重庆市南岸区2021-2022学年九年级下学期第一次定时作业数学试题
一、单选题
1．（2021·大连）2021年党中央首次颁发“光荣在党50年”纪念章，约7100000名党员获此纪念章数7100000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数7100000用科学记数法表示为 ；
故答案为：C．
【分析】 将一个数表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
2．（2021·济南）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A.既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，但是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．（2022九下·南岸开学）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A.，故A错误；
B.，故B正确；
C.，故C错误；
D.，故D错误.
故答案为：B.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断B；幂的乘方：底数不变，指数相乘，据此判断C；根据单项式与单项式的除法法则可判断D.
4．（2021九上·云阳月考）估算 的运算结果应在（ ）
A．6与7之间 B．7与8之间 C．8与9之间 D．9与10之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵ 4 ，而4 5，
∴原式运算的结果在8到9之间.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的乘法法则将原式化简，由估算无理数大小的方法估算出的范围，进而根据不等式的性质可得4 的范围.
5．（2022九下·南岸开学）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的位似比为1∶2，面积为2，则的面积是（ ）
A．2 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△EDC为位似图形，
∴△ABC∽△EDC，
∵位似比是1：2，
∴相似比是1：2，
∴△ABC与△EDC的面积比为：1：4，
∵△ABC的面积为2，
∴△EDC的面积是：2×4=8.
故答案为：B.
【分析】由题意可得△ABC∽△EDC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
6．（2022九下·南岸开学）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD.若∠C＝46°，则∠AOD的度数为（ ）
A．44° B．88° C．46° D．92°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠CAB＝90°，
∵∠C＝46°，
∴∠B＝90°-46°＝44°，
由圆周角定理得，∠AOD＝2∠B＝88°.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得∠CAB＝90°，则∠B＝90°-∠C＝44°，由圆周角定理得∠AOD＝2∠B，据此计算.
7．（2021·天津）若点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得：
、 、 ．
则 ．
故答案为：B．
【分析】将点ABC的横坐标分别代入反比例函数解析式中，求出 的 值，然后比较即可.
8．（2021·苏州）某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架.已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架.设甲种型号无人机 架，乙种型号无人机 架.根据题意可列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】设甲种型号无人机 架，乙种型号无人机 架
∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，
∴
∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架
∴
联立可得：
故答案为：D.
【分析】由题意可得相等关系“甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架”，根据相等关系可列方程组.
9．（2022九下·南岸开学）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，，且，，则OB的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，，，，
∴BC=AD=3，，OA=OC=AC，
∴，CO=2，
∴OB=.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可得BC=AD=3，OA=OC=AC，由勾股定理可得AC的值，然后求出OC，再次利用勾股定理就可求出OB的长.
10．（2020·金华模拟）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地，甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶，乙车先到达B地并停留1h后，再以原速沿原路返回，直至与甲车相遇。在此过程中，两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示。下列说法错误的是（ ）
A．乙车的速度是120km/h B．m=160
C．点H的坐标是(7，80) D．n=7.5
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：A、由图象可知，乙出发时，甲乙两车相距80千米，2小时后，乙车追上了甲车，这时说明乙车每小时比甲车快40千米，所以乙车的速度是120km/h，所以A选项正确；
B、由图象可知，在第2-第6小时，乙车由相遇点到达B地，用时4小时，每小时比甲车快40千米，则此时甲乙车距离为160千米，所以B选项正确；
C、当乙车在B地停留1小时，甲车前进80千米，则点H的坐标是(7，80)，所以C选项正确；
D、乙车返回时，甲乙车相距80千米，到两车相遇时用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=7+0.4=7.4，所以D选项错误.
故答案为：D.
【分析】由图象可知，当x=0时，m=80，即两车起始距离为80千米，从而得到乙车速度，进而根据两车运行状态及图象变化，逐项判断即可.
11．（2022九下·南岸开学）若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a之和是（ ）
A．15 B．14 C．8 D．7
【答案】D
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①，得x≤11
解不等式②，得x>a
∵不等式组至少有五个整数解
∴a<7
∴
∴
∵
∴
∴
∴，a为整数
又∵为整数
∴a可以取-1，3，5
∴满足条件的所有整数a之和是-1+3+5=7
故答案为：D.
【分析】求出不等式组的解集，结合不等式组至少有五个整数解可得a的范围，根据分式方程表示出y，根据分式方程的解为非负整数可得a的取值，然后求和即可.
12．（2022九下·南岸开学）如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数y（k≠0）的图象过点A并交AD于点G，连接DF.若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，
设点 ，则AM=b，OM=a，
∴AM∥NG，AM∥y轴，
∴△DGN∽△DAM， ，
∴ ，
∵BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点A、G在反比例函数y（k≠0）的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠OBF=∠GDN，，
∵∠BOF=∠GND=90°，
∴△BOF∽△DNG，
∴ ，即，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，设A（a，b） ，则AM=b，OM=a，证明△DGN∽△DAM，根据相似三角形的性质可得OB=a，GN=b，根据点A、G在反比例函数图象上可得k=ab=b·ON，表示出ON、MN、DN、BD，由平行四边形的性质可得∠OBF=∠GDN，S△ABD=S△BCD，证明△BOF∽△DNG，根据相似三角形的性质可得OF，然后根据S△FCD=S△BCD-S△BDF结合三角形的面积公式可得ab的值，进而可得k的值.
二、填空题
13．（2022九下·南岸开学） .
【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；负整数指数幂；有理数的加法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】根据绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则可得原式=4+，然后根据有理数的加法法则进行计算.
14．（2021·南充模拟）有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表得：
（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） -
（1，4） （2，4） （3，4） - （5，4）
（1，3） （2，3） - （4，3） （5，3）
（1，2） - （3，2） （4，2） （5，2）
- （2，1） （3，1） （4，1） （5，1）
∴一共有20种情况，这两个球上的数字之和为偶数的8种情况，
∴这两个球上的数字之和为偶数的概率是.
故答案为：.
【分析】由题意可知此事件是抽取不放回，列表，可得到所有等可能的结果数及这两个球上的数字之和为偶数的情况数，然后利用概率公式进行计算.
