5.1.2垂线 教学课件 (共38张PPT)

(共38张PPT)
第五章 相交线与平行线
5.1 相交线
5.1.2 垂线
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
情景引入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
集思广益：日常生活里，图中的两条直线的关系很常见，你还能举出其他例子吗？
知识点一 垂线的定义理解
知识精讲
提出问题：对于相交的两条直线，有哪些位置关系？
普通的相交关系
垂直关系
注：垂直是相交关系的一种
知识精讲
思考问题：如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数是多少？为什么？
A
B
C
D
O
∵∠AOC=90°
∴∠BOC+∠AOC=180°
∴∠BOC=90°
同理可得：∠AOD=∠BOD=90°
根据邻补角的性质即可得到结论；
知识精讲
指一条线与另一条线相交并成直角，这两条直线互相垂直。
注意：我们讨论两条直线互相垂直必须是在同一平面内。
垂直的定义：
知识归纳
知识精讲
两条直线互相垂直，一般垂直符号用“⊥”来表示；
如图，直线AB与直线CD垂直，那么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.
把互相垂直的两条直线的交点称为垂足.（如图中的O点即为垂足）
A
B
C
D
O
垂直的表示法：
知识精讲
①判定：两条直线相交成90°
②性质：两条直线互相垂直所形成的四个角均为90°
垂线的基本性质与判定
典型例题
典例精析
【例1】如图，直线AB，CD相交于点0，下列条件：①∠AOD=90°；②∠AOC=∠BOC；③∠AOC=∠BOD，其中能说明AB⊥CD的有（　　）
A．① B．①或② C．①或③ D．①或②或③
【答案】B
【分析】根据垂直定义“当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直”进行判定即可．
练一练
1．如图，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝40°，则∠BOE的度数是 _____°．
【答案】50
【分析】注意到∠AOC与∠BOD对顶角相等，而OE⊥CD，则有∠EOD=90°，则可得∠BOE=∠EOD-∠BOD，即可求∠BOE的度数．
知识点二 学会用尺规作图画垂线
知识精讲
你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动：
知识精讲
问题:
(1)画已知直线l的垂线能画几条
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条
A
.B
l
.
知识精讲
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操作，你能得出什么结论
问题：这样画l的垂线可以画几条？
一条
知识精讲
垂线的性质：过直线上或直线外的一点,有且只有一条直线和已知直线垂直。
注意：
1.过一点既可以是在直线上，也可以是在直线外的一点；
2.有且只有是指这样的直线只有一条；
概念归纳
典型例题
典例精析
【例2】过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据垂线段的定义依次判断每个选项．
练一练
1．如图，一束光线以入射角为50°的角度射向斜放在地面AB上的平面镜CD，经平面镜反射后与水平面成30°的角，则CD与地面AB所成的角∠CDA的度数是_____．
【详解】解：过点E作EM⊥CD于E．
根据题意得：∠1=∠2=50°，∠END=30°，
∴∠DEN=40°，
∴∠CDA=∠DEN+∠END=30°+40°=70°．
故答案为70°．
知识点三 点到直线的距离
知识精讲
C
D
E
l
B
A
过河问题
如图，小明要从A点过河，目测有B、C、D、E四个地点，哪个地点的距离是最短的？
知识精讲
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
概念归纳
D
l
A
典型例题
典例精析
【例3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，则图中能表示点到直线距离的垂线段共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】D
【分析】根据点到直线的距离的定义，得结论．
【详解】解：点C到AB的距离是线段CD的长度，
点B到CD的距离是线段BD的长度，
点A到CD的距离是线段AD的长度，
点A到CB的距离是线段CA的长度，
点B到AC的距离是线段BC的长度，
综上，图中能表示点到直线距离的垂线段共有5条，
故选：D．
练一练
1．如图，BC⊥AC，BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm．那么点B到AC的距离是 _____，点A、B两点的距离是 _____，点C到AB的距离是 _____．
【答案】 8cm 10cm 4.8cm
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD的长即为点C到AB的距离，再根据三角形的面积公式求出CD的长；再根据点到直线距离的定义即可得出结论．
2．如图，AB交CD于O，OE⊥AB．若∠AOC:∠BOC=1:2，求∠EOD的度数．
【答案】∠DOE=30°
【点睛】本题考查的是邻补角的含义，垂直的定义，掌握“利用邻补角的含义求解角的大小”是解本题的关键．
【详解】解：∵∠AOC：∠BOC=1:2，
∠AOB=180°，
∴∠AOC=，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴∠DOE=180°-90°-60°=30°．
3．如图，直线AB与CD相交于O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线；
(1)若∠BOE=62°，求∠AOD和∠EOF的度数；
(2)试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？
【答案】(1)∠AOD=149°，∠EOF=59°
(2)OD⊥OF，
（1）解：∵OD是∠BOE的平分线，∴∠BOD=∠DOE=，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-31°=149°，
又∵OF是∠AOE的平分线，∴∠EOF=∠AOF=∠AOE=59°
（2）解：OD⊥OF，理由如下：
∵OD是∠BOE的平分线，∴∠BOD=∠DOE=，
又∵OF是∠AOE的平分线，∴∠EOF=∠AOF=∠AOE，
∴∠DOE+∠EOF=×180°=90°
即OD⊥OF.
