浙江省杭州市余杭区2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．（2020九上·湖里月考）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3）
C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
2．（2022九下·余杭开学考）如图，在Rt△ABC中，BC＝3，斜边AC＝5，则下列等式正确的是（ ）
A．sinC＝ B．cosC＝ C．tanA＝ D．sinA＝
3．（2021九下·西湖开学考）下列说法正确的是（ ）
A．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件
B．概率很小的事情不可能发生
C．2022年1月27日杭州会下雪是随机事件
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
4．（2022九下·余杭开学考）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
5．（2022九下·余杭开学考）已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019九上·罗湖期中）如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（ ）
A．（ +1）a B．（ ﹣1）a C．（3﹣ ）a D．（ ﹣2）a
7．（2022九下·余杭开学考）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
8．（2022九下·余杭开学考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a；④b＞1，其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．（2022九下·余杭开学考）对于二次函数y＝kx2-（4k+1）x+3k+3.下列说法正确的是（ ）
①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；②该函数图象与x轴必有交点；③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝-1.
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
10．（2020·南宁模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）
A．x–y2=3 B．2x–y2=9 C．3x–y2=15 D．4x–y2=21
二、填空题
11．（2022九下·余杭开学考）在六张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、菱形、等边三角形、直角三角形、正六边形，现从中随机抽取一张卡片，既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 .
12．（2022九下·余杭开学考）扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为 .
13．（2020九上·包河月考）如图，已知DE∥BC且AD：DB＝2：1，则SⅠ：SⅡ＝
14．（2022九下·余杭开学考）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC＝130°，则∠AOC的度数是 .
15．（2020九上·呼和浩特期末）二次函数 的图象如图，对称轴为直线 ．若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内解，则 的取值范围是 ．
16．（2022九下·余杭开学考）已知一次函数y1＝-x，二次函数y2＝x2-2kx+k2-k（k＞0）.
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为 ；
（2）若y＝y2-y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数y的图像上，且s＜b，则a的取值范围 .（用含k的式子表示）
三、解答题
17．（2022九下·余杭开学考）计算
（1）计算：；
（2）已知，且a+b＝20，求a，b的值.
18．（2020·营口）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗.李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗.
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为
（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率.
19．（2022九下·余杭开学考）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡比为1：，且B、C、E三点在同一条直线上请根据以上条件求出：
（1）AC的长；
（2）树DE的高度.
20．（2022九下·余杭开学考）如图，△ABC中，点P、E分别在边AB、BC上，点E为边BC的中点，点Q在线段CA的延长线上，且∠B＝∠PEQ＝∠C＝45°.
（1）求证：△BPE∽△CEQ；
（2）若BP＝2，CQ＝25，求PQ的长.
21．（2022九下·余杭开学考）如图，∠EAD是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，且∠EAD＝75°，DB＝DC.
（1）求∠BDC的度数.
（2）若⊙O的半径为2，求的长.
22．（2022九下·余杭开学考）如图，在矩形ABCD中，点G在边BC上（不与点B、C重合），连接AG，作DF⊥AG于点F，BE⊥AG于点E.
（1）若AG＝AD，求证：AB＝DF；
（2）设＝k，连接BF、DE，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，求的值.
23．（2022九下·余杭开学考）如图，抛物线y＝-x2+mx+2（m＞0）交y轴于点A，BA⊥y轴交抛物线于点B.
（1）用m的代数式表示AB的长.
（2）已知m＝1，且点B，C关于原点对称.
①判断点C是否落在抛物线上，并说明理由.
②点P是抛物线上一点，点P关于x轴、y轴的对称点分别为点Q，R，是否存在这样的点P，使得点Q，R恰好都在直线BC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由y＝2（x﹣1）2+3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3），
故答案为：A．
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
2．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由勾股定理得，，
所以sinC，cosC＝，tanA＝，sinA＝，
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求出AB的值，然后根据三角函数的概念进行判断.
3．【答案】C
【知识点】随机事件；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A选项，某一事件发生的可能性非常大就是随机事件，故此选项错误；
B选项，概率很小的事情也是随机事件，故此选项错误；
C选项，2022年1月27日杭州会下雪是随机事件，正确；
D选项，投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数是500次，是随机事件，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】 根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1，逐一判断即可得到答案．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，，
是的外接圆，，
，
，
是等腰直角三角形，
.
