辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022·运城模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·葫芦岛期中）若复数满足，则（ ）
A． B． C．5 D．
3．（2021·日照模拟）函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 ，若点 在椭圆 （ ， ）上，则 的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．（2020高三上·运城期中）函数 在 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高三上·葫芦岛期中）从混有张假钞的张百元钞票中任意抽出张，将其中张放到验钞机上检验发现是假钞，则另张也是假钞的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021高一下·沈阳期末）在等腰梯形 中， 是腰 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
7．（2022高三上·葫芦岛期中）已知变量x，y的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据下：
16 17 18 19
50 34 41 31
由上表可得线性回归方程，则c＝（ ）
A． B． C．109 D．
8．（2022高三上·葫芦岛期中）已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若为以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·葫芦岛期中）若函数两条对称轴之间的最小距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递减
C．将函数图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称
D．若，则
10．（2021·济南模拟）已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．ab的最大值为 D． 的最小值为
11．（2022高三上·葫芦岛期中）已知点，若圆上存在点M满足，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．0
12．（2022高三上·葫芦岛期中）香囊，又名香袋 花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是（ ）
A．AB⊥DE
B．直线CD与直线EF所成的角为45°
C．该六面体的体积为
D．该六面体内切球的表面积是
三、填空题
13．（2022高三上·葫芦岛期中）的展开式中按的升幂排列的第3项的系数为 .
14．（2020高三上·赣州期中）已知向量 ， 的夹角为60°，且 ， ，则 .
15．（2019高三上·宜昌月考）若两曲线 与 存在公切线，则正实数 的取值范围是 ．
16．（2022高三上·葫芦岛期中）已知数列满足．给出定义：使数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内的所有“好数”的和为 ．
四、解答题
17．（2021高三上·长春月考）已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）在 中，角A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 ，求 的取值范围.
18．（2022高二上·许昌期末）在数列中，，且成等比数列．
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为，证明：．
19．（2021·广东模拟）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，
（1）证明： 平面 ；
（2）线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
20．（2022高三上·葫芦岛期中）2020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为．而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复．记某同学第天选择类套餐的概率为．
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择类套餐的人数为，求的分布列并求；
（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，如何安排分发、套餐的同学的人数呢，说明理由．
21．（2022高三上·葫芦岛期中）已知是椭圆C：与抛物线E：的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点.
（1）求椭圆C及抛物线的方程；
（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（注：为坐标原点），点是线段的中点，连接并延长交椭圆于点，求的值.
22．（2022高三上·葫芦岛期中）已知函数，其中e是自然对数的底数．
（1）设直线是曲线的一条切线，求的值；
（2）若，使得对恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】对于A， ， ，即 ，
对于B，由于 ， ，即 ，
，
故答案为：C.
【分析】 先分别求出集合A、 B，然后结合集合的并集运算即可求解出答案.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由复数的四则运算可得，
因此，.
故答案为：A.
【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解出答案.
3．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由 ，即 ，得 ，所以 ，
因为点 在椭圆 上，所以 （ ， ），
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
故答案为：C
【分析】 由函数图象恒过定点A，可以确定点A的坐标，进而点A的坐标满足椭圆方程，得到一个等式，再利用基本不等式即可得到结果．
4．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】 ，由此排除BD选项.
当 时， ，
，
，由此排除A选项.
故答案为：C
【分析】 根据题意，先分析函数的奇偶性排除D，求出f(2π)的值排除B，进而可得在区间上，有f(x) >0，排除A，即可得答案.
5．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记事件抽到的至少张钞票是假钞，记事件抽到的张钞票都是假钞，
则，，
因此，.
故答案为：C.
【分析】利用条件概率公式可求得另张也是假钞的概率.
6．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：如图，以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得 ，设 ，其 ，
则 ，
所以 ，
所以
，
所以当 时， 取最小值 ，
故答案为：C
【分析】 根据题意，建立坐标系，表示出B、C、P的坐标，求出 的坐标，进而可得
的表达式，由向量模的计算公式分析可得答案.
7．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；线性回归方程
【解析】【解答】由表格数据知：.
由，得，则.
∴，
由，得，
∴，即.
故答案为：D.
【分析】由已知求得的值，代入线性回归方程求得a，再由得，结合z=lny，得z=lnc+kx，则，由此求得c的值.
8．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，
又，所以，从而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故答案为：C．
【分析】由题意，结合条件可得，，，，在和中，分别运用余弦定理建立方程，化简整理，由离心率公式计算即可求出答案.
