8.6.1 几何问题同步练习（含答案）
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第八章 一元二次方程
6 一元二次方程的应用
第1课时 几何问题
基础闯关
知识点一：应用一元二次方程求解规则图形的面积问题
1.某校课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.若苗圃园的面积为72平方米，则x的值为 .
知识点二：应用一元二次方程求解不规则图形的面积问题
2.某中学有一块长30m、宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计的方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为x m,则可列方程为 .
3.如图，小明将一根长为1.4米的竹条截为两段，并互相垂直固定，作为风筝的龙骨，制作成了一个面积为0.24平方米的风筝.请你计算一下小明将竹条截成了长度分别为多少的两段
知识点三：应用一元二次方程求解折叠问题
4.如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm
知识点四：应用一元二次方程求解方案选择问题
5.在直角墙角AOB(OA⊥OB,且OA,OB长度不限)中,要砌20m长的墙,与直角墙角AOB围成地面为矩形的仓库，且地面矩形AOBC的面积为96m .
(1)求地面矩形的长.
(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖，单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满仓库的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少
能力提升
6.如图所示，某社区决定在一块长(AD)16m,宽(AB)9m的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB 平行，另一条与AD平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112m ，则小路的宽应为多少
7.一个矩形的周长为56厘米.
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长和宽分别为多少
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗 请说明理由.
8.某农场要建一个饲养场(矩形ABCD)，两面靠现有墙(AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米)，另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏).建成后木栏总长45米.设饲养场(矩形ABCD)的一边AB长为x米.
(1)饲养场另一边BC= 米.(用含x的代数式表示)
(2)若饲养场的面积为180平方米，求x 的值.
培优创新
9.在一块长为16m、宽12m的矩形荒地上建造一个四边形花圃.
小华提出方案：如图①，取矩形荒地四边中点，顺次相连得到四边形花圃.
小芳提出方案：如图②，建矩形花圃在中间，面积是该矩形荒地的一半，且四周过道宽度相等.
(1)小华的方案中,花圃的形状是 ,其面积是 m .
(2)小芳的方案中，四周过道的宽度均为多少
参考答案
1.
3.解：设小明将竹条截成了长度分别为x米和(1.4-x)米的两段.
根据题意得 解得x =0.6,x =0.8.
当x=0.6时,1.4-x=0.8;当x=0.8时,1.4-x =0.6.
答：小明将竹条截成了长度分别为0.6米和0.8米的两段.
4.解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为(30-2x) cm,宽为(20-2x)cm,高为xcm.
依题意得2×[(30-2x)+(20-2x)]x=200,整理得2x -25x+50=0,解得
当x=10时,20-2x=0，不合题意，舍去，
答：当剪去正方形的边长为 时，所得长方体盒子的侧面积为200cm .
5.解:(1)设地面矩形的长是xm,依题意得x(20-x)=96,解得x =12,x =8,则AC=12m,BC=8m.答:地面矩形的长是12m.
(2)规格为0.80×0.80的地板砖的费用:96÷(0.80×0.80)×55=8250(元).
规格为1.00×1.00的地板砖的费用:96÷(1.00×1.00)×80=7680(元).
因为8250>7680,所以用规格为1.00×1.00的地板砖费用较少.
6.解:设小路的宽应为xm.根据题意得(16-2x)(9-x)=112,解得x =1,x =16.
∵16>9,∴x=16不符合题意,舍去,∴x=1.
答:小路的宽应为1m.
7.解：(1)设矩形的长为x厘米，则宽为(28-x)厘米.
依题意有x(28-x)=180,解得 x =10((舍去),x =18,∴28-x =28-18=10.
故长为18厘米,宽为10厘米.
(2)不能.理由如下：设矩形的长为x厘米，则宽为(28-x)厘米.
依题意有x(28-x)=200,即 x -28x+200=0,则 △=28 -4×200=-16<0，
∴原方程无实数根，故不能围成面积为200平方厘米的矩形.
8.解:(1)48-3x
(2)由题意得x(48-3x)=180,解得x =6.x =10.
∵0≤48-3x≤27,0≤x≤15,∴7≤x≤15,∴x=10.
9.解:(1)菱形 96
(2)设四周过道的宽度均为xm.
根据题意得 解得x =2,x =12(不符合题意，舍去)，∴x=2，∴四周过道的宽度均为2m.
