浙江省诸暨市大唐初级中学2021-2022学年九年级下学期回头考数学试题
一、单选题
1．（2018九上·武汉期末）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣6（ ）
A．最小值为﹣6 B．最大值为﹣6 C．最小值为3 D．最大值为3
2．（2021九上·台山期末）下列交通标志是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018·衡阳）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，下列说法错误的是
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
4．（2020九上·兰州期末）如果 ，那么 ＝（ ）
A． B． C． D．
5．（2018九上·武汉期末）圆的直径是13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
6．（2018九上·武汉期末）如图，等边△ABC的边长为4，D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，分别以A，B，C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（ ）
A．π B．2π C．4π D．6π
7．（2020·宿州模拟）如图⊙O的直径 垂直于弦 ，垂足是 ， ， ， 的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
8．（2019九上·呼和浩特期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为：（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
9．（2022九下·诸暨开学）如图1，等边△ABC中，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，如图2是y关于x的函数图象，则等边△ABC的边长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．3
二、解答题
10．（2022九下·株洲开学考）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：
①；②；③；④；⑤.
正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①③④ C．①②③④⑤ D．①②③⑤
11．（2022九下·诸暨开学）计算：4cos60°-4sin60° tan60°＋4cos245°
12．（2018九上·武汉期末）甲、乙、丙三个盒子中分别装有除颜色外都相同的小球，甲盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球；乙盒中装有三个球，分别为两个绿球和一个红球；丙盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球，从三个盒子中各随机取出一个小球
（1）请画树状图，列举所有可能出现的结果
（2）请直接写出事件“取出至少一个红球”的概率．
13．（2022九下·诸暨开学）如图，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB＝80°
（1）若点C在优弧BD上，求∠ACD的大小
（2）若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小
14．（2022九下·诸暨开学）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成.已知天桥高度BC＝4.5米，引桥水平跨度AC＝8米.
（参考数据：取sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）
（1）求水平平台DE的长度；
（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比.
15．（2018九上·武汉期末）投资1万元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造.墙长24 m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m.
（1）设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若菜园面积为384 m2，求x的值；
（3）求菜园的最大面积.
16．（2018九上·武汉期末）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．
17．（2018九上·武汉期末）如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧）
（1）如图1，若点C是AB的中点，则∠AED＝ ；
（2）如图2，若点C不是AB的中点
①求证：△DEF为等边三角形；
②连接CD，若∠ADC＝90°，AB＝3，请直接写出EF的长．
18．（2022九下·诸暨开学）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C(0，2).
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？
三、填空题
19．（2018九上·武汉期末）把抛物线y＝2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是 ．
20．（2018九上·武汉期末）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是 ．
21．（2018九上·武汉期末）如图，正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP，则 ＝ ．
22．（2022九下·诸暨开学）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形.如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为 .
23．（2020九下·沈阳月考）如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是 m2.
24．（2018九上·武汉期末）在⊙O中，弧AB所对的圆心角∠AOB＝108°，点C为⊙O上的动点，以AO、AC为边构造 AODC．当∠A＝ °时，线段BD最长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据二次函数解析式y＝2（x－3）2－6可知它的开口方向向上，故应该有最小值，它的顶点是（3,﹣6），
故最小值是﹣6.
故答案为：A.
【分析】已知二次函数的解析式是顶点式，由a的值，可得出抛物线的开口方向，因此可知此函数的最值情况。
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此逐一判断即可.
3．【答案】A
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】A.连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故符合题意；
B.连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故不符合题意；
C.大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故不符合题意；
D.通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故不符合题意．
故答案为：A．
【分析】 抛一枚均匀硬币正面朝上的事件是一个随机事件，通过大量的反复抛一枚均匀硬币 出现正面向上的概率越来越接近 ，即 大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次 ；故连续抛一枚均匀硬币2次不一定必有1次正面朝上 ， 连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上 ，但抛掷的结果只有两种：要么正面朝上，要么反面朝上，所以出现正面向上与反面向上的概率是一样的， 从而得出通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
4．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴3x+3y＝5x，
则3y＝2x，
那么 ＝ .
故答案为：D.
【分析】直接利用已知进行变形进而得出结果.
5．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆的直径是13cm，故半径为6.5cm. 圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，
那么圆心到直线的距离可能等于6.5cm也可能小于6.5cm，因此直线与圆相切或相交.
故答案为：D.
【分析】要求该直线和圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，就要求出圆心到直线的距离，再与半径进行比较，由已知条件：圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，即可作出判断。
6．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以AD长为半径，且D是AB的中点，三角形边长为4，
∴三条圆弧的所对圆心角都为60°，半径是2，
根据弧长公式得到一条圆弧长为 ＝ ，所以图中三条圆弧的弧长之和是2π.
故答案为：B.
