5.1.1 相交线同步练习（含答案）

5.1 相交线
第1课时 相交线
夯基训练
知识点1 邻补角
1.识别邻补角应同时满足以下三条:①有公共_____________;②有一条公共边;③两角的另一边_____________. 2
2.邻补角是指(　　)
A.和为180°的两个角
B.有公共顶点且互补的两个角
C.有一条公共边且相等的两个角
D.有公共顶点且有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角
3.下列选项中,∠1与∠2互为邻补角的是(　　)
4.如图,∠1的邻补角是(　　)
A.∠BOC B.∠BOE和∠AOF
C.∠AOF D.∠BOC和∠AOF
5.如图,∠α的度数等于(　　)
A.135° B.125° C.115° D.105°
6.如图所示，直线AB和CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是________．
知识点2 对顶角及其性质
7识别对顶角应同时满足:①有公共___________;②两个角的两边___________.
8.如图,小强和小丽一起玩跷跷板,横板AB绕O上下转动,当小强从A到A'的位置时,∠AOA'=45°,则∠BOB'的度数为___________,理由是___________. 版权所有
9.如图,直线AB,CD相交于点O,则∠1　　　∠2,根据的是　　　　　　;∠2+∠3=　　　　,根据的是　　　　　　　　.
10.下列语句正确的是(　　)
A.顶点相对的两个角是对顶角
B.有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
C.两条直线相交,有公共顶点的两个角是对顶角
D.两条直线相交,有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角
11.下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是(　　)
12.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度数．
题型总结
题型1 利用对顶角的性质求角
13.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,如果∠AOC=65°,∠DOF=50°.
(1)求∠BOE的度数;
(2)通过计算∠AOF的度数,你发现射线OA有什么特殊性吗
题型2 利用邻补角及对顶角的性质求角(方程思想)
14.补全解答过程:
如图,已知直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,若∠EOC∶∠EOD=2∶3,求∠BOD的度数.
解:由∠EOC∶∠EOD=2∶3,
设∠EOC=2x°,则∠EOD=3x°.
因为∠EOC+∠____________=180°(____________),
所以2x+3x=180,解得x=36.
所以∠EOC=72°.
因为OA平分∠EOC(已知),
所以∠AOC=∠EOC=36°.
因为∠BOD=∠AOC(____________),
所以∠BOD=____________.
15.如图，直线AC，EF相交于点O，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝72°，求∠AOF的度数．
拓展培优
拓展角度1 利用邻补角的性质求折叠中的角(折叠法)
16.将一张长方形纸片按图中的方式折叠,BC,BD为折痕,求∠CBD的大小.
拓展角度2 利用邻补角及对顶角的定义进行计数(基本图形法)
17.下列各图中的直线都相交于一点.
请观察图并填写下表:
图形编号 ① ② ③ …
对顶角的对数 …
邻补角的对数 …
若n条直线相交于一点,则共有多少对对顶角 共有多少对邻补角
拓展角度3 与对顶角有关的探究问题
18.我们知道：两直线交于一点，对顶角有2对；三条直线交于一点，对顶角有6对；四条直线交于一点，对顶角有12对……
(1)10条直线交于一点，对顶角有________对；
(2)n(n≥2)条直线交于一点，对顶角有________对．
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5.1 相交线
第1课时 相交线
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 邻补角
1.识别邻补角应同时满足以下三条:①有公共_____________;②有一条公共边;③两角的另一边_____________. 2
1.【答案】①顶点　③分别互为反向延长线　·1·c·n·j·y
2.邻补角是指(　　)
A.和为180°的两个角
B.有公共顶点且互补的两个角
C.有一条公共边且相等的两个角
D.有公共顶点且有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角
2.【答案】D　
3.下列选项中,∠1与∠2互为邻补角的是(　　)
【答案】D
解：根据邻补角的定义是有公共顶点且有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角，故选项D正确。
4.如图,∠1的邻补角是(　　)
A.∠BOC B.∠BOE和∠AOF
C.∠AOF D.∠BOC和∠AOF
4.【答案】B　
解：根据邻补角的定义,与∠1有公共顶点且有一条公共边,另一边互为反向延长线的角为∠BOE和∠AOF,故选项B正确。
5.如图,∠α的度数等于(　　)
A.135° B.125° C.115° D.105°
【答案】A
解：根据邻补角的性质可知。
6.如图所示，直线AB和CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是________．
6.【答案】∠2和∠4
解析：根据邻补角的概念判断：有一个公共顶点、一条公共边，另一边互为延长线．∠1和∠2、∠1和∠4都满足有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为延长线，故为邻补角．故答案为∠2和∠4.
方法总结：邻补角的定义包含了两层含义：相邻且互补．但需要注意的是：互为邻补角的两个角一定互补，但互补的角不一定是邻补角．
知识点2 对顶角及其性质
7识别对顶角应同时满足:①有公共___________;②两个角的两边___________.
7.【答案】①顶点　②分别互为反向延长线
8.如图,小强和小丽一起玩跷跷板,横板AB绕O上下转动,当小强从A到A'的位置时,∠AOA'=45°,则∠BOB'的度数为___________,理由是___________. 版权所有
8.【答案】45°;对顶角相等
9.如图,直线AB,CD相交于点O,则∠1　　　∠2,根据的是　　　　　　;∠2+∠3=　　　　,根据的是　　　　　　　　.