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第八章 一元二次方程
6 一元二次方程的应用
第1课时 几何问题
基础闯关
知识点一：应用一元二次方程求解规则图形的面积问题
1.某校课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.若苗圃园的面积为72平方米，则x的值为 .
知识点二：应用一元二次方程求解不规则图形的面积问题
2.某中学有一块长30m、宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计的方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为x m,则可列方程为 .
3.如图，小明将一根长为1.4米的竹条截为两段，并互相垂直固定，作为风筝的龙骨，制作成了一个面积为0.24平方米的风筝.请你计算一下小明将竹条截成了长度分别为多少的两段
知识点三：应用一元二次方程求解折叠问题
4.如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm
知识点四：应用一元二次方程求解方案选择问题
5.在直角墙角AOB(OA⊥OB,且OA,OB长度不限)中,要砌20m长的墙,与直角墙角AOB围成地面为矩形的仓库，且地面矩形AOBC的面积为96m .
(1)求地面矩形的长.
(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖，单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满仓库的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少
能力提升
6.如图所示，某社区决定在一块长(AD)16m,宽(AB)9m的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB 平行，另一条与AD平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112m ，则小路的宽应为多少
7.一个矩形的周长为56厘米.
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长和宽分别为多少
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗 请说明理由.
8.某农场要建一个饲养场(矩形ABCD)，两面靠现有墙(AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米)，另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏).建成后木栏总长45米.设饲养场(矩形ABCD)的一边AB长为x米.
(1)饲养场另一边BC= 米.(用含x的代数式表示)
(2)若饲养场的面积为180平方米，求x 的值.
培优创新
9.在一块长为16m、宽12m的矩形荒地上建造一个四边形花圃.
小华提出方案：如图①，取矩形荒地四边中点，顺次相连得到四边形花圃.
小芳提出方案：如图②，建矩形花圃在中间，面积是该矩形荒地的一半，且四周过道宽度相等.
(1)小华的方案中,花圃的形状是 ,其面积是 m .
(2)小芳的方案中，四周过道的宽度均为多少
参考答案
1.
3.解：设小明将竹条截成了长度分别为x米和(1.4-x)米的两段.
根据题意得 解得x =0.6,x =0.8.
当x=0.6时,1.4-x=0.8;当x=0.8时,1.4-x =0.6.
答：小明将竹条截成了长度分别为0.6米和0.8米的两段.
4.解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为(30-2x) cm,宽为(20-2x)cm,高为xcm.
依题意得2×[(30-2x)+(20-2x)]x=200,整理得2x -25x+50=0,解得
当x=10时,20-2x=0，不合题意，舍去，
答：当剪去正方形的边长为 时，所得长方体盒子的侧面积为200cm .
5.解:(1)设地面矩形的长是xm,依题意得x(20-x)=96,解得x =12,x =8,则AC=12m,BC=8m.答:地面矩形的长是12m.
(2)规格为0.80×0.80的地板砖的费用:96÷(0.80×0.80)×55=8250(元).
规格为1.00×1.00的地板砖的费用:96÷(1.00×1.00)×80=7680(元).
因为8250>7680,所以用规格为1.00×1.00的地板砖费用较少.
6.解:设小路的宽应为xm.根据题意得(16-2x)(9-x)=112,解得x =1,x =16.
∵16>9,∴x=16不符合题意,舍去,∴x=1.
答:小路的宽应为1m.
7.解：(1)设矩形的长为x厘米，则宽为(28-x)厘米.
依题意有x(28-x)=180,解得 x =10((舍去),x =18,∴28-x =28-18=10.
故长为18厘米,宽为10厘米.
(2)不能.理由如下：设矩形的长为x厘米，则宽为(28-x)厘米.
依题意有x(28-x)=200,即 x -28x+200=0,则 △=28 -4×200=-16<0，
∴原方程无实数根，故不能围成面积为200平方厘米的矩形.
8.解:(1)48-3x
(2)由题意得x(48-3x)=180,解得x =6.x =10.
∵0≤48-3x≤27,0≤x≤15,∴7≤x≤15,∴x=10.
9.解:(1)菱形 96
(2)设四周过道的宽度均为xm.
根据题意得 解得x =2,x =12(不符合题意，舍去)，∴x=2，∴四周过道的宽度均为2m.
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