9．【答案】A,C
【知识点】余弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】两条对称轴之间的最小距离为，
，，则，即，A符合题意；
当时，，根据余弦函数的单调性，可得当，即时，单调递增，B不符合题意；
将函数图象向右平移个单位长度后得关于轴对称，C符合题意；
由可得，
则，
则，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由题意和周期公式可得，即可判断A；利用余弦函数的单调性即可判断B；利用三角函数的图象变换以及余弦函数的性质即可判断C；由可得，即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 可得， ，即 ．所以A不符合题意，B符合题意；
因为 ，当且仅当 时取等号，所以ab的最大值为 ，C符合题意；
因为 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】首先由对数的运算性质整理化简原式，再由基本不等式对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；轨迹方程
【解析】【解答】设点，则，
所以，
所以的轨迹方程为，圆心为，半径为2，
由此可知圆与有公共点，
又圆的圆心为，半径为1，
所以，解得.
故答案为：BD.
【分析】 求出M的轨迹为圆，于是M的轨迹圆与所给圆有公共点，列出不等式求出a的取值范围，进而得实数的值 .
12．【答案】A,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】由题知，所给六面体由两个同底面的正四面体组成，将题图2的平面展开图还原为直观图后如下图所示，其中四点重合.
对于A：
取的中点，连接，则.
又
平面
又平面
故正确.
对于B：
由图可知，与分别为正三角形的边，其所成的角为
故错误.
对于C：
连接，过点作平面，则垂足在上，且，
该六面体的体积
C不符合题意.
对于D：
该六面体的各棱长相等
其内切球的球心必在公共面上
又为正三角形
点即为该六面体内切球的球心，且该球与相切
过点作，则就是内切球的半径.
在Rt中，
该内切球的表面积为
D符合题意
故答案为：AD.
【分析】根据条件证明平面根据线面垂直的定义可判断A；根据正四面体的性质可知直线CD与EF成60°角，可判断B；连接，过点作平面，计算可得正四面体的高，六面体体积为2个正四面体体积之和，计算可得结果，从而判断C；过点作，则就是内切球的半径，Rt中计算得ON的长度，代入球的表面积公式计算可判断D.
13．【答案】-26
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意知：按的升幂排列的第3项为含项，
∴，
∴该项的系数为-26.
故答案为：-26.
【分析】由题意知：按的升幂排列的第3项为含项，展开式中按的升幂排列，即可求出项的系数.
14．【答案】2
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】
，
因此， .
故答案为：2.
【分析】利用平面向量数量积计算得出 的值，进而可求得 的值.
15．【答案】(0,2e]
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】设两个切点分别为 ,两个切线方程分别为 , ,化简得 两条切线为同一条，可得 , , ,令 ， ，所以g(x)在 递增， 递减， ，
所以 (0,2e]，填(0,2e]。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式分别求出两曲线的切线，再利用两曲线公切线的求解方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出正实数a的取值范围。
16．【答案】2026
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题，
．
所以，．
因为为正整数，所以，即．
令，则．
因为，所以．
因为为增函数，且
所以．
所以所有“好数”的和为．
故答案为：2026．
【分析】先计算出数列 的前k项和，然后找到使其为正整数的 ，相加即可得答案.
17．【答案】（1）解：由图象知 A=1， ， ，
将点 代入解析式得 ，
因为 ，
所以 ，
所以.
（2）解：由 ，得 ，
所以 ， .
因为 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
所以
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质，运用数形结合思想求解即可；
（2）根据正弦定理，两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质求解即可.
18．【答案】（1）证明：由 ，得 ，即 ，
所以数列 是等差数列，其公差为 ，首项为1，
因此， ， ，
由 成等比数列，得 ，即 ，
解得 或 （舍去），故 ．
（2）解：因为 ，
所以
因为 ，所以 ．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1)利用已知条件推出 数列 是等差数列，其公差为 ，首项为1， 求出通项公式，结合 成等比数列，转化求解即可得 的通项公式；
(2)化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，即可证得 ．
19．【答案】（1）证明： 平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ，
平面 ， ，
在直角梯形 中， ，
，
， ， ，即 ，
又 ， 、 平面 ，
平面 ．
（2）解：以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，4， ，
，0， ， ，1， ， ，4， ，
设 ， ， ，则 ，0，
，1， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ， ，1， ，
与平面 所成角的正弦值为 ，
， ，
化简得 ，解得 ，
故线段 上存在点 满足题意，且 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)由平面PAB⊥平面ABCD，推出AD⊥平面PAB，有AD⊥PA，再由勾股定理的逆定理证明PA⊥AC，最后由线面垂直的判定定理，得证；
(2)以A为原点建立空间直角坐标系，设 ， ， ， 求得平面PCD的法向量 ，由 ， 求出 的值后，即可得解.
