6.1.1 算术平方根 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
实数
第六章
执教者：章果
6.1.1算术平方根
单元学习任务一
解决数学危机
希帕索斯虽然就此闭了嘴，但江湖的血雨腥风并未就此停歇。小小 的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的 的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。你会怎么解决这个问题呢？
6.1.1算术平方根
情景引入
学校要举行艺术节，小明很高兴，他想裁出一块面积为 36平方分米 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？为什么？
应取 6 dm，
因为 62 = 36.
6.1.1算术平方根
算术平方根
填表
已知正方形的边长 , 求面积的问题,实质上就是：
已知一个正数，求这个正数的平方,这是平方运算.
正方形的边长 1 3 0.5
正方形的面积
1
思考：你能从上表发现什么共同点吗？
9
0.25
6.1.1算术平方根
算术平方根
填表
正方形的面积 1 9 0.36 64
正方形的边长
已知正方形的面积 , 求边长的问题,实质上就是：
已知一个正数的平方，求这个正数.
上述两个表中的两种运算有什么关系？
1
3
0.6
8
思考：你能从上表发现什么共同点吗？
6.1.1算术平方根
算术平方根
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根.
1. 因为 32 = 9 ，所以 9 的算术平方根是＿＿.
3
2.下列说法正确的是 .
① 7 是 49 的算术平方根.
② 0.01 是 0.1 的算术平方根.
①
一、算术平方根的概念
刻意练习
6.1.1算术平方根
算术平方根
a 的算术平方根
互为
逆运算
平方根号
被开方数
读作：根号 a
(a≥0)
怎么用符号来表示一个数的算术平方根？
(x≥0)
二、数学符号表示
6.1.1算术平方根
算术平方根
判断题：下列各式是否有意义？为什么？
有
有
有
无
刻意练习
6.1.1算术平方根
算术平方根
怎样用两个面积为1的小正方形
拼成一个面积为2的大正方形？
思维碰撞
解：设大正方形的边长为 ,
则有 ，
叫做2的算术平方根，
2的算术平方根记作 ，
所以大正方形的边长为 .
6.1.1算术平方根
算术平方根
例1 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2） ； （3）
解:（1）由于102=100，
因此 .
（2）由于 2= ，
因此 .
（3）由于 0.72 = 0.49，
因此 .
不难看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大
例2 计算：（1） ； （2） .
解：(1) 原式 = 7 + 3 - 1 = 9.
(2) 原式 = 2 + 3 - 4 = 1.
典例精析
6.1.1算术平方根
算术平方根
1）16 的算术平方根是______；
4
2
2） 的算术平方根是______.
例3 填空：
注意文字或算术的表述，读清题意，再进行计算，以防误解.
先将原题化简，
再做题！！
要求一个数的算术平方根，就是要看哪个非负数的平方会等于这个数。
6.1.1算术平方根
算术平方根的双重非负性
思维碰撞
在 中， 可以取任何数吗？
会是负数吗？
表示什么含义？
6.1.1算术平方根
算术平方根的双重非负性
算术平方根具有双重非负性
a 的算术平方根
非负数
非负数
6.1.1算术平方根
算术平方根
一个正数的算术平方根有几个？
一个正数的算术平方根有 1 个.
负数没有算术平方根.
-1有算术平方根吗？负数有算术平方根
0 的算术平方根有一个，是 0.
0 的算术平方有几个？
6.1.1算术平方根
算术平方根的双重非负性
思维碰撞
思考：
开平方和平方互为逆运算
一个非负数的算数平方根的平方等于它本身：
6.1.1算术平方根
算术平方根的双重非负性
解： 无意义，因为其被开方数不是非负数．
下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
注意：被开方数为非负数.
刻意练习
6.1.1算术平方根
算术平方根的双重非负性
例4 若 |m - 1| + = 0，求 m + n 的值.
解：因为 |m - 1|≥0， ≥0，
又 |m - 1| + = 0，
所以 |m - 1| = 0， = 0，
所以 m = 1，n = -3，
所以 m + n = 1 + (-3) = -2.
几个非负式的和为 0，则每个式子均为 0，现阶段学过的非负式有绝对值式、平方式及算术平方根.
6.1平方根
算术平方根的双重非负性
例5 已知：|x + 2y| + .
求 x - 3y + 4z 的值.
解：由题意得
解得
能力提升
6.1.1算术平方根
算术平方根
3.若 ，则 a = ；
2.若 = 0，则 m = ；
4.若|a - 5|+ ，则代数式(a + b)2023 =___.
1.若 |a + 4| = 0， 则 a = ；
-4
7
5
1
到目前为止，表示非负的式子有：
| a |≥0，a2 ≥0， ≥0.
刻意练习
6.1.1算术平方根
算术平方根
例5 自由下落物体下落的距离 h (米)与下落时间 t (秒)的关系为 ．有一铁球从 44.1 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解：将 h＝44.1 代入公式，得
，
即 ，
所以正数 .
即铁球到达地面需要 3 秒.
单元学习任务一
解决数学危机
大约在公元前370年，穷竭法的鼻祖——欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书的第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量分离开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数。至此，第一次数学危机圆满终结。
6.1.1算术平方根
课堂练习
1.填空：
(1) 一个数的算术平方根是 3，则这个数是 .
(2) 一个自然数的算术平方根为 a，则这个自然数是
_____；比这个自然数大的相邻自然数是 _ .
(3) 的算术平方根为 .
(4) 2 的算术平方根为____.
3
9
a2
a2 + 1
6.1.1算术平方根
课堂练习
2. 求下列各数的算术平方根：
（1）169； (2) ； (3) 0.0001.
解：(1)因为 132 = 169，所以 169 的算术平方根是 13，
即 .
(2)因为 ，所以 的算术平方根是 ，
即
(3)因为0.012 =0.0001,所以0.0001的算术平方根是
0.01，即
6.1.1算术平方根
课堂练习
解：设每块地板砖的边长为 x m. 由题意得
故每块地板砖的边长是 0.7 m.
3.用大小完全相同的 200 块正方形地板砖，铺一间面积为 98 m2 的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？
6.1.1算术平方根
课堂小结
应用
双重非负性
概念
算术
平方根