数学人教A版（2019）必修第一册2.2基本不等式 课件（共40张ppt）

(共40张PPT)
基本不等式
主要内容
基本不等式的应用
基本不等式的推导及其证明
基本不等式的推导及其证明
第1课时
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
探究
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为
设直角三角形的两条直角边长为a、b, 那么正方形的边长为 .
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有
结论1：
证明： 作差比较
a2+b2-2ab=(a-b)2
当a b时，(a-b)2>0 得
a2+b2>2ab
当a=b时，(a-b)2=0 得
a2+b2=2ab
特别地，如果a>0,b>0,我们用 、 分别代替上面结论中的a、b，可得
证明同前面结论1
结论2
基本不等式
的几何意义
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
探究
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么 ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝
.
由于CD不大于圆的半径
所以
其中当且仅当点C 与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
的几何意义是“半径不小于半弦”
因此，基本不等式
如果把 看作是正数a、b的等差中项，把 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
基本不等式 代数意义
为a、b的算术平均数， 为几何平均数，那么
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
基本不等式的推广：
若 则 叫做n个正数的算术平均数， 叫做n个正数的几何平均数.
n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
例1. 求证
证明：
当且仅当a= 即a=1时，等号成立.
当且仅当 = 即a=b时，等号成立.
证明：由于x、y都是正数，根据基本不等式得
例2.已知x、y 都是正数，求证：
（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
三式相乘得
当且仅当x=y时等号成立.
例3.若x>0，y>0，且x+y=2，求x2+y2的最小值
解：∵x2+y2 2xy，
∴2(x2+y2) (x+y)2
∵x+y=2，
∴x2+y2 2
即x2+y2的最小值为2,当且仅当x=y=1时取得最小值.
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的情况是( )
(A)甲车先到达B地 (B)乙车先到达B地
(C)同时到达 (D)不能判定
1.“a＞0且b＞0”是“ ”成立的( )
(A)充分而非必要条件 (B)必要而非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
A
A
练习
3.已知a、b、c都是正数，求证
（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
证明：由于a、b、c都是正数，根据基本不等式得
（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
三式相乘得
当且仅当a=b=c时等号成立.
证明：由a<0,b<0，得 -a>0,-b>0
当且仅当-a=-b即a=b时等号成立.
小结
1.基本不等式的推导及其意义
2.利用基本不等式证明简单不等式
作业
P100 练习1
P100 习题3.4 A组1,2
补充作业
基本不等式的应用
第2课时
复习：基本不等式
对于结论2，应把握三点：“一正、二定、三相等”
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.由
可得
分析：对于(1)矩形菜园的面积是确定的,长和宽没有确定.篱笆最短即矩形的周长最短.
当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
解：（2）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则 2（x+y）=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xy m2.由
可得
分析：对于(2)矩形菜园的周长是确定的,长和宽没有确定.菜园的面积最大即矩形的面积最大.
当且仅当x=y时，等号成立，此时x=y=9.
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.
1. 已知两个正数x，y，求x+y与xy的最值.
(1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值 ；
(2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 .
利用基本不等式 求最值的要点
2. 在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等”
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了基本不等式定理.
解：设水池底面一边的长度为x m，水池的总造价为z元，根据题意，得
当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.
例3.已知x＞1，求x＋ 的最小值以及取得最小值时x的值.
解：因为 x＞1 所以 x－1＞0
当且仅当x－1＝ （x>1)即x=2时，取“＝”号.
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2.
例4 已知 a、b为正常数，且 求x+y的最小值.
例5.求函数 的最小值.
利用函数 (t>0)的单调性.
单调递减，
单调递增
分析：
解:
4
5
2
2
+
+
=
x
x
y
1．下列函数中，最小值为4的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
C
练习
2.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
(A)5公里 (B)4公里 (C)3公里 (D)2公里
A
4. 若正数x、y满足x+2y＝1.求 的最小值.
3. 已知lgx+lgy＝1， 的最小值是______.
5. 已知正数a、b满足a+b＝1.
(1)求ab的取值范围；(2)求 的最小值.
当且仅当 时取“=”号
即当 时,函数的最小值为
解:
6.求函数 的最小值.
)
1
(
1
1
3
)
(
2
-
>
+
+
-
=
x
x
x
x
x
f
7. 如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米的无盖长方形沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab 成反比. 现有制箱材料60平方米， 问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计).
A
B
a
b
小结
1. 已知两个正数x，y，求x+y与xy的最值.
(1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值 ；
(2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 .
2. 在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等”
一正,二定,三相等
③必须有自变量值能使函数取到等号.
①各项必须为正;
②含变数的各项和或积必须为定值;
3.利用基本不等式求函数最值的步骤:
作业
习题P100-101．Ａ组，2,3,4Ｂ组1,2