第八章 一元二次方程专项训练 一元二次方程与方程组、分式方程、不等式（组）的综合应用（含答案）

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专项训练
一元二次方程与方程组、分式方程、不等式（组）的综合应用
应用一：一元二次方程与方程组的综合应用
1.在樱桃成熟的季节，某公司将樱桃采摘后，分成大箱和小箱进行包装后出售，已知大、小箱樱桃的单价和为90元.每天平均销售大箱樱桃70箱，小箱樱桃60箱，销售总额为5900元.
(1)求大箱樱桃和小箱樱桃每箱的价格.
(2)该公司在销售中发现，当每箱樱桃价格下调1元时，这两种包装的樱桃每天均可多销售5箱，为了促销，公司决定把两种包装的樱桃单价都下调m(m<20)元，在不考虑其他因素的情况下，求m为多少时，每天的销售额为7460元.
应用二：一元二次方程与分式方程的综合应用
2.在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元.
(1)求每张门票的原定票价.
(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.
应用三：一元二次方程与不等式的综合应用
3.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率.
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件
应用四：一元二次方程与不等式组的综合应用
4.某玩具商城以49元/个的价格购进某种玩具进行销售，并预计当售价为50元/个时，每天能售出50个玩具，且在一定范围内，当每个玩具的售价平均每提高0.5元时，每天就会少售出3个玩具.
(1)若玩具售价不超过60元/个，每天售出玩具的总成本不高于686元，预计每个玩具售价的取值范围.
(2)在实际销售中，玩具商城以(1)中每个玩具的最低售价及相应的销量为基础，进一步调整了销售方案，将每个玩具的售价提高了a%，从而每天的销售量降低了2a%，当每天的销售利润为147元时，求a的值.
参考答案
1.解：(1)设大箱樱桃每箱的价格为x元，小箱樱桃每箱的价格为y元.
由题意得 解得
答：大箱樱桃和小箱樱桃每箱的价格分别为50元、40元.
(2)由题意得(70+5m)(50-m)+(60+5m)(40-m)=7460,
整理得 m -32m+156=0, 解得m=6或m=26.
∵m<20,∴m=6.
答:m为6时,每天的销售额为7460元.
2.解：(1)设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为(x-80)元.
根据题意得 解得x=400.经检验，x=400是原方程的根，且符合题意.
答：每张门票的原定票价为400元.
(2)设平均每次降价的百分率为y.
根据题意得 400(1-y) =324,解得y =0.1=10%,y =1.9(不合题意，舍去).
答：平均每次降价的百分率为10%.
3.解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x.
依题意得400×( 1-x) =324,解得x=0.1=10%或x=1.9(不合题意，舍去).
答：该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100-m)件.
第一次降价后的单件利润为400×(1-10%)-300=60(元);
第二次降价后的单件利润为324-300=24(元).
依题意得60m+24×(100-m)=36m+2400≥3120,解得m≥20.
答:第一次降价后至少要售出该种商品20件.
4.解：(1)设每个玩具的售价为x元，
根据题意得 解得56≤x≤60.
答:预计每个玩具售价的取值范围是不低于56元且不高于60元.
(2)由(1)可知最低销售价为56元/个，对应销售量为50- (个).
根据题意得[56( 1+a%)-49]×14(1-2a%)=147,
令t=a%,整理得32t -12t+1=0,解得
或a=12.5.
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