3.4.2圆周角与圆心角的关系（2）课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
3.4.2圆周角与圆心角的关系（2）
北师大版 九年级 下册
教学目标
教学目标：1.进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单
的计算与证明.
2.掌握圆内接四边形的有关概念及推论.
教学重点:运用圆周角定理及其推论解决问题.理解并掌握圆内接四边形的
概念及性质并学会运用.
教学难点：运用圆周角定理及其推论解决问题.理解并掌握圆内接四边形的
概念及性质并学会运用.
新知讲解
情境引入
1.什么是圆周角？
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
●O
B
A
C
D
E
2.什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
合作学习
B
C
O
A
思考1：如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
思考2：如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？
B
C
O
A
注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线。
解：弦BC是直径.
连接OC、OB,
∵∠BAC=90°,
∴∠BOC=2∠BAC=180°.
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上,
∴BC是⊙O的一条直径.
小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？
跟踪训练
提炼概念
推论1 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
A
B
C
O
B
C
A
O
几何语句：
∵BC为直径
∴∠BAC=90°
几何语句：
∵∠BAC=90°
∴BC为直径
（1）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径
∴∠ABC=90°,∠ABC=90°
∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补.
议一议
(2)如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立连接OB，OD
∵
（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）
∵∠1+∠2=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补.
A
B
C
O
D
1
2
圆内接四边形及其对角的性质
如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？
四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆.
如图，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
推论2：圆内接四边形的对角互补.
几何语句：
∵四边形ABCD为圆内接四边形
∴∠BAD+∠BCD=180°
（圆内接四边形的对角互补）
典例精讲
例 如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD一定是矩形. 故选B.
归纳概念
1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°，遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中作辅助线的常用方法．
2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题.
课堂练习
1、下列命题中，正确的命题个数是( )
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③90°的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
2.下列命题：①圆内接平行四边形是矩形；②圆内接矩形是正方形；③圆内接菱形是正方形；④任意四边形一定有外接圆．其中真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
3.已知△ABC 内接于⊙O，OD⊥AC 于点D，如果∠COD＝32°，那么∠B 的度数为(　　)
A．16° 　 B．32°　
C．16°或164°　 D．32°或148°
易错点：画图时考虑不全而漏解
D
4.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.
A
B
C
O
D
解：连接BC
∵AB为直径 ∴∠BCA=90°
（直径所对的圆周角为直角）
∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15°
∴∠BCD=90°－15=75°
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）
方法一：
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.
A
B
C
O
D
解：连接OD
∵∠ACD=15°
∴∠AOD=2∠ACD =30°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∵OA=OD ∴∠OAD=∠ODA
又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°
∴∠BAD=75°
方法二：
5.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于点E，F，若∠E =40°，∠F =60°,求∠A的度数.
A
B
D
O
C
E
F
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠ADC+∠CBA=180°
（圆内接四边形的对角互补）
∵∠EDC+∠ADC=180°，
∠EBF+∠ABE=180°
∴∠EDC+ ∠EBF=180°
∵∠EDC=∠F+∠A,
∠EBF=∠E+∠A
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°
∵∠E =40°，∠F =60° ∴∠A=40°
１
２
３
４
课堂总结
1．要理解好圆周角定理的推论.
3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一.
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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