第八章 一元二次方程专项训练 与一元二次方程有关的创新问题探究（含答案）
文档属性
| 名称 | 第八章 一元二次方程专项训练 与一元二次方程有关的创新问题探究（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-29 13:35:23 | ||
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文档简介
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专项训练
与一元二次方程有关的创新问题探究
探究一：善于挖掘题中的“隐含”条件
1.若一个直角三角形的三边长是三个连续整数,则它的周长为 ,面积为 .
2.已知(x +y ) +5(x +y )-6=0,则 x +y 的值为 .
探究二：应用“有理化”快速求解含无理数的一元二次方程
3.解方程:
探究三：整体思想在解一元二次方程中的应用
4.已知 x +xy+y=14①,y +xy+x=28②,则x+y的值为 .
5.已知 则 .
探究四：分类讨论思想在解一元二次方程中的应用
6.定义[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3.函数y=[x]的图象如图所示，则方程 的解为( )
A.0或 B.0或2 C.1或或
7.阅读下面例题的解答过程，体会解题方法，并借鉴例题的解法解方程.
例：解方程 x -|x-1|-1=0.
解:①当x-1≥0,即x≥1时,|x-1 | =x- 1.
原方程化为 x -( x-1)-1=0,即 x -x=0, 解得 x =0,x =1.
∵x≥1,故x=0舍去,∴x=1是原方程的解.
②当x-1<0,即x<1时,|x-1 | =-( x-1).
原方程化为 x +(x-1)-1=0,即x +x-2=0, 解得x =1,x =-2.
∵x<1,故x=1舍去,∴x=-2是原方程的解.
综上所述，原方程的解为 x =1,x =-2.
解方程： x -|x-2|-4=0.
探究五：一元二次方程与阅读理解
8.阅读材料：各类方程的解法.
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x +x -2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x +x-2)=0,解方程x=0和 x +x-2=0,可得方程x +x -2x=0的解.
(1)问题:方程 x +x -2x=0的解是x =0,x = ,x = .
(2)拓展：用“转化”思想求方程 的解.
(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长10m 的绳子的一端固定在点B，沿草坪边BA，AD 走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边PD，DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.
探究六：一元二次方程与规律探究
9.实验与探究：三角点阵前n行的点数计算.
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点 第n行有n个点.容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗
如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数,虽然你能发现1+2+3+4+ +23+24=300,得知300是前24行的点数的和,但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系.
前n行的点数的和是+( n-1)+n,
可以发现： +
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加 第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n(n+1),于是得到
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是
用一元二次方程解决上述问题.
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有
整理得 n +n-600=0, 解得n =24,n =—25.
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300.
请你根据上述材料回答下列问题：
(1)三角点阵中前n行的点数的和能是600吗 如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明理由.
(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2,4,6,…,2n,你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗 这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗 如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明理由.
参考答案
1.12 6 [解析]设该直角三角形较长的直角边长为x，则另外两边长分别为x-1，x+1，依题意得( x-1) +x =(x +1) ,解得x =0(舍去),x =4，
∴直角三角形的三边长分别为3,4,5,
∴三角形的周长=3+4+5=12,面积=
2.1 [解析]设x +y =t,则原方程可化为t +5t-6=0,即(t+6)(t-1)=0,
∴t=-6(舍去)或t=1,即 x +y =1.
3.解：方程两边同乘 得 =0,
由于
∴ 方程x - 可变形为
4.-7或6 [解析]①+②,得x +2xy+y +x+y=42,∴(x+y) +(x+y)-42=0,
∴(x+y+7)(x+y-6)=0,∴x+y=-7或x+y=6.
5.3 [解析] ∵
或x+ 无解，
6.A [解析]当1≤x<2时, 解得 (舍去);
当0≤x<1时, 解得x=0;
当-1≤x<0时, 方程没有实数解；
当-2≤x<-1时, 方程没有实数解.
所以方程 的解为0或
7.解:①当x-2≥0,即x≥2时,|x-2|=x-2.
原方程化为x -(x-2)-4=0,即 x -x-2=0,解得 x =2,x =-1.
∵x≥2,故x=-1舍去,∴x=2是原方程的解.
②当x-2<0,即x<2时,|x-2|=-(x-2).
原方程化为 x +(x-2)-4=0,即x +x-6=0,解得x =2,x =-3.
∵x<2,故x=2舍去,∴x=-3是原方程的解.
综上所述，原方程的解为 x =2,x =-3.
8.解:(1)-2 1
(2)将方程 的两边平方，得2x+3=x ,
即 x -2x-3=0,∴(x-3)(x+1)=0,∴x-3=0或 x+1=0,∴x =3,x =-1.
当x=-1时, 不是原方程的解，
∴方程 的解是x=3.
(3)∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,AB=CD=3m.设AP=xm,则PD＝（8－x）m.
∵
两边平方得 (8-x) +9
整理得
两边平方并整理得 x -8x+16=0,即 (x-4) =0,∴x=4.
经检验，x=4是方程的解，且符合题意.
答：AP的长为4 m.
9.解：(1)不能.
理由如下：由题意可得 整理得n +n-1200=0,此方程无正整数解，
∴三角点阵中前n 行的点数的和不能是600.
(2)由题意可得2+4+1).