15．（2021九上·浈江期末）如图，矩形ABCD的边长，，以为直径，的中点为圆心画弧，交矩形于点D，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】π
【知识点】勾股定理；矩形的性质；扇形面积的计算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，，，
∴，，
∴，
S阴影＝S半圆－S△ACD＋S△ABC－S扇形，
∵AC是矩形ABCD的对角线，
∴S△ACD＝S△ABC，
∴S阴影＝S半圆－S△ACD＋S△ABC－S扇形＝ S半圆－S扇形＝，
故填：π.
【分析】由矩形的性质可得∠ABC＝90°，S△ACD＝S△ABC，由勾股定理求出AC=4，由正切函数的定义可得tan∠BAC=可得∠BAC=30°，利用S阴影＝S半圆－S△ACD＋S△ABC－S扇形＝ S半圆－S扇形即可求解.
16．（2022九下·南岸开学）某销售商十月份销售X、Y、C三种糖果的数量之比2∶1∶1，X、Y、C三种糖果的单价之比为1∶3∶4.十一月份该销售商为了迎接双“十一”加大了宣传力度.预计三种糖果的营业额都会增加.其中X种糖果增加的营业额占总增加的营业额的，此时，X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业颁之比为3∶8，为使十一月份Y、C两种糖果的营业额之比为2∶3，则十一月份C种糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为 .
【答案】5：24
【知识点】比的应用
【解析】【解答】解：设10月份X、Y、C三种糖果的销售的数量分别为2x、x、x；单价分别为y、3y、4y，
∴10月份X、Y、C三种糖果的销售额分别为2xy，3xy，4xy；
∵X种糖果增加的营业额占总增加的营业额的，
∴设11月份X增加的营业额为，则11月份总增加的营业额为z；
又X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业额之比为3：8，
∴（2xy +）：（9xy+z）=3：8，解得z=15xy，
∴十一月份X种糖果的营业额为9xy，三种糖果总营业额为24xy，
∴Y，C两种糖果的营业额之和为15xy，
若十一月份Y、C两种糖果的营业额之比为2：3，
则Y、C两种糖果的营业额分别为6xy，9xy；
∴C种糖果增加的营业额为9xy-4xy=5xy，
∴十一月份C种糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为5xy：24xy=5：24.
故答案为：5：24.
【分析】设10月份X、Y、C三种糖果的销售的数量分别为2x、x、x；单价分别为y、3y、4y，则销售额分别为2xy，3xy，4xy，设11月份X增加的营业额为，则11月份总增加的营业额为z，根据X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业额之比为3：8可得z=15xy，则Y、C两种糖果的营业额分别为6xy，9xy，C种糖果增加的营业额为5xy，据此求解.
三、解答题
17．（2022九下·南岸开学）计算：
（1）（x-y）2＋x（x＋3y）；
（2）.
【答案】（1）解：原式＝
＝
（2）解：原式＝
＝
＝
＝.
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则化简即可；
（2）对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简.
18．（2022九下·南岸开学）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF.
【答案】（1）解：如图所示，
（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，
即AD⊥EF
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线的作图作图即可；
（2） 根据角平分线的性质可得DE＝DF，利用HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得到AE＝AF，推出AD垂直平分EF，据此证明.
19．（2022九下·南岸开学）近日，市委、市政府公布了第七批重庆市爱国主义教育基地名单，重庆市育才中学创办的陶行知纪念馆位列其中.如图，为了测量陶行知纪念馆的高度，小李在点处放置了高度为1.5米的测角仪，测得纪念馆顶端点的仰角，然后他沿着坡度的斜坡走了6.5米到达点，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点.（结果精确到0.1，参考数据：，，）
（1）求点到纪念馆的水平距离；
（2）求纪念馆的高度约为多少米？
【答案】（1）解：AB延长交地面于H，过点F作FG⊥CH于G，过点D的水平线交AH与E，
∵坡度的斜坡走了6.5米到达点，
设FG=x，CG=2.4x，CF=6.5米，
在Rt△FGC中，根据勾股定理得，即，
解得米，
∴CG=2，4x=6米，
∵BF∥CH，AH⊥CH，
∴BF⊥AH，
∴∠FBH=∠BHG=90°，
∵FG⊥CH，
∴∠FGH=90°，
∴四边形BHGF为矩形，
∴BF=HG=4米，BH=FG=2.5米，
∴CH=HG +CG=4+6=10米，
∵CD⊥CH，
∴∠DCH=90°，
∵DE∥CH，
∴∠DEH+∠BHG=180°，
∴∠DEH=180°-∠BHG=90°，
∴∠DEH=∠DCH=∠BHG=90°，
∴四边形EHCD为矩形，
∴DE=CH=10米，
（2）解：在Rt△AED中，，DE=10米，
∴AE=DE·tan51°≈10×1.23=12.3米，
∵BH=2.5米，EH=CD=1.5米
∴AB=AE+EH-BH=12.3+1.5-2.5=11.3米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）AB延长交地面于H，过点F作FG⊥CH于G，过点D的水平线交AH与E，设FG=x，CG=2.4x，CF=6.5米，在Rt△FGC中，根据勾股定理可得x的值，易得四边形BHGF为矩形，则BF=HG=4米，BH=FG=2.5米，CH=HG +CG=10米，由平行线的性质可得∠DEH=180°-∠BHG=90°，推出四边形EHCD为矩形，据此求解；
（2）根据三角函数的概念可得AE，然后根据AB=AE+EH-BH进行计算.
20．（2022九下·南岸开学）“聚焦双减，落实五项管理”，为了解双减政策实施以来同学们的学习状态，某校志愿者调研了七，八年级部分同学完成作业的时间情况，从七，八年级中各抽取20名同学作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（x表示作业完成时间，x取整数）：A.；B.；C.；D.，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息：
七年级取20名完成作业时间：55，58，60，65，64，66，60，60，78，78，70，75，75，78，78，80，82，85，85，88.
八年级抽取20名同学中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75.
