得x =1,x =22(舍去),
∴x=1,∴盒子的体积为180×1=180( cm ).
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