3.4.2圆周角与圆心角的关系（2） 学案
文档属性
| 名称 | 3.4.2圆周角与圆心角的关系（2） 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-13 19:54:00 | ||
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文档简介
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3.4.2圆周角与圆心角的关系（2） 导学案
课题 3.4.2圆周角与圆心角的关系（2） 单元 第3单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明.掌握圆内接四边形的有关概念及推论.理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用.
核心素养分析 运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生动手证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题.理解推论的“题设”和“结论”，灵活运用推论进行问题的“转化”.
学习目标 1.掌握圆周角定理的两个推论，会熟练运用这两个推论解决相关问题.2.掌握圆内接四边形的概念及性质，并能加以熟练运用．
重点 圆周角定理的两个推论及圆内接四边形性质的应用．
难点 运用圆周角定理及其推论解决问题.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.
教学过程
课前预学 引入思考活动内容1：（1）观察图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？ 处理方式：首先，让学生明确，“它所对的圆周角”指的是哪个角？（∠BAC）然后，让学生猜想，这个角的特点，并拿量角器实际测量，看看猜测是否准确.（∠BAC是一个直角）最后，让学生自行考虑进行证明的方法.引导应用圆周角和圆心角关系定理进行证明.（多媒体展示）解：（2）观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？处理方式：首先，让学生猜想结果；然后，再让学生尝试进行证明.解：（3）从上面的两个议一议，得出什么推论？ 处理方式：引导学生结合上面两题归纳，并用多媒体展示.直径所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 .几何表达为：活动内容2： （1）小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？活动内容3： 1.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，2.请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？处理方式：首先：引导学生进行猜想；然后：让学生进行证明.接着多媒体展示过程.解：3.如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？处理方式：首先：让学生猜想结论；然后：让学生拿出量角器进行度量，实验验证猜想结果；最后：让学生利用所学知识进行严密证明. 接着多媒体展示过程.解：4.圆内接四边形概念与性质探索如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？∠BAD与∠BCD之间有什么关系？处理方式：通过得出定义,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆.通过议一议环节，得出推论：圆内接四边形的对角互补.展示几何语言.
新知讲解 提炼概念推论1：直径所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 .几何表达为：直径所对的圆周角是直角；∵BC为直径，∴∠BAC=90°.（90°的圆周角所对的弦是直径）∵∠BAC=90°，∴BC为直径．推论2：圆内接四边形的对角 .多媒体展示几何语言.∵四边形ABCD为圆内接四边形∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）典例精讲 例 如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是( )A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°，遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中作辅助线的常用方法．2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题.
课堂练习 巩固训练 1、下列命题中，正确的命题个数是( )①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.下列命题：①圆内接平行四边形是矩形；②圆内接矩形是正方形；③圆内接菱形是正方形；④任意四边形一定有外接圆．其中真命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.已知△ABC 内接于⊙O，OD⊥AC 于点D，如果∠COD＝32°，那么∠B 的度数为( )A．16° B．32° C．16°或164° D．32°或148° 4.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于点E，F，若∠E =40°，∠F =60°,求∠A的度数.答案引入思考活动内容1：（1）解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°．证明：∵BC为直径，∴∠BOC=180°．∴．（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）（2）解：弦BC是直径.连接OC、OB．∵∠BAC=90°，∴∠BOC=2∠BAC=180°．（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）∴B、O、C三点在同一直线上．∴BC是⊙O的一条直径．（3）直径所对的圆周角是直角；∵BC为直径，∴∠BAC=90°.（90°的圆周角所对的弦是直径）∵∠BAC=90°，∴BC为直径．活动内容2： （3）解：∠BAD与∠BCD互补．∵AC为直径，∴∠ABC=90°,∠ABC=90°．∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°，∴∠BAD+∠BCD=180°．∴∠BAD与∠BCD互补．3.解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.连接OB，OD，∵,．（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）∵∠1+∠2=360°∴∠BAD+∠BCD=180°∴∠BAD与∠BCD互补4.∵四边形ABCD为圆内接四边形∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）提炼概念典例精讲 例 解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴四边形ABCD一定是矩形. 故选B.巩固训练1.A2.B3.D4.5.解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠ADC+∠CBA=180°（圆内接四边形的对角互补） ∵∠EDC+∠ADC=180°， ∠EBF+∠ABE=180° ∴∠EDC+ ∠EBF=180°∵∠EDC=∠F+∠A, ∠EBF=∠E+∠A∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°∵∠E =40°，∠F =60° ∴∠A=40°
课堂小结
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3.4.2圆周角与圆心角的关系（2） 导学案
课题 3.4.2圆周角与圆心角的关系（2） 单元 第3单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明.掌握圆内接四边形的有关概念及推论.理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用.