七，八年级抽取的同学完成作业时间统计表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 72 75 b
八年级 75 a 75
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ▲ ， ▲ ，并补全统计图；
（2）根据以上数据分析，双减政策背景的作业时间管理中，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校七年级有900人，八年级有700人，估计七、八年级为时间管理优秀的共有多少人？
【答案】（1）解：78，75；补全图形如下：
（2）解：从平均数来看，七年级完成作业的平均时间比八年级的少，故可知七年级落实得更好些；
中位数相同，七年级完成作业的平均时间比八年级的少，故可知七年级落实得更好些
（3）解：七年级20名完成作业时间优秀的人数为5人，八年级20名完成作业时间优秀的人数为5人，
所以，该校七年级完成作业时间优秀的人数为：（人），
该校八年级完成作业时间优秀的人数为：（人），
所以，该校两个年级完成作业时间优秀的人数共有：（人）
答：估计七、八年级为时间管理优秀的共有400人
【知识点】用样本估计总体；统计表；条形统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）七年级20名完成作业时间中最多的数据是78分钟，所以，七年级20名完成作业时间的众数是78分钟，即b=78；
八年级20名完成作业时间中A段有3人，C有8人，D段有5人，
所以，B段的人数为20-3-8-5=4（人）
中位数为第10、11个数据的平均数，
而A段与B段人数为3+4=7（人）
所以中位数为C段从小到大排列第3，4个数据的平均数，即（分钟）
所以，a=75
故答案为：78；75；
【分析】（1）找出七年级20名完成作业时间中最多的数据即为众数b的值，八年级20名完成作业时间中A段有3人，C有8人，D段有5人，则B段的人数为4人，中位数为第10、11个数据的平均数，据此可得a的值，根据B段的人数即可补全条形统计图；
（2）根据平均数、中位数的大小进行分析判断；
（3）首先分别求出七年级、八年级优秀的人数所占的比例，然后乘以总人数，再相加即可.
21．（2022九下·南岸开学）重庆1949大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元.
（1）求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？
（2）因为疫情原因，11月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100张，嘉宾席票平均每天售出200张.12月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票价，这样与11月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍，嘉宾席的票价与11月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的，这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元，求12月份普通席的票价是多少元？
【答案】（1）解：设普通席单张票价为元，则嘉宾席单张票价为元，依题意得：，解之得：，∴嘉宾席单张票价为元，答：普通席280元，嘉宾席320元.
（2）解：设普通席普通票增加张数为张，则，依题意得：，解之得：，∴12月份普通席的票价是元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设普通席单张票价为x元，则嘉宾席单张票价为(x+40)元，根据一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元建立关于x的方程，求出x的值，据此解答；
（2）设普通席普通票增加张数为a张，由题意可得普通席票平均每天售出(100+a)张，票价为(280-2a)元，平均每天售出嘉宾席的张数为(200+a) ，票价为320元，根据票价×张数=总销售额可得关于a的方程，求解即可.
22．（2022九下·南岸开学）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A(3，1)，B(-1，n)两点.
（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足k1x+b≥的x的取值范围；
（3）连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求△ABC的面积.
【答案】（1）解：将点A（3，1）代入反比例函数y=，
得k2=3×1=3，
∴反比例函数解析式：y=，
将点B（-1，n）代入y=，
得-n=3，
解得n=-3，
∴B（-1，-3），
将点A，B代入一次函数y=k1x+b，
得，
解得：，
∴一次函数解析式：y=x-2；
（2）解：-1≤x＜0或x≥3
（3）解：过C点作CD∥y轴，交直线AB于D，
∵B（-1，-3），B、C关于原点对称，
∴C（1，3），
把x=1代入y=x-2得，y=-1，
∴D（1，-1），
∴CD=4，
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=×4×（3+1）=8.
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：（2）根据图象可知，k1x+b≥的x的取值范围：x≥3或-1≤x＜0；
【分析】（1）将A（3，1）代入反比例函数y=中可得k2的值，据此可得反比例函数的解析式，然后将B（-1，n）代入求出n的值，得到点B的坐标，接下来利用待定系数法就可求出一次函数的解析式；
（2）根据图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分或重叠部分所对应的x的范围即可；
（3）过C点作CD∥y轴，交直线AB于D，则C（1，3），把x=1代入y=x-2得y=-1，据此可得点D的坐标，求出CD的值，然后根据S△ABC=S△ACD+S△BCD进行计算.
23．（2022九下·南岸开学）一个自然数能分解成，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”.
例如：∵，6比7小1，，∴4819是“双十数”；
又如：∵，3比4小1，，∴1496不是“双十数”.
（1）判断297，875是否是“双十数”，并说明理由；
（2）自然数为“双十数”，N的百位及其以上的数位组成一个数记为p，N的十位数字和个位数字组成的两位数记为q，例如：∵，∴，；又如：∵，∴，.若A与B的十位数字之和能被5整除，且能被比B的个位数字大10的数整除，求所有满足条件的自然数N.
【答案】（1）解：，比小1，，
不是“双十数”
，比小1，，
是“双十数”
（2）解：自然数为“双十数”，
设
则
又A与B的十位数字之和能被5整除，
则是整数，
或
或
或，
能被比B的个位数字大10的数整除，
，为正整数；
即，又
又
或，为正整数；
即
或
解得或
或
综上所述
【知识点】定义新运算；整除（奥数类）
【解析】【分析】（1）直接根据“双十数”的概念进行判断；
（2）设A=10a+m，B=10b+n，则b-a=1、m+n=10，根据A与B的十位数字之和能被5整除可得是整数，求出a、b的值，根据N=A×B表示出N，得到p、q，根据2p+q能被比B的个位数字大10的数整除可得m、n的值，据此可得N.
24．（2022九下·南岸开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）交y轴于点C，且OC＝3.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的最大值，以及此时点P的坐标；
（3）把抛物线y＝ax2＋bx＋c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P，R为新抛物线上一点，S是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形的点R的坐标，并把其中一个点R的坐标过程写出来.