【分析】利用等边三角形的性质，可知三个扇形的圆心角都是60°，AB=CB=AC，再根据中点的定义，可求出三个扇形的半径都为2，再利用弧长公式求出一个扇形的弧长，然后就可求出三条圆弧的弧长之和。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE= CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2 ，
即：CE=2 ，
∴CD=4 ，
故答案为：C．
【分析】利用圆周角的性质可以求出∠BOC=2∠A=45°，根据垂径定理可以得到CE=DE，同时可以判断出为等腰直角三角形，所以可以得到CE=OC=，然后利用CD=2CE进行计算求出结果.
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】根据圆周角与圆心角的关系，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，可得∠A=50°，然后由圆内接四边形的对角互补可求得∠C=180°-∠A=130°.
故答案为：D
【分析】由圆周角以及圆心角的关系，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，继而计算得到答案即可。
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；通过函数图象获取信息并解决问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：根据函数图象可得，
当x=2时，y=1，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB=90°，
∵，
∴∠BPD=30°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC，
∴BC=2PB=4，
∴等边三角形的边长为4.
故答案为：C.
【分析】根据函数图象可得：当x=2时，y=1，则BD=BP，推出∠BPD=30°，则∠APB=∠BPD+∠APD=90°，由等边三角形的性质可得BC=2PB，据此求解.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵
＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝ 2时，y＜0，
∴4a 2b＋c＜0，即4a＋c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2＋bx＋c的图象过点（ 1，0）和（m，0），
∴ 1×m＝
，am2＋bm＋c＝0，
∴，
∴，故③正确，
∵ 1＋m＝
，
∴ a＋am＝ b，
∴am＝a b，
∵am2＋（2a＋b）m＋a＋b＋c
＝am2＋bm＋c＋2am＋a＋b
＝2a 2b＋a＋b
＝3a b＜0，故④正确，
∵m＋1＝
，
∴m＋1＝
，
∴|am＋a|＝
，故⑤正确.
故答案为：C.
【分析】由图象可知：抛物线开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴右侧，判断出a、b、c的正负，进而判断①；根据x=-2对应的函数值为负可判断②；根据图象与x轴的交点坐标结合根与系数的关系可得 1×m＝
，am2＋bm＋c＝0，进而判断③；根据根与系数的关系可得-1＋m＝-
，则am=a b，据此判断④；结合求根公式表示出m+1，进而判断⑤.
11．【答案】解：原式=
=
=-2
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式= ，然后计算乘方、再计算乘法，最后计算加减法即可.
12．【答案】（1）解：如图所示：
所有等可能结果为(红、绿、红)、(红、绿、绿)、(红、绿、红)、(红、绿、绿)、(红、红、红)、(红、红、绿)，(绿、绿、红)、(绿、绿、绿)、(绿、绿、红)、(绿、绿、绿)(绿、红、红)、(绿、红、绿)这12种等可能结果
（2）解：P(取出至少一个红球)＝ .
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件：从三个盒子中各随机取出一个小球，画出树状图，根据树状图列举出所有等可能的结果。
（2）根据（1）中的树状图，可得出所有等可能的结果数及“取出至少一个红球”的情况数，再利用概率公式可求解。
13．【答案】（1）解：∵AO⊥BD，
∴，
∴∠AOB=2∠ACD，
∵∠AOB=80°，
∴∠ACD=40°
（2）解：∠ACD=40°或140°.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：（2）如图，①当点C1在上时，∠AC1D=∠ACD=40°；
②当点C2在上时，∵∠AC2D+∠ACD=180°，∴∠AC2D=140°.
综上所述，∠ACD=40°或140°.
【分析】（1）由圆周角定理可得∠AOB=2∠ACD，据此求解；
（2）①当点C1在上时，由圆周角定理可得∠AC1D=∠ACD；②当点C2在上时，根据圆内接四边形的性质可得∠AC2D+∠ACD=180°，代入计算即可.
14．【答案】（1）解：如图，延长交于点.
由题意可知，，
∴四边形是平行四边形.
∴.
在中，
，即，
∴（米），
∴（米）.
答：水平平台的长度为2米.
（2）解：如图，延长交于点，作于点H.
由题意知，，
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴.
答：两段楼梯AD与BE的长度之比为2：1.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）延长BE交AC于点F，由题意可知DE∥AC，AD∥BF，推出四边形AFED是平行四边形，得到DE=AF，根据三角函数的概念可得FC，然后根据DE=AF=AC-FC进行计算；
（2）延长DE交BC于点G，作DH⊥AC于点H，易证△DAH∽△BEG，然后根据相似三角形的性质进行计算.
15．【答案】（1）解：根据题意知，y＝ ＝－ x＋
（2）解：根据题意，得(－ x＋ )x＝384，
解得x＝18或x＝32.
∵墙的长度为24 m，∴x＝18.