故答案为：B.
【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A=90°，推出△OBC为等腰直角三角形，然后利用勾股定理计算可得BC的长.
5．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是，
∴，
解得，
经检验均符合
∴该抛物线的解析式为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得函数的顶点坐标为（-3，-3），结合顶点坐标公式可得a、b的值，进而可得抛物线的解析式.
6．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，
∴BE= AB= 2a=（ ﹣1）a．
故答案为：B．
【分析】直接根据黄金分割的定义求解．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵DE：CE＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2＝，＝＝ ，
∴＝＝＝（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得DC＝AB，DC∥AB，由已知条件可得DE：AB＝2：5，证明△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得＝，＝＝ ，根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比可得＝＝，据此求解.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象可得，
a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，
当x＝1时，y＝a+b+c＝2，故②正确，
当x＝-1时，y＝a-b+c＜0，
由a+b+c＝2得，a+c＝2-b，
则a-b+c＝（a+c）-b＝2-b-b＜0，得b＞1，故④正确，
∵，a＞0，得，故③正确.
故答案为：C.
【分析】由图象可得开口向上，与y轴的交点在负半轴，对称轴在y轴左侧，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；根据x=1对应的函数值为2可判断②；由x=-1对应的函数值为负可得a-b+c<0，由a+b+c=2可得a=+c=2-b，则a-b+c＝(a+c)-b＝2-b-b＜0，求出b的范围，据此判断④；根据对称轴>-1可得a的范围，据此判断③.
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵y＝kx2-（4k+1）x+3k+3＝[kx-（k+1）]（x-3）＝[k（x-1）-1]（x-3），
∴对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点，
故①正确；
②对于任何满足条件的k，该二次函数中当x＝3时，y＝0，即该函数图象与x轴必有交点，
故②正确；
③∵二次函数y＝kx2-（4k+1）x+3k+3的对称轴是直线，
∴若k＜0，则，该函数图象开口向下，
∴若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小，
故③正确；
④∵y＝kx2-（4k+1）x+3k+3＝[kx-（k+1）]（x-3）＝[k（x-1）-1]（x-3），
∴当y＝0时，，x2＝3，
∴若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝±1，
故④错误；
综上，①②③正确.
故答案为：A.
【分析】对二次函数解析式变形可得y＝[k(x-1)-1](x-3)，则过点（1，2）、（3，0），据此判断①；令x=3，可得y=0，则该函数图象与x轴必有交点，据此判断②；根据函数解析式可得对称轴为直线x=2+，若k＜0，则2+<2，该函数图象开口向下，据此判断③；令y=0，表示出x，由二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点可得k的值，据此判断④.
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，
∴ =y，BQ=CQ=6，
∴AQ=6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM= CQ=3，
∴EM=3y，
∴DM=12-3-x=9-x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9-x）2，
即2x-y2=9，
故答案为：B.
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理即可得.
11．【答案】
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：∵从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有圆、矩形、菱形、正六边形这4种结果，
∴从中随机抽取一张卡片，既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是.
故答案为：.
【分析】既是中心对称图形又是轴对称图形的有圆、矩形、菱形、正六边形，然后根据概率公式进行计算.
12．【答案】π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据扇形的面积公式可得：扇形的面积.
故答案为：π.
【分析】直接根据扇形的面积公式S=进行计算.
13．【答案】4∶5
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： DE∥BC，
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
△ADE∽△ABC，
AD：DB＝2：1，
，
，
，
故答案为4∶5．
【分析】根据题意易得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质可求解．
14．【答案】100°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵∠ABC=130°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ADC=100°
故答案为：100°.
【分析】在优弧AC上取点D，连接AD，CD，由圆内接四边形的性质可得∠ADC+∠ABC=180°，由圆周角定理可得∠AOC=2∠ADC，据此计算.
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】对称轴为直线x= =1，
解得b= 2，
∴二次函数解析式为 ，即 ，
时， ，
时， ，
∵ 的解相当于 与直线 的交点的横坐标，
∴当 时，它们交点的横坐标均可在 的范围内，
故答案为： ．
【分析】利用对称轴为直线x=1求出b值，即可得出抛物线解析式，求出 时，由于 的解相当于 与直线 的交点的横坐标，从而求出结论.