【答案】（1）解： 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（-1，0），B（3，0），
设抛物线为：
则
解得：
所以抛物线的解析式为：
（2）解：如图，连接
设
当时，四边形的面积最大，
最大面积为：
此时
（3）解：或或
如图，由题意得：平移后的抛物线的顶点
抛物线为：，对称轴为
点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边，
设
由平行四边形的对角线互相平分结合中点公式可得：
解得：
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（3）同理可得：
当为对角线时，
同理可得：
解得：
综上：或或
【分析】（1）由点A、B的坐标可设y=a(x+1)(x-3)，根据OC=3可得C（0，-3），代入求解可得a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）连接AC、OP，设P（x，x2-2x-3），根据S四边形ACPB=S△AOC+S△PCO+S△PBO表示出S四边形ACPB，然后根据二次函数的性质可得最大值以及点P的坐标；
（3）由题意得：平移后的抛物线的顶点，则抛物线解析式为y=x2-3x-，对称轴为直线x=，当AC为平行四边形的边时，设S（，t），R（x，x2-3x-），根据平行四边形的对角线互相平分结合中点公式可得x、t的值，据此可得R的坐标；当AC为对角线时，同理求解即可.
25．（2022九下·南岸开学）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.
（1）如图1，过点C作CD⊥BD交AB于M，若BM＝2，tan∠DCB＝.求DM的长；
（2）如图2，若AD⊥AE，且AD＝AE，延长AD、CB交于点F，作EG⊥EA交CB于点G.猜想FD、CE、EG之间有何数量关系？并证明你的结论.
（3）如图3，若AB＝4，D为一动点且始终有BD⊥CD，取CD的中点M，连接BM，将MB绕点B逆时针旋转90°得到点E，直接写出△ABE面积的最大值.
【答案】（1）解：如图1
∵BD⊥CD
∴
∴设BD=a，则CD=3a
由勾股定理得：
∵∠BAC=90゜，AB=AC
∴由勾股定理得
∴
∴
∵∠BDM=∠BAC，∠DMB=∠AMC
∴△BDM∽△CAM
∴即
∴，
由CM+DM=CD得：
解得：
∴
（2）解：；理由如下：
过C作BC的垂线交AE的延长线于点H，如图2
∵AD⊥AE，∠BAC=90゜
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠HAC
∴∠FAB=∠HAC
在△AFB和△AHC中
∴△AFB≌△AHC(SAS)
∴AF=AH，∠F=∠H，∠ABF=∠ACH
∵∠ABC=∠ACB=45゜
∴∠ABF=∠ACH=135゜，∠ACE+∠ECG=45゜
过C作CM⊥CE交EH于点M
∴∠ECM=90゜
∴∠ACE+∠MCH=∠ACH-∠ECM=45゜
∴∠ECG=∠MCH
∵AD⊥AE，GE⊥AE
∴GE∥AD
∴∠EGC=∠F
∴∠EGC=∠H
∵AD⊥AE，AD=AE
∴∠CEM=∠AED=45゜
∴∠CME=∠CEM=45゜
∴CE=CM
在△CEG与△CMH中
∴△CEG≌△CMH(AAS)
∴EG=MH
∴EH=EM+MH=EM+EG
在Rt△EMC中，CE=CM，由勾股定理得：
∴
即
（3）解：
【知识点】三角形全等的判定；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）如图3，取BC的中点G，连接GM
∵M点为CD的中点
∴GM∥BD
∵BD⊥CD
∴ GM⊥CM
∴∠GMC=90゜
把BC绕点B逆时针旋转90°得到BF，连接EF，取BF的中点Q，连接EQ
由旋转的性质知：BE=BM，BF=BC，∠EBM=∠FBC=90゜
∴∠EBF=∠MBC
∴△EBF≌△MBC(SAS)
∴∠BEF=∠BMC
∵BF=BC
∴BQ=BG
∴△BEQ≌△BMG(SAS)
∴EQ=GM，∠BEQ=∠BMG
∴∠BEF ∠BEQ=∠BMC ∠BMG
即∠QEF=∠GMC=90゜
取FQ的中点O，则点E在以O为圆心QF为直径的圆上运动
过点E作EN⊥AB于点N，过点O作OP⊥AB于点P，则当EN过圆心O时，EN最大，此时△AED的面积最大
在Rt△ABC中，AB=AC，由勾股定理得
∴BF=BC=8
∵Q、O分别是BF、QF的中点
∴BQ=QF=4，OQ=2
∴BO=6
∵∠FBC=90゜，∠ABC=45゜
∴∠OBP=∠POB=45゜
∴OP=BP
由勾股定理得
∴EN的最大值为
∴△AEB的最大面积为：
【分析】（1）根据三角函数的概念可设BD=a，则CD=3a，由勾股定理可得BC，证明△BDM∽△CAM，根据相似三角形的性质可得CM、DM，由CM+DM=CD可得a的值，进而可得DM；
（2）过C作BC的垂线交AE的延长线于点H，由同角的余角相等可得∠FAB=∠HAC，证明△AFB≌△AHC，得到AF=AH，∠F=∠H，∠ABF=∠ACH，过C作CM⊥CE交EH于点M，则∠ECG=∠MCH，进而证明△CEG≌△CMH，得到EG=MH，则EH=EM+MH=EM+EG，由勾股定理可得EM=CE，据此证明；
（3）取BC的中点G，连接GM，把BC绕点B逆时针旋转90°得到BF，连接EF，取BF的中点Q，连接EQ，由旋转的性质知：BE=BM，BF=BC，∠EBM=∠FBC=90°，证明△EBF≌△MBC、△BEQ≌△BMG，得到∠BEF=∠BMC，EQ=GM，∠BEQ=∠BMG，进而推出∠QEF=∠GMC=90°，取FQ的中点O，则点E在以O为圆心QF为直径的圆上运动，过点E作EN⊥AB于点N，过点O作OP⊥AB于点P，则当EN过圆心O时，EN最大，此时△AED的面积最大，易得BF=BC=8，BQ=QF=4，OQ=2，BO=6，然后求出OP的值，得到EN的最大值，然后利用三角形的面积公式进行计算.