（3）解：设菜园的面积是S，则S＝(－ x＋ )x＝－ x2＋ x＝－ (x－25)2＋ .
∵－ ＜0，∴当x＜25时，S随x的增大而增大.
∵x≤24，
∴当x＝24时，S取得最大值，最大值为416.
答：菜园的最大面积为416 m2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据垂直于墙的一边长=，再列出y与x的函数解析式。
（2）根据矩形的面积=xy=384，建立关于x的方程，求出方程的解，再根据墙长≤24，确定出墙的长度。
（3）根据菜园的最大面积S=xy，列出S与x的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，就可求出菜园面积的最大值。
16．【答案】（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCD＝∠AEC，
∴AE∥OC，
∴∠EAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAE
（2）解：作CF⊥AB于F．
在Rt△OCD中，∵OC＝3，OD＝5，
∴CD＝4，
∵ OC CD＝ OD CF，
∴CF＝ ，
∵AC平分∠DAE，CE⊥AE，CF⊥AD，
∴CE＝CF＝ ．
【知识点】角平分线的性质；切线的性质
【解析】【分析】（1） 连接OC，利用切线的性质，可知∠OCD=90°，根据已知易证AE∥OC，可得到∠EAC＝∠ACO，再根据OA=OC，就可证得∠OAC=∠OCA，即可证得∠EAC=∠OAC，从而可证得结论。
（2）作CF⊥AB于F，先利用勾股定理求出CD，再利用直角三角形的两个面积公式求出CF，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等，就可求出CE的长。
17．【答案】（1）90°
（2）解：①延长FC交AD于H，连接HE，如图2，
∵CF＝FB，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵∠CFB＝120°，
∴∠FCB＝∠FBC＝30°，
同理：∠DAB＝∠DBA＝30°，∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠DAB＝∠ECA＝∠FBD，
∴AD∥EC∥BF，
同理AE∥CF∥BD，
∴四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形，
∴EC＝AH，BF＝HD，
∵AE＝EC，
∴AE＝AH，
∵∠HAE＝60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE＝AH＝HE＝CE，∠AHE＝∠AEH＝60°，
∴∠DHE＝120°，
∴∠DHE＝∠FCE．
∵DH＝BF＝FC，
∴△DHE≌△FCE（SAS），
∴DE＝EF，∠DEH＝∠FEC，
∴∠DEF＝∠CEH＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
②如图3，过E作EM⊥AB于M，
∵∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，
∴∠ACD＝60°，
∵∠DBA＝30°，
∴∠CDB＝∠DBC＝30°，
∴CD＝BC＝ AC，
∵AB＝3，
∵AC＝2，BC＝CD＝1，
∵∠ACE＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠ECD＝30°＋60°＝90°，
∵AE＝CE，
∴CM＝ AC＝1，
∵∠ACE＝30°，
∴CE＝ ，
Rt△DEC中，DE＝ ＝ ＝ ，
由①知：△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝ ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，过E作EH⊥AB于H，连接CD，
设EH＝x，则AE＝2x，AH＝ x，
∵AE＝EC，
∴AC＝2AH＝2 x，
∵C是AB的中点，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵∠ADB＝120°，
∴∠DAC＝30°，
∴DC＝2x，
∴DC＝CE＝2x，
∵EH∥DC，
∴∠HED＝∠EDC＝∠CED，
∵∠AEH＝60°，∠AEC＝120°，
∴∠HEC＝60°，
∴∠HED＝30°，
∴∠AED＝∠AEH＋∠HED＝90°；
故答案为：90°；
【分析】（1）过E作EH⊥AB于H，连接CD，利用等腰三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，设EH＝x，用含x的代数式表示出AE、AH、AC，再根据△ADB是含120°的等腰三角形，可以用含x的代数式表示出DC，从而可证得DC=CE，就可求出∠DEC的度数，然后求出∠HEC、∠AEH、∠HED，由∠AED＝∠AEH＋∠HED，可求出结果。
（2） ①延长FC交AD于H，连接HE，如图2，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理证明∠DAB＝∠ECA＝∠FBD，就可证得AD∥EC∥BF，同理可证AE∥CF∥BD，利用平行四边形的判定定理，可证得四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形，利用平行四边形的性质，易证EC＝AH，BF＝HD，再证明 △AEH是等边三角形及△DHE≌△FCE ，就可证得DE＝EF，可得出∠DEF=60°，即可证得△DEF是等边三角形；如图3，过E作EM⊥AB于M， 由已知求出∠CDB＝∠DBC＝30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出BC、CD，再证明AE=CE，由ME⊥AC，就可求出CM的长，利用解直角三角形求出CE的长，然后在Rt△DEC中，利用勾股定理求出DE的长， 由①知：△DEF是等边三角形，即可求出EF的长。
18．【答案】（1）解：∵抛物线经过点A（2，0），B（6，0），C（0，），
∴，
解得.
