新版北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线导学案

第二章 相交线与平行线
第一节 两条直线的位置关系（1）
【学习目标】
1．在具体情境中了解余角与补角，知道余角和补角的性质，通过练习掌握余角和补角的概念及性质，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
2．经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力；经历探索余角、补角、对顶角的性质的过程。
3.通过学生动手操作、观察、合作、交流，进一步感受学习数学的意义，培养其主动探索、合作以及解决问题的能力。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合
【学习重难点】掌握余角、补角和对顶角的概念，性质及应用。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一．学习准备
观察下面几幅生活中的图片：
1.在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两种
2.在同一平面内，不相交的两条直线叫做__________.
3.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 .
二、教材精读
（1）如果将剪刀的图简单的表示为图2-1，那么∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？能试着说明,你的理由吗？
解: ，即 ，
，等式两边同时都减去_____________， ,,得： 。
归纳：在图2-1中，直线AB与CD相交于点O，的有一个公共点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫 。
（2）在图2-1中，有什么数量关系？
解：由可知
总结： 如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角.
类似的，如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角.
注意：互余和互补是指两个角的数量关系，与它们的位置无关。
模块二 合作探究
如图2-2,打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹的红球会直接入袋，此时
将图2-2抽象成成图2-3，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=，∠1=∠2。在图2-3中：
（1）：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
（2）：∠3与∠4有什么关系？为什么？
（3）：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？ 你还能得到哪些结论？
解：（1）互为补角的如
（2）相等，
，
(3)
,
且
结论归纳：同角或等角的 相等，同角或等角的 相等。
模块三 形成提升
1.判断下列说法是否正确
（1）300 ，700 与800 的和为平角，所以这三个角互余。（ ）
（2）一个角的余角必为锐角。 （ ）
（3）一个角的补角必为钝角。 （ ）
（4）900 的角为余角。 （ ）
两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关（ ）
总结提示：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置关系无关。
2.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由。
3. 如图，∠AOC+∠DOE+∠BOF= .
4. 的余角等于32°，则的补角等于 .
模块四 小结反思
本课知识
对顶角有如下性质对顶角
如果两个角的和是，那么称这两个角互为
如果两个角的和是，那么称这两个角互为
同角或等角的 相等，同角或等角的 相等。
二、我的困惑：
第一节 两条直线的位置关系 (2)
【学习目标】
1．使学生理解垂线的意义和垂线的第一个性质．
2．会用三角板过一点画已知直线的垂线，培养学生掌握画图的基本技能．
3．通过垂线性质的教学，培养学生发现问题的能力．
【学习方法】自主探究与合作交流相结合
【学习重点】会用工具按要求画垂线，掌握垂线（段）的性质.
【学习难点】从实际生活中感知垂线的性质以及体会点到直线的距离的意义，并能用准确的数学语言加以描述.
【学习过程】
模块一 预习反馈
一．学习准备
1.观察下列图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
2. 垂直的概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是______，那么称这两条直线互相______，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做________。
3.垂直的表示：
如图2-4，如果用AB，CD表示两条互相垂直的直线，可以记作______；如图2-5如果用AB，CD表示两条互相垂直的直线，可以记作______，其中点O是垂足.
二．教材精读
如图2-6，点A在直线上，过点A画直线的垂线，你能画出多少条？如果点A在直线外呢？
如图2-7，点P是直线外一点，PO⊥，O是垂足，A，B，C在直线上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？
解：（1）无论点A在直线上，还是直线外，过点A均只能画 条的垂线。
（2） 最短
归纳总结：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
②直线外一点与直线上各个点连接的所有 中， 最短
（3）如图2-8，过点A做的垂线，垂足为B，线段AB的
长度叫做点A到直线的____________。
模块二 合作探究
（1）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？说说你的画法和理由
（2）你能借助三角尺，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！
（4）如图，如何测量跳远成绩？
模块三 形成提升
1．下列说法中，正确的个数有（ ）
①有且只有一条直线与已知直线垂直②两条直线相交，一定垂直③若两条直线相交所形成的四个角相等，则这两条直线垂直A、1个 B、2个 C、3个 D、0个
2．到直线l的距离等于5cm的点有 （ ）
A、2个 B、1个 C、无数个 D、无法确定
3．如图，AD⊥BD,BC⊥CD AB=m，BC=n，
则BD的取值范围是 （ ）
A、BD>m B、BD模块四 小结反思
本课知识
1.两条直线相交成四个角，如果有一个角是________，那么称这两条直线互相_________，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做___________。
2.如果用a，b表示两条互相垂直的直线，可以记作 ，
如果用AB，CD表示两条互相垂直的直线，可以记作 ，其中点O是垂足.