1 / 1重庆市南岸区2021-2022学年九年级下学期第一次定时作业数学试题
一、单选题
1．（2021·大连）2021年党中央首次颁发“光荣在党50年”纪念章，约7100000名党员获此纪念章数7100000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·济南）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022九下·南岸开学）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021九上·云阳月考）估算 的运算结果应在（ ）
A．6与7之间 B．7与8之间 C．8与9之间 D．9与10之间
5．（2022九下·南岸开学）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的位似比为1∶2，面积为2，则的面积是（ ）
A．2 B．8 C．16 D．32
6．（2022九下·南岸开学）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD.若∠C＝46°，则∠AOD的度数为（ ）
A．44° B．88° C．46° D．92°
7．（2021·天津）若点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·苏州）某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架.已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架.设甲种型号无人机 架，乙种型号无人机 架.根据题意可列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022九下·南岸开学）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，，且，，则OB的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
10．（2020·金华模拟）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地，甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶，乙车先到达B地并停留1h后，再以原速沿原路返回，直至与甲车相遇。在此过程中，两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示。下列说法错误的是（ ）
A．乙车的速度是120km/h B．m=160
C．点H的坐标是(7，80) D．n=7.5
11．（2022九下·南岸开学）若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a之和是（ ）
A．15 B．14 C．8 D．7
12．（2022九下·南岸开学）如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数y（k≠0）的图象过点A并交AD于点G，连接DF.若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（ ）
A． B．3 C． D．5
二、填空题
13．（2022九下·南岸开学） .
14．（2021·南充模拟）有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是 .
15．（2021九上·浈江期末）如图，矩形ABCD的边长，，以为直径，的中点为圆心画弧，交矩形于点D，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
16．（2022九下·南岸开学）某销售商十月份销售X、Y、C三种糖果的数量之比2∶1∶1，X、Y、C三种糖果的单价之比为1∶3∶4.十一月份该销售商为了迎接双“十一”加大了宣传力度.预计三种糖果的营业额都会增加.其中X种糖果增加的营业额占总增加的营业额的，此时，X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业颁之比为3∶8，为使十一月份Y、C两种糖果的营业额之比为2∶3，则十一月份C种糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为 .
三、解答题
17．（2022九下·南岸开学）计算：
（1）（x-y）2＋x（x＋3y）；
（2）.
18．（2022九下·南岸开学）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF.
19．（2022九下·南岸开学）近日，市委、市政府公布了第七批重庆市爱国主义教育基地名单，重庆市育才中学创办的陶行知纪念馆位列其中.如图，为了测量陶行知纪念馆的高度，小李在点处放置了高度为1.5米的测角仪，测得纪念馆顶端点的仰角，然后他沿着坡度的斜坡走了6.5米到达点，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点.（结果精确到0.1，参考数据：，，）
（1）求点到纪念馆的水平距离；
（2）求纪念馆的高度约为多少米？
20．（2022九下·南岸开学）“聚焦双减，落实五项管理”，为了解双减政策实施以来同学们的学习状态，某校志愿者调研了七，八年级部分同学完成作业的时间情况，从七，八年级中各抽取20名同学作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，共分为四个时段（x表示作业完成时间，x取整数）：A.；B.；C.；D.，完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息：
七年级取20名完成作业时间：55，58，60，65，64，66，60，60，78，78，70，75，75，78，78，80，82，85，85，88.
八年级抽取20名同学中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75.
七，八年级抽取的同学完成作业时间统计表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 72 75 b
八年级 75 a 75
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ▲ ， ▲ ，并补全统计图；
（2）根据以上数据分析，双减政策背景的作业时间管理中，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校七年级有900人，八年级有700人，估计七、八年级为时间管理优秀的共有多少人？
21．（2022九下·南岸开学）重庆1949大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元.
（1）求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？
（2）因为疫情原因，11月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100张，嘉宾席票平均每天售出200张.12月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票价，这样与11月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍，嘉宾席的票价与11月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的，这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元，求12月份普通席的票价是多少元？
22．（2022九下·南岸开学）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A(3，1)，B(-1，n)两点.
（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足k1x+b≥的x的取值范围；
（3）连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求△ABC的面积.
23．（2022九下·南岸开学）一个自然数能分解成，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”.
例如：∵，6比7小1，，∴4819是“双十数”；
又如：∵，3比4小1，，∴1496不是“双十数”.
（1）判断297，875是否是“双十数”，并说明理由；
（2）自然数为“双十数”，N的百位及其以上的数位组成一个数记为p，N的十位数字和个位数字组成的两位数记为q，例如：∵，∴，；又如：∵，∴，.若A与B的十位数字之和能被5整除，且能被比B的个位数字大10的数整除，求所有满足条件的自然数N.
24．（2022九下·南岸开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）交y轴于点C，且OC＝3.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的最大值，以及此时点P的坐标；
（3）把抛物线y＝ax2＋bx＋c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P，R为新抛物线上一点，S是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形的点R的坐标，并把其中一个点R的坐标过程写出来.
25．（2022九下·南岸开学）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.
（1）如图1，过点C作CD⊥BD交AB于M，若BM＝2，tan∠DCB＝.求DM的长；
（2）如图2，若AD⊥AE，且AD＝AE，延长AD、CB交于点F，作EG⊥EA交CB于点G.猜想FD、CE、EG之间有何数量关系？并证明你的结论.
（3）如图3，若AB＝4，D为一动点且始终有BD⊥CD，取CD的中点M，连接BM，将MB绕点B逆时针旋转90°得到点E，直接写出△ABE面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数7100000用科学记数法表示为 ；
故答案为：C．
【分析】 将一个数表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A.既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，但是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A.，故A错误；
B.，故B正确；
C.，故C错误；
D.，故D错误.
故答案为：B.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断B；幂的乘方：底数不变，指数相乘，据此判断C；根据单项式与单项式的除法法则可判断D.
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵ 4 ，而4 5，
∴原式运算的结果在8到9之间.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的乘法法则将原式化简，由估算无理数大小的方法估算出的范围，进而根据不等式的性质可得4 的范围.
5．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△EDC为位似图形，
∴△ABC∽△EDC，
∵位似比是1：2，
∴相似比是1：2，
∴△ABC与△EDC的面积比为：1：4，
∵△ABC的面积为2，
∴△EDC的面积是：2×4=8.