∴抛物线的解析式为：
（2）解：易知抛物线的对称轴是.
把代入y=2x得y=8，
∴点D的坐标为（4，8）.
∵⊙D与x轴相切，
∴⊙D的半径为8.
如图，连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M.
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4.
∴cos∠MDF=.
∴∠MDF=60°，
∴∠EDF=120°.
∴劣弧所对圆心角为：120°.
∴劣弧 EF的长为.
（3）解：设直线AC的解析式为y=kx+b.
∵直线AC经过点A（2，0），C（0，），
∴，解得.
∴直线AC的解析式为：.
设点P，PG交直线AC于N，
则点N坐标为.
∵S△PNA：S△GNA=PN：GN，
∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.
即，
解得：m1=－3， m2=2（舍去）.
当m=－3时，.
∴此时点P的坐标为.
②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.
即，
解得：m1=－12， m2=2（舍去）.
当m=－12时，.
∴此时点P的坐标为.
综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；切线的性质；弧长的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）将A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c中求出a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易知抛物线的对称轴是x=4，把x=4代入y=2x得y=8，据此可得点D的坐标，由⊙D与x轴相切可得⊙D的半径为8，连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M，求出cos∠MDF的值，得到∠MDF=60°，则∠EDF=120°，然后利用弧长公式进行计算；
（3）利用待定系数法求出直线AC的解析式，设P（m，m2-m+），PG交直线AC于N，则N（m，m+），根据三角形的面积公式可得S△PNA：S△GNA=PN：GN，①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN，据此可得m的值，进而可得点P的坐标；②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN，同理求解即可.
19．【答案】y＝2（x＋2）2﹣1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0,0），再把点（0,0）先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点的坐标为（﹣2，﹣1），所以得到抛物线的解析式为y＝2（x＋2）2－1.
故答案为：y＝2（x＋2）2－1
【分析】根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位，即可得到y=a（x±n）2±m，根据平移规律，可得出平移后的函数解析式。
20．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：两次取出的小球标号和的所有可能情况共有16种，其中和为5的情况有4种，故两次取出的小球标号的和等于5的概率是4÷16＝ . .
故答案为
【分析】抓住已知条件：随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，列出树状图，根据树状图求出所有等可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于5的情况数，再利用概率公式可求解。
21．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长是2，如图连结AE，
在正六边形中，∠F= ×（6－2） 180°=120°，
∵AF=EF，
∴∠AEF=∠EAF= （180°－120°）=30°，
∴∠AEP=120°－30°=90°，AE=2×2cos30°=2×2× ＝2 ，
∵点P是ED的中点，∴EP= ×2=1，
在Rt△AEP中，AP= .
∴ ＝ .
故答案为：
【分析】设正六边形ABCDEF的边长是2，如图连结AE，根据正多边形的性质，可证AF=EF，可求出∠F，∠FAE、∠FEA，∠AEP的度数，利用线段中点的定义，可求出EP的长，再利用解直角三角形求出AE的长，再在Rt△AEP中，利用勾股定理求出AP的长，然后再求出AP与AB的比值。
22．【答案】2
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：黄金矩形的宽与长的比等于黄金数
故答案为：2.
【分析】根据 矩形的宽与长的比等于黄金数可得，然后将AD的值代入计算即可.
23．【答案】 π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】大扇形的圆心角是90度，半径是6，
所以面积为： （m2）；
小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是6-4=2m，
则面积为： （m2）；
小羊A在草地上的最大活动区域面积为： （m2）.
故答案为： .
【分析】小羊A在草地上的最大活动区域面积为两个扇形的面积，一个扇形的圆心角为90°，半径为6m，另一个扇形为圆心角为60°，半径为2m.
24．【答案】27°
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，延长OA交⊙O于F，连接DF．
∵四边形ACDO是平行四边形，
∴∠DOF=∠A，DO=AC，
∵OF=AO，
∴△DOF≌△CAO，
∴DF=OC，
∴点D的运动轨迹是F为圆心OC为半径的圆，
∴当点D在BF的延长线上时，BD的值最大，
∵∠AOB=108°，
∴∠FOB=72°，
∵OF=OB，
∴∠OFB=54°，
∵FD=FO，
∴∠FOD=∠FDO=27°，
∴∠A=∠FOD=27°.
故答案为27°.
【分析】连接OC，延长OA交⊙O于F，连接DF，利用平行四边形的性质，可证得∠DOF=∠A，DO=AC，再证明△DOF≌△CAO，利用全等三角形的性质，可得出DF=OC，可得出点D的运动轨迹是F为圆心OC为半径的圆，可推出当点D在BF的延长线上时，BD的值最大，由∠AOB的度数求出∠FOB的度数，再根据同一个圆的半径相等、等腰三角形的性质，可求出∠OFB的度数，然后根据三角形外角的性质，就可求出∠A的度数。
1 / 1浙江省诸暨市大唐初级中学2021-2022学年九年级下学期回头考数学试题
一、单选题
1．（2018九上·武汉期末）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣6（ ）
A．最小值为﹣6 B．最大值为﹣6 C．最小值为3 D．最大值为3
【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据二次函数解析式y＝2（x－3）2－6可知它的开口方向向上，故应该有最小值，它的顶点是（3,﹣6），
故最小值是﹣6.