16．【答案】（1）1
（2）a＜k-3或a＞k+2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）∵二次函数y2＝x2-2kx+k2-k＝（x-k）2-k，
∴对称轴为x＝k，开口向上，
∴当x≤k时，y2随x的增大而减小，
∵当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，
∴k≥1，
∴k的最小整数值为：1.
故答案为：1；
（2）y＝y2-y1＝x2-2kx+k2-k+x＝x2-（2k-1）x+k2-k，
∵点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，
∴s＝（k+2）2-（2k-1）（k+2）+k2-k＝6，
b＝a2-（2k-1）a+k2-k，
∵s＜b，
∴a2-（2k-1）a+k2-k＞6，
∵当a2-（2k-1）a+k2-k＝6时，
a＝k-3或a=k+2，
∴a＜k-3或a＞k+2.
故答案为：a＜k-3或a＞k+2.
【分析】（1）根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x＝k，开口向上，则当x≤k时，y2随x的增大而减小，结合题意可得k的范围，进而可得k的最小整数值；
（2）由已知条件可得y＝y2-y1＝x2-(2k-1)x+k2-k，则s＝(k+2)2-(2k-1)(k+2)+k2-k＝6，b＝a2-(2k-1)a+k2-k，然后根据s＜b可得a的范围.
17．【答案】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∵a+b＝20，
∴，
解得：b＝12，
则
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、0次幂以及负整数指数幂的运算法则可得原式=-2×+1-3，然后计算乘法，再计算加减法即可；
（2）由已知条件可得a=，结合a+b=20可得b的值，进而可得a的值.
18．【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝ ＝ .
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）因为设立了四个“服务监督岗”，而“洗手监督岗”是其中之一，
所以，李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝ ；
故答案为： ；
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算.
19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，
∵，AB=3，
∴BC=3，
∴AC=
（2）解：如图，过点A作AF⊥DE于F，
则四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3米，
设DE=x，
在Rt△CDE中，CE=，
在Rt△AFD中，DF=DE-EF=，
∴AF=，
∵AF=BE=BC+CE，
∴，
解得x=9（米）.
答：树高为9米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据坡比的概念结合AB的值可得BC的值，然后利用勾股定理计算即可；
（2）过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，AF=BE，EF=AB=3米，设DE=x，则CE=x，DF=x-3，AF=(x-3)，根据AF=BE=BC+CE可得x的值，据此解答.
20．【答案】（1）证明：如图，连接AE，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∵点E为边BC的中点，
∴∠AEB＝90°，BE＝CE，∠CAE＝BAC＝45°，
∴∠AQE+∠AEQ＝∠CAE＝45°，
∵∠PEQ＝45°，
∴∠AEQ+∠PEB＝45°，
∴∠PEB＝∠AQE，
∴△BPE∽△CEQ；
（2）解：∵△BPE∽△CEQ，
∴.
∵BE＝CE，
∴BE2＝PB CQ，
∵BP＝2，CQ＝25，
∴BE＝5.
∵∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形.
∵E为BC中点，
由三线合一知AE⊥BC，且AE＝CE＝BE＝5.
∴AC＝AB＝＝10，
∴AQ＝CQ-AC＝25-10＝15.
又∵AP＝AB-BP＝10-2＝8，且∠QAP＝90°，
∴PQ＝.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AE，由题意可得△ABC为等腰直角三角形，则AB＝AC，∠BAC＝90°，∠AEB＝90°，BE＝CE，∠CAE＝45°，根据角的和差关系可得∠PEB＝∠AQE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据相似三角形的性质可得BE，由等腰直角三角形的性质可得AE⊥BC，AE＝CE＝BE＝5，AC＝AB＝BE＝10，则AQ＝CQ-AC＝15，AP＝AB-BP＝8，然后利用勾股定理进行计算.
21．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠C＝180°，
∵∠EAD+∠DAB＝180°，
∴∠C＝∠EAD，
∵∠EAD＝75°，
∴∠C＝75°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝75°，
∴∠BDC＝180°-∠C-∠DBC＝30°
（2）解：连接OB、OC，
∵∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝60°（圆周角定理），
∵⊙O的半径为2，
∴的长是＝.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠DAB+∠C＝180°，由邻补角的性质可得∠EAD+∠DAB＝180°，则∠C＝∠EAD＝75°，根据等腰三角形的性质可得∠DBC＝∠C＝75°，然后根据内角和定理进行计算；
（2）连接OB、OC，由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BDC＝60°，然后根据弧长公式进行计算.