故答案为：B.
【分析】由题意可得△ABC∽△EDC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠CAB＝90°，
∵∠C＝46°，
∴∠B＝90°-46°＝44°，
由圆周角定理得，∠AOD＝2∠B＝88°.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得∠CAB＝90°，则∠B＝90°-∠C＝44°，由圆周角定理得∠AOD＝2∠B，据此计算.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得：
、 、 ．
则 ．
故答案为：B．
【分析】将点ABC的横坐标分别代入反比例函数解析式中，求出 的 值，然后比较即可.
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】设甲种型号无人机 架，乙种型号无人机 架
∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，
∴
∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架
∴
联立可得：
故答案为：D.
【分析】由题意可得相等关系“甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架”，根据相等关系可列方程组.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，，，，
∴BC=AD=3，，OA=OC=AC，
∴，CO=2，
∴OB=.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可得BC=AD=3，OA=OC=AC，由勾股定理可得AC的值，然后求出OC，再次利用勾股定理就可求出OB的长.
10．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：A、由图象可知，乙出发时，甲乙两车相距80千米，2小时后，乙车追上了甲车，这时说明乙车每小时比甲车快40千米，所以乙车的速度是120km/h，所以A选项正确；
B、由图象可知，在第2-第6小时，乙车由相遇点到达B地，用时4小时，每小时比甲车快40千米，则此时甲乙车距离为160千米，所以B选项正确；
C、当乙车在B地停留1小时，甲车前进80千米，则点H的坐标是(7，80)，所以C选项正确；
D、乙车返回时，甲乙车相距80千米，到两车相遇时用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=7+0.4=7.4，所以D选项错误.
故答案为：D.
【分析】由图象可知，当x=0时，m=80，即两车起始距离为80千米，从而得到乙车速度，进而根据两车运行状态及图象变化，逐项判断即可.
11．【答案】D
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①，得x≤11
解不等式②，得x>a
∵不等式组至少有五个整数解
∴a<7
∴
∴
∵
∴
∴
∴，a为整数
又∵为整数
∴a可以取-1，3，5
∴满足条件的所有整数a之和是-1+3+5=7
故答案为：D.
【分析】求出不等式组的解集，结合不等式组至少有五个整数解可得a的范围，根据分式方程表示出y，根据分式方程的解为非负整数可得a的取值，然后求和即可.
12．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，
设点 ，则AM=b，OM=a，
∴AM∥NG，AM∥y轴，
∴△DGN∽△DAM， ，
∴ ，
∵BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点A、G在反比例函数y（k≠0）的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠OBF=∠GDN，，
∵∠BOF=∠GND=90°，
∴△BOF∽△DNG，
∴ ，即，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，设A（a，b） ，则AM=b，OM=a，证明△DGN∽△DAM，根据相似三角形的性质可得OB=a，GN=b，根据点A、G在反比例函数图象上可得k=ab=b·ON，表示出ON、MN、DN、BD，由平行四边形的性质可得∠OBF=∠GDN，S△ABD=S△BCD，证明△BOF∽△DNG，根据相似三角形的性质可得OF，然后根据S△FCD=S△BCD-S△BDF结合三角形的面积公式可得ab的值，进而可得k的值.
13．【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；负整数指数幂；有理数的加法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】根据绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则可得原式=4+，然后根据有理数的加法法则进行计算.
14．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表得：
（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） -
（1，4） （2，4） （3，4） - （5，4）
（1，3） （2，3） - （4，3） （5，3）
（1，2） - （3，2） （4，2） （5，2）
- （2，1） （3，1） （4，1） （5，1）
∴一共有20种情况，这两个球上的数字之和为偶数的8种情况，
∴这两个球上的数字之和为偶数的概率是.
故答案为：.
【分析】由题意可知此事件是抽取不放回，列表，可得到所有等可能的结果数及这两个球上的数字之和为偶数的情况数，然后利用概率公式进行计算.
15．【答案】π
【知识点】勾股定理；矩形的性质；扇形面积的计算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，，，
∴，，
∴，
S阴影＝S半圆－S△ACD＋S△ABC－S扇形，
∵AC是矩形ABCD的对角线，
∴S△ACD＝S△ABC，
∴S阴影＝S半圆－S△ACD＋S△ABC－S扇形＝ S半圆－S扇形＝，
故填：π.
【分析】由矩形的性质可得∠ABC＝90°，S△ACD＝S△ABC，由勾股定理求出AC=4，由正切函数的定义可得tan∠BAC=可得∠BAC=30°，利用S阴影＝S半圆－S△ACD＋S△ABC－S扇形＝ S半圆－S扇形即可求解.
16．【答案】5：24
【知识点】比的应用
【解析】【解答】解：设10月份X、Y、C三种糖果的销售的数量分别为2x、x、x；单价分别为y、3y、4y，
∴10月份X、Y、C三种糖果的销售额分别为2xy，3xy，4xy；
∵X种糖果增加的营业额占总增加的营业额的，
∴设11月份X增加的营业额为，则11月份总增加的营业额为z；
又X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业额之比为3：8，
∴（2xy +）：（9xy+z）=3：8，解得z=15xy，
∴十一月份X种糖果的营业额为9xy，三种糖果总营业额为24xy，
∴Y，C两种糖果的营业额之和为15xy，
若十一月份Y、C两种糖果的营业额之比为2：3，
则Y、C两种糖果的营业额分别为6xy，9xy；
∴C种糖果增加的营业额为9xy-4xy=5xy，
∴十一月份C种糖果增加的营业额与十一月份总营业额之比为5xy：24xy=5：24.
故答案为：5：24.
【分析】设10月份X、Y、C三种糖果的销售的数量分别为2x、x、x；单价分别为y、3y、4y，则销售额分别为2xy，3xy，4xy，设11月份X增加的营业额为，则11月份总增加的营业额为z，根据X种糖果的营业额与十一月份三种糖果总营业额之比为3：8可得z=15xy，则Y、C两种糖果的营业额分别为6xy，9xy，C种糖果增加的营业额为5xy，据此求解.