故答案为：A.
【分析】已知二次函数的解析式是顶点式，由a的值，可得出抛物线的开口方向，因此可知此函数的最值情况。
2．（2021九上·台山期末）下列交通标志是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此逐一判断即可.
3．（2018·衡阳）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，下列说法错误的是
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
【答案】A
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】A.连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故符合题意；
B.连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故不符合题意；
C.大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故不符合题意；
D.通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故不符合题意．
故答案为：A．
【分析】 抛一枚均匀硬币正面朝上的事件是一个随机事件，通过大量的反复抛一枚均匀硬币 出现正面向上的概率越来越接近 ，即 大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次 ；故连续抛一枚均匀硬币2次不一定必有1次正面朝上 ， 连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上 ，但抛掷的结果只有两种：要么正面朝上，要么反面朝上，所以出现正面向上与反面向上的概率是一样的， 从而得出通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
4．（2020九上·兰州期末）如果 ，那么 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴3x+3y＝5x，
则3y＝2x，
那么 ＝ .
故答案为：D.
【分析】直接利用已知进行变形进而得出结果.
5．（2018九上·武汉期末）圆的直径是13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆的直径是13cm，故半径为6.5cm. 圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，
那么圆心到直线的距离可能等于6.5cm也可能小于6.5cm，因此直线与圆相切或相交.
故答案为：D.
【分析】要求该直线和圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，就要求出圆心到直线的距离，再与半径进行比较，由已知条件：圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，即可作出判断。
6．（2018九上·武汉期末）如图，等边△ABC的边长为4，D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，分别以A，B，C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（ ）
A．π B．2π C．4π D．6π
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以AD长为半径，且D是AB的中点，三角形边长为4，
∴三条圆弧的所对圆心角都为60°，半径是2，
根据弧长公式得到一条圆弧长为 ＝ ，所以图中三条圆弧的弧长之和是2π.
故答案为：B.
【分析】利用等边三角形的性质，可知三个扇形的圆心角都是60°，AB=CB=AC，再根据中点的定义，可求出三个扇形的半径都为2，再利用弧长公式求出一个扇形的弧长，然后就可求出三条圆弧的弧长之和。
7．（2020·宿州模拟）如图⊙O的直径 垂直于弦 ，垂足是 ， ， ， 的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE= CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2 ，
即：CE=2 ，
∴CD=4 ，
故答案为：C．
【分析】利用圆周角的性质可以求出∠BOC=2∠A=45°，根据垂径定理可以得到CE=DE，同时可以判断出为等腰直角三角形，所以可以得到CE=OC=，然后利用CD=2CE进行计算求出结果.
8．（2019九上·呼和浩特期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为：（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】根据圆周角与圆心角的关系，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，可得∠A=50°，然后由圆内接四边形的对角互补可求得∠C=180°-∠A=130°.
故答案为：D
【分析】由圆周角以及圆心角的关系，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，继而计算得到答案即可。
9．（2022九下·诸暨开学）如图1，等边△ABC中，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，如图2是y关于x的函数图象，则等边△ABC的边长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；通过函数图象获取信息并解决问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：根据函数图象可得，
当x=2时，y=1，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB=90°，
∵，
∴∠BPD=30°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC，
∴BC=2PB=4，
∴等边三角形的边长为4.
故答案为：C.
【分析】根据函数图象可得：当x=2时，y=1，则BD=BP，推出∠BPD=30°，则∠APB=∠BPD+∠APD=90°，由等边三角形的性质可得BC=2PB，据此求解.
二、解答题
10．（2022九下·株洲开学考）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：
①；②；③；④；⑤.
正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①③④ C．①②③④⑤ D．①②③⑤
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵
＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝ 2时，y＜0，
∴4a 2b＋c＜0，即4a＋c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2＋bx＋c的图象过点（ 1，0）和（m，0），
∴ 1×m＝
，am2＋bm＋c＝0，
∴，
∴，故③正确，
∵ 1＋m＝
，
∴ a＋am＝ b，
∴am＝a b，
∵am2＋（2a＋b）m＋a＋b＋c
＝am2＋bm＋c＋2am＋a＋b
＝2a 2b＋a＋b
＝3a b＜0，故④正确，
∵m＋1＝
，
∴m＋1＝
，
∴|am＋a|＝
，故⑤正确.
故答案为：C.