3. ①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 。
②直线外一点与直线上各个点连接的所有 中 最短
二、我的困惑：
第二节 探索直线平行的条件 (1)
【学习目标】
1．通经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等判别直线平行的结论，并能解决一些问题。
2．会识别由“三线八角”构成的同位角，会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
3．经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合
【学习重难点】掌握利用同位角相等判别直线平行的结论，并能解决一些问题。
【学习过程】
模块一 预习反馈
学习准备
1.（1）在同一平面内两条直线的位置关系有 几种？分别是什么？
（2）如图2-9，两条直线相交所构成的四个角中分别有何关系？
2.装修工人如图2-10正在向墙上钉木条。如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？
解：当木条a与墙壁边缘所夹角是 度时，木条a与木条b_______。
二、教材精读
1.如图，三根木条相交成∠1， ∠2，固定木条b，c，转动木条a
当∠1＞∠2时 当∠1=∠2时 当∠1＜∠2时
①直线a和b不平行 ②直线__________ ③直线____________
认识“三线八角”：两条直线被第三条直线所截，形成“三线八角”，具有∠1
与∠2这样位置关系的角称为同位角
①∠1和∠2是同位角
②∠3和∠4是
③∠5和 是同位角
④ 和∠8是同位角
注意： 同位角在被截直线的同一侧，在截线的同一方
判定两条直线平行的方法：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线 。 简称： 相等，两直线平行。
用符号“____”表示，例如，直线a与直线b平行，记作_______。
实践练习：如图2-12：因为∠1=∠2根据 相等,两直线平行
所以 ∥b
模块二 合作探究
你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画出几条？
在图2-13中，分别过点C，D画直线AB的平行线EF，GH，那么EF与GH又怎么样的位置关系？
解：（1）能过直线AB外一点画直线AB的平行线，只能画 条
（2）EF GH
归纳总结：①过直线外一点有且只有 直线与这条直线平行
②平行于同一直线的两条直线
实践练习：如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗 为什么
解：
//
又且
（同角的的补角相等）
（ ）
// （平行于同一直线的两直线平行）
模块三 形成提升
1．b∥a , c∥a , 那么 ，理由:
2.如右图所示,BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.
(1)由∠CBE=∠A可以判断______∥______,根据是_______________________.
(2)由∠CBE=∠C可以判断______∥______,根据是_________.
3. 如图所示,请写出能够得到直线AB∥CD的所有直接条件.
模块四 小结反思
本课知识
1.判定两条直线平行的方法：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线 ，简称： 相等，两直线平行。
2.①过直线外一点有且只有 直线与这条直线平行。
②平行于同一直线的两条直线 。
我的困惑：
探索直线平（2）
【学习目标】
会识别由“三线八角”构成的内错角合同旁内角。
2、经历探索直线平行条件的过程，掌握利用内错角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决一些问题。
3、经历观察、操作、想象、图利、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合
【学习重难点】
掌握利用内错角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决一些问题。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
1.如图2-14，直线 a，b被直线c所截.
(1)数一数图中有几个角（不含平角）？
(2)写出图中的所有同位角，并用自己的语言说明什么样的角是同位角？
(3)同位角具备什么关系能够判断直线a∥b？你的依据是什么？
解：（1）图中有 个角
（2）同位角有 ， ， ， ，
（3）只要（2）中任意一组同为角 ，a//b，依据是 .
教材精读
1. 图2-15中∠3与∠5,∠4与∠6这样位置关系的角有什么特点？说说你的理由。
解：∠3与∠5,∠4与∠6这样位置关系的角，在两条被截直线的 部，在截线的 侧，位置是交错的，这样的角叫做内错角。
2. 图2-15中∠3与∠6,∠4与∠5这样位置关系的角呢？说说你的理由。
解：∠3与∠6,∠4与∠5这样位置关系的角，在两条被截直线的 部，在截线的 ，这样的角叫做同旁内角。
实践练习：1.观察右图并填空：
（1）∠1 与 是同位角;
（2）∠5 与∠3是 角;
（3）∠1 与 是内错角.