9.【答案】=;对顶角相等;180°;邻补角的定义
10.下列语句正确的是(　　)
A.顶点相对的两个角是对顶角
B.有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
C.两条直线相交,有公共顶点的两个角是对顶角
D.两条直线相交,有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角
10.【答案】D　
解：A错误,如图①,∠1与∠2的顶点相对,但∠1与∠2不是对顶角;
B错误,如图②,∠1与∠2有公共顶点,且∠1=∠2,但∠1与∠2不是对顶角;
C错误,如图③,∠1与∠2是两条直线相交且有公共顶点的角,但∠1与∠2不是对顶角;
D正确.
11.下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是(　　)
11.解析：观察∠1与∠2的位置特征，只有C中∠1和∠2同时满足有公共顶点，且∠1的两边是∠2的两边的反向延长线．故选C.
方法总结：判断对顶角只看两点：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．
12.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度数．
12.解析：根据对顶角的性质，可得∠AOC与∠BOD的关系，根据OA平分∠COE，可得∠COE与∠AOC的关系，根据邻补角的性质，可得答案．
解：由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD＝42°.∵OA平分∠COE，∴∠COE＝2∠AOC＝84°.由邻补角的性质得∠DOE＝180°－∠COE＝180°－84°＝96°.
方法总结：解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种角的性质找出已知角和未知角之间的数量关系．
题型总结
题型1 利用对顶角的性质求角
13.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,如果∠AOC=65°,∠DOF=50°.
(1)求∠BOE的度数;
(2)通过计算∠AOF的度数,你发现射线OA有什么特殊性吗
13.解:(1)因为∠AOC=65°,
所以∠BOD=∠AOC=65°.
又因为∠BOE+∠BOD+∠DOF=180°,∠DOF=50°,
所以∠BOE=180°-65°-50°=65°.
(2)因为∠AOF=∠BOE=65°,且∠AOC=65°,
所以∠AOF=∠AOC,
所以射线OA是∠COF的平分线.
题型2 利用邻补角及对顶角的性质求角(方程思想)
14.补全解答过程:
如图,已知直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,若∠EOC∶∠EOD=2∶3,求∠BOD的度数.
解:由∠EOC∶∠EOD=2∶3,
设∠EOC=2x°,则∠EOD=3x°.
因为∠EOC+∠____________=180°(____________),
所以2x+3x=180,解得x=36.
所以∠EOC=72°.
因为OA平分∠EOC(已知),
所以∠AOC=∠EOC=36°.
因为∠BOD=∠AOC(____________),
所以∠BOD=____________.
14.EOD;平角的定义(邻补角的性质);对顶角相等;36°
15.如图，直线AC，EF相交于点O，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝72°，求∠AOF的度数．
15.解析：因为已知量与未知量的关系较复杂，所以想到列方程解答，根据观察可设∠BOE＝x，则∠AOF＝∠EOC＝2x，然后根据对顶角和邻补角找到等量关系，列方程．
解：设∠BOE＝x，则∠AOF＝∠EOC＝2x.∵∠AOB与∠BOC互为邻补角，∴∠AOB＝180°－3x.∵OD平分∠AOB，∴∠DOB＝∠AOB＝90°－x.∵∠DOE＝72°，∴90°－x＋x＝72°，解得x＝36°.∴∠AOF＝2x＝72°.
方法总结：在相交线中求角的度数时，就要考虑使用对顶角相等或邻补角互补．若已知关系较复杂，比如出现比例或倍分关系时，可列方程解决角度问题．
拓展培优
拓展角度1 利用邻补角的性质求折叠中的角(折叠法)
16.将一张长方形纸片按图中的方式折叠,BC,BD为折痕,求∠CBD的大小.
16.解:由折叠的性质可知∠ABC=∠A'BC,∠EBD=∠E'BD,所以∠A'BC=∠ABE',∠E'BD=∠EBE'.由∠ABE'与∠EBE'互为邻补角,得∠ABE'+∠EBE'=180°,因此∠CBD=∠A'BC+∠E'BD=∠ABE'+∠EBE'=(∠ABE'+∠EBE')=90°
点拨：此题运用了折叠法,解题时关键要弄清折叠前后哪些角对应相等.
拓展角度2 利用邻补角及对顶角的定义进行计数(基本图形法)
17.下列各图中的直线都相交于一点.
请观察图并填写下表:
图形编号 ① ② ③ …
对顶角的对数 …
邻补角的对数 …
(2)若n条直线相交于一点,则共有多少对对顶角 共有多少对邻补角
17.解:(1)2;6;12;4;12;24
(2)对顶角共有n(n-1)对,邻补角共有2n(n-1)对.
技巧解：巧数图形中对顶角或邻补角的对数:(1)在复杂图形中数对顶角或邻补角的对数时,我们一般先确定图形中包含有几个两条直线相交的基本图形;(2)在每个基本图形中有2对对顶角、4对邻补角,从而计算出所有对顶角、邻补角的对数.
拓展角度3 与对顶角有关的探究问题
18.我们知道：两直线交于一点，对顶角有2对；三条直线交于一点，对顶角有6对；四条直线交于一点，对顶角有12对……
(1)10条直线交于一点，对顶角有________对；
(2)n(n≥2)条直线交于一点，对顶角有________对．
18.解析：(1)仔细观察计算对顶角对数的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，得出结论，代入数据求解．如图①，两条直线交于一点，图中共有＝2对对顶角；如图②，三条直线交于一点，图中共有＝6对对顶角；如图③，四条直线交于一点，图中共有＝12对对顶角……按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有＝90(对)．故答案为90；
(2)利用(1)中规律得出答案即可．由(1)得n(n≥2)条直线交于一点，对顶角的对数为＝n(n－1)．故答案为n(n－1)．
方法总结：解决探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数据的变化特征．