22．【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形
，
，
在和中
AB=DF
（2）解：由已知得：
在中，；在中，
，
四边形ABCD是矩形
AD=BC
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AD∥BC，∠ABC=90°，由平行线的性质可得∠DAG=∠BGA，根据垂直的概念可得∠DFA=∠ABC=90°，证明△ADF≌△GAB，据此可得结论；
（2）由已知得∠DFA=∠BEG=90°，根据三角函数的概念可得，证明△DFA∽△BEG，得到，由矩形的性质可得AD=BC，结合已知条件得，据此求解.
23．【答案】（1）解：∵y＝-x2+mx+2＝-（x－m）2＋m2＋2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵点A、B关于抛物线对称轴对称，
∴ AB＝2m
（2）解：①当m＝1时，抛物线的表达式为y＝-x2+x+2，
对于y＝-x2+x+2，
令x＝0，则y＝2，
∴点A的坐标为（0，2），
由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝m＝1，
而点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴点B的坐标为（2，2），
∵点B，C关于原点对称，
∴点C的坐标为（-2，-2），
当x＝-2时，y＝-x2+x+2＝-2，
∴点C在抛物线上；
②设点P的坐标为（a，-a2+a+2），
则点Q、R的坐标分别为（a，a2-a-2）、（-a，-a2+a+2），
由B、C的坐标知，直线BC在一、三象限的平分线上，
故直线BC的表达式为y＝x，
则a＝a2-a-2，-a＝-a2+a+2，
解得a＝2±2，
故点P的坐标为（2+2，-2-2）或（2-2，-2+2）.
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，据此可得对称轴，结合对称性可得AB的值；
（2）①当m＝1时，抛物线的表达式为y＝-x2+x+2，令x=0，求出y的值，可得点A的坐标，结合对称性可得点B的坐标，由点B，C关于原点对称可得点C的坐标，然后代入抛物线解析式中验证即可；
②设P（a，-a2+a+2），则点Q、R的坐标分别为（a，a2-a-2）、（-a，-a2+a+2），易得直线BC的表达式为y＝x，将Q、R的坐标代入可得a的值，进而可得点P的坐标.
1 / 1浙江省杭州市余杭区2021-2022学年九年级下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．（2020九上·湖里月考）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（1，﹣3）
C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由y＝2（x﹣1）2+3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3），
故答案为：A．
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
2．（2022九下·余杭开学考）如图，在Rt△ABC中，BC＝3，斜边AC＝5，则下列等式正确的是（ ）
A．sinC＝ B．cosC＝ C．tanA＝ D．sinA＝
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由勾股定理得，，
所以sinC，cosC＝，tanA＝，sinA＝，
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求出AB的值，然后根据三角函数的概念进行判断.
3．（2021九下·西湖开学考）下列说法正确的是（ ）
A．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件
B．概率很小的事情不可能发生
C．2022年1月27日杭州会下雪是随机事件
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
【答案】C
【知识点】随机事件；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A选项，某一事件发生的可能性非常大就是随机事件，故此选项错误；
B选项，概率很小的事情也是随机事件，故此选项错误；
C选项，2022年1月27日杭州会下雪是随机事件，正确；
D选项，投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数是500次，是随机事件，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】 根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1，逐一判断即可得到答案．
4．（2022九下·余杭开学考）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，，
是的外接圆，，
，
，
是等腰直角三角形，
.
故答案为：B.
【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A=90°，推出△OBC为等腰直角三角形，然后利用勾股定理计算可得BC的长.
5．（2022九下·余杭开学考）已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是，
∴，
解得，
经检验均符合
∴该抛物线的解析式为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得函数的顶点坐标为（-3，-3），结合顶点坐标公式可得a、b的值，进而可得抛物线的解析式.
6．（2019九上·罗湖期中）如图是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（ ）
A．（ +1）a B．（ ﹣1）a C．（3﹣ ）a D．（ ﹣2）a
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，
∴BE= AB= 2a=（ ﹣1）a．
故答案为：B．
【分析】直接根据黄金分割的定义求解．
7．（2022九下·余杭开学考）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵DE：CE＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2＝，＝＝ ，
∴＝＝＝（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得DC＝AB，DC∥AB，由已知条件可得DE：AB＝2：5，证明△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得＝，＝＝ ，根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比可得＝＝，据此求解.