2. 如图，直线AB，CD被EF所截，构成了八个角，你能找出哪些角是同位角、内错角、同旁内角吗？
解：同位角有 和
内错角有 和
同旁内角 和
3.（1）内错角满足什么关系时？两直线平行？为什么？
_____________________________________________________________________
（2）同旁内角满足什么关系时？两直线平行？为什么？
______________________________________________________________________
4. 看图填空：
解：（1）∠1 = ∠2（已知）
∠1 = ∠3（对顶角 ）
∠3 = （等量代换）
直线 a∥ （ 相等，两直线平行）
（2）∵ ∠1 与∠2 （已知）
∠1 与∠3是 （邻补角定义）
∴ ∠3 = （同角的 相等）
∴ 直线 a b. （ ）
归纳总结：内错角相等 相等 两直线平行
内错角相等 两直线平行
同旁内角互补
同位角相等 两直线平行
模块二 合作探究
1.做一做：你能用三块大小相同的三角板（30°，60°，90°）拼接成一个含有平行线段的图形吗 试一试，多拼几个图形，找出平行线段后，说明你的理由。
模块三 形成提升
1. 如图(1)∵∠A=_____(已知)，
∴AC∥ED( )
(2)∵∠2=_____(已知)，
∴AC∥ED( )
(3)∵∠A+_____=180°(已知)，
∴AB∥FD( )
(4)∵∠A+_____=180°(已知)，
∴DE∥AC( )
2.看图填空：
（1）如右图，∵∠1＝∠2
∴ ∥ ，
∵∠2＝
∴ ∥ ，同位角相等，两直线平行
∵∠3＋∠4＝180°
∴ ∥ ，( )
∴AC∥FG ( )
（2）如右图，∵∠2= ，
∴DE∥BC ( )
∵∠B＋ ＝180°( )
∴DB∥EF
∵∠B＋∠5＝180°( )
∴ ∥ ， ( )
3．如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE是∠ABC、∠ ADC的角平分线，∠1＝∠2.求证：DC∥AB.
模块四 小结反思
本课知识
1. 内错角相等 相等 两直线平行
相等
同旁内角互补
同位角相等 两直线平行
我的困惑：
第三节 平行线的性质（1）
【学习目标】
1．经历观察、操作、推理、交流等活动，了解平行线的性质，能运用这些性质进行简单的推理或计算。
2．经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理地表达的能力；经历探索平行线的特征的过程。
3.通过学生学习动手操作、观察、合作、交流，进一步感受学习数学的意义，培养其主动探索、合作以及解决问题的能力。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合
【学习重难点】平行线的性质，并能运用这些性质进行简单的推理或计算。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
（1）因为∠1=∠5 (已知)
所以 a∥b（ ）
（2）因为∠4=∠ (已知)
所以a∥b（内错角相等，两直线平行 ）
（3）因为∠4+∠ =1800 (已知)
所以a∥b（ ）
二、教材精读
直线a与直线b平行。
（1）测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系 图中还有其他的同位角吗？它们的大小有什么关系？
（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？
（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？
（4)换另一组平行线试试，你能得到相同的结论吗？
解：（1）经测量∠1=∠5，图中还有同为角为：∠2和 ， 和∠7， 和∠8，经测量他们都 .
（2）图中有 对内错角，他们都 。
理由：∠1=∠5 （已知）
∠1= （对顶角相等）
∴∠4= （等量代换）
同理可知∠3=
（3）图中有 对同旁内角，他们都 。
理由：∠1=∠5 （已知）
∠1+∠3= （邻补角定义）
∴ +∠3=（等量代换）
同理可知∠4+ =
（4）能得到相同的结论
归纳总结：性质1:两条平行直线被第三条直线所截, 相等。
简称：两直线平行, 同位角相等.
性质2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。
简称：两直线平行, 相等.
性质3:两条平行直线被第三条直线所截, 互补。
简称：两直线平行, 互补.