【分析】由图象可知：抛物线开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴右侧，判断出a、b、c的正负，进而判断①；根据x=-2对应的函数值为负可判断②；根据图象与x轴的交点坐标结合根与系数的关系可得 1×m＝
，am2＋bm＋c＝0，进而判断③；根据根与系数的关系可得-1＋m＝-
，则am=a b，据此判断④；结合求根公式表示出m+1，进而判断⑤.
11．（2022九下·诸暨开学）计算：4cos60°-4sin60° tan60°＋4cos245°
【答案】解：原式=
=
=-2
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式= ，然后计算乘方、再计算乘法，最后计算加减法即可.
12．（2018九上·武汉期末）甲、乙、丙三个盒子中分别装有除颜色外都相同的小球，甲盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球；乙盒中装有三个球，分别为两个绿球和一个红球；丙盒中装有两个球，分别为一个红球和一个绿球，从三个盒子中各随机取出一个小球
（1）请画树状图，列举所有可能出现的结果
（2）请直接写出事件“取出至少一个红球”的概率．
【答案】（1）解：如图所示：
所有等可能结果为(红、绿、红)、(红、绿、绿)、(红、绿、红)、(红、绿、绿)、(红、红、红)、(红、红、绿)，(绿、绿、红)、(绿、绿、绿)、(绿、绿、红)、(绿、绿、绿)(绿、红、红)、(绿、红、绿)这12种等可能结果
（2）解：P(取出至少一个红球)＝ .
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件：从三个盒子中各随机取出一个小球，画出树状图，根据树状图列举出所有等可能的结果。
（2）根据（1）中的树状图，可得出所有等可能的结果数及“取出至少一个红球”的情况数，再利用概率公式可求解。
13．（2022九下·诸暨开学）如图，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB＝80°
（1）若点C在优弧BD上，求∠ACD的大小
（2）若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小
【答案】（1）解：∵AO⊥BD，
∴，
∴∠AOB=2∠ACD，
∵∠AOB=80°，
∴∠ACD=40°
（2）解：∠ACD=40°或140°.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：（2）如图，①当点C1在上时，∠AC1D=∠ACD=40°；
②当点C2在上时，∵∠AC2D+∠ACD=180°，∴∠AC2D=140°.
综上所述，∠ACD=40°或140°.
【分析】（1）由圆周角定理可得∠AOB=2∠ACD，据此求解；
（2）①当点C1在上时，由圆周角定理可得∠AC1D=∠ACD；②当点C2在上时，根据圆内接四边形的性质可得∠AC2D+∠ACD=180°，代入计算即可.
14．（2022九下·诸暨开学）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成.已知天桥高度BC＝4.5米，引桥水平跨度AC＝8米.
（参考数据：取sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）
（1）求水平平台DE的长度；
（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比.
【答案】（1）解：如图，延长交于点.
由题意可知，，
∴四边形是平行四边形.
∴.
在中，
，即，
∴（米），
∴（米）.
答：水平平台的长度为2米.
（2）解：如图，延长交于点，作于点H.
由题意知，，
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴.
答：两段楼梯AD与BE的长度之比为2：1.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）延长BE交AC于点F，由题意可知DE∥AC，AD∥BF，推出四边形AFED是平行四边形，得到DE=AF，根据三角函数的概念可得FC，然后根据DE=AF=AC-FC进行计算；
（2）延长DE交BC于点G，作DH⊥AC于点H，易证△DAH∽△BEG，然后根据相似三角形的性质进行计算.
15．（2018九上·武汉期末）投资1万元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造.墙长24 m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m.
（1）设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若菜园面积为384 m2，求x的值；
（3）求菜园的最大面积.
【答案】（1）解：根据题意知，y＝ ＝－ x＋
（2）解：根据题意，得(－ x＋ )x＝384，
解得x＝18或x＝32.
∵墙的长度为24 m，∴x＝18.
（3）解：设菜园的面积是S，则S＝(－ x＋ )x＝－ x2＋ x＝－ (x－25)2＋ .
∵－ ＜0，∴当x＜25时，S随x的增大而增大.
∵x≤24，
∴当x＝24时，S取得最大值，最大值为416.