20．【答案】（1）证明：依题意，，
则.
当时，可得，
∴数列是首项为公比为的等比数列.
.
（2）解：第二天选择类套餐的概率；
第二天选择类套餐的概率，
∴3人在第二天的有个人选择套餐，
的所有可能取值为0、1、2、3，
有，
∴的分布列为
0 1 2 3
故.
（3）解：由（1）知：，
∴，即第30次以后购买套餐的概率约为.
则，
∴负责套餐的8人，负责套餐的12人.
【知识点】数列的递推公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由题意可得 ，，再结合等比数列的通项公式，即可求证出数列的通项公式；
(2)根据已知条件，求得第二天选择A， B类套餐的概率，分别求出对应的概率，即可得X分布列，并结合期望公式，即可求解出 ；
(3)由的通项公式，可得 ，根据总人数为20人，即可求解出分发、套餐的同学的人数 .
21．【答案】（1）解：∵是抛物线：上一点，
∴，即抛物线的方程为，焦点，
∴，
又∵在椭圆C：上，∴，
结合知，，
∴椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（2）解：设，，，，
∵点是线段的中点，∴，
，，，
∴，
∵点在椭圆上，
∴
∴
∵点在椭圆上，
又∵，斜率之积为，
∴，，，
∴，∴，∴或（舍），
∴，∴.
【知识点】平面向量的线性运算；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程
【解析】【分析】（1）先由点P在抛物线E上即可求出抛物线E的方程，然后结合抛物线E的焦点与椭圆C的焦点重合以及点P在椭圆C上即可求出椭圆C的方程；
（2） 设，， ， ， 根据向量的线性运算可得 ，由点在椭圆上，，斜率之积为， 可得 ， 求解可得的值，进而求出 的值.
22．【答案】（1）解：设切点为，其中，
有，且
得，所以，易解得：，则；
（2）解：记，有，
当，恒成立，则函数在上递增，无最小值，不符合题意；
当时，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，所以在处取得最小值，，
则有，记，
有，
易知在单调递增，在单调递减，
则，所以，得.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，根据切线方程得到关于 和a的方程，求解可得 的值；
(2)问题转化为 ，记， 根据函数的单调性求出m的范围.
1 / 1辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022·运城模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】对于A， ， ，即 ，
对于B，由于 ， ，即 ，
，
故答案为：C.
【分析】 先分别求出集合A、 B，然后结合集合的并集运算即可求解出答案.
2．（2022高三上·葫芦岛期中）若复数满足，则（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由复数的四则运算可得，
因此，.
故答案为：A.
【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解出答案.
3．（2021·日照模拟）函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 ，若点 在椭圆 （ ， ）上，则 的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由 ，即 ，得 ，所以 ，
因为点 在椭圆 上，所以 （ ， ），
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
故答案为：C
【分析】 由函数图象恒过定点A，可以确定点A的坐标，进而点A的坐标满足椭圆方程，得到一个等式，再利用基本不等式即可得到结果．
4．（2020高三上·运城期中）函数 在 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】 ，由此排除BD选项.
当 时， ，
，
，由此排除A选项.
故答案为：C
【分析】 根据题意，先分析函数的奇偶性排除D，求出f(2π)的值排除B，进而可得在区间上，有f(x) >0，排除A，即可得答案.
5．（2022高三上·葫芦岛期中）从混有张假钞的张百元钞票中任意抽出张，将其中张放到验钞机上检验发现是假钞，则另张也是假钞的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记事件抽到的至少张钞票是假钞，记事件抽到的张钞票都是假钞，
则，，
因此，.
故答案为：C.
【分析】利用条件概率公式可求得另张也是假钞的概率.
6．（2021高一下·沈阳期末）在等腰梯形 中， 是腰 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：如图，以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得 ，设 ，其 ，
则 ，
所以 ，
所以
，
所以当 时， 取最小值 ，
故答案为：C
【分析】 根据题意，建立坐标系，表示出B、C、P的坐标，求出 的坐标，进而可得
的表达式，由向量模的计算公式分析可得答案.
7．（2022高三上·葫芦岛期中）已知变量x，y的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据下：
16 17 18 19
50 34 41 31
由上表可得线性回归方程，则c＝（ ）
A． B． C．109 D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；线性回归方程
【解析】【解答】由表格数据知：.
由，得，则.
∴，
由，得，
∴，即.
故答案为：D.