17．【答案】（1）解：原式＝
＝
（2）解：原式＝
＝
＝
＝.
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则以及合并同类项法则化简即可；
（2）对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简.
18．【答案】（1）解：如图所示，
（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，
即AD⊥EF
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据垂线的作图作图即可；
（2） 根据角平分线的性质可得DE＝DF，利用HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得到AE＝AF，推出AD垂直平分EF，据此证明.
19．【答案】（1）解：AB延长交地面于H，过点F作FG⊥CH于G，过点D的水平线交AH与E，
∵坡度的斜坡走了6.5米到达点，
设FG=x，CG=2.4x，CF=6.5米，
在Rt△FGC中，根据勾股定理得，即，
解得米，
∴CG=2，4x=6米，
∵BF∥CH，AH⊥CH，
∴BF⊥AH，
∴∠FBH=∠BHG=90°，
∵FG⊥CH，
∴∠FGH=90°，
∴四边形BHGF为矩形，
∴BF=HG=4米，BH=FG=2.5米，
∴CH=HG +CG=4+6=10米，
∵CD⊥CH，
∴∠DCH=90°，
∵DE∥CH，
∴∠DEH+∠BHG=180°，
∴∠DEH=180°-∠BHG=90°，
∴∠DEH=∠DCH=∠BHG=90°，
∴四边形EHCD为矩形，
∴DE=CH=10米，
（2）解：在Rt△AED中，，DE=10米，
∴AE=DE·tan51°≈10×1.23=12.3米，
∵BH=2.5米，EH=CD=1.5米
∴AB=AE+EH-BH=12.3+1.5-2.5=11.3米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）AB延长交地面于H，过点F作FG⊥CH于G，过点D的水平线交AH与E，设FG=x，CG=2.4x，CF=6.5米，在Rt△FGC中，根据勾股定理可得x的值，易得四边形BHGF为矩形，则BF=HG=4米，BH=FG=2.5米，CH=HG +CG=10米，由平行线的性质可得∠DEH=180°-∠BHG=90°，推出四边形EHCD为矩形，据此求解；
（2）根据三角函数的概念可得AE，然后根据AB=AE+EH-BH进行计算.
20．【答案】（1）解：78，75；补全图形如下：
（2）解：从平均数来看，七年级完成作业的平均时间比八年级的少，故可知七年级落实得更好些；
中位数相同，七年级完成作业的平均时间比八年级的少，故可知七年级落实得更好些
（3）解：七年级20名完成作业时间优秀的人数为5人，八年级20名完成作业时间优秀的人数为5人，
所以，该校七年级完成作业时间优秀的人数为：（人），
该校八年级完成作业时间优秀的人数为：（人），
所以，该校两个年级完成作业时间优秀的人数共有：（人）
答：估计七、八年级为时间管理优秀的共有400人
【知识点】用样本估计总体；统计表；条形统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：（1）七年级20名完成作业时间中最多的数据是78分钟，所以，七年级20名完成作业时间的众数是78分钟，即b=78；
八年级20名完成作业时间中A段有3人，C有8人，D段有5人，
所以，B段的人数为20-3-8-5=4（人）
中位数为第10、11个数据的平均数，
而A段与B段人数为3+4=7（人）
所以中位数为C段从小到大排列第3，4个数据的平均数，即（分钟）
所以，a=75
故答案为：78；75；
【分析】（1）找出七年级20名完成作业时间中最多的数据即为众数b的值，八年级20名完成作业时间中A段有3人，C有8人，D段有5人，则B段的人数为4人，中位数为第10、11个数据的平均数，据此可得a的值，根据B段的人数即可补全条形统计图；
（2）根据平均数、中位数的大小进行分析判断；
（3）首先分别求出七年级、八年级优秀的人数所占的比例，然后乘以总人数，再相加即可.
21．【答案】（1）解：设普通席单张票价为元，则嘉宾席单张票价为元，依题意得：，解之得：，∴嘉宾席单张票价为元，答：普通席280元，嘉宾席320元.
（2）解：设普通席普通票增加张数为张，则，依题意得：，解之得：，∴12月份普通席的票价是元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设普通席单张票价为x元，则嘉宾席单张票价为(x+40)元，根据一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元建立关于x的方程，求出x的值，据此解答；
（2）设普通席普通票增加张数为a张，由题意可得普通席票平均每天售出(100+a)张，票价为(280-2a)元，平均每天售出嘉宾席的张数为(200+a) ，票价为320元，根据票价×张数=总销售额可得关于a的方程，求解即可.
22．【答案】（1）解：将点A（3，1）代入反比例函数y=，
得k2=3×1=3，
∴反比例函数解析式：y=，
将点B（-1，n）代入y=，
得-n=3，
解得n=-3，
∴B（-1，-3），
将点A，B代入一次函数y=k1x+b，
得，
解得：，
∴一次函数解析式：y=x-2；
（2）解：-1≤x＜0或x≥3
（3）解：过C点作CD∥y轴，交直线AB于D，
∵B（-1，-3），B、C关于原点对称，
∴C（1，3），
把x=1代入y=x-2得，y=-1，
∴D（1，-1），
∴CD=4，
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=×4×（3+1）=8.
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：（2）根据图象可知，k1x+b≥的x的取值范围：x≥3或-1≤x＜0；
【分析】（1）将A（3，1）代入反比例函数y=中可得k2的值，据此可得反比例函数的解析式，然后将B（-1，n）代入求出n的值，得到点B的坐标，接下来利用待定系数法就可求出一次函数的解析式；
（2）根据图象，找出一次函数在反比例函数图象上方部分或重叠部分所对应的x的范围即可；
（3）过C点作CD∥y轴，交直线AB于D，则C（1，3），把x=1代入y=x-2得y=-1，据此可得点D的坐标，求出CD的值，然后根据S△ABC=S△ACD+S△BCD进行计算.