模块二 合作探究
1.如图所示，一束平行光线AB与DE 射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4。（1）∠1 ，∠3的大小有什么关系？∠ 2与∠4呢？（2）反射光线BC与EF也平行吗？
解：∵AB//DE（已知）
∴∠1= （ ）
又∵∠1=∠2（ ）
∴∠2= （ 代换）
又∵∠3=∠4（已知）
∴∠2= （等量代换）
∴BC//EF （ ）
模块三 形成提升
1.如图
∵ AD//BC (已知)
∴ ∠B=∠1 ( )
∵ AB//CD (已知)
∴ ∠D＝∠1 ( )
∵ AD//BC (已知)
∴ ∠BCD＋_______＝180 ( )
2．当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角会是什么关系呢？试探究下列问题：（1）如图（1）所示， AB∥ED， BC∥EF，那么∠B与∠E的
关系是______（2）如图（2），AB∥ED， BC∥EF，那么∠B与∠E的关系是
。总结上面的结论是________________________________
模块四 小结反思
一、本课知识
1:两条平行直线被第三条直线所截, 相等。
简称：两直线平行, 同位角 相等.
2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。
简称：两直线平行, 相等.
3:两条平行直线被第三条直线所截, 互补。
简称：两直线平行, 互补.
我的反思：____________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
第三节 平行线的性质（2）
编者：唐道喜
【学习目标】
1.会利用平行线的特征解决一些简单的问题；
2.学会几何简单推理过程的书写。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合
【学习重难点】平行线的性质，并能运用这些性质进行简单的推理或计算。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一、学习准备
1.平行线的性质有哪几条？
2.判别直线平行的条件有哪几个？你现在一共有几个判定直线平行的方法？
解：（1）平行线的性质1:两条平行直线被第三条直线所截, 相等。
性质2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。
性质3:两条平行直线被第三条直线所截, 互补。
判别直线平行的条件有
同位角相等
内错角 两直线平行
同旁内角
二、教材精读
1. 如图：（1）若∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（2）若∠2=∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（3）若∠2 +∠3=180°，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
解:（1）∵∠1=∠2（ ）
∴BF// （ ）
（2）∵∠1=∠2（ ）
∴BF// （ ）
（3）∵∠2=∠M（ ）
∴BF// （ ）
2.如图所示:AB∥CD,如果∠1=∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由。
解： ∵∠1 = ∠2 （ ）
∴ EF∥ （ ）
又∵AB∥CD（ ）
∴ ∥ （__________ ）
3.已知直线a∥b,直线c∥d, ∠1=110°,求∠2，∠3的度数。
解：∵a∥b，且∠1=110°（已知）
∴ ∠2 = ∠1 =
∵c∥d（ __________ ）
∴∠1 ＋ ∠3 = （ ）
∴ ∠3 = 180°- （等式的基本性质）
= 180°-110°
=
实践练习：如图,选择合适的内容填空。
（1） ∵AB//CD
∴ =∠2（ ）
（2） ∵∠3＝∠1
∴ // （同位角相等，两直线平行）
（3） ∵∠1＋ ＝180
∴AB//CD（ ）
模块二 合作探究
1.如图，平行直线AB,CD被直线EF所截，分别交直线AB,CD于点G,M。GH和MN分别是∠EGB和∠EMD的角平分线 ，问：GH和MN平行吗？请说明理由。
解：∵AB//CD（ ）
∴∠EGB= （ ）
∵GH和MN分别是∠EGB和∠EMD的角平分线 （已知）
∴∠EGH= ∠EGB
且∠EMN=
∴∠EGH=∠EMN
∴ // （同位角相等， ）
模块三：形成提升
1.填空
（1）如图，∵AC∥ED（已知）
∴∠A=_____（ ）
（2）如图，∵AC∥ED（已知）
∴∠EDF=_____（ ）
（3）如图，∵AB∥FD（已知）
∴∠A+____ =1800（ ）
（4）如图，∵AB∥FD（已知）
∴∠EDF+____=1800（ ）
（5）如图，∵BD∥EC（已知）
∴∠DBA=_____（ ___________ __ ）
∵∠C=∠D （已知）
∴∠DBA=______（ ）
∴FD∥_____（ ）
∴∠A=∠F （ ）
2.如图所示，已知AD//BC，∠DBC与∠C互余，BD平分∠ABC，如果∠A=1120，那么∠ABC的度数是多少？∠C的度数呢？
模块四 小结反思
本课知识
1.同位角相等，两直线 . 2.内错角 ，两直线平行.