8．（2022九下·余杭开学考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a；④b＞1，其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象可得，
a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，
当x＝1时，y＝a+b+c＝2，故②正确，
当x＝-1时，y＝a-b+c＜0，
由a+b+c＝2得，a+c＝2-b，
则a-b+c＝（a+c）-b＝2-b-b＜0，得b＞1，故④正确，
∵，a＞0，得，故③正确.
故答案为：C.
【分析】由图象可得开口向上，与y轴的交点在负半轴，对称轴在y轴左侧，据此可得a、b、c的符号，进而判断①；根据x=1对应的函数值为2可判断②；由x=-1对应的函数值为负可得a-b+c<0，由a+b+c=2可得a=+c=2-b，则a-b+c＝(a+c)-b＝2-b-b＜0，求出b的范围，据此判断④；根据对称轴>-1可得a的范围，据此判断③.
9．（2022九下·余杭开学考）对于二次函数y＝kx2-（4k+1）x+3k+3.下列说法正确的是（ ）
①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；②该函数图象与x轴必有交点；③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝-1.
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵y＝kx2-（4k+1）x+3k+3＝[kx-（k+1）]（x-3）＝[k（x-1）-1]（x-3），
∴对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点，
故①正确；
②对于任何满足条件的k，该二次函数中当x＝3时，y＝0，即该函数图象与x轴必有交点，
故②正确；
③∵二次函数y＝kx2-（4k+1）x+3k+3的对称轴是直线，
∴若k＜0，则，该函数图象开口向下，
∴若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小，
故③正确；
④∵y＝kx2-（4k+1）x+3k+3＝[kx-（k+1）]（x-3）＝[k（x-1）-1]（x-3），
∴当y＝0时，，x2＝3，
∴若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝±1，
故④错误；
综上，①②③正确.
故答案为：A.
【分析】对二次函数解析式变形可得y＝[k(x-1)-1](x-3)，则过点（1，2）、（3，0），据此判断①；令x=3，可得y=0，则该函数图象与x轴必有交点，据此判断②；根据函数解析式可得对称轴为直线x=2+，若k＜0，则2+<2，该函数图象开口向下，据此判断③；令y=0，表示出x，由二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点可得k的值，据此判断④.
10．（2020·南宁模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）
A．x–y2=3 B．2x–y2=9 C．3x–y2=15 D．4x–y2=21
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，
∴ =y，BQ=CQ=6，
∴AQ=6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM= CQ=3，
∴EM=3y，
∴DM=12-3-x=9-x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9-x）2，
即2x-y2=9，
故答案为：B.
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理即可得.
二、填空题
11．（2022九下·余杭开学考）在六张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、菱形、等边三角形、直角三角形、正六边形，现从中随机抽取一张卡片，既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 .
【答案】
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：∵从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有圆、矩形、菱形、正六边形这4种结果，
∴从中随机抽取一张卡片，既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是.
故答案为：.
【分析】既是中心对称图形又是轴对称图形的有圆、矩形、菱形、正六边形，然后根据概率公式进行计算.
12．（2022九下·余杭开学考）扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为 .
【答案】π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据扇形的面积公式可得：扇形的面积.
故答案为：π.
【分析】直接根据扇形的面积公式S=进行计算.
13．（2020九上·包河月考）如图，已知DE∥BC且AD：DB＝2：1，则SⅠ：SⅡ＝
【答案】4∶5
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： DE∥BC，
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
△ADE∽△ABC，
AD：DB＝2：1，
，
，
，
故答案为4∶5．
【分析】根据题意易得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质可求解．
14．（2022九下·余杭开学考）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC＝130°，则∠AOC的度数是 .
【答案】100°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵∠ABC=130°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ADC=100°
故答案为：100°.
【分析】在优弧AC上取点D，连接AD，CD，由圆内接四边形的性质可得∠ADC+∠ABC=180°，由圆周角定理可得∠AOC=2∠ADC，据此计算.
15．（2020九上·呼和浩特期末）二次函数 的图象如图，对称轴为直线 ．若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内解，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】对称轴为直线x= =1，
解得b= 2，
∴二次函数解析式为 ，即 ，
时， ，
时， ，
∵ 的解相当于 与直线 的交点的横坐标，
∴当 时，它们交点的横坐标均可在 的范围内，
故答案为： ．
【分析】利用对称轴为直线x=1求出b值，即可得出抛物线解析式，求出 时，由于 的解相当于 与直线 的交点的横坐标，从而求出结论.