【分析】由已知求得的值，代入线性回归方程求得a，再由得，结合z=lny，得z=lnc+kx，则，由此求得c的值.
8．（2022高三上·葫芦岛期中）已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若为以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，
又，所以，从而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故答案为：C．
【分析】由题意，结合条件可得，，，，在和中，分别运用余弦定理建立方程，化简整理，由离心率公式计算即可求出答案.
二、多选题
9．（2022高三上·葫芦岛期中）若函数两条对称轴之间的最小距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递减
C．将函数图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称
D．若，则
【答案】A,C
【知识点】余弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】两条对称轴之间的最小距离为，
，，则，即，A符合题意；
当时，，根据余弦函数的单调性，可得当，即时，单调递增，B不符合题意；
将函数图象向右平移个单位长度后得关于轴对称，C符合题意；
由可得，
则，
则，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由题意和周期公式可得，即可判断A；利用余弦函数的单调性即可判断B；利用三角函数的图象变换以及余弦函数的性质即可判断C；由可得，即可判断D.
10．（2021·济南模拟）已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．ab的最大值为 D． 的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 可得， ，即 ．所以A不符合题意，B符合题意；
因为 ，当且仅当 时取等号，所以ab的最大值为 ，C符合题意；
因为 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】首先由对数的运算性质整理化简原式，再由基本不等式对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2022高三上·葫芦岛期中）已知点，若圆上存在点M满足，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；轨迹方程
【解析】【解答】设点，则，
所以，
所以的轨迹方程为，圆心为，半径为2，
由此可知圆与有公共点，
又圆的圆心为，半径为1，
所以，解得.
故答案为：BD.
【分析】 求出M的轨迹为圆，于是M的轨迹圆与所给圆有公共点，列出不等式求出a的取值范围，进而得实数的值 .
12．（2022高三上·葫芦岛期中）香囊，又名香袋 花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是（ ）
A．AB⊥DE
B．直线CD与直线EF所成的角为45°
C．该六面体的体积为
D．该六面体内切球的表面积是
【答案】A,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】由题知，所给六面体由两个同底面的正四面体组成，将题图2的平面展开图还原为直观图后如下图所示，其中四点重合.
对于A：
取的中点，连接，则.
又
平面
又平面
故正确.
对于B：
由图可知，与分别为正三角形的边，其所成的角为
故错误.
对于C：
连接，过点作平面，则垂足在上，且，
该六面体的体积
C不符合题意.
对于D：
该六面体的各棱长相等
其内切球的球心必在公共面上
又为正三角形
点即为该六面体内切球的球心，且该球与相切
过点作，则就是内切球的半径.
在Rt中，
该内切球的表面积为
D符合题意
故答案为：AD.
【分析】根据条件证明平面根据线面垂直的定义可判断A；根据正四面体的性质可知直线CD与EF成60°角，可判断B；连接，过点作平面，计算可得正四面体的高，六面体体积为2个正四面体体积之和，计算可得结果，从而判断C；过点作，则就是内切球的半径，Rt中计算得ON的长度，代入球的表面积公式计算可判断D.
三、填空题
13．（2022高三上·葫芦岛期中）的展开式中按的升幂排列的第3项的系数为 .
【答案】-26
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意知：按的升幂排列的第3项为含项，
∴，
∴该项的系数为-26.
故答案为：-26.
【分析】由题意知：按的升幂排列的第3项为含项，展开式中按的升幂排列，即可求出项的系数.
14．（2020高三上·赣州期中）已知向量 ， 的夹角为60°，且 ， ，则 .
【答案】2
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】
，
因此， .
故答案为：2.
【分析】利用平面向量数量积计算得出 的值，进而可求得 的值.
15．（2019高三上·宜昌月考）若两曲线 与 存在公切线，则正实数 的取值范围是 ．
【答案】(0,2e]
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】设两个切点分别为 ,两个切线方程分别为 , ,化简得 两条切线为同一条，可得 , , ,令 ， ，所以g(x)在 递增， 递减， ，
所以 (0,2e]，填(0,2e]。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式分别求出两曲线的切线，再利用两曲线公切线的求解方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出正实数a的取值范围。
16．（2022高三上·葫芦岛期中）已知数列满足．给出定义：使数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内的所有“好数”的和为 ．
【答案】2026
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题，
．
所以，．
因为为正整数，所以，即．
令，则．
因为，所以．
因为为增函数，且
所以．
所以所有“好数”的和为．
故答案为：2026．
【分析】先计算出数列 的前k项和，然后找到使其为正整数的 ，相加即可得答案.