3.同旁内角 ，两直线平行. 4.两直线平行, 同位角 相等.
5.两直线平行, 相等. 6.两直线平行, 互补.
二、我的困惑：
第四节 用尺规作线段和角
【学习目标】
1.会利用尺规作一条线段等于已知线段，并能了解尺规作图中的简单应用。能利用尺规作线段的和、差。
2．能按照作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。能利用尺规作角的和、差、倍。
3.在尺规作图过程当中，积累数学活动经验，培养动手能力和逻辑分析能力。
【学习方法】自主探究与合作交流相结合
【学习重难点】用尺规作一条线段等于已知线段，及简单的应用。
【学习过程】
模块一 预习反馈
学习准备
1.已知：线段AB．
求作：线段A’B’，使A’B’＝AB．
作法：（1）做一条射线A’C
（2）用圆规在 截取A’B’＝
线段A’B’就是所求作的
教材精读
1.如图2—23，要在长方形木板上截一个平
行四边形，使它的一组对边在长方形木板
的边缘上，另一组对边中的一条边为AB。
（1）请过C点画出与AB平行的另一条边
（2）如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？
解：（1）“过直线外一点作已知直线的平行线”
（2）相当于 “过点C作∠ECD等于已知∠CAB.”
“作一个角等于已知角”
已知： ∠AOB。求作： ∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=∠AOB。
作法：（1） 作射线O’A’;
（2） 以点O为圆心，任意长为 画
弧交OA于点C，交OB于点D;
（3） 以点O’为圆心，同样 长为半径
画弧交O’A’于点C’;
（4） 以点C’为圆心， 长为 画弧，交前面的弧于点D’ ，
（5） 过点D’作射线O’B’.
模块二 合作探究
1、如右图，已知线段a 和两条互相垂直的直线AB，CD。
（1）利用圆规，在射线OA，OB，OC，OD上作线段OA’，OB’，OC’，OD’，使它们分别与线段a 相等。
(2) 依次连接A’，C’ ，B’，D’，A’.
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流。
______________________________________
____________________________
模块三 形成提升
1.如图，已知线段a和b，直线AB与CD垂直且相交于点O．
利用尺规，按下列要求作图：
（1）在射线OA ， OB ， OC上作线段O A’，OB’ ，OC’，使它们分别与线段a 相等；
(2) 在射线OD上作线段OD’，使OD’等于b；
(3) 依次连接A’，C’，B’，D’，A’.
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流．
_______________________________________
_____________________________________________________________________
2.已知：如图∠α， ∠β
求作： ∠AOB，使得∠AOB= ∠α-∠β
模块四 小结反思
一、本课知识点：
二、我的困惑：
第二章《平行线与相交线》
回顾与思考
【学习目标】
1．掌握平行线与相交线的相关知识，梳理本章内容，建立一定的知识体系；并能够综合运用这些知识解决相关的问题。
2．在丰富的情景中，抽象出平行线、相交线等几何模型，通过讨论角与角之间的关系，进一步认识平行线和相交线。
3．在认识操作基础上锻炼学生的语言表达能力以及逻辑思维能力。
【学习方法】小组合作学习
【学习重难点】
1、掌握本单元的知识点，建立知识体系。
2、多角度地了解平行线与相交线的性质和证明。
【学习过程】
模块一
1.展示自己的知识网络图
2.方法总结：
模块二
典型例题
1. 如图，已知：AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，请说明：AE⊥CF.
2. 如图，已知，求的度数.
3.如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG∥AB.
4.已知∠AOB及两边上的点M、N（如图）请用尺规分别过点M、N作OB、OA的平行线，不写作法，保留作图痕迹。
模块三 形成提升
2.如图，BC∥DE，小颖用量角器分别画出∠ABC、∠ADE的角平分线BG、DH，想一想，小颖所画的这两条射线BG和DH会平行吗？为什么？（请你先用量角器画出这两条角平分线）
对顶角有如下性质：
对顶角
2
D
C
O
1
3
4
A
N
B
图2-3
图2-2
H
G
F
E
D
C
B
A
图2-13
b
a
2
3
1
C
A
B
D
1
（角平分线定义）