16．（2022九下·余杭开学考）已知一次函数y1＝-x，二次函数y2＝x2-2kx+k2-k（k＞0）.
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为 ；
（2）若y＝y2-y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数y的图像上，且s＜b，则a的取值范围 .（用含k的式子表示）
【答案】（1）1
（2）a＜k-3或a＞k+2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）∵二次函数y2＝x2-2kx+k2-k＝（x-k）2-k，
∴对称轴为x＝k，开口向上，
∴当x≤k时，y2随x的增大而减小，
∵当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，
∴k≥1，
∴k的最小整数值为：1.
故答案为：1；
（2）y＝y2-y1＝x2-2kx+k2-k+x＝x2-（2k-1）x+k2-k，
∵点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，
∴s＝（k+2）2-（2k-1）（k+2）+k2-k＝6，
b＝a2-（2k-1）a+k2-k，
∵s＜b，
∴a2-（2k-1）a+k2-k＞6，
∵当a2-（2k-1）a+k2-k＝6时，
a＝k-3或a=k+2，
∴a＜k-3或a＞k+2.
故答案为：a＜k-3或a＞k+2.
【分析】（1）根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x＝k，开口向上，则当x≤k时，y2随x的增大而减小，结合题意可得k的范围，进而可得k的最小整数值；
（2）由已知条件可得y＝y2-y1＝x2-(2k-1)x+k2-k，则s＝(k+2)2-(2k-1)(k+2)+k2-k＝6，b＝a2-(2k-1)a+k2-k，然后根据s＜b可得a的范围.
三、解答题
17．（2022九下·余杭开学考）计算
（1）计算：；
（2）已知，且a+b＝20，求a，b的值.
【答案】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∵a+b＝20，
∴，
解得：b＝12，
则
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、0次幂以及负整数指数幂的运算法则可得原式=-2×+1-3，然后计算乘法，再计算加减法即可；
（2）由已知条件可得a=，结合a+b=20可得b的值，进而可得a的值.
18．（2020·营口）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗.李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗.
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为
（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率.
【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝ ＝ .
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）因为设立了四个“服务监督岗”，而“洗手监督岗”是其中之一，
所以，李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝ ；
故答案为： ；
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算.
19．（2022九下·余杭开学考）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡比为1：，且B、C、E三点在同一条直线上请根据以上条件求出：
（1）AC的长；
（2）树DE的高度.
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，
∵，AB=3，
∴BC=3，
∴AC=
（2）解：如图，过点A作AF⊥DE于F，
则四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3米，
设DE=x，
在Rt△CDE中，CE=，
在Rt△AFD中，DF=DE-EF=，
∴AF=，
∵AF=BE=BC+CE，
∴，
解得x=9（米）.
答：树高为9米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据坡比的概念结合AB的值可得BC的值，然后利用勾股定理计算即可；
（2）过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，AF=BE，EF=AB=3米，设DE=x，则CE=x，DF=x-3，AF=(x-3)，根据AF=BE=BC+CE可得x的值，据此解答.
20．（2022九下·余杭开学考）如图，△ABC中，点P、E分别在边AB、BC上，点E为边BC的中点，点Q在线段CA的延长线上，且∠B＝∠PEQ＝∠C＝45°.
（1）求证：△BPE∽△CEQ；
（2）若BP＝2，CQ＝25，求PQ的长.
【答案】（1）证明：如图，连接AE，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∵点E为边BC的中点，
∴∠AEB＝90°，BE＝CE，∠CAE＝BAC＝45°，
∴∠AQE+∠AEQ＝∠CAE＝45°，
∵∠PEQ＝45°，
∴∠AEQ+∠PEB＝45°，
∴∠PEB＝∠AQE，
∴△BPE∽△CEQ；
（2）解：∵△BPE∽△CEQ，
∴.
∵BE＝CE，
∴BE2＝PB CQ，
∵BP＝2，CQ＝25，
∴BE＝5.
∵∠B＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形.
∵E为BC中点，
由三线合一知AE⊥BC，且AE＝CE＝BE＝5.
∴AC＝AB＝＝10，
∴AQ＝CQ-AC＝25-10＝15.