四、解答题
17．（2021高三上·长春月考）已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）在 中，角A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）解：由图象知 A=1， ， ，
将点 代入解析式得 ，
因为 ，
所以 ，
所以.
（2）解：由 ，得 ，
所以 ， .
因为 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
所以
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质，运用数形结合思想求解即可；
（2）根据正弦定理，两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质求解即可.
18．（2022高二上·许昌期末）在数列中，，且成等比数列．
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为，证明：．
【答案】（1）证明：由 ，得 ，即 ，
所以数列 是等差数列，其公差为 ，首项为1，
因此， ， ，
由 成等比数列，得 ，即 ，
解得 或 （舍去），故 ．
（2）解：因为 ，
所以
因为 ，所以 ．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1)利用已知条件推出 数列 是等差数列，其公差为 ，首项为1， 求出通项公式，结合 成等比数列，转化求解即可得 的通项公式；
(2)化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，即可证得 ．
19．（2021·广东模拟）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，
（1）证明： 平面 ；
（2）线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明： 平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ，
平面 ， ，
在直角梯形 中， ，
，
， ， ，即 ，
又 ， 、 平面 ，
平面 ．
（2）解：以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，4， ，
，0， ， ，1， ， ，4， ，
设 ， ， ，则 ，0，
，1， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ， ，1， ，
与平面 所成角的正弦值为 ，
， ，
化简得 ，解得 ，
故线段 上存在点 满足题意，且 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)由平面PAB⊥平面ABCD，推出AD⊥平面PAB，有AD⊥PA，再由勾股定理的逆定理证明PA⊥AC，最后由线面垂直的判定定理，得证；
(2)以A为原点建立空间直角坐标系，设 ， ， ， 求得平面PCD的法向量 ，由 ， 求出 的值后，即可得解.
20．（2022高三上·葫芦岛期中）2020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为．而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复．记某同学第天选择类套餐的概率为．
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择类套餐的人数为，求的分布列并求；
（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，如何安排分发、套餐的同学的人数呢，说明理由．
【答案】（1）证明：依题意，，
则.
当时，可得，
∴数列是首项为公比为的等比数列.
.
（2）解：第二天选择类套餐的概率；
第二天选择类套餐的概率，
∴3人在第二天的有个人选择套餐，
的所有可能取值为0、1、2、3，
有，
∴的分布列为
0 1 2 3
故.
（3）解：由（1）知：，
∴，即第30次以后购买套餐的概率约为.
则，
∴负责套餐的8人，负责套餐的12人.
【知识点】数列的递推公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由题意可得 ，，再结合等比数列的通项公式，即可求证出数列的通项公式；
(2)根据已知条件，求得第二天选择A， B类套餐的概率，分别求出对应的概率，即可得X分布列，并结合期望公式，即可求解出 ；
(3)由的通项公式，可得 ，根据总人数为20人，即可求解出分发、套餐的同学的人数 .
21．（2022高三上·葫芦岛期中）已知是椭圆C：与抛物线E：的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点.
（1）求椭圆C及抛物线的方程；
（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（注：为坐标原点），点是线段的中点，连接并延长交椭圆于点，求的值.
【答案】（1）解：∵是抛物线：上一点，
∴，即抛物线的方程为，焦点，
∴，
又∵在椭圆C：上，∴，
结合知，，
∴椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（2）解：设，，，，
∵点是线段的中点，∴，
，，，
∴，
∵点在椭圆上，
∴
∴
∵点在椭圆上，
又∵，斜率之积为，
∴，，，
∴，∴，∴或（舍），
∴，∴.
【知识点】平面向量的线性运算；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程
【解析】【分析】（1）先由点P在抛物线E上即可求出抛物线E的方程，然后结合抛物线E的焦点与椭圆C的焦点重合以及点P在椭圆C上即可求出椭圆C的方程；
（2） 设，， ， ， 根据向量的线性运算可得 ，由点在椭圆上，，斜率之积为， 可得 ， 求解可得的值，进而求出 的值.
22．（2022高三上·葫芦岛期中）已知函数，其中e是自然对数的底数．
（1）设直线是曲线的一条切线，求的值；
（2）若，使得对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：设切点为，其中，
有，且
得，所以，易解得：，则；
（2）解：记，有，
当，恒成立，则函数在上递增，无最小值，不符合题意；
当时，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，所以在处取得最小值，，
则有，记，
有，
易知在单调递增，在单调递减，
则，所以，得.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求出函数的导数，根据切线方程得到关于 和a的方程，求解可得 的值；
(2)问题转化为 ，记， 根据函数的单调性求出m的范围.
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