答：菜园的最大面积为416 m2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据垂直于墙的一边长=，再列出y与x的函数解析式。
（2）根据矩形的面积=xy=384，建立关于x的方程，求出方程的解，再根据墙长≤24，确定出墙的长度。
（3）根据菜园的最大面积S=xy，列出S与x的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，就可求出菜园面积的最大值。
16．（2018九上·武汉期末）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．
【答案】（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCD＝∠AEC，
∴AE∥OC，
∴∠EAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAE
（2）解：作CF⊥AB于F．
在Rt△OCD中，∵OC＝3，OD＝5，
∴CD＝4，
∵ OC CD＝ OD CF，
∴CF＝ ，
∵AC平分∠DAE，CE⊥AE，CF⊥AD，
∴CE＝CF＝ ．
【知识点】角平分线的性质；切线的性质
【解析】【分析】（1） 连接OC，利用切线的性质，可知∠OCD=90°，根据已知易证AE∥OC，可得到∠EAC＝∠ACO，再根据OA=OC，就可证得∠OAC=∠OCA，即可证得∠EAC=∠OAC，从而可证得结论。
（2）作CF⊥AB于F，先利用勾股定理求出CD，再利用直角三角形的两个面积公式求出CF，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等，就可求出CE的长。
17．（2018九上·武汉期末）如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧）
（1）如图1，若点C是AB的中点，则∠AED＝ ；
（2）如图2，若点C不是AB的中点
①求证：△DEF为等边三角形；
②连接CD，若∠ADC＝90°，AB＝3，请直接写出EF的长．
【答案】（1）90°
（2）解：①延长FC交AD于H，连接HE，如图2，
∵CF＝FB，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵∠CFB＝120°，
∴∠FCB＝∠FBC＝30°，
同理：∠DAB＝∠DBA＝30°，∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠DAB＝∠ECA＝∠FBD，
∴AD∥EC∥BF，
同理AE∥CF∥BD，
∴四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形，
∴EC＝AH，BF＝HD，
∵AE＝EC，
∴AE＝AH，
∵∠HAE＝60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE＝AH＝HE＝CE，∠AHE＝∠AEH＝60°，
∴∠DHE＝120°，
∴∠DHE＝∠FCE．
∵DH＝BF＝FC，
∴△DHE≌△FCE（SAS），
∴DE＝EF，∠DEH＝∠FEC，
∴∠DEF＝∠CEH＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
②如图3，过E作EM⊥AB于M，
∵∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，
∴∠ACD＝60°，
∵∠DBA＝30°，
∴∠CDB＝∠DBC＝30°，
∴CD＝BC＝ AC，
∵AB＝3，
∵AC＝2，BC＝CD＝1，
∵∠ACE＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠ECD＝30°＋60°＝90°，
∵AE＝CE，
∴CM＝ AC＝1，
∵∠ACE＝30°，
∴CE＝ ，
Rt△DEC中，DE＝ ＝ ＝ ，
由①知：△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝ ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，过E作EH⊥AB于H，连接CD，
设EH＝x，则AE＝2x，AH＝ x，
∵AE＝EC，
∴AC＝2AH＝2 x，
∵C是AB的中点，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵∠ADB＝120°，
∴∠DAC＝30°，
∴DC＝2x，
∴DC＝CE＝2x，
∵EH∥DC，
∴∠HED＝∠EDC＝∠CED，
∵∠AEH＝60°，∠AEC＝120°，
∴∠HEC＝60°，
∴∠HED＝30°，
∴∠AED＝∠AEH＋∠HED＝90°；
故答案为：90°；
【分析】（1）过E作EH⊥AB于H，连接CD，利用等腰三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，设EH＝x，用含x的代数式表示出AE、AH、AC，再根据△ADB是含120°的等腰三角形，可以用含x的代数式表示出DC，从而可证得DC=CE，就可求出∠DEC的度数，然后求出∠HEC、∠AEH、∠HED，由∠AED＝∠AEH＋∠HED，可求出结果。
（2） ①延长FC交AD于H，连接HE，如图2，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理证明∠DAB＝∠ECA＝∠FBD，就可证得AD∥EC∥BF，同理可证AE∥CF∥BD，利用平行四边形的判定定理，可证得四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形，利用平行四边形的性质，易证EC＝AH，BF＝HD，再证明 △AEH是等边三角形及△DHE≌△FCE ，就可证得DE＝EF，可得出∠DEF=60°，即可证得△DEF是等边三角形；如图3，过E作EM⊥AB于M， 由已知求出∠CDB＝∠DBC＝30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出BC、CD，再证明AE=CE，由ME⊥AC，就可求出CM的长，利用解直角三角形求出CE的长，然后在Rt△DEC中，利用勾股定理求出DE的长， 由①知：△DEF是等边三角形，即可求出EF的长。
18．（2022九下·诸暨开学）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C(0，2).
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？
【答案】（1）解：∵抛物线经过点A（2，0），B（6，0），C（0，），
∴，
解得.
∴抛物线的解析式为：
（2）解：易知抛物线的对称轴是.
把代入y=2x得y=8，
∴点D的坐标为（4，8）.
∵⊙D与x轴相切，
∴⊙D的半径为8.
如图，连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M.
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4.
∴cos∠MDF=.
∴∠MDF=60°，
∴∠EDF=120°.
∴劣弧所对圆心角为：120°.
∴劣弧 EF的长为.
（3）解：设直线AC的解析式为y=kx+b.
∵直线AC经过点A（2，0），C（0，），
∴，解得.