又∵AP＝AB-BP＝10-2＝8，且∠QAP＝90°，
∴PQ＝.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AE，由题意可得△ABC为等腰直角三角形，则AB＝AC，∠BAC＝90°，∠AEB＝90°，BE＝CE，∠CAE＝45°，根据角的和差关系可得∠PEB＝∠AQE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据相似三角形的性质可得BE，由等腰直角三角形的性质可得AE⊥BC，AE＝CE＝BE＝5，AC＝AB＝BE＝10，则AQ＝CQ-AC＝15，AP＝AB-BP＝8，然后利用勾股定理进行计算.
21．（2022九下·余杭开学考）如图，∠EAD是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，且∠EAD＝75°，DB＝DC.
（1）求∠BDC的度数.
（2）若⊙O的半径为2，求的长.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠C＝180°，
∵∠EAD+∠DAB＝180°，
∴∠C＝∠EAD，
∵∠EAD＝75°，
∴∠C＝75°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝75°，
∴∠BDC＝180°-∠C-∠DBC＝30°
（2）解：连接OB、OC，
∵∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝60°（圆周角定理），
∵⊙O的半径为2，
∴的长是＝.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠DAB+∠C＝180°，由邻补角的性质可得∠EAD+∠DAB＝180°，则∠C＝∠EAD＝75°，根据等腰三角形的性质可得∠DBC＝∠C＝75°，然后根据内角和定理进行计算；
（2）连接OB、OC，由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BDC＝60°，然后根据弧长公式进行计算.
22．（2022九下·余杭开学考）如图，在矩形ABCD中，点G在边BC上（不与点B、C重合），连接AG，作DF⊥AG于点F，BE⊥AG于点E.
（1）若AG＝AD，求证：AB＝DF；
（2）设＝k，连接BF、DE，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，求的值.
【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形
，
，
在和中
AB=DF
（2）解：由已知得：
在中，；在中，
，
四边形ABCD是矩形
AD=BC
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AD∥BC，∠ABC=90°，由平行线的性质可得∠DAG=∠BGA，根据垂直的概念可得∠DFA=∠ABC=90°，证明△ADF≌△GAB，据此可得结论；
（2）由已知得∠DFA=∠BEG=90°，根据三角函数的概念可得，证明△DFA∽△BEG，得到，由矩形的性质可得AD=BC，结合已知条件得，据此求解.
23．（2022九下·余杭开学考）如图，抛物线y＝-x2+mx+2（m＞0）交y轴于点A，BA⊥y轴交抛物线于点B.
（1）用m的代数式表示AB的长.
（2）已知m＝1，且点B，C关于原点对称.
①判断点C是否落在抛物线上，并说明理由.
②点P是抛物线上一点，点P关于x轴、y轴的对称点分别为点Q，R，是否存在这样的点P，使得点Q，R恰好都在直线BC上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵y＝-x2+mx+2＝-（x－m）2＋m2＋2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵点A、B关于抛物线对称轴对称，
∴ AB＝2m
（2）解：①当m＝1时，抛物线的表达式为y＝-x2+x+2，
对于y＝-x2+x+2，
令x＝0，则y＝2，
∴点A的坐标为（0，2），
由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝m＝1，
而点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴点B的坐标为（2，2），
∵点B，C关于原点对称，
∴点C的坐标为（-2，-2），
当x＝-2时，y＝-x2+x+2＝-2，
∴点C在抛物线上；
②设点P的坐标为（a，-a2+a+2），
则点Q、R的坐标分别为（a，a2-a-2）、（-a，-a2+a+2），
由B、C的坐标知，直线BC在一、三象限的平分线上，
故直线BC的表达式为y＝x，
则a＝a2-a-2，-a＝-a2+a+2，
解得a＝2±2，
故点P的坐标为（2+2，-2-2）或（2-2，-2+2）.
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，据此可得对称轴，结合对称性可得AB的值；
（2）①当m＝1时，抛物线的表达式为y＝-x2+x+2，令x=0，求出y的值，可得点A的坐标，结合对称性可得点B的坐标，由点B，C关于原点对称可得点C的坐标，然后代入抛物线解析式中验证即可；
②设P（a，-a2+a+2），则点Q、R的坐标分别为（a，a2-a-2）、（-a，-a2+a+2），易得直线BC的表达式为y＝x，将Q、R的坐标代入可得a的值，进而可得点P的坐标.
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