能,依题意得n(n+1)=600,整理得n +n-600=0,
∴(n+25)(n-24)=0,解得n =-25,n =24.
∵n为正整数,∴n=24,故n的值是24.
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专项训练
与一元二次方程有关的创新问题探究
探究一：善于挖掘题中的“隐含”条件
1.若一个直角三角形的三边长是三个连续整数,则它的周长为 ,面积为 .
2.已知(x +y ) +5(x +y )-6=0,则 x +y 的值为 .
探究二：应用“有理化”快速求解含无理数的一元二次方程
3.解方程:
探究三：整体思想在解一元二次方程中的应用
4.已知 x +xy+y=14①,y +xy+x=28②,则x+y的值为 .
5.已知 则 .
探究四：分类讨论思想在解一元二次方程中的应用
6.定义[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3.函数y=[x]的图象如图所示，则方程 的解为( )
A.0或 B.0或2 C.1或或
7.阅读下面例题的解答过程，体会解题方法，并借鉴例题的解法解方程.
例：解方程 x -|x-1|-1=0.
解:①当x-1≥0,即x≥1时,|x-1 | =x- 1.
原方程化为 x -( x-1)-1=0,即 x -x=0, 解得 x =0,x =1.
∵x≥1,故x=0舍去,∴x=1是原方程的解.
②当x-1<0,即x<1时,|x-1 | =-( x-1).
原方程化为 x +(x-1)-1=0,即x +x-2=0, 解得x =1,x =-2.
∵x<1,故x=1舍去,∴x=-2是原方程的解.
综上所述，原方程的解为 x =1,x =-2.
解方程： x -|x-2|-4=0.
探究五：一元二次方程与阅读理解
8.阅读材料：各类方程的解法.
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x +x -2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x +x-2)=0,解方程x=0和 x +x-2=0,可得方程x +x -2x=0的解.
(1)问题:方程 x +x -2x=0的解是x =0,x = ,x = .
(2)拓展：用“转化”思想求方程 的解.
(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长10m 的绳子的一端固定在点B，沿草坪边BA，AD 走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边PD，DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.
探究六：一元二次方程与规律探究
9.实验与探究：三角点阵前n行的点数计算.
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点 第n行有n个点.容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗
如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数,虽然你能发现1+2+3+4+ +23+24=300,得知300是前24行的点数的和,但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系.
前n行的点数的和是+( n-1)+n,
可以发现： +
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加 第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n(n+1),于是得到
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是
用一元二次方程解决上述问题.
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有
整理得 n +n-600=0, 解得n =24,n =—25.
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300.
请你根据上述材料回答下列问题：
(1)三角点阵中前n行的点数的和能是600吗 如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明理由.
(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2,4,6,…,2n,你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗 这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗 如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明理由.
参考答案
1.12 6 [解析]设该直角三角形较长的直角边长为x，则另外两边长分别为x-1，x+1，依题意得( x-1) +x =(x +1) ,解得x =0(舍去),x =4，
∴直角三角形的三边长分别为3,4,5,
∴三角形的周长=3+4+5=12,面积=
2.1 [解析]设x +y =t,则原方程可化为t +5t-6=0,即(t+6)(t-1)=0,
∴t=-6(舍去)或t=1,即 x +y =1.
3.解：方程两边同乘 得 =0,
由于
∴ 方程x - 可变形为
4.-7或6 [解析]①+②,得x +2xy+y +x+y=42,∴(x+y) +(x+y)-42=0,
∴(x+y+7)(x+y-6)=0,∴x+y=-7或x+y=6.
5.3 [解析] ∵
或x+ 无解，
6.A [解析]当1≤x<2时, 解得 (舍去);
当0≤x<1时, 解得x=0;
当-1≤x<0时, 方程没有实数解；
当-2≤x<-1时, 方程没有实数解.
所以方程 的解为0或
7.解:①当x-2≥0,即x≥2时,|x-2|=x-2.
原方程化为x -(x-2)-4=0,即 x -x-2=0,解得 x =2,x =-1.
∵x≥2,故x=-1舍去,∴x=2是原方程的解.
②当x-2<0,即x<2时,|x-2|=-(x-2).
原方程化为 x +(x-2)-4=0,即x +x-6=0,解得x =2,x =-3.
∵x<2,故x=2舍去,∴x=-3是原方程的解.
综上所述，原方程的解为 x =2,x =-3.
8.解:(1)-2 1
(2)将方程 的两边平方，得2x+3=x ,
即 x -2x-3=0,∴(x-3)(x+1)=0,∴x-3=0或 x+1=0,∴x =3,x =-1.
当x=-1时, 不是原方程的解，
∴方程 的解是x=3.
(3)∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,AB=CD=3m.设AP=xm,则PD＝（8－x）m.
∵
两边平方得 (8-x) +9
整理得
两边平方并整理得 x -8x+16=0,即 (x-4) =0,∴x=4.
经检验，x=4是方程的解，且符合题意.
答：AP的长为4 m.
9.解：(1)不能.
理由如下：由题意可得 整理得n +n-1200=0,此方程无正整数解，
∴三角点阵中前n 行的点数的和不能是600.
(2)由题意可得2+4+1).
能,依题意得n(n+1)=600,整理得n +n-600=0,
∴(n+25)(n-24)=0,解得n =-25,n =24.
∵n为正整数,∴n=24,故n的值是24.
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