课堂练习
1．下列说法正确的是（　　）
A．相等的两个角是对顶角
B．两条直线相交所形成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直
C．若两直线相交，则它们互相垂直
D．和等于180度的两个角互为邻补角
【答案】B
【详解】A、如图1，
∠AOC=∠BOC=90°，但∠AOC与∠BOC不是对顶角，故A选项错误；
B、两条直线相交所形成的四个角都相等，则每个角都是90°，符合两条直线互相垂直的定义，故B选项正确
C、两线相交但不一定垂直，故C选项错误．
D、如图2，
∠1+∠2=180°，但∠1与∠2并非互为邻补角，故D选项错误．
故选：B．
2．如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即PA的长为某同学的跳远成绩，其依据是（　　）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断．
【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，
故选：C．
3．如图，直AB线CD，相交于点E，EF⊥AB于点E，若∠FEC-∠AEC=20°，那么∠AFD的度数为（ ）
A．125° B．135° C．140° D．145°
【答案】D
【点睛】本题考查了垂直角及互补角的性质，理解题意是解题的关键．
【详解】设∠AEC为x，则∠FEC=x+20°，
∵EF⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEC+∠FEC=90°，
∴x+x+20°=90°，
解得x=35°，
即∠AEC=35°，
∴∠AED=180°-35°=145°．
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB．OF平分∠EOD，∠AOC=46°,则∠FOB的度数为（ ）
A．68° B．58° C．73° D．63°
【详解】解：∵OE⊥AB
∴∠BOE=90°，
∵∠BOD=∠AOC=46°，
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=90°-46°=44°，
∵OF平分∠EOD，
∴∠EOF=∠DOE=22°，
∴∠FOB=∠BOE-∠EOF=90°-22°=68°，
故选：A．
5．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，O是垂足，∠AOD=120°，那么∠COB的度数为______；
【详解】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB=90°
∵∠AOD=120°
∴∠BOD=120°-90°=30°
∠BOC=60°
故答案为：60°．
6．直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，作射线OG⊥OE．若∠EOF＝54°，则∠AOG的度数为______．
【详解】解：∵OF⊥CD，
∴∠FOD=90°，
∵∠EOF=54°，
∴∠DOE=∠FOD-∠EOF=90°-54°=36°，
∵∴OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠DOE=72°，
分两种情况：
当射线OG在OE的下方，如图：
∵OG⊥OE，
∴∠EOG=90°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠BOD=36°，
∴∠AOG=180°-∠EOG-∠BOE=54°；
当射线OG在OE的上方，如图：
∵OG⊥OE，∴∠EOG=90°，
∵∠DOE=36°，
∴∠COG=180°-∠EOG-∠DOE=54°，
∴∠AOG=∠AOC+∠COG=∠BOD+∠COG=72°+54°=126°，
综上所述：∠AOG的度数为：54°或126°，
故答案为：54°或126°．
7．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，AC=4，BC=3，则A到BC距离是______．若A地在C地的正东方向，则B地在C地的______方向．
【答案】 4 正北
【分析】直接根据点到直线的距离的概念即可得出答案；
【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，
∴A到BC距离是AC=4
∵ A地在C地的正东方向，
∴B地在C地的正北方向
故答案为：4，正北．
8．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．
【答案】4.8
【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．
9．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD=7：11.
(1)求∠COE的度数；
(2)若OF⊥OE，求∠COF的度数．
【答案】(1)145°
(2)125°
【点睛】本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，垂直的定义，几何图形中角度的计算，掌握邻补角互补、对顶角相等和垂直的定义是解题的关键．
（1）
解：∵∠AOC：∠AOD=7:11，∠AOC+∠AOD=180°
∴∠AOC=，
∴∠DOB=∠AOC=70°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-35°=145°，
（2）
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠FOD=90°-∠DOE=90°-35°=55°，
∴∠COF=180°-∠FOD=180°-55°=125°．
课堂总结
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1.垂线的定义
2.垂线的画法
3.垂线的性质
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,
(2)垂线段最短.
4.点到直线的距离