核心素养分析 运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生动手证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题.理解推论的“题设”和“结论”，灵活运用推论进行问题的“转化”.
学习目标 1.掌握圆周角定理的两个推论，会熟练运用这两个推论解决相关问题.2.掌握圆内接四边形的概念及性质，并能加以熟练运用．
重点 圆周角定理的两个推论及圆内接四边形性质的应用．
难点 运用圆周角定理及其推论解决问题.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.
教学过程
课前预学 引入思考活动内容1：（1）观察图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？ 处理方式：首先，让学生明确，“它所对的圆周角”指的是哪个角？（∠BAC）然后，让学生猜想，这个角的特点，并拿量角器实际测量，看看猜测是否准确.（∠BAC是一个直角）最后，让学生自行考虑进行证明的方法.引导应用圆周角和圆心角关系定理进行证明.（多媒体展示）解：（2）观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？处理方式：首先，让学生猜想结果；然后，再让学生尝试进行证明.解：（3）从上面的两个议一议，得出什么推论？ 处理方式：引导学生结合上面两题归纳，并用多媒体展示.直径所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 .几何表达为：活动内容2： （1）小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？活动内容3： 1.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，2.请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？处理方式：首先：引导学生进行猜想；然后：让学生进行证明.接着多媒体展示过程.解：3.如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？处理方式：首先：让学生猜想结论；然后：让学生拿出量角器进行度量，实验验证猜想结果；最后：让学生利用所学知识进行严密证明. 接着多媒体展示过程.解：4.圆内接四边形概念与性质探索如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？∠BAD与∠BCD之间有什么关系？处理方式：通过得出定义,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆.通过议一议环节，得出推论：圆内接四边形的对角互补.展示几何语言.
新知讲解 提炼概念推论1：直径所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 .几何表达为：直径所对的圆周角是直角；∵BC为直径，∴∠BAC=90°.（90°的圆周角所对的弦是直径）∵∠BAC=90°，∴BC为直径．推论2：圆内接四边形的对角 .多媒体展示几何语言.∵四边形ABCD为圆内接四边形∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）典例精讲 例 如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是( )A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°，遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中作辅助线的常用方法．2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题.
课堂练习 巩固训练 1、下列命题中，正确的命题个数是( )①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.下列命题：①圆内接平行四边形是矩形；②圆内接矩形是正方形；③圆内接菱形是正方形；④任意四边形一定有外接圆．其中真命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.已知△ABC 内接于⊙O，OD⊥AC 于点D，如果∠COD＝32°，那么∠B 的度数为( )A．16° B．32° C．16°或164° D．32°或148° 4.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于点E，F，若∠E =40°，∠F =60°,求∠A的度数.答案引入思考活动内容1：（1）解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°．证明：∵BC为直径，∴∠BOC=180°．∴．（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）（2）解：弦BC是直径.连接OC、OB．∵∠BAC=90°，∴∠BOC=2∠BAC=180°．（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）∴B、O、C三点在同一直线上．∴BC是⊙O的一条直径．（3）直径所对的圆周角是直角；∵BC为直径，∴∠BAC=90°.（90°的圆周角所对的弦是直径）∵∠BAC=90°，∴BC为直径．活动内容2： （3）解：∠BAD与∠BCD互补．∵AC为直径，∴∠ABC=90°,∠ABC=90°．∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°，∴∠BAD+∠BCD=180°．∴∠BAD与∠BCD互补．3.解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.连接OB，OD，∵,．（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）∵∠1+∠2=360°∴∠BAD+∠BCD=180°∴∠BAD与∠BCD互补4.∵四边形ABCD为圆内接四边形∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）提炼概念典例精讲 例 解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴四边形ABCD一定是矩形. 故选B.巩固训练1.A2.B3.D4.5.解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠ADC+∠CBA=180°（圆内接四边形的对角互补） ∵∠EDC+∠ADC=180°， ∠EBF+∠ABE=180° ∴∠EDC+ ∠EBF=180°∵∠EDC=∠F+∠A, ∠EBF=∠E+∠A∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°∵∠E =40°，∠F =60° ∴∠A=40°
课堂小结
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