∴直线AC的解析式为：.
设点P，PG交直线AC于N，
则点N坐标为.
∵S△PNA：S△GNA=PN：GN，
∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.
即，
解得：m1=－3， m2=2（舍去）.
当m=－3时，.
∴此时点P的坐标为.
②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.
即，
解得：m1=－12， m2=2（舍去）.
当m=－12时，.
∴此时点P的坐标为.
综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；切线的性质；弧长的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）将A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c中求出a、b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）易知抛物线的对称轴是x=4，把x=4代入y=2x得y=8，据此可得点D的坐标，由⊙D与x轴相切可得⊙D的半径为8，连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M，求出cos∠MDF的值，得到∠MDF=60°，则∠EDF=120°，然后利用弧长公式进行计算；
（3）利用待定系数法求出直线AC的解析式，设P（m，m2-m+），PG交直线AC于N，则N（m，m+），根据三角形的面积公式可得S△PNA：S△GNA=PN：GN，①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN，据此可得m的值，进而可得点P的坐标；②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN，同理求解即可.
三、填空题
19．（2018九上·武汉期末）把抛物线y＝2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是 ．
【答案】y＝2（x＋2）2﹣1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0,0），再把点（0,0）先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点的坐标为（﹣2，﹣1），所以得到抛物线的解析式为y＝2（x＋2）2－1.
故答案为：y＝2（x＋2）2－1
【分析】根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位，即可得到y=a（x±n）2±m，根据平移规律，可得出平移后的函数解析式。
20．（2018九上·武汉期末）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：两次取出的小球标号和的所有可能情况共有16种，其中和为5的情况有4种，故两次取出的小球标号的和等于5的概率是4÷16＝ . .
故答案为
【分析】抓住已知条件：随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，列出树状图，根据树状图求出所有等可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于5的情况数，再利用概率公式可求解。
21．（2018九上·武汉期末）如图，正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP，则 ＝ ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长是2，如图连结AE，
在正六边形中，∠F= ×（6－2） 180°=120°，
∵AF=EF，
∴∠AEF=∠EAF= （180°－120°）=30°，
∴∠AEP=120°－30°=90°，AE=2×2cos30°=2×2× ＝2 ，
∵点P是ED的中点，∴EP= ×2=1，
在Rt△AEP中，AP= .
∴ ＝ .
故答案为：
【分析】设正六边形ABCDEF的边长是2，如图连结AE，根据正多边形的性质，可证AF=EF，可求出∠F，∠FAE、∠FEA，∠AEP的度数，利用线段中点的定义，可求出EP的长，再利用解直角三角形求出AE的长，再在Rt△AEP中，利用勾股定理求出AP的长，然后再求出AP与AB的比值。
22．（2022九下·诸暨开学）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形.如图，矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝，则长AB为 .
【答案】2
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：黄金矩形的宽与长的比等于黄金数
故答案为：2.
【分析】根据 矩形的宽与长的比等于黄金数可得，然后将AD的值代入计算即可.
23．（2020九下·沈阳月考）如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是 m2.
【答案】 π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】大扇形的圆心角是90度，半径是6，
所以面积为： （m2）；
小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是6-4=2m，
则面积为： （m2）；
小羊A在草地上的最大活动区域面积为： （m2）.
故答案为： .
【分析】小羊A在草地上的最大活动区域面积为两个扇形的面积，一个扇形的圆心角为90°，半径为6m，另一个扇形为圆心角为60°，半径为2m.
24．（2018九上·武汉期末）在⊙O中，弧AB所对的圆心角∠AOB＝108°，点C为⊙O上的动点，以AO、AC为边构造 AODC．当∠A＝ °时，线段BD最长．
【答案】27°
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，延长OA交⊙O于F，连接DF．
∵四边形ACDO是平行四边形，
∴∠DOF=∠A，DO=AC，
∵OF=AO，
∴△DOF≌△CAO，
∴DF=OC，
∴点D的运动轨迹是F为圆心OC为半径的圆，
∴当点D在BF的延长线上时，BD的值最大，
∵∠AOB=108°，
∴∠FOB=72°，
∵OF=OB，
∴∠OFB=54°，
∵FD=FO，
∴∠FOD=∠FDO=27°，
∴∠A=∠FOD=27°.
故答案为27°.
【分析】连接OC，延长OA交⊙O于F，连接DF，利用平行四边形的性质，可证得∠DOF=∠A，DO=AC，再证明△DOF≌△CAO，利用全等三角形的性质，可得出DF=OC，可得出点D的运动轨迹是F为圆心OC为半径的圆，可推出当点D在BF的延长线上时，BD的值最大，由∠AOB的度数求出∠FOB的度数，再根据同一个圆的半径相等、等腰三角形的性质，可求出∠OFB的度数，然后根据三角形外角的性质，就可求出∠A的度数。
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