23．【答案】（1）解：，比小1，，
不是“双十数”
，比小1，，
是“双十数”
（2）解：自然数为“双十数”，
设
则
又A与B的十位数字之和能被5整除，
则是整数，
或
或
或，
能被比B的个位数字大10的数整除，
，为正整数；
即，又
又
或，为正整数；
即
或
解得或
或
综上所述
【知识点】定义新运算；整除（奥数类）
【解析】【分析】（1）直接根据“双十数”的概念进行判断；
（2）设A=10a+m，B=10b+n，则b-a=1、m+n=10，根据A与B的十位数字之和能被5整除可得是整数，求出a、b的值，根据N=A×B表示出N，得到p、q，根据2p+q能被比B的个位数字大10的数整除可得m、n的值，据此可得N.
24．【答案】（1）解： 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（-1，0），B（3，0），
设抛物线为：
则
解得：
所以抛物线的解析式为：
（2）解：如图，连接
设
当时，四边形的面积最大，
最大面积为：
此时
（3）解：或或
如图，由题意得：平移后的抛物线的顶点
抛物线为：，对称轴为
点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边，
设
由平行四边形的对角线互相平分结合中点公式可得：
解得：
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（3）同理可得：
当为对角线时，
同理可得：
解得：
综上：或或
【分析】（1）由点A、B的坐标可设y=a(x+1)(x-3)，根据OC=3可得C（0，-3），代入求解可得a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）连接AC、OP，设P（x，x2-2x-3），根据S四边形ACPB=S△AOC+S△PCO+S△PBO表示出S四边形ACPB，然后根据二次函数的性质可得最大值以及点P的坐标；
（3）由题意得：平移后的抛物线的顶点，则抛物线解析式为y=x2-3x-，对称轴为直线x=，当AC为平行四边形的边时，设S（，t），R（x，x2-3x-），根据平行四边形的对角线互相平分结合中点公式可得x、t的值，据此可得R的坐标；当AC为对角线时，同理求解即可.
25．【答案】（1）解：如图1
∵BD⊥CD
∴
∴设BD=a，则CD=3a
由勾股定理得：
∵∠BAC=90゜，AB=AC
∴由勾股定理得
∴
∴
∵∠BDM=∠BAC，∠DMB=∠AMC
∴△BDM∽△CAM
∴即
∴，
由CM+DM=CD得：
解得：
∴
（2）解：；理由如下：
过C作BC的垂线交AE的延长线于点H，如图2
∵AD⊥AE，∠BAC=90゜
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠HAC
∴∠FAB=∠HAC
在△AFB和△AHC中
∴△AFB≌△AHC(SAS)
∴AF=AH，∠F=∠H，∠ABF=∠ACH
∵∠ABC=∠ACB=45゜
∴∠ABF=∠ACH=135゜，∠ACE+∠ECG=45゜
过C作CM⊥CE交EH于点M
∴∠ECM=90゜
∴∠ACE+∠MCH=∠ACH-∠ECM=45゜
∴∠ECG=∠MCH
∵AD⊥AE，GE⊥AE
∴GE∥AD
∴∠EGC=∠F
∴∠EGC=∠H
∵AD⊥AE，AD=AE
∴∠CEM=∠AED=45゜
∴∠CME=∠CEM=45゜
∴CE=CM
在△CEG与△CMH中
∴△CEG≌△CMH(AAS)
∴EG=MH
∴EH=EM+MH=EM+EG
在Rt△EMC中，CE=CM，由勾股定理得：
∴
即
（3）解：
【知识点】三角形全等的判定；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）如图3，取BC的中点G，连接GM
∵M点为CD的中点
∴GM∥BD
∵BD⊥CD
∴ GM⊥CM
∴∠GMC=90゜
把BC绕点B逆时针旋转90°得到BF，连接EF，取BF的中点Q，连接EQ
由旋转的性质知：BE=BM，BF=BC，∠EBM=∠FBC=90゜
∴∠EBF=∠MBC
∴△EBF≌△MBC(SAS)
∴∠BEF=∠BMC
∵BF=BC
∴BQ=BG
∴△BEQ≌△BMG(SAS)
∴EQ=GM，∠BEQ=∠BMG
∴∠BEF ∠BEQ=∠BMC ∠BMG
即∠QEF=∠GMC=90゜
取FQ的中点O，则点E在以O为圆心QF为直径的圆上运动
过点E作EN⊥AB于点N，过点O作OP⊥AB于点P，则当EN过圆心O时，EN最大，此时△AED的面积最大
在Rt△ABC中，AB=AC，由勾股定理得
∴BF=BC=8
∵Q、O分别是BF、QF的中点
∴BQ=QF=4，OQ=2
∴BO=6
∵∠FBC=90゜，∠ABC=45゜
∴∠OBP=∠POB=45゜
∴OP=BP
由勾股定理得
∴EN的最大值为
∴△AEB的最大面积为：
【分析】（1）根据三角函数的概念可设BD=a，则CD=3a，由勾股定理可得BC，证明△BDM∽△CAM，根据相似三角形的性质可得CM、DM，由CM+DM=CD可得a的值，进而可得DM；
（2）过C作BC的垂线交AE的延长线于点H，由同角的余角相等可得∠FAB=∠HAC，证明△AFB≌△AHC，得到AF=AH，∠F=∠H，∠ABF=∠ACH，过C作CM⊥CE交EH于点M，则∠ECG=∠MCH，进而证明△CEG≌△CMH，得到EG=MH，则EH=EM+MH=EM+EG，由勾股定理可得EM=CE，据此证明；
（3）取BC的中点G，连接GM，把BC绕点B逆时针旋转90°得到BF，连接EF，取BF的中点Q，连接EQ，由旋转的性质知：BE=BM，BF=BC，∠EBM=∠FBC=90°，证明△EBF≌△MBC、△BEQ≌△BMG，得到∠BEF=∠BMC，EQ=GM，∠BEQ=∠BMG，进而推出∠QEF=∠GMC=90°，取FQ的中点O，则点E在以O为圆心QF为直径的圆上运动，过点E作EN⊥AB于点N，过点O作OP⊥AB于点P，则当EN过圆心O时，EN最大，此时△AED的面积最大，易得BF=BC=8，BQ=QF=4，OQ=2，BO=6，然后求出OP的值，得到EN的最大值，然后利用三角形的面积公式进行计算.
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